北師大數(shù)學(xué)七下復(fù)習(xí)階梯訓(xùn)練：整式的乘除（優(yōu)生加練）含解析

整式的乘除（優(yōu)生加練）一、單選題1．在矩形ABCD內(nèi)，將兩張邊長(zhǎng)分別為a和b（）的正方形紙片按圖1，圖2兩種方式放置（圖1，圖2中兩張正方形紙片均有部分重疊），矩形中未被這兩張正方形紙片覆蓋的部分用陰影表示，設(shè)圖1中陰影部分的面積為，圖2中陰影部分的面積為.當(dāng)時(shí)，的值是（）A． B． C． D．2．記，則（）A．一個(gè)偶數(shù) B．一個(gè)質(zhì)數(shù)C．一個(gè)整數(shù)的平方 D．一個(gè)整數(shù)的立方3．已知，，…，都是正數(shù)，如果M＝（++…+）（++…+），N＝（++…+）（++…+），那么M，N的大小關(guān)系是（）A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．不確定4．如圖，大正方形的邊長(zhǎng)為，小正方形的邊長(zhǎng)為，，表示四個(gè)相同長(zhǎng)方形的兩邊長(zhǎng)（）.則①；②；③；④，中正確的是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④5．我國(guó)宋朝數(shù)學(xué)家楊輝1261年的著作《詳解九章算法》給出了在為非負(fù)整數(shù)）的展開式中，把各項(xiàng)系數(shù)按一定的規(guī)律排成右表（展開后每一項(xiàng)按的次數(shù)由大到小的順序排列）．人們把這個(gè)表叫做“楊輝三角”．據(jù)此規(guī)律，則展開式中含項(xiàng)的系數(shù)是A．2016 B．2017 C．2018 D．20196．在求的值時(shí)，小林發(fā)現(xiàn)：從第二個(gè)加數(shù)起每一個(gè)加數(shù)都是前一個(gè)加數(shù)的6倍，于是她設(shè)：……①然后在①式的兩邊都乘以6，得：……②②-①得，即，所以.得出答案后，愛動(dòng)腦筋的小林想：如果把“6”換成字母“a”(a≠0且a≠1)，能否求出的值?你的答案是（）A． B． C． D．7．若A＝(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1，則A的末位數(shù)字是()A．2 B．4 C．6 D．88．已知a，b，c為非零的實(shí)數(shù)，則的可能值的個(gè)數(shù)為（）A．4 B．5 C．6 D．79．不論x、y為什么實(shí)數(shù)，代數(shù)式x2+y2+2x﹣4y+7的值（）A．總不小于2 B．總不小于7C．可為任何實(shí)數(shù) D．可能為負(fù)數(shù)10．方程（x2+x﹣1）x+3=1的所有整數(shù)解的個(gè)數(shù)是（）A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)二、填空題11．?dāng)?shù)學(xué)活動(dòng)課上，小明同學(xué)嘗試將正方形紙片剪去一個(gè)小正方形，剩余部分沿虛線剪開，拼成新的圖形?，F(xiàn)給出下列3種不同的剪、拼方案，其中能夠驗(yàn)證平方差公式的方案是。(請(qǐng)?zhí)钌险_的序號(hào))12．已知下列等式：；①；②；③；④……由此規(guī)律，則．13．我國(guó)宋朝數(shù)學(xué)家楊輝在他的著作解：九章算法中提出“楊輝三角”如圖，此圖揭示了為非負(fù)整數(shù)展開式的項(xiàng)數(shù)及各項(xiàng)系數(shù)的有關(guān)規(guī)律.例如：，它只有一項(xiàng)，系數(shù)為1；系數(shù)和為1；，它有兩項(xiàng)，系數(shù)分別為1，1，系數(shù)和為2；，它有三項(xiàng)，系數(shù)分別為1，2，1，系數(shù)和為4；，它有四項(xiàng)，系數(shù)分別為1，3，3，1，系數(shù)和為8；，則的展開式共有項(xiàng)，系數(shù)和為.14．觀察、歸納：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；…請(qǐng)你根據(jù)以上等式的規(guī)律，完成下列問題：⑴（x﹣1）（xn+…+x2+x+1）＝﹣1；⑵計(jì)算：1+2+22+…+22019＝．15．如圖1是一個(gè)長(zhǎng)為4a、寬為b的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線用剪刀平均分成四塊小長(zhǎng)方形，然后用四塊小長(zhǎng)方形拼成的一個(gè)“回形”正方形（如圖2）．①圖2中的陰影部分的面積為；②觀察圖2請(qǐng)你寫出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之間的等量關(guān)系是；③根據(jù)（2）中的結(jié)論，若x+y=5，x?y=，則（x﹣y）2=；④實(shí)際上通過計(jì)算圖形的面積可以探求相應(yīng)的等式．如圖3，你發(fā)現(xiàn)的等式是．16．已知a1=，a2=，a3=，…，an=，Sn=a1?a2…an，則S2015=.三、解答題17．小張和小李玩猜數(shù)游戲，小張說：“你隨便選三個(gè)一位數(shù)按這樣的步驟去運(yùn)算，①把第一個(gè)數(shù)乘5；②再加上10；③把所得結(jié)果乘以2；④加上第二個(gè)數(shù)；⑤把所得結(jié)果乘以10；⑥加上第三個(gè)數(shù)；只要你告訴我最后的得數(shù)，我就能知道你所想的三個(gè)一位數(shù)．”小李按照以上步驟試了幾次，過程如下：

小李選定了1，2，3小張選定了5，6，7①②③④⑤⑥小張介紹了他的計(jì)算奧秘：將最后的得數(shù)減去200，所得的結(jié)果百位數(shù)就是第一個(gè)數(shù)，十位數(shù)就是第二個(gè)數(shù)，個(gè)位數(shù)就是第三個(gè)數(shù)．探究一：證明小張想法的符合題意性

小李選定了，，①②③④⑤⑥小張將最后的得數(shù)減去200：，所以結(jié)果百位數(shù)就是第一個(gè)數(shù)，十位數(shù)就是第二個(gè)數(shù)，個(gè)位數(shù)就是第三個(gè)數(shù)．小李聽完后深受啟發(fā)也設(shè)計(jì)了自己的運(yùn)算程序，讓小張隨便選三個(gè)一位數(shù)按這樣的步驟去運(yùn)算：①把第一個(gè)數(shù)乘5，再加上5；②把第二個(gè)數(shù)乘20，再加上2；③將①的運(yùn)算結(jié)果與②的運(yùn)算結(jié)果相乘，再加上第三個(gè)數(shù)；④減去第一個(gè)數(shù)與第二個(gè)數(shù)乘積的100倍．小李說：“只要小張告訴我最后的得數(shù)，我就能知道小張一開始所想的三個(gè)一位數(shù)。”小李是如何知道的呢？請(qǐng)你模仿探究一的證明過程填寫下表：探究二：證明小李想法的符合題意性

設(shè)小張選定的三個(gè)數(shù)為，，①②③④請(qǐng)介紹小李的計(jì)算奧秘，描述：你是怎樣由最后的得數(shù)，識(shí)別出最初選定的三個(gè)一位數(shù)的？18．證明：在a+b+c=0時(shí)，a3+b3+c3=3abc．19．如圖，正方形和的邊長(zhǎng)分別為、，試用、的代數(shù)式表示三角形的面積．20．教材中，在計(jì)算如圖1所示的正方形ABCD的面積時(shí)，分別從兩個(gè)不同的角度進(jìn)行了操作：

（1）把它看成是一個(gè)大正方形，則它的面積為；

（2）把它看成是2個(gè)小長(zhǎng)方形和2個(gè)小正方形組成的，則它的面積為；因此，可得到等式：.①類比教材中的方法，由圖2中的大正方形可得等式：.②試在圖2右邊空白處畫出面積為的長(zhǎng)方形的示意圖（標(biāo)注好a、b），由圖形可知，多項(xiàng)式可分解因式為：．在上方空白處畫出②中的示意圖③若將代數(shù)式展開后合并同類項(xiàng)，得到多項(xiàng)式N，則多項(xiàng)式N的項(xiàng)數(shù)一共有項(xiàng).21．解答發(fā)現(xiàn)：（1）當(dāng)a＝3，b＝2時(shí)，分別求代數(shù)式（a＋b）2和a2＋2ab＋b2的值，并觀察這兩個(gè)代數(shù)式的值有什么關(guān)系？

（2）再多找?guī)捉M你喜歡的數(shù)試一試，從中你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

（3）利用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計(jì)算a＝1.625，b＝0.375時(shí)，a2＋2ab＋b2的值？22．5a－{－3b＋[6c－2a－(a－c)]}－[9a－(7b＋c)]四、綜合題23．我國(guó)古代數(shù)學(xué)的許多發(fā)現(xiàn)都曾位居世界前列，其中“楊輝三角”就是一例.如圖，這個(gè)三角形的構(gòu)造法則:兩腰上的數(shù)都是1，其余每個(gè)數(shù)均為其上方左右兩數(shù)之和，它給出了為正整數(shù))的展開式(按的次數(shù)由大到小的順序排列)的系數(shù)規(guī)律.例如，在三角形中第三行的三個(gè)數(shù)1，2，1，恰好對(duì)應(yīng)展開式中的系數(shù);第四行的四個(gè)數(shù)1，3，3，1，恰好對(duì)應(yīng)展開式中的系數(shù).（1）根據(jù)上面的規(guī)律，寫出的展開式;（2）利用上面的規(guī)律計(jì)算:.24．觀察下列算式。（x-2）（x-3）=x2-5x+6；（x+5）（x-2）=x2+3x-10；（x+3）（x+6）=x2+9x+18；（x+9）（x-10）=x2-x-90；……（1）如上面算式中的兩個(gè)一次二項(xiàng)式相乘，結(jié)果是一個(gè)次項(xiàng)式；其中一次項(xiàng)的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)分別和原來的兩個(gè)二項(xiàng)式的常數(shù)項(xiàng)具有怎樣的關(guān)系？從上面的計(jì)算中總結(jié)規(guī)律，寫出下式的結(jié)果:（x+a）（x+b）=.（2）請(qǐng)利用你的結(jié)論直接寫出下列兩個(gè)二項(xiàng)式相乘的結(jié)果：（x+5）（x-1）=（x+11）（x-30）=.25．7張如圖1的長(zhǎng)為a，寬為b（a＞b）的小長(zhǎng)方形紙片，按如圖2、3的方式不重疊地放在矩形ABCD內(nèi)，未被覆蓋的部分（兩個(gè)矩形）用陰影表示．（1）如圖2，點(diǎn)E、Q、P在同一直線上，點(diǎn)F、Q、G在同一直線上，右下角與左上角的陰影部分的面積的差為（用含a、b的代數(shù)式表示），矩形ABCD的面積為（用含a、b的代數(shù)式表示）；（2）如圖3，點(diǎn)F、H、Q、G在同一直線上，設(shè)右下角與左上角的陰影部分的面積的差為S，PC＝x．當(dāng)BC的長(zhǎng)度變化時(shí)，按照同樣的放置方式，S始終保持不變，那么a、b必須滿足什么條件？

答案解析部分【解析】【解答】解：∵，，∴.故答案為：B.【分析】利用割補(bǔ)法表示出和，然后作差，利用整式的混合運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)即可得出結(jié)果.【解析】【解答】解：∵，∴，∴，∴，∴，∴是一個(gè)整數(shù)的平方；故答案為：C.

【分析】本題利用平方差公式計(jì)算即可，關(guān)鍵在等式兩邊同時(shí)乘（3-1）?！窘馕觥俊窘獯稹拷猓涸O(shè)∵，，…，都是正數(shù)∴∴故答案為：A.【分析】設(shè)，可得，再根據(jù)，，…，都是正數(shù)即可判斷.【解析】【解答】解：由圖得x-y=n,x+y=m,

則(x-y)(x+y)=x2-y2=mn,

x-y+x+y=2x=m+n,

(x+y)-(x-y)=2y=m-n,

∴4xy=(m+n)(m-n)=m2-n2,

∴,

∴

∴①②③正確，④錯(cuò)誤；

故答案為：A.

【分析】根據(jù)圖示把m、n用含x、y的代數(shù)式表示，兩式結(jié)合，把x,y用m,n的代數(shù)式表示，根據(jù)x、y的值分別求出各選項(xiàng)左式的結(jié)果再比較即可判斷?！窘馕觥俊窘獯稹拷猓河深}意，，可知，展開式中第二項(xiàng)為展開式中含項(xiàng)的系數(shù)是2019.故答案為：D.【分析】根據(jù)表中系數(shù)找出規(guī)律，根據(jù)x2018是（x+1）2019的展開式中的第二項(xiàng)，即可可解決問題.【解析】【解答】∵M(jìn)=1+a+a2+a3+a4+…+a2018①，∴aM=a+a2+a3+a4+…+a2014+a2019②，②-①，可得aM-M=a2019-1，即（a-1）M=a2019-1，∴M=.故答案為：B.

【分析】設(shè)M=1+a+a2+a3+a4+…+a2018①，將等式兩邊分別誠(chéng)意a,可得aM=a+a2+a3+a4+…+a2014+a2019②，利用等式性質(zhì)用②-①即可求出M的值.【解析】【解答】解：∵A=(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1，∴A＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1，＝(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1，＝(24－1)(24＋1)(28＋1)＋1，＝(28－1)(28＋1)＋1，＝216－1＋1，＝216.

∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，

∴末位數(shù)字以4為周期，

∴16=4×4，

∴216的末位數(shù)字是6，

∴原式末位數(shù)字是6.

故答案為：C.

【分析】將原式轉(zhuǎn)化成A＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1，利用平方差公式計(jì)算即可得A=216，再以2的冪的末位數(shù)字以4為周期，由16=4×4得原式末位數(shù)字.【解析】【解答】解：①a、b、c三個(gè)數(shù)都是正數(shù)時(shí)，a＞0，ab＞0，ac＞0，bc＞0，原式=1+1+1+1=4；②a、b、c中有兩個(gè)正數(shù)時(shí)，設(shè)為a＞0，b＞0，c＜0，則ab＞0，ac＜0，bc＜0，原式=1+1﹣1﹣1=0；設(shè)為a＞0，b＜0，c＞0，則ab＜0，ac＞0，bc＜0，原式=1﹣1+1﹣1=0；設(shè)為a＜0，b＞0，c＞0，則ab＜0，ac＜0，bc＞0，原式=﹣1﹣1﹣1+1=﹣2；③a、b、c有一個(gè)正數(shù)時(shí)，設(shè)為a＞0，b＜0，c＜0，則ab＜0，ac＜0，bc＞0，原式=1﹣1﹣1+1=0；設(shè)為a＜0，b＞0，c＜0，則ab＜0，ac＞0，bc＜0，原式=﹣1﹣1+1﹣1=﹣2；設(shè)為a＜0，b＜0，c＞0，則ab＞0，ac＜0，bc＜0，原式=﹣1+1﹣1﹣1=﹣2；④a、b、c三個(gè)數(shù)都是負(fù)數(shù)時(shí)，即a＜0，b＜0，c＜0，則ab＞0，ac＞0，bc＞0，原式=﹣1+1+1+1=2．綜上所述：的可能值的個(gè)數(shù)為4．故答案為：A．【分析】需要分類討論：①a、b、c三個(gè)數(shù)都是正數(shù)時(shí)，②a、b、c中有兩個(gè)正數(shù)時(shí)，設(shè)為a＞0，b＞0，c＜0，設(shè)為a＞0，b＜0，c＞0，設(shè)為a＜0，b＞0，c＞0，③a、b、c有一個(gè)正數(shù)時(shí)，設(shè)為a＞0，b＜0，c＜0，設(shè)為a＜0，b＞0，c＜0，設(shè)為a＜0，b＜0，c＞0，④a、b、c三個(gè)數(shù)都是負(fù)數(shù)時(shí)，分別根據(jù)有理數(shù)的乘法法則，及絕對(duì)值的意義去絕對(duì)值符號(hào)，再約分即可一一算出答案?！窘馕觥俊窘獯稹拷猓簒2+y2+2x﹣4y+7=（x2+2x+1）+（y2﹣4y+4）+2=（x+1）2+（y﹣2）2+2，∵（x+1）2≥0，（y﹣2）2≥0，∴（x+1）2+（y﹣2）2+2≥2，∴x2+y2+2x﹣4y+7≥2．故答案為：A．【分析】平方具有非負(fù)性，（x+1）2最小是0，（y﹣2）2最小是0，（x+1）2+（y﹣2）2+2最小是2，即總不小于2【解析】【解答】解：（1）當(dāng)x+3=0，x2+x﹣1≠0時(shí)，解得x=﹣3；（2）當(dāng)x2+x﹣1=1時(shí)，解得x=﹣2或1．（3）當(dāng)x2+x﹣1=﹣1，x+3為偶數(shù)時(shí)，解得x=﹣1因而原方程所有整數(shù)解是﹣3，﹣2，1，﹣1共4個(gè)．故答案為：B．【分析】解本題關(guān)鍵要知道：任何非零的數(shù)0次冪為1，1的任何次冪都為1；-1的偶數(shù)次冪也為1.本題的易錯(cuò)點(diǎn)為丟解.【解析】【解答】解：①陰影部分的面積=a2-b2，拼湊的矩形的面積=（a+b）（a-b），

∴a2-b2=（a+b）（a-b）；

②陰影部分的面積=a2-b2，如圖，先取點(diǎn)，再作ME⊥AD，NF⊥AD，

∵M(jìn)E=AE=NF=DF，AE+FD=ME+NF=a-b，

∴拼湊的平行四邊形的面積=（a+b）（a-b），

∴a2-b2=（a+b）（a-b）；

③陰影部分的面積=a2-b2，拼湊的矩形的面積=（a+b）2b≠（a+b）（a-b）；

故答案為：①②.

【分析】看圖先把陰影部分的面積表示出來，再根據(jù)矩形的面積公式或平行四邊形的面積公式分別求出拼湊而成的面積，兩者比較即可判斷.【解析】【解答】解：∵①；②；③；④，……，∴，∴13+23+33+…+503-(13+23+33+…+203)=(1+2+3+…+50)2-(1+2+3+…+20)2=12752-2102=1581525．故答案為：1581525．

【分析】首先根據(jù)前4項(xiàng)的結(jié)果推出一般規(guī)律：，然后把原式變形為n=50和n=20時(shí)的兩個(gè)等式之差，再利用平方差公式計(jì)算即可.【解析】【解答】解：根據(jù)規(guī)律可得，（a+b）n共有（n+1）項(xiàng)，∵1=201+1=211+2+1=221+3+3+1=23∴（a+b）n各項(xiàng)系數(shù)的和等于2n故答案為：n+1，2n【分析】本題通過閱讀理解尋找規(guī)律，觀察可得（a+b）n（n為非負(fù)整數(shù)）展開式的各項(xiàng)系數(shù)的規(guī)律：首尾兩項(xiàng)系數(shù)都是1，中間各項(xiàng)系數(shù)等于（a+b）n-1相鄰兩項(xiàng)的系數(shù)和.因此根據(jù)項(xiàng)數(shù)以及各項(xiàng)系數(shù)的和的變化規(guī)律，得出（a+b）n的項(xiàng)數(shù)以及各項(xiàng)系數(shù)的和即可.【解析】【解答】解：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；…根據(jù)以上等式的規(guī)律可得：（1）（x﹣1）（xn+…+x2+x+1）＝xn+1﹣1；（2）原式＝（2﹣1）（1+2+22+…+22019）＝22020﹣1，故答案為：xn+1，22020﹣1．【分析】（1）由前3個(gè)式子歸納總結(jié)得到一般性規(guī)律，寫出即可；（2）在所求的式子的左邊乘以(2－1)，再利用得出的規(guī)律計(jì)算即可求出值．【解析】【解答】解：①（b﹣a）2；②（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab；③當(dāng)x+y=5，x?y=時(shí)，（x﹣y）2=（x+y）2﹣4xy=52﹣4×=16；④（a+b）?（3a+b）=3a2+4ab+b2．【分析】①表示出陰影部分正方形的邊長(zhǎng)，然后根據(jù)正方形的面積公式列式即可；②根據(jù)大正方形的面積減去小正方形的面積等于四個(gè)小長(zhǎng)方形的面積列式即可；③將（x﹣y）2變形為（x+y）2﹣4xy，再代入求值即可；④根據(jù)大長(zhǎng)方形的面積等于各部分的面積之和列式整理即可．【解析】【解答】解：…故答案為：【分析】利用平方差公式將各式變形，可得規(guī)律an=，據(jù)此將進(jìn)行變形，然后約分即可.【解析】【分析】（1）①根據(jù)題意列出算式即可；②根據(jù)題意列出算式即可；③根據(jù)題意列出算式即可；④根據(jù)題意列出算式即可；

（2）根據(jù)（1）的數(shù)據(jù)可得：將最后的得數(shù)減去10，即-10=?！窘馕觥俊痉治觥坷霉絘3+b3+c3-3abc=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-ac-bc），由a+b+c=0即可得證.【解析】【分析】根據(jù)題意，可以得到關(guān)系：利用S＝S正方形ABCD＋S正方形CEFG?S△BEF?S△ABE?S△DGF.根據(jù)三角形和正方形面積的求法，可以得到S＝m2＋n2?（m＋n）?n?m2?n?（n?m），化解即可．【解析】【解答】解：⑵①根據(jù)圖2，利用直接求與間接法分別表示出正方形面積，即可確定出所求等式；②根據(jù)長(zhǎng)方形的面積公式與長(zhǎng)，寬之間的關(guān)系畫出圖形即可；③由，共有項(xiàng).共有項(xiàng).知展開后合并同類項(xiàng)共【分析】根據(jù)多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)與另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)相乘，再把所得的積