中考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)-等腰三角形、直角三角形及解直角三角形解析版

中考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)-等腰三角形、直角三角形及解直角三角形一、單選題1．在中，，，則的值是（）A． B． C． D．2．如圖是一架人字梯，已知AB＝AC＝2米，AC與地面BC的夾角為a，則兩梯腳之間的距離BC為（）A．4cosa B．4sina C．4tana D．3．如圖，中，，，若將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，則在點運動過程中，線段的最小值為（）A．1 B． C． D．24．如圖，在ABC中，AB=AC，D是BC的中點，∠B=35°，則∠BAD=（）A．110° B．70° C．55° D．35°5．如圖，在30°直角三角板ABC中，點M是斜邊AB邊上的中點，將三角板繞直角頂點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到△A′B′C，若AC＝6，則點M經(jīng)過的的路徑長為（）A．6 B．2π C．3π D．4π6．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AC的垂直平分線交AC于點D，交BC于點E，交BA的延長線于點F，若，則BF的長為（）A． B．3 C． D．7．如圖，已知點D，E，F(xiàn)分別在△ABC的三邊上，將△ABC沿DE，DF翻折，頂點B，C均落在△ABC內(nèi)的點O處，且BD與CD重合于線段OD，若∠AEO+∠AFO=58°，則∠A的度數(shù)為（）A．58° B．59° C．60° D．61°8．已知為圓的直徑，為圓周上一點，，．則的度數(shù)為（）A．10° B．15° C．20° D．30°9．圖1是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會（ICME）的會徽，在其主體圖案中選擇兩個相鄰的直角三角形，恰好能組合得到如圖2所示的四邊形OABC.若AB=BC=1,∠AOB=α，則OC2的值為（）A． B． C． D．10．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，以A為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交AC，AB于點M，N，再分別以M，N為圓心，大于MN長為半徑畫弧，兩弧交于點O，作射線AO，交BC于點E．已知CE＝3，BE＝5，則AC的長為（）A．8 B．7 C．6 D．511．如圖，四邊形ABCD是一張平行四邊形紙片，其高AG＝2cm，底邊BC＝6cm，∠B＝45°，沿虛線EF將紙片剪成兩個全等的梯形，若∠BEF＝30°，則AF的長為（）A．1cm B．cmC．（2﹣3）cm D．（2﹣）cm12．如圖，明年舟山將再添一個最高顏值城市新地標(biāo)，新城長峙島上將矗立起一座摩天輪，其直徑為90m，旋轉(zhuǎn)1周用時15min．小明從摩天輪的底部（與地面相距0.5m）出發(fā)開始觀光，摩天輪轉(zhuǎn)動1周，小明在離地面68m以上的空中有多長時間？（）A．3min B．5min C．6min D．10min13．如圖，在中，，，為邊的中點，，繞點旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交和的延長線于，，當(dāng)點在延長線上時，，，的關(guān)系為（）A．= B．=C．= D．=14．如圖，中，，，點D是邊上一動點，連接，以為直徑的圓交于點E.若長為4，則線段長的最小值為（）A． B．C． D．15．如圖，ABC和ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，ABC的頂點A在ECD的斜邊DE上．下列結(jié)論不正確的是（）A．ACE≌BCD B．∠DAB＝45°C．AD＋DB＝DE D．ABD是直角三角形16．如圖，中，，，，垂足為Q，延長MN至G，取，若的周長為12，，則周長是（）A．8＋2m B．8＋m C．6＋2m D．6＋m17．如圖，已知四邊形是邊長為4的正方形，以對角線為邊作正三角形，過點作，交的延長線于點，則的長是（）A． B． C． D．18．如圖，將一個等腰直角三角形△ABC按如圖方式折疊，若DE=a，DC=b，下列四個結(jié)論：①DC′平分∠BDE；②BC長為2a+b；③△BDC′是等腰三角形；④△CED的周長等于BC的長.其中，正確的是（）A．①②④ B．②③④ C．②③ D．②④19．著名畫家達(dá)·芬奇用三個正方形和三個全等的直角三角形拼成如下圖形證明了勾股定理，其中,連結(jié)HF,CJ,得到4個全等的四邊形HFGI,四邊形HFBA,四邊形CJEA,四邊形JCBD.CJ分別交AB,ED于點M,N,若,且,則HF的長為（）A． B． C． D．20．如圖，菱形中，，.以A為圓心，長為半徑畫，點P為菱形內(nèi)一點，連，，.若，且，則圖中陰影部分的面積為（）A． B．C． D．二、填空題21．如圖，在△ABC中，AB=AC，BC=3+，∠BAC=90°，點D、E都在邊BC上，∠DAE=45°．若BD=2CE，則DE的長是。22．疫情期間，小紅在家里在圖1所示的平板支架上網(wǎng)課，圖2是她觀看網(wǎng)課的側(cè)面示意圖，已知平板寬度AB＝20cm，支架底板寬度CD＝AB，支撐角∠ABC＝60°，支撐板CE＝BE＝6cm，小紅坐在距離支架底板20cm處觀看（即DF＝20cm），Q點是AB中點.當(dāng)視線PQ與屏幕AB垂直時，小紅的眼睛距離桌面的高度PF等于cm；當(dāng)落在屏幕中點的視線與屏幕構(gòu)成的夾角（指銳角或直角）不小于75°時，能使觀看平板視頻的效果最佳，為保證最佳的觀看效果，小紅眼睛距離桌面的最大高度和最小高度的差等于cm.23．如圖所示，在中，是AD邊的中點，是AB邊上的一動點，將沿MN所在直線翻折得到，連結(jié)，則長度的最小值是.24．如圖，在?ABCD中，AD＝2，AB＝4，∠A＝30°，以點A為圓心，AD的長為半徑畫弧交AB于點E，連接CE，則陰影部分的面積是（結(jié)果保留π）.25．某中學(xué)九年級數(shù)學(xué)興趣小組想測量建筑物AB的高度.他們在C處仰望建筑物頂端，測得仰角為48°，再往建筑物的方向前進(jìn)6米到達(dá)D處，測得仰角為64°，則建筑物的高度米.（測角器的高度忽略不計，結(jié)果精確到0.1米）（參考數(shù)據(jù)：sin48°≈，tan48°≈，sin64°≈，tan64°≈2）26．如圖，把一副三角板按如圖放置，∠ACB＝∠ADB＝90°，∠CAB＝30°，∠DAB＝45°，點E是AB的中點，連結(jié)CE，DE，DC．若AB＝6，則?DEC的面積為27．如圖,在中,,延長線段BC至點使,連接AD.若點是線段BC上一個動點,過點作交AB于點,連接AP,則當(dāng)?shù)拿娣e最大時,BP的長度為.28．圖1是一個八角星形紙板，圖中有八個直角，八個相等的鈍角，每條邊都相等.如圖2將紙板沿虛線進(jìn)行切割，無縫隙無重疊的拼成圖3所示的大正方形，其面積為8+，則圖3中線段AB的長為.29．如圖，在△AB1C1中，AC1＝B1C1，∠C1＝20°，在B1C1上取一點C2，延長AB1到點B2，使得B1B2＝B1C2，在B2C2上取一點C3，延長AB2到點B3，使得B2B3＝B2C3，在B3C3上取一點C4，延長AB3到點B4，使得B3B4＝B3C4，……，按此操作進(jìn)行下去，那么第2個三角形的內(nèi)角∠AB2C2＝°；第n個三角形的內(nèi)角∠ABnCn＝°．30．小聰在研究題目“如圖，在等腰三角形ABC中，，，的平分線與AB的垂直平分線OD交于點O，點C沿直線EF折疊后與點O重合，你能得出那些結(jié)論？”時，發(fā)現(xiàn)了下面三個結(jié)論：①；②圖中沒有60°的角；③D、O、C三點共線．請你直接寫出其中正確的結(jié)論序號：三、解答題31．已知，如圖AC平分∠BAD，CE⊥AB于E點，CF⊥AD于F點，且BC=DC.求證：BE=DF.32．某一天，小明和小亮想利用所學(xué)過的測量知識來測量G棵古樹的高度AB．他們帶著測量工具來到這棵古樹前，由于有圍欄保護(hù)，他們無法到達(dá)古樹的底部B，如圖所示，于是他們先在古樹周圍的空地上選擇一點D，通過測傾器測得樹的頂端A的仰角為45°，再在BD的延長線上確定一點F，使DF=5米，并在F處通過測傾器測得樹的頂端A的仰角為30°，測傾器的高度CD=EF=1米已知點FD、B在同一水平直線上，且EF、CD、AB均垂直于FB，則這棵古樹的高度AB為多少米？（結(jié)果保留根號）33．如圖，在某小區(qū)內(nèi)拐角處的一段道路上，有一兒童在C處玩耍，一輛汽車從被樓房遮擋的拐角另一側(cè)的A處駛來，已知CM＝3m，CO＝5m，DO＝3m，∠AOD＝70°，汽車從A處前行多少米才能發(fā)現(xiàn)C處的兒童（結(jié)果保留整數(shù)）？（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75；sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）34．探究與發(fā)現(xiàn)：如圖①，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D在底邊BC上，AE=AD，連結(jié)DE.（1）當(dāng)∠BAD=60°時，求∠CDE的度數(shù)；（2）當(dāng)點D在BC（點B、C除外）上運動時，試猜想并探究∠BAD與∠CDE的數(shù)量關(guān)系；（3）深入探究：若∠BAC≠90°，試就圖②探究∠BAD與∠CDE的數(shù)量關(guān)系.35．如圖是一個小商場的縱截面圖（矩形），是商場的頂部，是商場的地面，地面由邊長為的正方形瓷磚鋪成，從到共有塊瓷磚，和是商場的兩面墻壁，是頂部正中央的一個長方形的燈飾（）.小張同學(xué)想通過學(xué)過的幾何知識來測量該商場的高度（）和燈飾的長度（），于是去商場時帶了一塊鏡子和一根激光筆，他先把激光筆掛在墻壁距地面兩塊磚高度（的長）的處，鏡子水平放在地面距離兩塊磚的處，發(fā)現(xiàn)激光筆的反射光照到了處；再把激光筆掛在墻壁距地面兩塊磚高度（的長）的處，鏡子水平放在地面距離三塊磚的處，發(fā)現(xiàn)激光筆的反射光恰好又照到了處，請你幫忙計算的高度和的長度.36．問題背景：如圖1，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，作AD⊥BC于點D，則D為BC的中點，∠BAD=∠BAC=60°，于是==；遷移應(yīng)用：如圖2，△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC=∠DAE=120°，D，E，C三點在同一條直線上，連接BD．①求證：△ADB≌△AEC；②請直接寫出線段AD，BD，CD之間的等量關(guān)系式；拓展延伸：如圖3，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，在∠ABC內(nèi)作射線BM，作點C關(guān)于BM的對稱點E，連接AE并延長交BM于點F，連接CE，CF．①證明△CEF是等邊三角形；②若AE=5，CE=2，求BF的長．37．將兩個等腰直角三角形紙片和放在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A坐標(biāo)為，，，，并將會繞點O順時針旋轉(zhuǎn)．

（Ⅰ）當(dāng)旋轉(zhuǎn)至如圖①的位置時，，求此時點C的坐標(biāo)；（Ⅱ）如圖②，連接，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到y(tǒng)軸的右側(cè)，且點B，C，D三點在一條直線上時，求的長；（Ⅲ）當(dāng)旋轉(zhuǎn)到使得的度數(shù)最大時，求的面積（直接寫出結(jié)果即可）．四、綜合題38．愛好思考的小實在探究兩條直線的位置關(guān)系查閱資料時發(fā)現(xiàn)，兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”，如圖1、圖2、圖3中，AF、BE是△ABC的中線，AF⊥BE于點P，像△ABC這樣的三角形均為“中垂三角形”，設(shè)BC＝a，AC＝b，AB＝c.（1）【特例探究】①如圖1，當(dāng)tan∠PAB＝1，時，a＝，b＝.②如圖2，當(dāng)∠PAB＝30°，c＝4時，a＝，b＝.（2）【歸納證明】請你觀察（1）中的計算結(jié)果，猜想、、三者之間的關(guān)系，用等式表示出來，并利用圖3證明你的結(jié)論.（3）【拓展證明】如圖4，在△ABC中，，，D、E、F分別是邊AB、AC、BC的中點，連結(jié)DE并延長至點G，使得GE＝DE，連結(jié)BG.若BG⊥AC于點M時，求GF的長.39．如圖，是邊長為的等邊三角形，動點P，Q同時從A，B兩點出發(fā)，分別沿AB，BC方向勻速移動，它們的速度都是，當(dāng)點到達(dá)點時，P，Q兩點停止運動，設(shè)點的運動時間為，解答下列問題：（1）求的面積.（2）當(dāng)為何值時，是直角三角形？（3）是否存在某一時刻，使四邊形APQC的面積是面積的？如果存在，求出的值;如果不存在，請說明理由.

答案解析部分【解析】【解答】解：由tanA==2，設(shè)BC=2x，則AC=x，∵Rt△ABC中，∠C=90°，∴根據(jù)勾股定理，得AB=，因此，sinA=，故答案為：C．

【分析】根據(jù)，設(shè)BC=2x，則AC=x，再利用勾股定理求出AB的長，最后利用正弦的定義求解即可?！窘馕觥俊窘獯稹拷猓喝鐖D，作AH⊥BC，

又∵AB=AC，

∴BC=2HC

∵HC=ACcosa=2cosa，

∴BC=2HC=4cosa.

故答案為：A.

【分析】作AH⊥BC，利用銳角三角函數(shù)定義求出HC長，再利用等腰三角形的性質(zhì)求BC長即可.【解析】【解答】如圖，在AB上截取AQ=AO=1，連接DQ，∵將AD繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，∴∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE，在△AQD和△AOE中，，∴△AQD≌△AOE(SAS)，∴QD=OE，∵D點在線段BC上運動，∴當(dāng)QD⊥BC時，QD的值最小，即線段OE2有最小值，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B=45°，∵QD⊥BC，∴△QBD是等腰直角三角形，∵AB=AC=3，AO=1，∴QB=2，∴由勾股定理得QD=QB=，∴線段OE有最小值為，故答案為：B．

【分析】先證明△AQD≌△AOE得出QD=OE，當(dāng)QD⊥BC時，QD的值最小，即線段OE2有最小值，判定△QBD是等腰直角三角形，由勾股定理得QD=QB=，即可得線段OE有最小值為?！窘馕觥俊窘獯稹拷猓骸逜B＝AC，D是BC的中點，∴AD⊥BC，∵∠B＝35°，∴∠BAD＝90°?35°＝55°.故答案為：C.【分析】由等腰三角形三線合一可得AD⊥BC，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余可求解.【解析】【解答】解：如圖，連接CM，CM'，∵在30°直角三角板ABC中，點M是斜邊AB邊上的中點，∴CM＝，∵∠B＝30°，∴AB＝2AC＝12，∴CM＝6，由題意知，點M的運動路徑為以CM為半徑，點C為圓心的弧，∵將三角板繞直角頂點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到△A′B′C，∴∠MCM'＝90°，∴點M經(jīng)過的的路徑長為，故答案為：C.

【分析】連接CM，CM'，根據(jù)30°所對直角邊等于斜邊一半，斜邊上中線等于斜邊一半，得CM＝，AB＝2AC＝12，進(jìn)而得CM＝6；由題意知，點M的運動路徑為以CM為半徑，點C為圓心的弧，將三角板繞直角頂點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到△A′B′C，即∠MCM'＝90°，根據(jù)弧長的計算公式l=，代入數(shù)據(jù)即可求出點M的運動路徑長.【解析】【解答】解：∵∠BAC=120°，

∴∠FAC=60°，

∵EF垂直平分AC，

∴∠ADF=90°，AC=2AD，

∴∠F=30°，

∴AF=2AD，

∴AB=AC=AF，

∴BF=AB+AF=

故答案為：C.【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及內(nèi)角和定理可得∠B=∠C=30°，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得EA=EC，由等腰三角形的性質(zhì)可得∠EAC=∠C=30°，則∠AEF=60°，∠F=30°，∠BAE=∠EAF=90°，根據(jù)∠B=∠F可得BE=EF，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得BF=2AF，據(jù)此計算.【解析】【解答】解：

連接CO和BO

根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，DB=DC=DO

∴∠BOC=90°，∠OBC+∠OCB=90°

根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，EO=EB，F(xiàn)O=FC

∴∠EBO=∠EOB，∠FOC=∠FCO

∴∠AEO=2∠EBO，∠AFO=2∠FCO

∵∠AEO+∠AFO=58°

∴2∠EBO+2∠FCO=58°

∴∠EBO+∠FCO=29°

∴∠ABC+∠ACB=∠EBO+∠OCB+∠FCO=90°+29°=119°

∴∠A=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-119°=61°故答案為：D.

【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、直角三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，求出答案即可。【解析】【解答】解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵AB為直徑，∴，在中，.故答案為：C.【分析】根據(jù)圓周角定理可得∠DOC=2∠DBC=70°，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠DOC=∠ACO=70°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠OCA=∠CAO=70°，然后根據(jù)內(nèi)角和定理進(jìn)行計算.【解析】【解答】解：∵AB=BC=1，

在Rt△OAB中，sinα=

∴OB=

∵在Rt△BCO中，???OB2+BC2=OC2

∴OC2=()2+12=

故答案為：B????.

【分析】由正弦函數(shù)的定義得sinα=，從而表示出OB的長，再由勾股定理???OB2+BC2=OC2，可表示出OC2，由此得出答案.【解析】【解答】解：如圖，過點E作ET⊥AB交AB與點T

∵由作圖可得，AE平分∠CAB

∴CE=ET，

在Rt△ACE與Rt△ATE中，

AE=AE，CE=TE，

∴Rt△ACE≌Rt△ATE

∴AC=AT

∵CE＝3

∴ET=3

∵BE＝5，ET⊥AB

∴BT=4

設(shè)AC=x，則AT=x

∵在△ABC中，∠C＝90°

∴AC2+BC2=AB2

∴

解得，x=6

故答案為：C.

【分析】根據(jù)作圖過程可得AE平分∠CAB，由角平分線的性質(zhì)可過點E作ET⊥AB交AB與點T，并得到CE=ET，AC=AT，之后運用勾股定理，可建立AC相關(guān)的等式，解出可得到答案.【解析】【解答】解：如圖，過點F作FH⊥BC于點H，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，

又∵FH⊥BC，AG⊥BC，

∴∠AGH=∠AFH=∠FHG=∠GAF=90°

∴四邊形AGHF是矩形，

∴AF=GH，

在Rt△ABG中，∠B＝45°

∴BG=AG=2cm

∵沿虛線EF將紙片剪成兩個全等的梯形

∴設(shè)AF=GH=EC=xcm

∴HE=BC-BG-GH-EC=6-2-x-x=（4-2x）cm

∵FH=AG=2cm

在Rt△EFH中，∠BEF＝30°

∴cm

∴

∴

即cm

故答案為：D.

【分析】由等腰直角三角形得出BG的長，由全等梯形得出HE用含x的式子表示，利用30度的直角三角形三邊比例關(guān)系，得出方程，從而得出結(jié)果.【解析】【解答】解：如圖，設(shè)C，D兩點到地面距離為68m，過C作CE⊥地面于E，B為摩天輪最低點，連接OB交地面于A，延長BO交CD于M，

則OB=，AB=0.5m

連接CD

∵CD//地面內(nèi)的AE

OA⊥AE

∴OA⊥CD于M

∵AM=CE=68

∴OM=AM-0B-AB=68-45-0.5=22.5

∴

∴

∴

∴

∵旋轉(zhuǎn)一周共15min

∴從C到D點共min

故答案為：B.

【分析】由題意，得出相關(guān)的一些線段長度，由三角函數(shù)，得出的值，得出的度數(shù)，得出的度數(shù)，從而得出滿足題意時，在空中的時間為15min的三分之一，從而得出結(jié)果。【解析】【解答】解：連接CD，

∵Rt△ABC中，AC=BC，點D為AB的中點，

∴CD=DB，∠DBC=∠ACD=45°，∠CDB=∠EDF=90°，

∴∠DCE=180°-45°=135°，∠DBF=180°-45°=135°，

∴∠DCE=∠DBF，

在△CDE和△BDF中，

∴△CDE≌△BDF（ASA）

∴，

∴.故答案為：A.

【分析】連接CD，利用等腰直角三角形的性質(zhì)可證得CD=DB，∠DBC=∠ACD=45°，∠CDB=∠EDF=90°，由此可推出∠CDE=∠BDF，再利用ASA證明△CDE≌△BDF，利用全等三角形的面積相等，可得到，由此可證得結(jié)論.【解析】【解答】解：如圖，連接CE，由CD為直徑，∴點E在以BC的中點O為圓心，BC為直徑的上運動，連接AO，交于點E，則此時AE=AO-OE最小，，，故答案為：D.【分析】連接CE，由圓周角定理可得∠CED=∠BEC=90°，連接AO，交于點E，則此時AE=AO-OE最小，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠ABC=∠BAC=45°，根據(jù)三角函數(shù)的概念可得AC=BC=，利用勾股定理求出AO，進(jìn)而可得AE.【解析】【解答】解：∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∴CA=CB，∠CAB=∠CBA=45°，CD=CE，∠E=∠CDE=45°，∵∠ACE+∠ACD=∠ACD+∠BCD，∴∠ACE=∠BCD，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），所以A符合題意；∵∠DAC=∠E+∠ACE，∴∠DAB+∠BAC=∠E+∠ACE，∵∠CAB=∠E=45°，∴∠DAB=∠ACE，而∠ACE不一定是45°，所以B不符合題意；∵△ACE≌△BCD，∴AE=BD，∴AD+DB=AD+AE=DE，所以C符合題意；∵△ACE≌△BCD，∴∠BDC=∠E=45°，∵∠CDE=45°，∴∠ADB=∠ADC+∠BDC=45°+45°=90°，∴△ABD為直角三角形，所以D符合題意．故答案為：B．【分析】先求出∠ACE=∠BCD，再結(jié)合圖形，利用全等三角形的判定與性質(zhì)對每個結(jié)論一一判斷即可?！窘馕觥俊窘獯稹拷猓骸撸?，∴△PMN是等邊三角形，∵，∴QN=PQ=，∠QMN=30°，∠QNM=60°，∵，

∴∠GQN=∠G=30°，QN=NG=，∴∠QMN=∠G=30°，∴QM=QG，∵的周長為12，，∴MN=4，QN=NC=2，QM=QG=m，∴周長是QM+QG+MN+NG=6+2m.故答案為：C.【分析】易得△PMN是等邊三角形，得QN=PQ=MN，∠QMN=30°，∠QNM=60°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠GQN=∠G=30°，QN=NG=MN，推出QM=QG，根據(jù)△MNP的周長可得MN=4，QN=NC=2，QM=QG=m，據(jù)此求解.【解析】【解答】解：如圖，連接EA并延長BD于點O，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ADB=45°，AB=AD，∴A在BD垂直平分線上，∵三角形BDE是等邊三角形，∴∠BED=∠EDB=∠EBD=60°，ED=EB，∴E在BD的垂直平分線上，∴AE是BD的垂直平分線，∴∠DEO=∠DEB=30°，∵∠EDB=60°，∠ADB=45°，∴∠EDA=60°-45°=15°，∴∠EAF=15°+30°=45°，∵，∴∠EFA=90°，∴∠FEA=∠EAF=45°，∴EF=AF，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD=4，∠BAD=90°，由勾股定理得：BD=，即ED=BD=，設(shè)AF=EF=x，則DF=x+4，在Rt△EFD中，由勾股定理得：ED2=EF2+FD2，∴，解得：（是負(fù)數(shù)，不符合題意舍去），即AF=.故答案為：A.【分析】如圖，連接EA并延長BD于點O，由正方形性質(zhì)，得∠ADB=45°，AB=AD，即A在BD垂直平分線上，由三角形BDE是等邊三角形，得∠BED=∠EDB=∠EBD=60°，ED=EB，即E在BD的垂直平分線上，故AE是BD的垂直平分線，得∠DEO=∠DEB=30°；再根據(jù)∠EDB=60°，∠ADB=45°，得∠EDA=15°，進(jìn)而得∠EAF=45°，結(jié)合EF⊥DA，得∠FEA=∠EAF=45°，即EF=AF；在Rt△ABD中，由勾股定理求得BD=，即ED=，再在Rt△EFD中，由勾股定理得，ED2=EF2+FD2，即，解得x即可解決問題.【解析】【解答】解：∵△ABC為等腰直角三角形，∴AB=AC=BC，∠ABC=∠C=45°，∵Rt△ABD折疊得到Rt△EBD，∴∠DBE=∠ABC=22.5°，DE=AD=a，∠DEB=90°，∴△DCE為等腰直角三角形，∴CE=DE=a，∠CDE=45°，∵Rt△DC′E由Rt△DCE折疊得到，∴∠C′DE=∠CDE=45°，∠DC′E=45°，∴∠BDC′=∠DC′E-∠DBE=22.5°，∴DC′不平分∠BDE，所以①錯誤；∵BE=AB=AC=AD+CD=DE+CD=a+b，CE=DE=a，∴BC=BE+CE=a+b+a=2a+b，所以②正確；∵∠DBC=∠BDC′=22.5°，∴△BDC′是等腰三角形，所以③正確；∵△CED的周長=DE+EC+DC=a+a+b=2a+b，∴△CED的周長等于BC的長，所以④正確.故答案為：B.【分析】易得∠ABC=∠C=45°，由折疊得∠DBE=∠ABC=22.5°，DE=AD=a，∠DEB=90°，則△DCE為等腰直角三角形，得CE=DE=a，∠CDE=45°，折疊得∠C'DE=∠CDE=45°，∠DC'E=45°，由∠BDC′=∠DC′E-∠DBE計算出∠BDC′的度數(shù)，據(jù)此判斷①；易得BE=AB=AC=a+b，CE=DE=a，然后根據(jù)BC=BE+CE可判斷②；由∠DBC=∠BDC′=22.5°以及等腰三角形判定定理可判斷③；△CED的周長為DE+EC+DC，進(jìn)而判斷④.【解析】【解答】解：如圖，過點C作CP⊥DE于點P，交AB于點K，如圖所示，

∵4個四邊形HFGI，四邊形HFBA，四邊形CJEA，四邊形JCBD都是全等的，

∴HF=CJ，

∵∠ACB=∠EJD=90°，CB=EJ，AB=ED，

∴△ABC≌△DEJ（HL），

∴CM=EJ，

∵M(jìn)N：CJ=5:9，

∴CM：MN=2:5，

∵AB∥ED，

∴CK：KP=2:5，

∵AB=5，

∴KP=BD=AB=5，

∴CK=2，

設(shè)BC=m，AC=n，CF=m，CH=n，

∴CJ=HF=m+n，

∵AB×CK=AC×BC，

∴mn=10，

在Rt△ABC中，

m2+n2=25，

∴，

∴HF=.

故答案為：D.

【分析】過點C作CP⊥DE于點P，交AB于點K，設(shè)BC=m,AC=n,則可得出CF=,CH=，則有CJ=HF=m+n，然后求出CM：MN=2:5，則可得出CK=2，最后求出mn和m2+n2的值，則可求解.【解析】【解答】解：如圖，過點P作于點M，∵四邊形ABCD是菱形，∴，，∵，，∴，，∴，，在與中，，∴，∴，在中，，∴，，即，解得：，∴.故答案為：C.【分析】過點P作PM⊥AB交于點M，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得∠DAB=∠C=60°，AB=AD=2，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得AM=1，∠APM=60°，則∠PAM=30°，∠PAD=30°，證明△ABP≌△ADP，得到S△ABP=S△ADP，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得AP=2PM，根據(jù)勾股定理求出PM，然后根據(jù)S陰影=S扇形ABD-S△ABP-S△ADP進(jìn)行計算.【解析】【解答】解：將△AEC繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△BAF，

∵△ABC中，AB=AC，

∴點C與點B重合，

∴CE=BF，AE=AF，∠EAC=∠FAB，∠C=∠FBA=45°，

∴∠FAD=∠FAB+∠BAD=∠EAC+∠BAD=90°-∠DAE=45°，∠FBD=∠ABF+∠ABD=45°+45°=90°，

在△FAD和△DAE，

∴

∴△FAD≌△DAE（SAS）

∴DE=DF，

∵BD=2CE，

設(shè)CE=x，則DE=DF=3+-3x

在Rt△BDF中

BF2+BD2=FD2即x2+4x2=（3+-3x）2，

5x2=（3+-3x）2，

解之：（不符合題意）

∴DE=.

故答案為：.

【分析】將△AEC繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△BAF，可知點C與點B重合，可證得CE=BF，AE=AF，∠FBD=90°，∠FAD=∠DAE；利用SAS證明△FAD≌△DAE，利用全等三角形的性質(zhì)可證得DE=DF，設(shè)CE=x，可表示出DF的長，在Rt△BDF中利用勾股定理建立關(guān)于x的方程，解方程求出x的值，可得到符合題意的DE的長.【解析】【解答】解：如圖，延長PQ交FC延長線于點M，由題意可知：PM⊥AB，∠ABC＝60°，∴∠QMB＝30°，∵Q點是AB中點.∴QB＝AB＝10cm，∴BM＝2QB＝20cm，QM＝QB＝10cm，∵CE＝BE＝6cm，∠ABC＝60°，∴△BCE是等邊三角形，∴BC＝6cm，∴BD＝CD﹣BC＝20﹣6＝14cm，∴FM＝BM+BD+DF＝20+14+20＝54（cm），∴PF＝FM＝18（cm），∴當(dāng)視線PQ與屏幕AB垂直時，小紅的眼睛距離桌面的高度PF等于18cm，∴PM＝2PF＝36cm，∴PQ＝PM﹣QM＝36﹣10＝26（cm），當(dāng)∠P′QB＝75°時，P′F得最小高度，如圖，延長P′Q交FC延長線于點N，∴∠N+∠QBN＝∠P′QB，∴∠N＝75°﹣60°＝15°，∵∠QMB＝30°，∴∠MQN＝15°，∴∠MQN＝∠N＝15°，∴MQ＝MN＝10cm，∴FN＝FM+MN＝（54+10）cm，如圖，過點Q作QH⊥BM于點H，設(shè)OH＝xcm，則QM＝MN＝2xcm，MH＝xcm，∴NH＝MN+MH＝（2x+x）cm，∴tan15°＝，∴tan15°＝＝2+，∴P′F＝（2+）（54+10）＝（78﹣34）cm，∴PP′＝PF﹣P′F＝18﹣（78﹣34）＝（52﹣78）cm.故答案為：18；（52﹣78）cm.

【分析】延長PQ交FC延長線于點M，先證明△BCE是等邊三角形，得BC＝6cm，再由BD＝CD﹣BC求得BD=14cm，進(jìn)而求出FM=54cm，在含30°角的Rt△PMF，得PF＝FM，求PF的長度即可；在含30°角的Rt△PMF中，得PM＝2PF＝36cm，進(jìn)而求得PQ＝PM﹣QM＝26cm，當(dāng)∠P′QB＝75°時，P′F得最小高度，再延長P′Q交FC延長線于點N，得∠N+∠QBN＝∠P′QB，求得∠N=15°，進(jìn)而得∠MQN＝∠N＝15°，可得MQ＝MN＝10cm，進(jìn)一步得FN=54+10cm，再過點Q作QH⊥BM于點H，設(shè)OH＝xcm，則QM＝MN＝2xcm，MH＝xcm，NH=MN+MH＝（2x+x）cm，根據(jù)tan15°＝，得P'F=（78﹣34）cm，再由PP′＝PF﹣P′F，代入數(shù)據(jù)求得PP′，PP′即為小紅眼睛距離桌面的最大高度和最小高度的差.【解析】【解答】解：如圖，過M作CD的垂線，交CD的延長線于E點，

∵折疊，

∴AM=MD=2，

∵A'C≥MC-MA'，

∴當(dāng)M，A'，C在同一條直線時，A'C有最小值，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∵AD∥BC，

∴∠EDM=∠BCD=30°，

∴ED=MD=，EM=MD=1，

∴MC===7，

∴A'C=MC-MA'=MC-MA=7-2=5.

故答案為：5.

【分析】過M作CD的垂線，交CD的延長線于E點，根據(jù)折疊的性質(zhì)求出MD，根據(jù)三角形三邊的關(guān)系得出當(dāng)M，A'，C在同一條直線時，A'C有最小值，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求出∠EDM=30°，然后根據(jù)含30°的直角三角形的性質(zhì)求出ED和EM長，再根據(jù)勾股定理求出MC，最后求A'C即可.【解析】【解答】解：過D點作DF⊥AB于點F，∵AD＝2，AB＝4，∠A＝30°，∴DF＝AD＝1，EB＝AB﹣AE＝2，∴陰影部分的面積：4×1﹣﹣2×1÷2＝4﹣π﹣1＝3﹣π.故答案為：3﹣π.

【分析】過D點作DF⊥AB于點F，根據(jù)30°角所對直角邊等于斜邊一半求得AD=1，由AD=AE，求得EB=2，再根據(jù)扇形面積公式s=，求得扇形面積，根據(jù)三角形面積公式求得三角形EBC的面積，最后由陰影部分的面積=平行四邊形面積-扇形面積-三角形EBC的面積，代入數(shù)據(jù)即可求出陰影部分的面積.【解析】【解答】解：根據(jù)題意，得，米，在中，，∴，在中，，∴，∵，即解得：米，∴建筑物的高度約為14.7米.故答案為：14.7.【分析】根據(jù)題意得：∠ADB=64°，∠ACB=48°，CD=6米，根據(jù)∠ADB、∠ACB的正切函數(shù)可求出BD、BC，然后根據(jù)CD=BC-BD進(jìn)行計算.【解析】【解答】解：如圖，過C作CF⊥DE于F，

∵△ADB為等腰直角三角形，E為AB的中點，

∴DE⊥AB，DE=AB=3

∵∠CAB=30°，E為AB的中點，

∴CE=BE=AB=3，∠B=60°，

∴△BCE為等邊三角形，

∴∠BEC=60°，

∴∠DEC=∠BED+∠BEC=150°，

∴∠CEF=180°-∠DEC=30°，

∴CF=EC=AB=，

∴S△DEC=DE·CF=×3×=.

故答案為：.

【分析】過C作CF⊥DE于F，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠BED=90°，然后根據(jù)含30°角直角三角形的性質(zhì)求出∠BEC=60°，則可求出∠DEC，從而求出∠CEF為30°，根據(jù)含30°角直角三角形的性質(zhì)求出CF，最后計算△DEC面積即可.【解析】【解答】解：過P作PH⊥AB于H，

設(shè)BH=x，

∵AB=AC，∠ACB=90°，

∴△ACB是等腰直角三角形，

∴∠B=45°，

∴PH=HB=x，

∴PB=x，

∵PQ∥AD，

∴，

∴

∴BQ=x，

∴AQ=AB-BQ=-x，

∴的面積=AQ×PH

=(-x)x

=-(x-4)2+24，

∴x=4，面積的最大值為24，

∴BP=x=8.

故答案為：8.

【分析】過P作PH⊥AB于H，設(shè)BH=x，由CA=AB，得出△ACB是等腰直角三角形，則可表示出PB，然后由PQ∥AD，根據(jù)平行線分線段成比例把BQ表示出來，則可把AQ表示出來，再求出的面積的表達(dá)式，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最大值，即可作答.【解析】【解答】解：設(shè)原八角星紙板邊長為k，

∴圖2中的正方形的邊長為(2+)k，面積為(2k+k)2，4個小三角形面積和為2k2，

則(2k+k)2+2k2=8+，

解得k=1，

∴AB=1+.

故答案為：1+.

【分析】設(shè)原八邊形邊長為k，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和線段的和差關(guān)系表示出圖2中的正方形的邊長，并把該正方形的面積和三個小三角形面積之和表示出來，最后根據(jù)割補(bǔ)法求面積建立關(guān)于k的方程求解，即可解答.【解析】【解答】解：△AB1C1中，AC1＝B1C1，∠C1＝20°，∴∠C1B1A＝，∵B1B2＝B1C2，∠C1B1A是△B1B2C2的外角，∴∠B1B2C2＝；同理可得，∠C3B3B2＝20°，∠C4B3B2＝10°，∴∠ABnCn＝．故答案為：40，．【分析】先求出∠C1B1A＝80°，再找出規(guī)律求解即可?！窘馕觥俊窘獯稹拷猓骸摺螧AC=50°，AO為∠BAC的平分線，∴∠BAO=∠BAC=×50°=25°．又∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=65°．∵DO是AB的垂直平分線，∴OA=OB，∴∠ABO=∠BAO=25°，∴∠OBC=∠ABC-∠ABO=65°-25°=40°．∵AO為∠BAC的平分線，AB=AC，∴直線AO垂直平分BC，∴OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=40°，∵將∠C沿EF（E在BC上，F(xiàn)在AC上）折疊，點C與點O恰好重合，∴OE=CE．∴∠COE=∠OCB=40°；在△OCE中，∠OEC=180°-∠COE-∠OCB=180°-40°-40°=100°，∴∠OEF=∠CEO=50°，①符合題意；∵∠OCB=∠OBC=∠COE=40°，∴∠BOE=180°-∠OBC-∠COE-∠OCB=180°-40°-40°-40°=60°,②不符合題意；∵∠ABO=∠BAO=25°，DO是AB的垂直平分線，∴∠DOB=90°-∠ABO=75°，∵∠OCB=∠OBC=40°，∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-40°-40°=100°，∴∠DOC=∠DOB+∠BOC=75°+100°=175°,即D、O、C三點不共線，③不符合題意.故答案為：①．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，角平分線，垂直平分線的定義對每個結(jié)論一一判斷即可?！窘馕觥俊痉治觥坑纱怪钡母拍钜约敖瞧椒志€的性質(zhì)可得∠F=∠CEB=90°，CE=CF，證明△CEB≌△CFD，據(jù)此可得結(jié)論.【解析】【分析】連接EC并延長交AB于點N，由題意可得：EN1AB，四邊形EFDC、四邊形CDBN均是矩形，構(gòu)造直角三角形，直接利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出AN的長，進(jìn)而得出所求答案.【解析】【分析】首先由勾股定理求出OM，證明△COM∽△BOD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得BD，然后根據(jù)∠AOD的正切函數(shù)就可求出AB.【解析】【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得∠B=∠C=45°，根據(jù)角的和差得∠DAE=30°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理得∠AED=75°，最后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，由∠CDE=∠AED-∠C即可求解；

（2）設(shè)∠BAD＝x，于是得到∠CAD＝90°?x，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠AED=45°+，進(jìn)而根據(jù)三角形外角的性質(zhì)由∠CDE=∠AED-∠C即可求解；

（3）設(shè)∠BAD＝x，∠C＝y(tǒng)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理及三角形外角性質(zhì)可求解．【解析】【分析】過P作PE⊥AD于點E，過N作NO⊥