定積分的微元分析法

定積分的微元分析法1第1頁(yè)，共11頁(yè)，2023年，2月20日，星期四根據(jù)問(wèn)題的具體情況,選取一個(gè)變量(2)在區(qū)間[a,b]內(nèi)任取一個(gè)小區(qū)間,求出相應(yīng)于這個(gè)小區(qū)間的部分量的近似值.在處的值與的乘積,就把稱為量U的微元且記作,即如果能近似地表示為[a,b]上的一個(gè)連續(xù)函數(shù)例如x為積分變量,并確定其變化區(qū)間[a,b];2第2頁(yè)，共11頁(yè)，2023年，2月20日，星期四(3)以所求量U的微元為被積表達(dá)式,在區(qū)間[a,b]上作定積分,得平面圖形的面積一直角坐標(biāo)情形1.曲邊梯形當(dāng)f(x)在[a,b]上連續(xù)時(shí),由曲線y=f(x)和x=a,x=b及x軸所圍成的曲邊梯形面積就是3第3頁(yè)，共11頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2.一般圖形以及兩條直線x=a,x=b之間的圖形的面積微元為如果函數(shù)在[a,b]上連續(xù),且則介于兩條曲線4第4頁(yè)，共11頁(yè)，2023年，2月20日，星期四注意:根據(jù)具體的圖形特點(diǎn),也可以選擇作為積分變量或者利用圖形的對(duì)稱性簡(jiǎn)化計(jì)算.例1求橢圓的面積(如圖).解由對(duì)稱性,橢圓的面積其中為橢圓在第一象限部分.xyoyxaboxx+dx則圖形的面積為5第5頁(yè)，共11頁(yè)，2023年，2月20日，星期四則例2求由所圍圖形面積.解兩拋物線的交點(diǎn)為(0,0)及(1,1).取x為積分變量,其變化區(qū)間為[0,1].由前面討論可知:(1,1)oyx6第6頁(yè)，共11頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例3求由所圍圖形面積.解兩曲線的交點(diǎn)為(2,-2)及(8,4).根據(jù)此圖形特點(diǎn),可以選擇y作為積分變量,其變化區(qū)間為[-2,4].yx(2,-2)(8,4)圖形的面積微元為:從而可得圖形面積7第7頁(yè)，共11頁(yè)，2023年，2月20日，星期四二.極坐標(biāo)情形1.曲邊扇形其中r()在[,]上連續(xù),且r()0.相應(yīng)于[,+d]的面積微元為則圖形面積為o

r=r()設(shè)圖形由曲線r=r()及射線=,=所圍成.取為積分變量,其變化區(qū)間為[,],8第8頁(yè)，共11頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2.一般圖形及射線=,=所圍圖形的面積微元為則面積為o相應(yīng)于從0到2的一段弧與極軸所圍圖形的面積.解如圖,可視為=0,=2及r=a

圍成的曲邊扇形.則其面積為o由曲線例4求阿基米德螺線r=a(a>0)上9第9頁(yè)，共11頁(yè)，2023年，2月20日，星期四NoM例5求r=1與r=1+cos所圍公共面積.解如圖,曲線交點(diǎn)為由對(duì)稱性則而10第10頁(yè)，共11頁(yè)，2023年，2月20日，星期四三.參數(shù)方程情形當(dāng)曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方x=(t),y=(t),且()=a,()=b,在[,]上(t)