自考線性代數(shù)經(jīng)管類考點(diǎn)逐個(gè)擊破

4．n

D1

a12n階行

D a22a2na

a

a

11

21

n1 an2 ,n)為元素aij的代 式

0

性質(zhì)1D性質(zhì)2用數(shù)k乘行列式D中某一行（列）的所有元素所得到的行列式等于kD，也就是說，行列推論1如果行列式中有某兩行（列）相同，則此行列式的值等于零推論2如果行列式中某兩行（列）的對(duì)應(yīng)元素成比例，則此行列式的值等于零性質(zhì)4行列式可以按行（列）拆開性質(zhì)5把行列式D的某一行（列）的所有元素都乘以同一個(gè)數(shù)以后加到另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素上去，所得的行列式仍為D.n階行列式Daijn等于它的任意一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代 Da1jA1ja2jA2janjAnjj1,2,前一式稱為D按第i行的展開式，后一式稱為D按第j列的展開式n定理2n階行列式Daij的任意一行（列）各元素與另一行（列）對(duì)應(yīng)元素的代 n積之和等于零.ai1Ak1ai2Ak2ainAkna1jA1sa2jA2sanjAns0j前面乘上k.211211 1125

D4列其它兩個(gè)非零元素化為0，然后按第二列展開.7070252列52列51列732

D4abbbbabbbbabbbba abbbbabbbbabbbbabba a3bbbbb

a3bb (a3b)0a00(a3b)(a方法2觀察到這個(gè)行列式每一行元素中有多個(gè)b，我們1bbDbabb bbabb列式abab1

ab0

a

14b ab a 例3三階范德蒙德行列式V3 xx xx

x3x2x3定理1（克拉默法則）設(shè)含有n個(gè)方程的naxaxa1nxn21 22axb2n annxnn如果其系數(shù)行列式Dn

0x

D

,j1,2,,其中Dj是把D中第j列換成常數(shù)項(xiàng)b1,b2,,bn后得到的行列式.定理2設(shè)有含n個(gè)方程的naxaxa1nxn21 22ax2nannxn如果其系數(shù)行列式D0x1x2xn換句話說，若齊次線性方程組有非零解，則必有D0， 第二章中，將要證明，n個(gè)方程的第二章矩mn個(gè)數(shù)aij(i1,2,m;j1,2,n排成的一個(gè)m行n列的數(shù)a11a12 Aa21a22a2n m mn稱為一個(gè)m行n列矩陣或mn矩mn時(shí)，稱A

為n階矩陣或n階方元素全為零的矩陣稱為零矩陣，用Omn或O表2．3

0 0a220①n

A

ann1 0②n

En 0 a11a12a1n

0 0a22a2na21a22 ③n

的矩

ann矩陣僅是一個(gè)數(shù)表，而n階行列式的最后結(jié)果為一個(gè)數(shù)，因而矩陣與行列式是兩個(gè)完全不同的概念*”與矩陣記號(hào)*”也不同，不能用錯(cuò).設(shè)有矩陣A(aij)mnB(bij)k，若mknAB是同型矩陣.與B同型,aijbij，則稱矩陣A與BAAaij)mnBbij)mn是兩個(gè)同型矩陣則規(guī)AB(aijbij AB(aijbij注意：只有A與B為同型矩陣，它們才可以相加或相減A(aij)mn，k為任一個(gè)數(shù)，則規(guī)定kA(kaij故數(shù)k與矩陣A的乘積就是A中所有元素都乘以k，要注意k與行列式D的乘積，只是用k乘A(aij)mkB(bij)kn，則規(guī)定AB(cij其中cijai1b1jai2b2j

(i1,2,,

j1,2,,由此定義可知，只有當(dāng)左矩陣A的列數(shù)與右矩陣B的行數(shù)相等時(shí)，AB才有意義，而且矩陣AB的行數(shù)為A的行數(shù)，AB的列數(shù)為B的列數(shù)，而矩陣AB中的元素是由左矩陣A中某一行元素與右矩陣B中 換律，即AB②在AB0時(shí)，不能推出A0B0，因而也不滿足消去律特別，若矩陣A與B滿足ABBA，則稱A與B可交換，此時(shí)A與B必為同階方陣. 設(shè)A為n階方陣，則規(guī)定 特別A0 又若f(x)axm xm1

，則規(guī) f(A)aAm Am1 a fA為A的方陣多項(xiàng)式，它也是一個(gè)n階方A為一個(gè)mn矩陣，把A中行與列互換，得到一個(gè)nm矩陣，稱為A的轉(zhuǎn)AT，(A)TA，(A

ATBT，

kAT，(

BT設(shè)A為一個(gè)n階方陣，若AATA，則稱A為對(duì)稱矩陣，若A滿足

A，則稱矩陣與行列式是兩個(gè)完全不同的概念，但對(duì)于n階方陣，有方陣的行列式的概念nA(aij為一個(gè)nA中元素構(gòu)成一n階行列式aijAn式，記為方陣的行列式具有下列性質(zhì)：設(shè)A，B為n階方陣，k①ATA②kAkn③ABAA為一個(gè)n階方陣，若存在另一個(gè)n階方BABBAEBA的逆矩AA是一個(gè)可以存在逆矩陣的矩陣，把A的逆矩BA1，從逆矩陣具有以下性質(zhì)：設(shè)A，B為同階可逆矩陣k0A1是可逆矩陣，且A11A②AB是可逆矩陣，且AB)1B1A1③kA是可逆矩陣，且(kA)11kAT是可逆矩陣，且AT)1A1設(shè)PPAPBA

n設(shè)A(aij)為一個(gè)n階方陣，Aij為A的行列式Aaij中元素aij的代 n

A21An1A22An2稱為A的伴隨矩陣，記為A*（A*中元素排列的特點(diǎn) A nnAA*A*AAEA*

A

（n為A的階數(shù)

A定理：n階方陣A可逆A0，且 A推論：設(shè)A，B均為nABE，則A，BA1BB1ab例1設(shè)A cd求A的伴隨矩陣a，b，c，d滿足什么條件時(shí)，A可逆？此時(shí)求*

b

a（2）Ac

badbc，故當(dāng)adbc0A0，A為可逆矩d

b此時(shí)

AadbccaA A陣A的列分塊方式與右矩B的行分塊方式一致，然后把子塊當(dāng)作元素來看待，相乘時(shí)A的各子塊分別左乘B的對(duì)應(yīng)的子塊.11形如

A r塊

A

A A 1 r

對(duì)一個(gè)矩陣A施行以下三種類型的變換，稱為矩陣的初等行（列）交換A的某兩行（列用一個(gè)非零數(shù)k乘A的某一行（列把A中某一行（列）的k倍加到另一行（列）上”連接前后矩陣.由單位方陣E經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等方陣PijDi(k和Tij(k，容A為任一個(gè)矩陣，當(dāng)在A的左邊乘一個(gè)初等方陣的乘積相當(dāng)于對(duì)A作同類型的初等行變換；在A的右邊乘一個(gè)初等方陣的乘積相當(dāng)于對(duì)A作同類型的初等列變換.若矩陣A經(jīng)過若干次初等變換變?yōu)锽，則稱A與BArr對(duì)任一個(gè)mn矩陣A，必與分塊矩陣

O等價(jià)，稱這個(gè)分塊矩陣為A的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形.O對(duì)任一個(gè)mn矩陣A，必存在n階可逆矩陣P及n階可逆矩陣Qr OrPAQ O設(shè)A為任一個(gè)n階可逆矩陣，構(gòu)造n2n矩陣然 (A,E)(E,A12A

112

34的逆矩1

2(A,E)

113121442行13

23 4123

11113

11 12 214X412 1

2 A

1312 112

B

13，則矩陣方程為AXBA21

2 4

111 X B

124 21 211

11

1

030(A,B)

1

4301

25(E, X

13B00

202010 24 202010 0522設(shè)Amn矩陣，把A中非零子式的最高階數(shù)稱為A的秩，記為秩Ar零矩陣的秩為0，因而0秩(Aminmnn階方陣A，若秩AnA為滿秩矩陣，否秩的求由于階梯形矩陣的秩就是矩陣中非零行的行數(shù)，又矩陣初等變換不改變矩陣的秩.對(duì)任一個(gè)矩陣A，只要用初等行變換把A化成階梯形矩陣T，則秩(A)=秩(T)=T中非零行的行數(shù).n階方陣AA可逆，即存在BABBAA非奇異，即AA的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形為A可以表示為有限個(gè)初等方陣的乘AX0只有對(duì)任意非零列向量bAXb有唯A的行（列）A的行（列）向量組為Rn的一個(gè)任意n維行（列）向量均可以表示為A的行（列）向量組A的特ATA為正定矩陣a11x1a12x2a1nxnaa對(duì)任一個(gè)線性方程組

21

a22

a2n

am1x1am2x2amnxn

為系數(shù)矩陣，bbb,

)T為常數(shù)列ij

陣

(x1,

,,

)T為未知元列矩陣AXb與增廣矩陣AAb一一對(duì)應(yīng)第三章向量空（一）nn維向由n個(gè)數(shù)組成的一個(gè)有序數(shù)組稱為一個(gè)n稱為n1n矩陣，若用一列表示，稱為n維列向量，即n1矩陣設(shè)1,2,,m是一組nk1k2,km是一k11k22km為1,2,,m的一k1k2,km稱為組合系數(shù).可以表示成k11k22km則稱是1,2,,m的線可用1,2,,m線性表出.設(shè)A為一個(gè)mn矩陣，若把A按列分塊，可得一個(gè)m維列向量組稱之為A的列向量組.若把A按行分塊，可得一個(gè)n維行向量組稱之為A的行向量組.向量能用1,2,,mx11x22xmm有解，且每一個(gè)解就是一個(gè)組合系數(shù) 11,1,5)T能否表示成1,2,3)T0,1,4)T，2,3,6)T 合

x11x22x33A 12則方程組有唯一解x11x22x3所以可以唯一地表示成1,2,3122設(shè)1,2,,m是m個(gè)n維向量，如果存在mk1k2,km，使k11k22kmm0，則稱向量組1,2,,m線性相關(guān)，稱k1k2,km為相關(guān)系數(shù).否則，稱向量1,2,,m線性無關(guān).由定義可知，1,2,,mk11k22kmm0k1k2km0時(shí)成立特別單個(gè)向量線性相關(guān)0；單個(gè)向量線性無關(guān)0設(shè)1,2,,m為m個(gè)n維列向量，則1,2,,m線性相關(guān)mx11x22xmm0有非零解，且每一個(gè)非零解就是一個(gè)相關(guān)系數(shù)矩A(1,2,,m的秩小于 解：考慮方程組x11x22x33 13

102

A(1,2,3)146010070 113 0070 于是，秩A)23，所以向量組線性相關(guān)，與方程組同解的方程組x12x3x 3xx31，得x12x21x3則2123定理1n維向量組1,2,,m線性相關(guān)至少有一個(gè)向量是其余向量的線性組合.1,2,,m線性無關(guān)任一個(gè)向量都不能表示為其余向量的線性組合定理2如果向量組1,2,,m線性,1,2,,m線性1,2,,m線性表出，且表示法是唯一的定理3若向量組中有部分組線性相關(guān)，則整體組也必相關(guān)，或者整體無關(guān)，部分必?zé)o關(guān)定理4無關(guān)組的接長(zhǎng)向量組必?zé)o關(guān)若向量組S可以由向量組R線性表出，向量組R也可以由向量組S線性表出，則稱這兩個(gè)向量設(shè)T為一個(gè)向量組，若存在T的一個(gè)部分組S，它是線性無關(guān)的，且T中任一個(gè)向量都能由線性表示，則稱部分向量組S為T的一個(gè)極大無關(guān)組.定理1向量組T與它的任一個(gè)極大無關(guān)組等價(jià)，因而T的任意兩個(gè)極大無關(guān)組等價(jià).定理2向量組T的任意兩個(gè)極大無關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)相同.把向量組T的任意一個(gè)極大無關(guān)組中的所含向量的個(gè)數(shù)稱為向量組T的秩把矩陣A的行向量組的秩，稱為A的行秩，把A的列向量組的秩稱為A的列秩.定理：對(duì)任一個(gè)矩陣A，A的列秩=A的行秩=秩（A）此定理說明，對(duì)于給定的向量組，可以按照列構(gòu)造一個(gè)矩陣A，然后用矩陣的初等行變換法來3求出下列向量組的秩和一個(gè)極大無關(guān)組45矩陣，再用初11122

100 AT,T,T,T

T121140

010

2264

0

1107

633

000 易見B的秩為4，A秩為4，從而秩1,2,3,4,54而且B二、三、五列，那么相應(yīng)地1,2,3,5為向量組的一個(gè)極大無關(guān)組，而且423定義1n維實(shí)列向量全體（或?qū)嵭邢蛄咳w）構(gòu)成的集合稱為實(shí)n定義2設(shè)V是n維向量構(gòu)成的非空集合，若V對(duì)于向量的線性運(yùn)算封閉，則稱集合V設(shè)V為一個(gè)向量空間，它首先是一個(gè)向量組，把該向量組的任意一個(gè)極大無關(guān)組稱為向量空顯然，nRn的維數(shù)為nRn中任意nRn的一個(gè)基設(shè)1,2,,r是向量空間V的一個(gè)基，則V中任一個(gè)向量都可以用1,2,,r唯一地線性表出，由r個(gè)表出系數(shù)組成的r維列向量稱為向量在此基下的坐標(biāo).第四章（一）定理1AXb為n元非齊次線性方程組，則它有解的充要條件是rAb)r定理2當(dāng)nAXb有解時(shí)，即rAbrArAXb有唯一解rnAXb有無窮多解rn推論1設(shè)A為n階方陣，則n元齊次線性方程組AX0有非零解A推論2設(shè)Amn矩陣mn，則n考慮由齊次線性方程組AX0VA顯然V是非空的，因?yàn)閂中有零向量，即零解，而且容易證明V對(duì)向閉，即解向量的和仍為解，解向量的倍數(shù)仍為解，于是Vn維列向量空間Rn的一個(gè)子空間，我們稱V為方程組AX0的解空間把n元齊次線性方程組AX0的解空間的任一個(gè)基，稱為該齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系當(dāng)n元齊次線性方程組AX0rA)rn時(shí)，就一定存在基礎(chǔ)解系，且基nr對(duì)方程組AX0先由消元法，求出一般解，再把一般解寫成向量形式，即為方程組的通2x1x22x33x41求3x12x2x32x40的通x1x2x3x4解：對(duì)系數(shù)矩陣A21231行A32

11 xx13x34x4xrA)24x

2

5x4