2023年高考數(shù)學(xué)必做模擬卷-新高考Ⅱ考綱卷10（解析版）

PAGE12023年高考必做模擬卷—新高考Ⅱ考綱卷10一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合，，則（）。A、B、C、D、【答案】B【解析】∵，∴，∵，∴，故選B。2．若復(fù)數(shù)，則（）。A、B、C、D、【答案】A【解析】，∴，故選A。3．已知平面，直線、滿足、，則“”是“”的（）。A、充分不必要條件B、必要不充分條件C、充分必要條件D、既不充分也不必要條件【答案】A【解析】∵、，∴當(dāng)時，成立，即充分性成立，當(dāng)時，不一定成立，、也可能是異面直線，即必要性不成立，∴“”是“”的充分不必要條件，故選A。4．如圖所示，用種不同的顏色涂入圖中的矩形、、、中，要求相鄰的矩形涂色不同，則不同的涂法一共有（）。A、種B、種C、種D、種【答案】D【解析】先涂的話，有種選擇，若選擇了一種，則有種，而為了讓與、都不一樣，則有種，再涂的話，只要與涂不一樣的就可以，也就是有種，∴一共有種，故選D。5．“綠水青山就是金山銀山”，黨的十九大以來，城鄉(xiāng)深化河道生態(tài)環(huán)境治理，科學(xué)治污。某鄉(xiāng)村一條污染河道的蓄水量為立方米，每天的進(jìn)出水量為立方米。已知污染源以每天個單位污染河水，某一時段（單位：天）水污染質(zhì)量指數(shù)為（每立方米河水所含的污染物）滿足（為初始質(zhì)量指數(shù)），經(jīng)測算，河道蓄水量是每天進(jìn)出水量的倍，若從現(xiàn)在開始關(guān)閉污染源，要使河水的污染水平下降到初始時的，需要的時間大約是（）。參考數(shù)據(jù)：。A、個月B、個月C、半年D、年【答案】C【解析】令，則，有，且，∴，，，約為半年，故選C。6．已知雙曲線：，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為的右焦點(diǎn)，過的直線與的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為、。若為直角三角形，則（）。A、B、C、D、【答案】B【解析】雙曲線：的漸近線方程為，漸近線夾角為，若為直角三角形，則只能是過的直線與其中一條漸近線垂直，設(shè)過的直線為：，，解得，，解得，∴，故選B。7．在中，，，，若，（），，則的值為（）。A、B、C、D、【答案】A【解析】以為原點(diǎn)如圖建系，則、、，設(shè)，，∵，∴，解得、，∴，∵，∴，解得、，∴，又，∴，∴，解得，故選A。另解：由題意可知：，則，而其中，，，∴，解得，故選A。8．已知函數(shù)的一條切線方程為，則的最小值為（）。A、B、C、D、【答案】B【解析】的定義域為，，設(shè)切點(diǎn)為，則，∵為切點(diǎn)，∴，，∴，其中，記，定義域為，，當(dāng)時，在內(nèi)單調(diào)遞減，當(dāng)時，在內(nèi)單調(diào)遞增，∴在時取得極小值也是最小值，，即的最小值為，故選B。二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分。9．下列說法正確的是（）。A、甲乙兩人獨(dú)立的解題，已知各人能解出的概率分別是和，則題被解出的概率是B、若、是互斥事件，則，C、某校名教師的職稱分布情況如下：高級占比，中級占比，初級占比，現(xiàn)從中抽取名教師做樣本，若采用分層抽樣方法，則高級教師應(yīng)抽取人D、一位男生和兩位女生隨機(jī)排成一列，則兩位女生相鄰的概率是【答案】BCD【解析】∵他們各自解出的概率分別是和，∴此題不能解出的概率為，∴此題解出的概率為，A選項錯，若、是互斥事件，則，，B選項對，高級教師應(yīng)抽取時人，C選項對，由列舉法知，兩位女生相鄰的概率是，D選項對，故選BCD。10．已知函數(shù)、、的零點(diǎn)分別為、、，下列各式錯誤的是（）。A、B、C、D、【答案】BC【解析】分別作函數(shù)、、、的圖像如圖所示，則為與的圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，為與的圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，為與的圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由圖像可知，A選項對，又與互為反函數(shù)，其圖像關(guān)于對稱，的圖像也關(guān)于對稱，∴，，∴B選項錯，C選項錯，∵、、，∴、，∴，D選項對，故選BC。11．函數(shù)（，，）的部分圖像如圖所示，下列命題中的真命題是（）。A、將函數(shù)的圖像向左平移個單位，則所得函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱B、將函數(shù)的圖像向左平移個單位，則所得函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱C、當(dāng)時，函數(shù)的最小值為D、當(dāng)時，函數(shù)的最大值為【答案】CD【解析】由函數(shù)圖像可得：，周期，可得，可得，由點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，可得，解得，，∵，∴當(dāng)時可得，從而得解答式可為，A選項，將函數(shù)的圖像向左平移個單位，可得，將代入不成立，A錯，B選項，將函數(shù)的圖像向左平移個單位，可得，不關(guān)于軸對稱

，錯，C、D選項，當(dāng)時，可得：，故函數(shù)的最大值為，最小值為，對，故選CD。12．已知數(shù)列和，設(shè)，，，則下列命題正確的是（）。A、當(dāng)時，B、當(dāng)時，C、當(dāng)且時，D、當(dāng)且時，【答案】ABD【解析】當(dāng)時，∵，∴，設(shè)時，，即，∴，則，則當(dāng)時，，∴對于，都有，A選項對，當(dāng)時，∵，∴，設(shè)時，，即，∴，則，則當(dāng)時，，∴對于，都有，B選項對，對于，都有，即，∴，且，則，C選項錯，D選項對，故選ABD。三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在中，若，、，則邊上的高是?！敬鸢浮炕颉窘馕觥坑桑?，∴或，當(dāng)時，，邊上的高為，當(dāng)時，，邊上的高為。14．在的展開式中，記項的系數(shù)為，則。【答案】【解析】，∴。15．球面距離指球面上兩點(diǎn)之間的最短連線的長度，就是經(jīng)過這兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的一段劣弧的長度。設(shè)地球半徑為，在北緯圈上有、兩地，它們在緯度圈上的弧長是，則這兩地的球面距離是?！敬鸢浮俊窘馕觥勘本暼λ趫A的半徑為，它們在緯度圈上的弧長（是、兩地在北緯圈上對應(yīng)的圓心角），∴，∴線段，設(shè)地球的中心為，則中，由余弦定理得，∴，，∴、這兩地的球面距離是。16．已知直三棱柱中，，，且，若點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)為中點(diǎn)，且，平面交底面棱于點(diǎn)，且滿足，則多面體的體積為?！敬鸢浮俊窘馕觥垦娱L、，設(shè)其交于點(diǎn)，∵平面交底面棱于點(diǎn)，∴、、、四點(diǎn)共面，連接，則與棱相交于點(diǎn)，在中，∵，，∴，∴，∵為中點(diǎn)，∴，則在中，，又，故，又，設(shè)到的距離為，則由得，∴，。四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（本小題滿分10分）已知為等差數(shù)列的前項和，已知，。（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求，并求的最小值?！窘馕觥浚?）等差數(shù)列中，設(shè)公差為，∵，，∴，解得，3分故；4分（2）由（1）得，，8分∴當(dāng)時，的最小值。10分18．（本小題滿分12分）某人在一山坡處觀看對面山項上的一座鐵塔，如圖所示，塔高（米），塔所在的山高（米），（米），圖中所示的山坡可視為直線且點(diǎn)在直線上，與水平地面的夾角為，，試問此人距水平地面多高時，觀看塔的視角最大（不計此人的身高）?！窘馕觥咳鐖D所示，建立平面直角坐標(biāo)系，則、、，1分直線的方程為，即，2分設(shè)，則（），由經(jīng)過兩點(diǎn)的直線的斜率公式，，5分由直線到直線的角的公式得，，8分要使達(dá)到最大，只須達(dá)到最小，由均值不等式，當(dāng)且僅當(dāng)時上式取等號，∴當(dāng)時最大，這時點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，10分由此實(shí)際問題知，，∴最大時，最大，∴當(dāng)此人距水平地面米高時，觀看鐵塔的視角最大。12分19．（本小題滿分12分）如圖所示，在三棱錐中，是邊長為的正三角形，，，點(diǎn)在底面上的投影為點(diǎn)，點(diǎn)在棱上。（1）求證：平面平面；（2）求二面角的余弦值?！窘馕觥浚?）證明：∵點(diǎn)在底面上的投影為點(diǎn)，∴平面，∵平面，∴，1分在中，，，，由正弦定理得：，又∵，∴，∴，3分∵，、平面，∴平面，4分∵平面，∴平面平面；5分（2）由（1）可知平面，∵平面，∴，又，，∴，在中，，，∴，∴，∴為等腰三角形，7分取中點(diǎn)為，連接、，則、，∴為二面角的平面角，8分在中，由、得，9分在中，由得，10分在中，由余弦定理得：，∴二面角的余弦值為。12分又解：（1）同上：（2）由（1）可知平面，∵平面，∴，又，，∴，在中，，，∴，∴，又，∴在中，，∴，∴，，∴，以為坐標(biāo)原點(diǎn)如圖建系，則、、、，8分設(shè)平面的法向量為，、，∴，令，則、，∴，10分又由題意可知平面的法向量為，11分設(shè)二面角的平面角為，經(jīng)觀察為銳角，∴。12分20．（本小題滿分12分）已知橢圓：（）的離心率為，過橢圓焦點(diǎn)的最短弦長為。（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若折線（）與相交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在直線的右側(cè)），設(shè)直線、（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率分別為、，且，求的值?！窘馕觥浚?）由題意可知，又，∴、，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；3分（2）由題意，折線（）與相交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在直線的右側(cè)），設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸對稱的點(diǎn)為，則直線（）與相交于、兩點(diǎn)，5分設(shè)、，則，聯(lián)立得：，恒成立，8分∴、，9分∴，11分整理得，解得或。12分21．（本小題滿分12分）已知件不同的產(chǎn)品中共有件次品，現(xiàn)對它們進(jìn)行一一測試，直到找出所有件次品為止。（1）求恰好在第次測試時件次品全部被測出的概率；（2）記恰好在第次測試時件次品全部被測出的概率為，求的最大值和最小值?！窘馕觥浚?）若恰好在第次測試時件次品全部被測出，則第次取出第件次品，前次中有次是次品，次是正品，則有種情況，從件產(chǎn)品中順序取出件，有種情況，則第次測試時件次品全部被測出的概率；2分（2）根據(jù)題意，分析可得的范圍是，當(dāng)時，若恰好在第次測試時件次品全部被測出，則第次取出第件次品，前次中有次是次品，次是正品，而從件產(chǎn)品中順序取出件，有種情況，則，則、、、，5分當(dāng)時，即恰好在第次測試時件次品全部被測出，有兩種情況，一是第次取出第件次品，前次中有次是次品，次是正品，二是前次沒有取出次品，此時也可以測出三件次品，則，7分當(dāng)時，即恰好在第次測試時件次品全部被測出，有兩種情況，一是第次取出第件次品，前次中有次是次品，次是正品，二是前次恰有次次品，第次取出為合格品，則，9分當(dāng)時，即恰好在第次測試時件次品全部被測出，有兩種情況，一是第次取出第件次品，前次中有次是次品，次是