20192020學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章一元二次函數(shù)方程和不等式21等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)教師用書新人教A版

2．1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)考點(diǎn)學(xué)習(xí)目標(biāo)核心修養(yǎng)不等關(guān)系的表示會用不等式(組)表示實(shí)質(zhì)問題中的不等關(guān)數(shù)學(xué)建模系數(shù)(式)大小比較會運(yùn)用作差法比較兩個(gè)數(shù)或式的大小邏輯推理不等式的性質(zhì)掌握不等式的性質(zhì)，會用不等式的性質(zhì)證明邏輯推理不等式或解決范圍問題問題導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)教材P37－P42，并思慮以下問題：1．怎樣比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大?。?．等式的基天性質(zhì)有哪些？3．不等式的基天性質(zhì)有哪些？1．比較實(shí)數(shù)a，b的大小文字表達(dá)假如a－b是正數(shù)，那么a>b；假如a－b等于0，那么a＝b；假如a－b是負(fù)數(shù)，那么a<b，反過來也對．符號表示a－b>0?a>b；a－b＝0?a＝b；a－b<0?a<b.■名師點(diǎn)撥符號“?”叫做等價(jià)號，讀作“等價(jià)于”，“p?q”的含義是：p能夠推出q，q也能夠推出p，即p與q能夠互推．2．常用的不等式的基天性質(zhì)性質(zhì)1a>b?b<a；性質(zhì)2a>b，b>c?a>c；性質(zhì)3假如a>b，那么a＋c>b＋c；性質(zhì)4假如a>b，c>0，那么ac>bc；假如a>b，c<0，那么ac<bc；性質(zhì)5假如a>b，c>d，那么a＋c>b＋d；性質(zhì)6假如a>b>0，c>d>0，那么ac>bd；性質(zhì)7假如a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)．■名師點(diǎn)撥對不等式性質(zhì)的五點(diǎn)說明性質(zhì)1和性質(zhì)2，分別稱為“對稱性”與“傳達(dá)性”，在它們的證明中，要用到比較大小的“定義”等知識．性質(zhì)3(即可加性)的依照是移項(xiàng)法例“不等式中任何一項(xiàng)的符號變?yōu)橄喾吹姆柡?，能夠把它從一邊移到另一邊”．性質(zhì)4(即可乘性)在使用中要特別注意研究“乘數(shù)的符號”．性質(zhì)5(即同向可加性)，即“同向不等式只好相加，不等號方向不變，不可以相減”．(5)性質(zhì)6和性質(zhì)7(即同向同正可乘性，可乘方性)，即均為正數(shù)的同向不等式相乘，得同向不等式，并沒有相除式．判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)實(shí)數(shù)a不大于－2，用不等式表示為a≥－2.()(2)不等式x≥2的含義是指x不小于2.( )(3)若a<b或a＝b之中有一個(gè)正確，則a≤b正確．()(4)若a＋c>b＋d，則a>b，c>d.()答案：(1)×(2)√(3)√(4)×某工廠在招標(biāo)會上，購得甲資料x噸，乙資料y噸，若保持工廠正常生產(chǎn)，甲、乙兩種資料總量起碼需要120噸，則x，y應(yīng)知足的不等關(guān)系是( )A．x＋y>120B．x＋y<120C．x＋y≥120D．x＋y≤120答案：C已知>，c＞，且c，d均不為0，那么以下不等式必定成立的是( )abdA．a(chǎn)d＞bcB．a(chǎn)c＞bdC．a(chǎn)－c＞b－dD．a(chǎn)＋c＞b＋d分析：選D.令＝2，＝－2，＝3，＝－6，可清除A，B，C.由不等式的性質(zhì)5知，Dabcd必定成立．若x<1，M＝x2＋x，N＝4x－2，則M與N的大小關(guān)系為________．分析：M－N＝x2＋x－4x＋2＝x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)，又因?yàn)閤<1，所以x－1<0，x－2<0，所以(x－1)(x－2)>0，所以M>N.答案：M>N用不等式(組)表示不等關(guān)系(1)某車工計(jì)劃在15天里加工部件408個(gè)，最先三天中，每日加工24個(gè)，則此后均勻每日起碼需加工多少個(gè)，才能在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)超額達(dá)成任務(wù)？設(shè)此后均勻每日起碼需要加工x個(gè)，求解此問題需要建立的不等關(guān)系式為________．(2)用一段長為30m的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形菜園，墻長18m，要求菜園的面積不小于110m2，靠墻的一邊長為xm．試用不等式表示此中的不等關(guān)系．【解】(1)因?yàn)樵撥嚬?天后均勻每日需加工x個(gè)部件，加工(15－3)天共加工12x個(gè)部件，15天里共加工(3×24＋12x)個(gè)部件，則3×24＋12x>408.故填72＋12x＞408.因?yàn)榫匦尾藞@靠墻的一邊長為xm，而墻長為18m，所以0<x≤18，30－xx這時(shí)菜園的另一條邊長為2＝15－2(m)．x所以菜園面積S＝x15－2，x依題意有S≥110，即x15－2≥110，故該題中的不等關(guān)系可用不等式表示為0<x≤18，x15－2≥110.1．本例(2)中，若矩形的長、寬都不可以超出11m，對面積沒有要求，則x應(yīng)知足的不等關(guān)系是什么？x解：因?yàn)榫匦蔚牧硪贿?5－2≤11，所以x≥8，又0<x≤18，且x≤11，所以8≤x≤11.2．本例(2)中，若要求x∈N，則x能夠取哪些值？x解：函數(shù)S＝x15－2的對稱軸方程為x＝15，令S≥110，x∈N，經(jīng)查驗(yàn)當(dāng)x＝13，14，15，16，17時(shí)S≥110.利用不等式表示不等關(guān)系時(shí)的注意點(diǎn)一定是擁有同樣性質(zhì)，能夠比較大小的兩個(gè)量才可用不等式來表示，沒有可比性的兩個(gè)量之間不可以用不等式來表示．在用不等式表示實(shí)質(zhì)問題時(shí)，必定要注意單位一致．1．某廠技術(shù)科組織工人參加某項(xiàng)技術(shù)測試，某員工參加完測試后對自己的成績進(jìn)行了如下預(yù)計(jì)：理論考試成績

x超出

85分，技術(shù)操作成績

y不低于

90分，辯論面試成績

z高于

95分，用不等式組表示為

(

)x>85

x≥85A.y≥90

B.y>90z≥95

z>95x>85

x≥85C.y≥90

D.y>90z>95

z≥95分析：選

C.x

超出

85分表示為

x>85，y不低于

90分表示為

y≥90，z

高于

95分，表示為z>95，應(yīng)選

C.2．雷電的溫度大概是28000℃，比太陽表面溫度的4.5倍還要高．設(shè)太陽表面溫度為℃，那么t應(yīng)知足的關(guān)系式是________．分析：由題意得，太陽表面溫度的4.5倍小于雷電的溫度，即4.5t<28000.答案：4.5t<28000數(shù)(式)大小的比較比較3x3與3x2－x＋1的大小．(2)已知a≥1，試比較M＝a＋1－a和N＝a－a－1的大小．【解】(1)3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)．當(dāng)x≤1時(shí)，有x－1≤0，而3x2＋1>0.所以(3x2＋1)(x－1)≤0，所以3x3≤3x2－x＋1.當(dāng)x>1時(shí)，(3x2＋1)(x－1)>0，所以3x3>3x2－x＋1.(2)因?yàn)閍≥1，所以M＝a＋1－a>0，N＝a－a－1>0.M＋1－aa＋－1所以N＝a－a－1＝a＋1＋a.因?yàn)閍＋1＋a>a＋a－1>0，M所以N<1，所以M<N.利用作差法比較大小的四個(gè)步驟作差：對要比較大小的兩個(gè)式子作差．變形：對差式經(jīng)過通分、因式分解、配方等手段進(jìn)行變形．判斷符號：對變形后的結(jié)果聯(lián)合題設(shè)條件判斷出差的符號．作出結(jié)論．[注意]上述步驟可歸納為“三步一結(jié)論”，這里的“判斷符號”是目的，“變形”是關(guān)鍵．此中變形的技巧許多，常有的有因式分解法、配方法、有理化法等．1．若x∈R，y∈R，則( )A．x2＋y2>2xy－1B．x2＋y2＝2xy－1C．x2＋y2<2xy－1D．x2＋y2≤2xy－1分析：選A.因?yàn)閤2＋y2－(2xy－1)＝x2－2xy＋y2＋1＝(x－y)2＋1>0，所以x2＋y2>2xy－1，應(yīng)選A.2．已知x>y>0，試比較x3－2y3與xy2－2x2y的大?。猓河深}意，知(x3－2y3)－(xy2－2x2y)＝x3－xy2＋2x2y－2y3＝x(x2－y2)＋2y(x2－y2)＝(x2y2)(x＋2y)(x－y)(x＋y)(x＋2y)，因?yàn)閤>y>0，所以x－y>0，x＋y>0，x＋2y>0，33223322所以(x－2y)－(xy－2xy)>0，即x－2y>xy－2xy.解因?yàn)?/p>

5x2＋y2＋z2－(2xy＋4x＋2z－2)＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋y2＋z2－2z＋1＝(2x－1)2＋(x－y)2＋(z－1)2≥0，所以

5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2，當(dāng)且僅當(dāng)

1x＝y(tǒng)＝2且

z＝1時(shí)取到等號．不等式的基天性質(zhì)關(guān)于實(shí)數(shù)a，b，c，有以下說法：①若a>b，則ac<bc；22②若ac>bc，則a>b；22③若a<b<0，則a>ab>b；此中正確的選項(xiàng)是________(填序號)．b若c>a>b>0，求證：c－a>c－b.【解】(1)①中，c的正、負(fù)或能否為0未知，因此判斷ac與bc的大小缺少依照，故①不正確．②中，由ac2>bc2，知c≠0，故c2>0，所以a>b成立，故②正確．a(chǎn)<b，2a＜b，222③中，?a>ab，b<0?ab>b，所以a>ab>b，故③正確．故填②③.a<0證明：因?yàn)閍>b>0?－a<－b?c－a<c－b.因?yàn)閏>a，所以c－a>0，所以0<c－a<c－b.111上式兩邊同乘（c－a）（c－b），得c－a>c－b>0.b又因?yàn)閍>b>0，所以c－a>c－b.利用不等式的性質(zhì)證明不等式的方法簡單不等式的證明可直接由已知條件，利用不等式的性質(zhì)，經(jīng)過對不等式變形得證．關(guān)于不等號兩邊式子都比較復(fù)雜的狀況，直接利用不等式的性質(zhì)不易得證，可考慮將不等式的兩邊作差，而后進(jìn)行變形，依據(jù)條件確立每一個(gè)因式(式子)的符號，利用符號法例判斷最后的符號，達(dá)成證明．1．給出以下命題：①a>b?a2>b2；②a2>b2?a>b；b11③>?<1；④>?<.abaabab此中正確的命題個(gè)數(shù)是()A．0B．1C．2D．3分析：選A.由性質(zhì)7可知，只有當(dāng)a>b>0時(shí)，a2>b2才成立，故①②都錯(cuò)誤；關(guān)于③，只有當(dāng)a>0且>時(shí)，b<1才成立，故③錯(cuò)誤；aba1當(dāng)a>0，b<0時(shí)，a＞b，故④錯(cuò)誤．b2．已知a>b>0，求證：b>a.證明：因?yàn)?/p>

a>b>0，所以

a>

b>0.

①又因?yàn)?/p>

a>b>0，兩邊同乘正數(shù)

111ab，得b>a>0.②b①②兩式相乘，得b>a.利用不等式性質(zhì)求代數(shù)式的取值范圍已知－1<x<4，2<y<3.求x－y的取值范圍；求3x＋2y的取值范圍．【解】(1)因?yàn)椋?<x<4，2<y<3，所以－3<－y<－2，所以－4<x－y<2.(2)由－1<x<4，2<y<3，得－3<3x<12，4<2y<6，所以1<3x＋2y<18.1．若將本例條件改為－1<x<y<3，求x－y的取值范圍．解：因?yàn)椋?<x<3，－1<y<3，所以－3＜－y<1，所以－4<x－y<4.又因?yàn)閤<y，所以x－y<0，所以－4<x－y<0.2．若將本例條件改為－1<x＋y<4，2<x－y<3，求3x＋2y的取值范圍．解：設(shè)3x＋2y＝m(x＋y)＋n(x－y)，5m＋n＝3，m＝2，則所以m－n＝2，1n＝.251即3x＋2y＝2(x＋y)＋2(x－y)，又因?yàn)椋?<x＋y<4，2<x－y<3，55＋y1x－y3所以－<()<10，1<()<，22x2235123所以－2<2(x＋y)＋2(x－y)<2，323即－2<3x＋2y<2.利用不等式的性質(zhì)求取值范圍的策略成立待求范圍的整體與已知范圍的整體的關(guān)系，最后利用一次不等式的性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算，求得待求的范圍．同向(異向)不等式的兩邊能夠相加(相減)，這類轉(zhuǎn)變不是等價(jià)變形，假如在解題過程中多次使用這類轉(zhuǎn)變，就有可能擴(kuò)大其取值范圍．[注意]求解這類不等式問題要特別注意不可以簡單地分別求出單個(gè)變量的范圍，再去求其余不等式的范圍．1．若－1<α<β<1，則以下各式中恒成立的是( )A．－2<α－β＜0

B．－2<α－β<－1C．－1<α－β<0

D．－1<α－β<1分析：選A.由－1<α<1，－1<β<1，得－1<－β<1，所以－2<α－β<2.又因?yàn)棣?lt;β，故－2<α－β<0.a2．已知12<a<60，15＜b<36，求a－b與b的取值范圍．解：因?yàn)?5<b<36，所以－36<－b<－15，所以12－36<a－b<60－15，即－24<a－b<45.因?yàn)?<1<1，36b1512a601a所以36<b<15，所以3<b<4.1．已知b<2a，3d<c，則以下不等式必定成立的是()A．2a－c>b－3dB．2ac>3bdC．2a＋c>b＋3dD．2a＋3d>b＋c分析：選C.因?yàn)閎<2a，3d<c，則由不等式的性質(zhì)得b＋3d<2a＋c，應(yīng)選C.2．已知0<a<1，0<a<1，記M＝aa，N＝a＋a－1，則M與N的大小關(guān)系是( )121212A．M<NB．M>NC．M＝ND．M≥N分析：選B.因?yàn)?<a1<1，0<a2<1，所以－1<a1－1<0，－1<a2－1<0，所以M－N＝a1a2－(a1a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)(a2－1)>0，所以M>N，應(yīng)選B.b23．已知a，b為實(shí)數(shù)，且a≠b，a＜0，則a________2b－a.(填“＞”“＜”或“＝”)－2b－b2＝（a－b）22分析：因?yàn)閍≠，＜0，所以＜0，所以＜2－b.baaaaaba答案：＜4．已知a，b∈R，x＝a3－b，y＝a2b－a，試比較x與y的大?。猓阂?yàn)閤－y＝a3－b－a2b＋a＝a2(a－b)＋a－b＝(a－b)(a2＋1)，所以當(dāng)a>b時(shí)，x－y>0，所以x>y；當(dāng)a＝b時(shí)，x－y＝0，所以x＝y(tǒng)；當(dāng)a<b時(shí)，x－y<0，所以x<y.[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．高速公路對行駛的各樣車輛的最大限速為120km/h，行駛過程中，同一車道上的車間距d不得小于10m，用不等式表示為( )A．v≤120km/h或d≥10mv≤120km/hB．d≥10mC．v≤120km/hD．d≥10m分析：選B.依照題意直接將條件中的不等關(guān)系轉(zhuǎn)變?yōu)椴坏仁剑礊関≤120km/h，d≥10m.2．以下說法正確的選項(xiàng)是( )A．若a>b，c>d，則ac>bd11B．若a>b，則a<bC．若b>c，則|a|b≥|a|cD．若a>b，c>d，則a－c>b－d分析：選

C.A項(xiàng)：a，b，c，d的符號不確立，故沒法判斷；

B項(xiàng)：不知道

ab的符號，無法確立

a，b的大??；

C項(xiàng)：|a|≥0，所以

|a|b≥|a|c成立；

D項(xiàng)：同向不等式不可以相減．3．若

y1＝3x2－x＋1，y2＝2x2＋x－1，則

y1與

y2的大小關(guān)系是

(

)A．y1<y2

B．y1＝y(tǒng)2C．y1>y2

D．隨

x值變化而變化分析：選

C.y1－y2＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x－1)x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0，所以y1>y2.應(yīng)選C.4．已知a>b>0，則以下不等式必定成立的是()1111A．a(chǎn)＋b>b＋aB．a(chǎn)＋a≥b＋bbb＋111C．>＋1D．b－>a－aaab1111分析：選A.因?yàn)閍>b>0，所以b>a>0，所以a＋b>b＋a，應(yīng)選A.5．設(shè)a>b>c，且a＋b＋c＝0，則以下不等式恒成立的是( )A．a(chǎn)b>bcB．a(chǎn)c>bcC．>D．||>|b|abacabc分析：選C.因?yàn)閍>b>c，且a＋b＋c＝0，所以a>0，c<0，b可正、可負(fù)、可為零．由b>c，a>0知，ab>ac.應(yīng)選C.116．給出四個(gè)條件：①b>0>a，②0>a>b，③a>0>b，④a>b>0，能推得a<b成立的是________．1b－a分析：a<b?ab<0，所以①②④能使它成立．答案：①②④7．一輛汽車本來每日行駛

km，假如這輛汽車每日行駛的行程比本來多

19km，那么在8天內(nèi)它的行程就超出

2200km

，寫成不等式為

________；假如它每日行駛的行程比本來少12km，那么它本來行駛

8天的行程就得花

9天多的時(shí)間，用不等式表示為

________．分析：①本來每日行駛

x

km，此刻每日行駛

(x＋19)km.則不等關(guān)系“在

8天內(nèi)的行程超過

2200km

”，寫成不等式為

8(x＋19)>2200.②若每日行駛

(x－12)km，則不等關(guān)系“本來行駛

8天的行程此刻花

9天多時(shí)間”，寫成不等式為

8x>9(x－12)．答案：8(x＋19)>2200

8x>9(x－12)cd8．已知三個(gè)不等式①ab>0；②a>b；③bc>ad.若以此中的兩個(gè)作為條件，余下的一個(gè)作為結(jié)論，則能夠構(gòu)成________個(gè)正確命題．分析：①②?③，③①?②.(證明略)bc－ad由②得>0，又由③得－ad>0.所以>0?①.所以能夠構(gòu)成3個(gè)正確命題．a(chǎn)bbcab答案：39．已知a，b∈R，a＋b>0，試比較a3＋b3與ab2＋a2b的大?。猓阂?yàn)閍＋b>0，(a－b)2≥0，所以a3＋b3－ab2－a2b＝a3－a2b＋b3－ab2＝a2(a－b)＋b2(b－a)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)(a－b)(a＋b)＝(a－b)2(a＋b)≥0，所以a3＋b3≥ab2＋a2b.10．已知－2<a≤3，1≤b<2，試求以下代數(shù)式的取值范圍．(1)|a|；(2)a＋b；(3)a－b；(4)2a－3b.解：(1)|a|∈[0，3]．－1<a＋b<5.依題意得－2<a≤3，－2<－b≤－1，相加得－4<a－b≤2；由－2<a≤3得－4<2a≤6，①由1≤b<2得－6<－3b≤－3，②由①＋②得，－10<2a－3b≤3.[B能力提高]1111．(2019·河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)月考)若a<b<0，則以下結(jié)論中不正確的選項(xiàng)是( )A．a(chǎn)2<b2B．a(chǎn)b<b2C．a(chǎn)＋b<0D．|a|＋|b|>|a＋b|分析：選11<0，所以22<2，＋<0，所以A，B，C均正確，D.因?yàn)?lt;<0，所以<b>a，abbaabbab因?yàn)?<

b<a<0，所以|a|＋|b|＝|a＋b|，故D錯(cuò)誤，應(yīng)選D.ππ12．若α、β知足－2<α<β<2，則2α－β的取值范圍是( )