南工程 概率論試卷1

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05/06學(xué)年概率統(tǒng)計(jì)試卷A

一、單項(xiàng)選擇題(本大題分6小題,每題3分,共18分)1.設(shè)P(A)=a,P(B)=b,P(A∪B)=c,則P(AB)為

()

(A)a?b;(B)c?b;(C)a(1?b);(D)b?a.2.在1、2、3、4、5中,不放回地抽取兩個(gè)數(shù),一次一個(gè),則其次次取到偶數(shù)的概率為(A)

()

3;4(B)

3;5(C)

2;5(D)

3.10

()

?Ax,0?x?23.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)??,則常數(shù)A=

0,x?0,x?2?

(A)

1;(B)2;(C)1;(D)3.24.對(duì)任意隨機(jī)變量X,若E(X)存在,則E(E(E(X)))等于

3

(A)0;(B)X;(C)(E(X));(D)E(X).

5.設(shè)X1、X2、…、Xn是正態(tài)總體N(μ,σ2)的樣本,S2為樣本方差.則在以下各式中,正確的是(A)

(n?1)S2()()

?2~χ(n?1);(B)

2

(n?1)S2?2~χ(n);(C)

2

(n?1)S2?2~χ2(n+1);

(D)

(n?1)S?~χ2(n?1).

6.設(shè)總體X~N(?,?2),其中?2已知,則總體均值μ的置信區(qū)間長(zhǎng)度l與置信度1?α(00,求:

a?1,x?a,?a(1)常數(shù)A、B;(2)概率P{X?};(3)概率密度f(wàn)(x).

2七、(8分)某宿舍有學(xué)生900人,每人在入夜大約有10%的時(shí)間要占用一個(gè)水龍頭,設(shè)每人需用水龍頭與否是相互獨(dú)立的,問該宿舍至少需要安裝多少水龍頭,才能以95%以上的概率保證用水需要.(已知?(1.645)=0.95,?(1.28)=0.90,?(1.96)=0.975).

八、(10分)設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為f(x,y)?c(1?x2)(1?y2)(???x???,???y???).

求:(1)常數(shù)c;(2)(X,Y)落在以(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)為頂點(diǎn)的正方形內(nèi)的概率;(3)問X與Y是否相互獨(dú)立?

?(??1)x?,0?x?1,九、(8分)已知總體X的概率密度為f(x)??其中未知參數(shù)?>?1.設(shè)X1,X2,?,Xn

0,其它.?為取自總體X的樣本,(1)求?的矩估計(jì)量;(2)求?的最大似然估計(jì)量.

南京工程學(xué)院(05/06)概率統(tǒng)計(jì)試卷(A)解答

一、單項(xiàng)選擇題(本大題分6小題,每題3分,共18分)1.B;2.C;3.A;4.D;5.A;6.A.二、填空題(本大題分5小題,每空2分,共20分)1.

11,;632.0.1,0.3;3.8,12;Sn4.?2(n1?n2),n1?n2;

Snt?(n?1)).

25.(X??nz?,X?2?nz?),(X?2t?(n?1),X?2三、解:設(shè)A、B、C、D分別表示元件a、b、c、d發(fā)生故障,(1分)則線路中斷可表示為A∪[(B∪C)D],(2

分)又P(B∪C)=P(B)+P(C)?P(BC)=2p?p2,(2分)所以所求概率為P{A∪[(B∪C)D]}

=P(A)+P[(B∪C)D]?P{A[(B∪C)D]}=p+(2p?p2)p?p2(2p?p2)=p?2p2?3p3?p4.(3分)四、解:設(shè)A1={從第一只盒子中取兩個(gè)紅球},A2={從第一只盒子中取一個(gè)紅球,一個(gè)白球},A3={從第一只盒子中取兩個(gè)白球},B={從其次只盒子中取一個(gè)白球},則

112C5?C4C45103,(1分),(1分)P(A1)?2?,(1分)P(A2)??P(A)??3221818C918C9C92C5由全概率公式得所求概率為

P(B)?P(A1)?P(B/A1)+P(A2)?P(B/A2)+P(A3)?P(B/A3)(3分)=

2C2551063753?????=.(2分)181118111811992C313五、解:X的取值范圍為3,4,5.(1分)P{X?3}?3?,(1分)P{X?4}?3?,(1

1010C5C52C43C5分)P{X?5}??6.(1分)所以,X的分布律為(1分)10XPk311043105610數(shù)學(xué)期望EX=3?136?4??5?=4.5.(4分)1010101???A?,A?B?0,???F(?a?0)?F(?a?0),??22六、解:(1)由?(2分)得?解得?(2分)

1F(a?0)?F(a?0)???B?.?A?B?1,??2???aaa1111111(2)P{X?}=F()?F(?)(2分)=(?arcsin)?(?arcsin(?))?.(1分)

2222?22?231?,?22(3)f(x)?F?(x)(2分)=??a?x?0,?x?a,x?a,(1分)

七、解:設(shè)X表示某時(shí)刻需占用的水龍頭數(shù),應(yīng)求出k使P{0?X?k}=0.95.(2分)由中心極限定理知X?npnp(1?p)近似聽從N(0,1),其中n=900,p=0.1(2分),因此有

P{0?X?k}=P{0?npnp(1?p)?X?npnp(1?p)?k?npnp(1?p)}(2分)=P{?90X?90k?90k?90??}=?()?9999?(?10).由于?(?10)?0,所以,?(k?90k?90)?0.95,?1.645,k?104.805.(2分)99從而至少需要105個(gè)水龍頭,才能以95%以上的概率保證用水需要.八、解:(1)由

??????????f(x,y)dxdy?1(2分)得

c???1x2??1?dx???1y12??1?dy=c?arctanx???arctany??=c?2?1,故c?1????1?2.(2分)

(2)所求概率為P??2?1x201?dx?11y2????01?dy(2分)=

11?2?arctanx0?arctany0=

dy=dx=

1111.(1分)16(3)關(guān)于X的邊緣概率密度為fX(x)?關(guān)于Y的邊緣概率密度為fY(y)???(1?x)(1?y)1222?(1?x)12,(???x???)(1分),(???y???)(1分)

??????2(1?x2)(1?y2)?(1?y2)由于f(x,y)?fX(x)?fY(y),所以X與Y相互獨(dú)立.(1分)九、解:總體X的數(shù)學(xué)期望為E(X)?1設(shè)X?n?????xf(x)dx=

?10(??1)x??1dx=

??1.(2分)??2?i?1nXi為樣本均值,令

??1??2X?1.(1分)?X,(1分)解得未知參數(shù)?的矩估計(jì)量為???21?X設(shè)x1,x2,?,xn是相應(yīng)于樣本X1,X2,?,Xn的樣本觀測(cè)值,則似然函數(shù)為

n?nxi)?,0?xi?1(i?1,2,?n),?(??1)(L(?)??(2分)

i?1?0,其它.??dlnLn當(dāng)0?