空間向量與平行關(guān)系練習(xí)題

本文格式為Word版，下載可任意編輯——空間向量與平行關(guān)系練習(xí)題課時作業(yè)(十八)

[學(xué)業(yè)水平層次]

一、選擇題

1．l1的方向向量為v1＝(1,2,3)，l2的方向向量v2＝(λ，4,6)，若l1∥l2，則λ＝()

A．1B．2C．3D．412

∵l1∥l2，∴v1∥v2，則λ＝4，∴λ＝2.B

→→→

2．若AB＝λCD＋μCE，則直線AB與平面CDE的位置關(guān)系是

()

A．相交C．在平面內(nèi)

B．平行

D．平行或在平面內(nèi)

→→→→→→

∵AB＝λCD＋μCE，∴AB、CD、CE共面，則AB與平面CDE的位置關(guān)系是平行或在平面內(nèi)．

D

3．已知平面α內(nèi)有一個點A(2，－1,2)，α的一個法向量為n＝(3,1,2)，則以下點P中，在平面α內(nèi)的是()

A．(1，－1,1)3??

C.?1，－3，2?

?

?

?

3??

??1，3，B.2??3??

D.?－1，3，－2?

?

?

?

→?1?

??－1，4，－對于B，AP＝2，

→1??

?－1，4，－?＝0，則n·AP＝(3,1,2)·2

?

?

→3??

∴n⊥AP，則點P?1，3，2?在平面α內(nèi)．

?

?

B

4．已知直線l的方向向量是a＝(3,2,1)，平面α的法向量是u＝(－1,2，－1)，則l與α的位置關(guān)系是()

A．l⊥α

C．l與α相交但不垂直

B．l∥α

D．l∥α或l?α

由于a·u＝－3＋4－1＝0，所以a⊥u.所以l∥α或l?α.

D二、填空題

5．若平面α，β的法向量分別為(－1,2,4)，(x，－1，－2)，并且α⊥β，則x的值為________．

由于α⊥β，那么它們的法向量也相互垂直，則有－x－2－8＝0.所以x＝－10.

－10

1??6．已知直線l的方向向量為(2，m,1)，平面α的法向量為?1，2，2?，

??且l∥α，則m＝________.

∵l∥α，∴l(xiāng)的方向向量與α的法向量垂直，1??1

?1，，2?＝2＋m＋2＝0，∴m＝－8.∴(2，m,1)·22

?

?

－8

7．已知A(4,1,3)，B(2,3,1)，C(3,7，－5)，點P(x，－1,3)在平面ABC內(nèi)，則x＝________.

→→

AB＝(－2,2，－2)，AC＝(－1,6，－8)，→

AP＝(x－4，－2,0)，由題意知A、B、C、P四點共面，→→→

∴AP＝λAB＋μAC＝(－2λ，2λ，－2λ)＋(－μ，6μ，－8μ)＝(－2λ－μ，2λ＋6μ，－2λ－8μ)．

???2λ＋6μ＝－2，?λ＝－4，∴?∴???－2λ－8μ＝0，μ＝1，??

而x－4＝－2λ－μ，∴x＝11.11三、解答題

8.已知O、A、B、C、D、E、F、G、H為空間的9個點(如圖→→→→→→→→→3-2-7所示)，并且OE＝kOA，OF＝kOB，OH＝kOD，AC＝AD＋mAB，→→→EG＝EH＋mEF.

圖3-2-7

求證：(1)A、B、C、D四點共面，E、F、G、H四點共面；→→(2)AC∥EG；→→(3)OG＝kOC.

→→→→→→

(1)由AC＝AD＋mAB，EG＝EH＋mEF，知A、B、C、D四點共面，E、F、G、H四點共面．

→→→→→→→(2)∵EG＝EH＋mEF＝OH－OE＋m(OF－OE)→→→→→→＝k(OD－OA)＋km(OB－OA)＝kAD＋kmAB→→→＝k(AD＋mAB)＝kAC，→→∴AC∥EG.

→→→→→

(3)由(2)知OG＝EG－EO＝kAC－kAO→→→＝k(AC－AO)＝kOC.→→∴OG＝kOC.

9．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是BB1，DC的中→

點，求證：AE是平面A1D1F的法向量．

設(shè)正方體的棱長為1，建立如下圖的空間直角坐標(biāo)→1?1???

系，則A(1,0,0)，E?1，1，2?，D1(0,0,1)，F(xiàn)?0，2，0?，A1(1,0,1)，AE＝

????1??

?0，1，?，

2??

→?→1?

D1F＝?0，2，－1?，A1D1＝(－1,0,0)．

?

?

→→?1??1?

???∵AE·D1F＝0，1，2·0，2，－1?

?

??

?

11

＝2－2＝0，

→→又AE·A1D1＝0，→→→→∴AE⊥D1F，AE⊥A1D1.又A1D1∩D1F＝D1，∴AE⊥平面A1D1F，

→

∴AE是平面A1D1F的法向量．

[能力提升層次]

1．(2023·萊蕪高二檢測)已知平面α的一個法向量是(2，－1,1)，α∥β，則以下向量可作為平面β的一個法向量的是()

A．(4,2，－2)C．(2，－1，－5)

B．(2,0,4)D．(4，－2,2)

∵α∥β，∴β的法向量與α的法向量須平行，又∵(4，－2,2)＝2(2，－1,1)，解得應(yīng)選D.

D

2．(2023·成都高二檢測)已知直線l過點P(1,0，－1)，平行于向量a＝(2,1,1)，平面α過直線l與點M(1,2,3)，則平面α的法向量不可．．能是()．

A．(1，－4,2)1??1?C.－4，1，－2???

1??1

?B.4，－1，2???D．(0，－1,1)

→

由于PM＝(0,2,4)，直線l平行于向量a，若n是平面a＝0，?n·

α的法向量，則必需滿足?→

?n·PM＝0，不滿足，應(yīng)選D.

把選項代入驗證，只有選項D

D

19?5???

3．(2023·連云港高二檢測)若A?0，2，8?，B?1，－1，8?，

????5??

C?－2，1，8?是平面α內(nèi)的三點，設(shè)平面α的法向量a＝(x，y，z)，??則x∶y∶z＝________.

→?7?→?7?

由于AB＝?1，－3，－4?，AC＝?－2，－1，－4?，

?

?

?

?

→→

又由于a·AB＝0，a·AC＝0，7?x－3y－?4z＝0，所以?7

?－2x－y－?4z＝0，2??x＝3y，解得?4

??z＝－3y.

?4?2

所以x∶y∶z＝3y∶y∶?－3y?＝2∶3∶(－4)．

??

2∶3∶(－4)

4.如圖3-2-8，四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB與底面成的角為45°，底面ABCD為直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA1

＝BC＝2AD＝1.問：在棱PD上是否存在一點E，使得CE∥平面PAB？若存在，求出E點的位置；若不存在，請說明理由．

圖3-2-8

分別以AB、AD、AP為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖．則P(0,0,1)，C(1,1,0)，D(0,2,0),設(shè)E(0，y，z)，則

PE→

＝(0，y，z－1)，PD→

＝(0,2，－1)，

∵PE→∥PD→

，∴y(－1)－2(z－1)＝0，

①