廣東省佛山市重點(diǎn)中學(xué)2023屆高三4月一模數(shù)學(xué)試題及參考答案

佛山重點(diǎn)中學(xué)23屆高考模擬測(cè)試（一）數(shù)學(xué)考試范圍：高考內(nèi)容考試時(shí)間：2023年4月3日本試卷共4頁，22題，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。一、單選題（本大題共8小題，每題只有一個(gè)正確選項(xiàng)，共40分）1.已知集合，，且，則實(shí)數(shù)的所有值構(gòu)成的集合是（）A. B. C. D.2.設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則（）A.0 B. C.2 D.3.已知，為鈍角，，則（）A.1 B. C.2 D.4.二十四節(jié)氣歌是為了方便記憶我國(guó)古時(shí)立法中的二十四個(gè)節(jié)氣而編成的小詩歌，體現(xiàn)著我國(guó)古代勞動(dòng)人民的智慧.四句詩歌“春雨驚春淌谷天，夏滿芒夏暑相連；秋處露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒”中，每一句詩歌的開頭一字代表著季節(jié)，每一句詩歌包含了這個(gè)季節(jié)中的6個(gè)節(jié)氣.若從24個(gè)節(jié)氣中任選2個(gè)節(jié)氣，這2個(gè)節(jié)氣恰好在一個(gè)季節(jié)的概率為（）A. B. C. D.5.在中，設(shè)，那么動(dòng)點(diǎn)的軌跡必通過的（）A.垂心 B.內(nèi)心 C.重心 D．外心6.設(shè)函數(shù)，，方程恰有5個(gè)實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.7.知，，，則（）A. B. C. D.8.已知雙曲線的右頂點(diǎn)為，左、右焦點(diǎn)分別為，，以為直徑的圓與的漸近線在第一象限的交點(diǎn)為，且，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C.2 D.二、多選題（本大題共4小題，共20分。漏選得2分，錯(cuò)選得0分）9.若，其中為實(shí)數(shù)，則（）A. B. C. D.10.如圖所示，從一個(gè)半徑為（單位：）的圓形紙板中切割出一塊中間是正方形，四周是四個(gè)正三角形的紙板，以此為表面（舍棄陰影部分）折疊成一個(gè)正四棱錐，則以下說法正確的是（）A.四棱錐體積是 B四棱錐外接球表面積是C.異面直線與所成角的大小60° D.二面角所成角的余弦值11.設(shè)和分別為數(shù)列和的前項(xiàng)和.已知，，則（）A.是等比數(shù)列 B.是遞增數(shù)列 C. D.12.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，且滿足，，當(dāng)時(shí)，，則下列說法正確的是（）A.是偶函數(shù) B.為奇函數(shù)C.函數(shù)有8個(gè)不同的零點(diǎn) D.三、填空題（本大題共4小題，共20分）13.如圖所示，在平行四邊形中，，垂足為，且，則________.14.若兩個(gè)正實(shí)數(shù)，滿足，且不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.15如圖，已知橢圓的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，過作的外角平分線的垂線，垂足為點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，若線段的中點(diǎn)為，則點(diǎn)的軌跡方程為_________________.16.已知函數(shù)，，函數(shù)的圖象在點(diǎn)和點(diǎn)的兩條切線互相垂直，且分別與軸交于，兩點(diǎn)，則的取值范圍是________.四、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.中，分別是角的對(duì)邊，且有.（1）求角； （2）當(dāng)，時(shí)，求的面積.18.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列為等差數(shù)列，且滿足，，（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）若，，，求數(shù)列的前項(xiàng)和.19.如圖，在四棱錐中，已知，，，，，，為中點(diǎn)，為中點(diǎn).（1）證明：平面平面；（2）若，求平面與平面所成夾角的余弦值.20.在新冠肺炎疫情肆虐之初，作為重要防控物資之一的口罩是醫(yī)務(wù)人員和人民群眾抗擊疫情的武器與保障。（1）在試產(chǎn)初期，某新型全自動(dòng)高速口罩生產(chǎn)流水線有四道工序，前三道工序完成成品口罩的生產(chǎn)且互不影響，第四道是檢測(cè)工序，包括紅外線自動(dòng)檢測(cè)與人工抽檢.已知批次Ⅰ的成品口罩生產(chǎn)中，前三道工序的次品率分別為，，.（2）①求批次Ⅰ成品口罩的次品率.②第四道工序中紅外線自動(dòng)檢測(cè)為次品的口罩會(huì)被自動(dòng)淘汰，合格的口罩進(jìn)入流水線并由工人進(jìn)行抽查檢驗(yàn).已知批次Ⅰ的成品口罩紅外線自動(dòng)檢測(cè)顯示合格率為92%，求工人在流水線進(jìn)行人工抽檢時(shí)，抽檢一個(gè)口罩恰為合格品的概率（百分號(hào)前保留兩位小數(shù)）.（2）已知某批次成品口罩的次品率為，設(shè)100個(gè)成品口罩中恰有1個(gè)不合格品的概率為，記的最大值點(diǎn)為，改進(jìn)生產(chǎn)線后批次的口罩的次品率.某醫(yī)院獲得批次1，的口罩捐贈(zèng)并分發(fā)給該院醫(yī)務(wù)人員使用.經(jīng)統(tǒng)計(jì)，正常佩戴使用這兩個(gè)批次的口罩期間，該院醫(yī)務(wù)人員核酸檢測(cè)情況如下面條形圖所示，求，并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為口罩質(zhì)量與感染新冠肺炎病毒的風(fēng)險(xiǎn)有關(guān)？附：.0.0500.0100.0050.0013.8416.6357.87910.82821.己知雙曲線的漸近線與曲線相切.橫坐標(biāo)為的點(diǎn)在曲線上，過點(diǎn)作曲線的切線1交雙曲線于不同的兩點(diǎn).（1）求雙曲線的離心率；（2）記的中垂線交軸于點(diǎn).是否存在實(shí)數(shù)，使得？若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.22.已知函數(shù).（1）若函數(shù)為增函數(shù)，求的取值范圍：（2）已知，（i）證明：.（ii）若，證明：

答案解析1.D2.D3.B4.C5.D6.B7.C8.C9.BC10.BCD11.ACD12.AB13.214.15.16..5.設(shè)線段的中點(diǎn)為，則.，，.，且平分或者點(diǎn)在上.因此動(dòng)點(diǎn)的軌跡是的垂直平分線，必通過的外心.故選.6.【詳解】當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上恰好有5個(gè)，使得，故在上恰有5條對(duì)稱軸.令，則在上恰有5條對(duì)稱軸，如圖：所以.解得.故選：.7.【詳解】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得：，設(shè)，則在時(shí)恒成立，所以在上是增函數(shù)，是連續(xù)函數(shù)，因此在上是增函數(shù)，所以，即，即，所以.故選：.8.【詳解】設(shè)雙曲線的半焦距為，直線的方程為，有，即有，而，解得，在中，由余弦定理得：，因此，即有么，而，則，又，于是|，所以雙曲線的離心率.故選：9.解：，令，則，則，故錯(cuò)誤；，因?yàn)椋哉归_式中含的系數(shù)為，故B正確；，令，則，則，令，則，則，所以，故正確；D，，故錯(cuò)10.解：設(shè)正方形邊長(zhǎng)為，則由如圖1知，又因?yàn)椋?，解得，所以四周的四個(gè)正三角形邊長(zhǎng)也為2，連接、交于點(diǎn)，對(duì)于，因?yàn)槠矫?，又平?所以.因?yàn)?，，所以，所以，故錯(cuò)誤；對(duì)于，因?yàn)?，所以四棱錐的外接球的半徑為，所以四棱錐的外接球的表面積為，故正確；對(duì)于，因?yàn)?，所以異面直線與所成角等于，又因?yàn)闉檎切?，所以，故C正確；對(duì)于，取中點(diǎn)連接，，則，，所以二面角的平面角為，故D正確.故選BCD.11.解：因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，即，又，所以，即，所以是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，所以.A正確：，所以，是遞減數(shù)列B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所?C正確；①，②①-②得，所以.所以.所以.正確.故選.12.解：因?yàn)?，所以函?shù)關(guān)于直線對(duì)稱；則，又，即，所以，則，則函數(shù)的周期為8，令，則，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，則，由函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱以及關(guān)于對(duì)稱，周期為8，函數(shù)圖象如圖：則的數(shù)為向左平移1個(gè)單位得到，是偶函數(shù)，故4正確：為向左平移3個(gè)單位得到，是奇函數(shù)，故正確；畫出和函數(shù)的圖象：可以看出在兩個(gè)函數(shù)的圖象有5個(gè)交點(diǎn)，所以方程有10個(gè)不同的零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤：，，，，，，，，，，故D錯(cuò)誤，故選AB15.解：點(diǎn)關(guān)于的外角平分線的對(duì)稱點(diǎn)在直線的延長(zhǎng)線上，（橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)），又是的中位線，故，設(shè)，則，.即.即的軌跡方程為，故答案為.16.解：由題可知，所以又，，且，，即，又直線，令，，即，，直線.令，，即，，令，，，即，，即.故答案為.17.解：（1）因?yàn)?，且，，即，解得或又，解得或或，?）因?yàn)?，，，所以，則，根據(jù)余弦定理得，即，則，解得或，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以的面積為或.18.解：（l）設(shè)數(shù)列的公差為，令，，解得，令，，又，所以，解得.所以，則①，當(dāng)時(shí)，②，①-②得.則.所以，所以是公比為2的等比數(shù)列，且，所以，所以；（2）由，可得.當(dāng)且時(shí)，，，…，.累加可得，經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)時(shí)，滿足上式，所以當(dāng)時(shí)，，所以而，所以.19.解：（1）因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，為中點(diǎn)，所以，在中，，，，由余弦定理得.即，連接AC，在中，，，，所以，，在中，，，，由余弦定理得，即，解得，所以，所以，又為AB中點(diǎn)，所以，所以為等邊三角形，所以，所以，又，所以，因?yàn)椋矫?，平面CEF，所以平面CEF，同理可得，平面CEF，因?yàn)椋矫?，平?所以平面平面；（2）在中，，.則，又，解得，因?yàn)?，所以，又，，，平面AOP，所以平面，以O(shè)為原點(diǎn)，OC，OA所在直線分別為x，y軸，過點(diǎn)O作平面OABC的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則，，，，，所以，，，，設(shè)平面POC的法向量為，則令，得平面POC的一個(gè)法向量，同理可得，平面PAB的一個(gè)法向量為，設(shè)平面POC與平面PAB所成夾角為，則，則平面POC與平面PAB所成夾角的余弦值為.20.解：（1）①批次成品口罩的次品率為；②設(shè)批次E的成品口罩紅外線自動(dòng)檢測(cè)合格為事件A，人工抽檢合格為事件B，由已知可得，，則仍在流水線進(jìn)行人工抽檢時(shí)，抽檢一個(gè)口罩恰為合格品的概率為；（2）100個(gè)成品口罩中恰有1個(gè)不合格的概率為，所以令，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的最大值點(diǎn)為，由（1）可知，，.故批次J口罩次品率低于批次I，故批次J的口罩質(zhì)量?jī)?yōu)于批次I.由條形圖可建立2×2列聯(lián)表如下：核酸檢測(cè)結(jié)果口罩批次合計(jì)ⅠⅡ呈陽性12315呈陰性285785合計(jì)4060100所以，因此，有99.9%的把握認(rèn)為口罩質(zhì)量與感染新冠肺炎病毒的風(fēng)險(xiǎn)有關(guān).21.解：（1）由題意知：與曲線：相切，消得有唯一解，，得，離心率；（2）直線AB方程為代入雙曲