北京市順義區(qū)第二中學2022-2023學年高一上學期期中 數(shù)學試題（解析版）

順義二中2022-2023學年度第一學期期中考試高一數(shù)學試卷第一部分選擇題（共40分）一、下列各小題均有四個選項，其中只有一項是符合題意要求的.請將所選答案前的字母，按規(guī)定要求填涂在答題卡第1～10題的相應位置上.（每小題4分，選對一項得4分，多選則該小題不得分.）1.設集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用交集的定義可求.【詳解】由題設有，故選：B.2.命題：“，”的否定是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定為特稱量詞命題判斷即可；【詳解】解：命題：“，”全稱量詞命題，其否定為：；故選：D3.下列四個函數(shù)中，與表示同一函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)相等函數(shù)的判斷性質進行定義域和對應法則的判斷.根據(jù)兩個函數(shù)的定義域相同，對應關系也相同，這樣的兩個函數(shù)是同一函數(shù)，進行判斷即可．【詳解】解：對于選項A：，與定義域不同，所以不是同一函數(shù)，故A錯誤；

對于選項B：，與的定義域相同，對應關系也相同，所以是同一函數(shù)，故B正確；

對于選項C：，與的對應關系不同，所以不是同一函數(shù)，故C錯誤；對于選項D：，與的定義域不同，所以不是同一函數(shù)，故D錯誤．故選：B．4.下列函數(shù)中是偶函數(shù)，且在上單調遞增的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調性確定正確答案.【詳解】是偶函數(shù)，且在上遞增，符合題意.、、不是偶函數(shù)，不符合題意.故選：A5.若，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的知識確定正確答案.【詳解】函數(shù)在上遞增，函數(shù)在上遞減，所以，所以.故選：A6.“”是“”的A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【詳解】試題分析：根據(jù)題意，的解集為，故當x>3時可以推出后者成立，而后者成立不一定得到x>3，所以是充分不必要條件考點：常用邏輯用語中的充分必要條件的推理7.若，則的最小值是（）A. B.2 C. D.3【答案】C【解析】【分析】利用基本不等式，直接求解即可.【詳解】因為，故，當且僅當且，即時取得等號.故選：C.8.已知不等式的解集為，則實數(shù)的值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】結合根與系數(shù)關系求得.【詳解】由于不等式的解集是，所以.故選：D9.二次函數(shù)，，則函數(shù)在此區(qū)間上的值域為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質求解即可.【詳解】解：，則，所以函數(shù)在此區(qū)間上的值域為.故選：A.10.數(shù)學的對稱美在中國傳統(tǒng)文化中多有體現(xiàn)，譬如如圖所示的太極圖是由黑白兩個魚形紋組成的圓形圖案，充分展現(xiàn)了相互轉化、對稱統(tǒng)一的和諧美.如果能夠將圓的周長和面積同時平分的函數(shù)稱為這個圓的“優(yōu)美函數(shù)“，下列說法錯誤的是（）A.對于任意一個圓，其“優(yōu)美函數(shù)”有無數(shù)個B.可以是某個圓的“優(yōu)美函數(shù)”C.函數(shù)可以同時是無數(shù)個圓的“優(yōu)美函數(shù)”D.函數(shù)是“優(yōu)美函數(shù)”的充要條件為函數(shù)的圖象是中心對稱圖形【答案】D【解析】【分析】根據(jù)“優(yōu)美函數(shù)”的定義對選項進行分析，從而確定說法錯誤的選項.【詳解】A選項，對于任意一個圓，以圓心為原點建立如下圖所示平面直角坐標系，則函數(shù)，，是圓的“優(yōu)美函數(shù)”，所以A選項說法正確.B選項，是奇函數(shù)，圖象關于原點對稱，對于以原點為圓心，半徑為的圓，將圓的周長和面積同時平分，所以B選項說法正確.C選項，以原點為圓心的任意一個圓，都是圓的“優(yōu)美函數(shù)”，C選項說法正確.D選項，如下圖所示，函數(shù)是“優(yōu)美函數(shù)”，但函數(shù)的圖象不是中心對稱圖形，所以D選項說法錯誤.故選：D第二部分非選擇題（共110分）二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.11.已知的定義域是________________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)定義域的求法求得正確答案.【詳解】依題意，解得且，所以的定義域是.故答案為：12.函數(shù)在上的最大值為__________，最小值為__________.【答案】①.②.【解析】【分析】結合函數(shù)的單調性求得正確答案.【詳解】函數(shù)在上遞減，所以當時取得最大值；當時取得最小值.故答案為：；13.已知冪函數(shù)的圖象過點，則______．【答案】3【解析】【分析】先利用待定系數(shù)法代入點的坐標，求出冪函數(shù)的解析式，再求的值.【詳解】設，由于圖象過點,得，，，故答案為3.【點睛】本題考查冪函數(shù)的解析式，以及根據(jù)解析式求函數(shù)值，意在考查對基礎知識的掌握與應用，屬于基礎題.14.若恒成立，則實數(shù)的取值范圍為________.【答案】.【解析】【分析】根據(jù)命題恒成立，結合二次函數(shù)的圖象與性質，即可求解.詳解】由題意，命題恒成立，可得，解得，即實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.15.已知函數(shù)在上為奇函數(shù)，且在上為增函數(shù)，，則不等式的解集為_____．【答案】（－2,0）∪（0,2）【解析】【詳解】試題分析：為奇函數(shù)，，．為奇函數(shù)且在上單調遞增，所以在上也單調遞增．由數(shù)形結合解可得或．即解集為．考點：1奇函數(shù)的性質；2數(shù)形結合思想．三、解答題：本大題共6小題，共85分.解答應寫出必要的求解過程.16.設全集為R，集合（1）求，；（2）求.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)一元二次不等式的解法求出集合，再根據(jù)交集和并集的定義即可得解；（2）根據(jù)補集和交集的定義即可得解.【小問1詳解】解：，則，；【小問2詳解】解：或，所以.17.計算下列各式的值：（1）；（2）.【答案】（1）13（2）【解析】【分析】（1）由指數(shù)冪的運算性質求解即可；（2）由對數(shù)的運算性質求解即可【小問1詳解】；【小問2詳解】18.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的定義域；（2）判斷函數(shù)在上的單調性，并給出證明；（3）若，求函數(shù)的最大值和最小值.【答案】（1）（2）減函數(shù)，理由見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)分母不等于0即可得解；（2）令，利用作差法證明即可；（3）根據(jù)函數(shù)的單調性即可得解.【小問1詳解】解：由得，所以函數(shù)的定義域為；【小問2詳解】解：函數(shù)在上單調遞減，理由：令，，因為，所以，所以，所以函數(shù)在上單調遞減；【小問3詳解】解：由（2）得，.19.已知函數(shù)（1）求和的函數(shù)解析式；（2）設，判斷的奇偶性，并加以證明；（3）若，請直接寫出x的取值范圍【答案】（1）（2）是偶函數(shù)，證明詳見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)的值求得，從而求得正確答案.（2）根據(jù)函數(shù)的奇偶性的知識證得的奇偶性.（3）根據(jù)函數(shù)的單調性求得的取值范圍.【小問1詳解】由于，所以，所以.【小問2詳解】，是偶函數(shù)，證明如下：的定義域為，，所以是偶函數(shù).【小問3詳解】，即，由于在上遞增，所以，所以的取值范圍是.20.已知函數(shù).（1）求的值；（2）畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象寫出函數(shù)的單調區(qū)間；（3）若，求x的取值范圍.【答案】（1）（2）圖象詳見解析，減區(qū)間，增區(qū)間（3）【解析】【分析】（1）先求得，然后求得.（2）根據(jù)函數(shù)的解析式畫出的圖象，由此求得的單調區(qū)間.（3）由以及函數(shù)圖象求得的取值范圍.【小問1詳解】.【小問2詳解】，所以的圖象如下圖所示，由圖可知，的減區(qū)間為，增區(qū)間為【小問3詳解】，由圖象可知，滿足的的取值范圍是.21.已知定義域為R的函數(shù)是奇函數(shù).（1）求實數(shù)a的值；（2）判斷該函數(shù)在定義域R上的單調性（不要求寫證明過程）.（3）若對任意的，不等式恒成立，求實數(shù)k的取值范圍；（4）設關于x的函數(shù)有零點，求實數(shù)b的取值范圍.【答案】（1）；（2）減函數(shù)；（3）；（4）【解析】【分析】（1）利用可構造方程求得結果；（2）通過分離常數(shù)的方法可判斷出函數(shù)的單調性；（3）利用奇偶性將不等式變?yōu)?，利用單調性得到自變量大小關系，利用分離變量的方式將問題轉化為，通過求解二次函數(shù)的最小值求得結果；（4）利用奇偶性將問題轉化為方程有根，根據(jù)單調性得到方程有根，進而得到；根據(jù)二次函數(shù)型的復合函數(shù)的值域求解方法可求得，從而求得結果.【詳解】（1）為定義在上的奇函數(shù)，解得：（2）由（1）知：為上的增函數(shù)為上的減函數(shù)為上的減函數(shù)（3）由得：由（2）知：為上的減函數(shù)，即，即的取值范圍為（