淮安市淮陰中學(xué)2020屆高三下學(xué)期4月綜合測(cè)試數(shù)學(xué)試題含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精江蘇省淮安市淮陰中學(xué)2020屆高三下學(xué)期4月綜合測(cè)試數(shù)學(xué)試題含解析江蘇省淮陰中學(xué)2020屆高三下學(xué)期數(shù)學(xué)綜合測(cè)試（4）一、填空題:1。復(fù)數(shù)的虛部為_______?！敬鸢浮俊窘馕觥俊痉治觥炕?jiǎn)得到，得到答案?！驹斀狻?故虛部為.故答案為：?！军c(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的虛部，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力。2。某校共有400名學(xué)生參加了一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽,競(jìng)賽成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示,則在本次競(jìng)賽中，得分不低于80分以上的人數(shù)為__________。【答案】160【解析】【分析】利用頻率分布直方圖中頻率之和為1，計(jì)算出得分不低于80分的頻率為,從而求出得分不低于80分以上的人數(shù)。【詳解】得分不低于80分的頻率為則得分不低于80分以上的人數(shù)為【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖。頻率分布直方圖的縱坐標(biāo)是頻率組距，而不是頻率．頻數(shù)樣本容量＝頻率，此關(guān)系式的變形為頻數(shù)頻率＝樣本容量,樣本容量頻率＝頻數(shù)．3.根據(jù)如圖所示的偽代碼，可知輸出S的值為__________【答案】21【解析】【分析】先讀懂流程圖的功能,然后逐步運(yùn)算即可得解?！驹斀狻拷猓河深}意可知:當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí),，當(dāng)時(shí),，當(dāng)時(shí),，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，,輸出當(dāng)前的，故輸出S的值為,故答案為:?！军c(diǎn)睛】本題考查了流程圖的功能，重點(diǎn)考查了運(yùn)算能力,屬基礎(chǔ)題。4。若等差數(shù)列的前項(xiàng)和,且，則______________。【答案】【解析】【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題意建立和的方程組,解出這兩個(gè)量，即可求出的值.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意得，解得，因此，.故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列中項(xiàng)的計(jì)算,解題的關(guān)鍵就是要建立首項(xiàng)和公差的方程組,利用這兩個(gè)基本量來求解，考查運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題。5。設(shè)為兩條不同的直線，為兩個(gè)不同的平面，下列命題中正確的是____________。（填序號(hào))①若則;②若則；③若則；④若則。【答案】②④【解析】【分析】由空間線面、線線的位置關(guān)系，逐一判斷即可得解.【詳解】解：對(duì)于①,若則或與相交或與異面，即①錯(cuò)誤；對(duì)于②，若則，即②正確；對(duì)于③，若則或與相交或與異面,即③錯(cuò)誤；對(duì)于④,若由面面垂直的性質(zhì)定理可得,即④正確，即命題中正確的是②④,故答案為:②④.【點(diǎn)睛】本題考查了空間線面、線線的位置關(guān)系，重點(diǎn)考查了空間想象能力，屬基礎(chǔ)題.6.在中,已知,若分別是角所對(duì)的邊,則的最大值為。【答案】【解析】試題分析：由正余弦定理得:,化簡(jiǎn)得因此即最大值為.考點(diǎn)：正余弦定理,基本不等式7。已知向量,，，若夾角為銳角，則取值范圍是【答案】【解析】若夾角為銳角則故8.先后擲兩次正方體骰子（骰子的六個(gè)面分別標(biāo)有點(diǎn)數(shù)1、2、3、4、5、6），骰子朝上的面的點(diǎn)數(shù)分別為，則是奇數(shù)的概率是____________.【答案】【解析】【分析】先求出擲兩次正方體骰子共有種情況，然后求出是奇數(shù)的共有種情況，再結(jié)合古典概型概率公式求解即可?！驹斀狻拷猓合群髷S兩次正方體骰子共有種情況,骰子朝上的面的點(diǎn)數(shù)分別為,當(dāng)是奇數(shù)時(shí),則均為奇數(shù)，又骰子的六個(gè)面分別標(biāo)有點(diǎn)數(shù)1、2、3、4、5、6,則有1，3，5三個(gè)奇數(shù)，即是奇數(shù)的共有種情況，故是奇數(shù)的概率是,故答案為：?！军c(diǎn)睛】本題考查了排列組合知識(shí),重點(diǎn)考查了古典概型概率公式，屬基礎(chǔ)題。9.設(shè)關(guān)于x的不等式，只有有限個(gè)整數(shù)解，且0是其中一個(gè)解，則全部不等式的整數(shù)解的和為____________【答案】【解析】【分析】先確定，再利用0為其中的一個(gè)解，，求出的值，從而可得不等式，由此確定不等式的整數(shù)解，從而可得結(jié)論.【詳解】設(shè)，其圖象為拋物線，對(duì)于任意一個(gè)給定的值其拋物線只有在開口向下的情況下才能滿足而整數(shù)解只有有限個(gè)，所以，因?yàn)?為其中一個(gè)解可以求得，又，所以或，則不等式為和，可分別求得和，因?yàn)槲徽麛?shù)，所以和，所以全部不等式的整數(shù)解的和為。故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次不等式的應(yīng)用，其中解答中根據(jù)題設(shè)條件確定出實(shí)數(shù)的值，求出相應(yīng)的一元二次不等式的解集是解答關(guān)鍵，推理與運(yùn)算能力。10。對(duì)于三次函數(shù)，給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”.某同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn):任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”;任何一個(gè)三次函數(shù)都有對(duì)稱中心，且“拐點(diǎn)”就是對(duì)稱中心.請(qǐng)你根據(jù)這一發(fā)現(xiàn),求:函數(shù)對(duì)稱中心為___________；【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意求解的根，進(jìn)而求得拐點(diǎn)，即對(duì)稱中心的坐標(biāo)即可?！驹斀狻坑深}，,故,令可得.代入可得。故其對(duì)稱中心為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了求導(dǎo)分析函數(shù)的對(duì)稱中心問題，需要根據(jù)題意求解的根.屬于基礎(chǔ)題。11。已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，若橢圓的焦距為,則的取值集合為_____________?！敬鸢浮俊窘馕觥俊痉治觥扛鶕?jù)題意分焦點(diǎn)在軸與軸上兩種情況求解即可.【詳解】由題,當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí),,即，解得或.當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，，即,解得。綜上，的取值集合為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的焦距以及含指數(shù)式的方程求解。屬于基礎(chǔ)題.12.一個(gè)質(zhì)點(diǎn)從A上出發(fā)依次沿圖中線段到達(dá)B、C、D、E、F、G、H、I、J各點(diǎn),最后又回到A（如圖所示），其中：，AB//CD//EF//HG//IJ，BC//DE//FG//HI//JA。欲知此質(zhì)點(diǎn)所走路程，至少需要測(cè)量n條線段的長(zhǎng)度，則n的值為_____【答案】3【解析】【分析】計(jì)算得到路程等于，得到答案.【詳解】路程等于，故至少需要測(cè)量3條線段長(zhǎng)度。故答案為：3?！军c(diǎn)睛】本題考查了線段的長(zhǎng)度問題，確定路程等于解題的關(guān)鍵。。13。記，已知函數(shù)是偶函數(shù)（為實(shí)常數(shù)),則函數(shù)的零點(diǎn)為__________．（寫出所有零點(diǎn)）【答案】【解析】【詳解】因?yàn)槭桥己瘮?shù)（為實(shí)常數(shù)），的零點(diǎn)是14.已知對(duì)角線互相垂直且面積為5的四邊形，其頂點(diǎn)都在半徑為3的圓上，設(shè)圓心到兩對(duì)角線的距離分別為，則的最大值為．【答案】【解析】解:由已知可知，利用均值不等式可以求解二、解答題15。（本小題共14分）已知?jiǎng)狱c(diǎn)在角的終邊上。（1）若，求實(shí)數(shù)的值；（2)記,試用將S表示出來.【答案】解：（1）是角的終邊上一點(diǎn)，則—---—--—-——-—--——-——-—----3分又,則，所以.—-—----—--—--——-6分（2）==-——--———---——9分————----—---—————12分—--—--————--——-—————--—-————14分【解析】分析：(1）利用正切函數(shù)的定義，得;（2)將已知表達(dá)式恒等變換，化為，再將代入,化簡(jiǎn)即可．詳解：解：（1）是角的終邊上一點(diǎn)，則--—-————-——-——-—-——---————3分又,則,所以.----——-—-——-——-—6分（2）==-—-—---—-—---9分-—-——--—--—--———-12分-——--——-——--—-————-———-—----14分點(diǎn)睛:本題主要考查了三角函數(shù)的定義以及三角函數(shù)恒等變換,考查了二倍角公式等,屬于中檔題．16。四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為菱形，且,側(cè)面PAD是正三角形,其所在的平面垂直于底面ABCD，點(diǎn)G為AD的中點(diǎn).（1)求證:BG面PAD；（2)E是BC的中點(diǎn)，在PC上求一點(diǎn)F,使得PG面DEF?！敬鸢浮浚?）證明見解析;（2）F為PC中點(diǎn)時(shí)滿足題意，具體見解析【解析】【分析】（1）連結(jié)BD，證明BGAD，因面PAD底面ABCD，且面PAD底面ABCD=AD,即可證明BG垂直于面PAD；(2）點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F為PC的中點(diǎn)，連接GC交DE于點(diǎn)H，證明PGFH，因?yàn)槊鍰EF，面DEF，即可證明PG面DEF.【詳解】證明：（1）連結(jié)BD,因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，且，所以三角形ABD為正三角形，又因?yàn)辄c(diǎn)G為AD的中點(diǎn),所以BGAD；因?yàn)槊鍼AD底面ABCD,且面PAD底面ABCD=AD,平面，所以BG面PAD.(2）當(dāng)點(diǎn)F為PC的中點(diǎn)時(shí)，PG面DEF,連結(jié)GC交DE于點(diǎn)H，因?yàn)镋、G分別為菱形ABCD的邊BC、AD的中點(diǎn)，所以四邊形DGEC為平行四邊形，所以點(diǎn)H為DE的中點(diǎn)，又點(diǎn)F為PC的中點(diǎn)，所以FH是三角形PGC的中位線，所以PGFH，因?yàn)槊鍰EF，面DEF,所以PG面DEF。綜上：當(dāng)點(diǎn)F為PC的中點(diǎn)時(shí)，PG面DEF.【點(diǎn)睛】本題考查了線面垂直的判定，重點(diǎn)考查了線面平行,屬中檔題.17。某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品的原材料費(fèi)為每件40元，若用x表示該廠生產(chǎn)這種產(chǎn)品的總件數(shù),則電力與機(jī)器保養(yǎng)等費(fèi)用為每件0。05x元，又該廠職工工資固定支出12500元．(1）把每件產(chǎn)品的成本費(fèi)P（x）（元）表示成產(chǎn)品件數(shù)x的函數(shù)，并求每件產(chǎn)品的最低成本費(fèi)；（2)如果該廠生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的數(shù)量x不超過3000件，且產(chǎn)品能全部銷售，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查:每件產(chǎn)品的銷售價(jià)Q（x）與產(chǎn)品件數(shù)x有如下關(guān)系：，試問生產(chǎn)多少件產(chǎn)品，總利潤最高？(總利潤=總銷售額-總的成本）【答案】(1）,當(dāng)時(shí)，最低成本為90元；（2）生產(chǎn)件時(shí),總利潤最高，最高為元?！窘馕觥吭囶}分析：解:（Ⅰ）由基本不等式得當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立∴，成本的最小值為元．(Ⅱ）設(shè)總利潤為元，則當(dāng)時(shí)答：生產(chǎn)650件產(chǎn)品時(shí),總利潤最高，最高總利潤為29750元．考點(diǎn)：函數(shù)模型運(yùn)用點(diǎn)評(píng)：主要是考查了函數(shù)模型運(yùn)用,結(jié)合均值不等式來求解最值，屬于中檔題．18.已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，橢圓短半軸長(zhǎng)為1，動(dòng)點(diǎn)在直線，（為長(zhǎng)半軸，為半焦距）上。（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（2）求以O(shè)M為直徑且被直線截得的弦長(zhǎng)為2的圓的方程；（3)設(shè)F是橢圓的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F作OM的垂線與以O(shè)M為直徑的圓交于點(diǎn)N.求證：線段ON的長(zhǎng)為定值，并求出這個(gè)定值.【答案】(1）；（2）；（3）證明見解析，定值為【解析】【分析】（1）由題可知,，再結(jié)合，可求出，從而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;（2）設(shè)出以O(shè)M為直徑的圓的方程,變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)方程后找出圓心和半徑，由以O(shè)M為直徑的圓被直線截得的弦長(zhǎng)為2，過圓心作弦的垂線，根據(jù)垂徑定理得到垂足為中點(diǎn)，由弦的一半,半徑以及圓心到直線的距離即弦心距構(gòu)成直角三角形，利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到直線的距離，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于的方程，求出方程的解即可得到的值,即可確定出所求圓的方程；(3)設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，表示出及，由，得到兩向量的數(shù)量積為0，利用平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則表示出一個(gè)關(guān)系式，又，同理根據(jù)平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則得到另一個(gè)關(guān)系式,把前面得到的關(guān)系式代入，即可求出線段ON的長(zhǎng),從而得到線段ON的長(zhǎng)為定值.【詳解】(1）又由點(diǎn)M在準(zhǔn)線上，得故,從而所以橢圓方程為（2)以O(shè)M為直徑圓的方程為即其圓心為，半徑因?yàn)橐設(shè)M為直徑的圓被直線截得的弦長(zhǎng)為2所以圓心到直線的距離所以，解得所求圓的方程為(3）方法一:由平面幾何知：直線OM：，直線FN：由得所以線段ON的長(zhǎng)為定值.方法二、設(shè),則又所以，為定值【點(diǎn)睛】此題考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì),垂徑定理及平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則,屬于中檔題.19.已知.（1）若函數(shù)在區(qū)間上有極值，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）當(dāng)，時(shí),求證：.【答案】（1)；(2)。（3）見解析.【解析】分析:（1）函數(shù)在區(qū)間有極值。在上有根，結(jié)合條件由函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)有唯一極值點(diǎn)，由此得到的取值范圍；

（2）構(gòu)造函數(shù)，若關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)解有實(shí)數(shù)解

（法二）由分離系數(shù),構(gòu)造函數(shù),由題意可得，．

（3）結(jié)合函數(shù)在區(qū)間為減函數(shù)可得，，利用該結(jié)論分別把代入疊加可證．詳解：解：（1），當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),；函數(shù)在區(qū)間（0,1)上為增函數(shù)；在區(qū)間為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，而函數(shù)在區(qū)間有極值.，解得;（2)由(1）得的極大值為，令，所以當(dāng)時(shí),函數(shù)取得最小值，又因?yàn)榉匠逃袑?shí)數(shù)解，那么，即，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是：。（另解：，，令,所以，當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),函數(shù)取得極大值為當(dāng)方程有實(shí)數(shù)解時(shí),。）（3）函數(shù)在區(qū)間為減函數(shù)，而，,即，即，而，結(jié)論成立.點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)存在極值的性質(zhì)，函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化，及利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式，要注意疊加法及放縮法在證明不等式中的應(yīng)用．20。設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為,（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)若,是否存在q的某些取值，使數(shù)列中某一項(xiàng)能表示為另外三項(xiàng)之和?若能求出q的全部取值集合，若不能說明理由．（3)若,是否存在，使數(shù)列中,某一項(xiàng)可以表示為另外三項(xiàng)之和？若存在指出q的一個(gè)取值，若不存在,說明理由．【答案】解：（1）見詳解；（2）不存在;（3）不存在【解析】【分析】(1）由前項(xiàng)和公式，結(jié)合求出,進(jìn)而可得出結(jié)論成立；（2）根據(jù)得,不妨設(shè)，兩邊同除以,再結(jié)合條件，即可得出結(jié)論；（3）同(2），先設(shè)，當(dāng)，結(jié)合條件驗(yàn)證不成立即可。【詳解】（1）n=1時(shí),，時(shí)，（n=1也符合），，即數(shù)列是等比數(shù)列．(2）若則可設(shè)，兩邊同除以得:因?yàn)樽筮吥鼙籷整除，右邊不能被q整除，因此滿足條件的q不存在．（3）若則可設(shè)，，,不成立．【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列,熟記等比數(shù)數(shù)列的性質(zhì)和公式即可，屬于?？碱}型。21。已知正數(shù)，,滿足，求證:?！敬鸢浮孔C明見解析【解析】【分析】由正數(shù)，,滿足，又，然后結(jié)合均值不等式求證即可?！驹斀狻孔C明：由正數(shù)，，滿足,則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立)，故命題得證?！军c(diǎn)睛】本題考查了三項(xiàng)均值不等式，重點(diǎn)考查了運(yùn)算能力，屬基礎(chǔ)題.22。在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線在矩陣對(duì)應(yīng)的變換下得到的直線過點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值.【答案】4【解析】【分析】設(shè)變換T：,直線上任意一點(diǎn)，是所得直線上一點(diǎn)，根據(jù)矩陣變換特點(diǎn)，寫出兩對(duì)坐標(biāo)之間