工程電磁場(chǎng)導(dǎo)論矢量

工程電磁場(chǎng)導(dǎo)論矢量第1頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四§1.1標(biāo)量場(chǎng)與矢量場(chǎng)標(biāo)量:

數(shù)學(xué)上：—實(shí)數(shù)域內(nèi)任一代數(shù)量a(-,+) 物理上：代數(shù)量+物理意義；或者說(shuō)一個(gè)只用大小描述的物理量。如電壓，電荷，質(zhì)量，能量等矢量:

數(shù)學(xué)上：一般的三維空間中既有大小又有方向的量 物理上：矢量+物理意義；或者說(shuō)一個(gè)既有大小又有方向的物理量。常用黑斜體字母或帶箭頭的字母如A或如速度、電磁場(chǎng)等.第2頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四場(chǎng)： 物理量在時(shí)空中的確定分布.標(biāo)量場(chǎng)：物理量是一個(gè)標(biāo)量，則所確定的場(chǎng)稱為標(biāo)量場(chǎng)，用標(biāo)量函數(shù)表示為如物體的溫度分布T(r,t)、電位分布(r,t)等矢量場(chǎng)：物理量是一個(gè)矢量，則所確定的場(chǎng)稱為矢量場(chǎng)，用矢量函數(shù)表示既具有大小又具有方向的場(chǎng)。如電場(chǎng)第3頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四靜態(tài)場(chǎng)：物理量不隨時(shí)間變化，則所確定的場(chǎng)稱為靜態(tài)場(chǎng)。動(dòng)態(tài)場(chǎng)（或時(shí)變場(chǎng)）：物理量隨時(shí)間變化，則所確定的場(chǎng)稱為動(dòng)態(tài)場(chǎng)。1.1.1矢量的表示形式:一個(gè)矢量可以用一條有方向的線段來(lái)表示,線段的長(zhǎng)度表示矢量的模,箭頭指向表示矢量的方向.AP矢量的模：表示矢量的大小A矢量的方向；第4頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四1.1.2矢量的運(yùn)算（加法/減法）矢量加/減法遵循平行四邊形法則,其運(yùn)算滿足:

(交換律)(結(jié)合律)1.1.3矢量的運(yùn)算（點(diǎn)積、叉積）①標(biāo)量與矢量乘積

模②矢量與矢量乘積點(diǎn)積（標(biāo)積）叉積（矢積）第5頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四點(diǎn)積：（標(biāo)量）叉積：﹛大小方向：垂直與包含的面和（矢量）右手法則矢量點(diǎn)積服從：

（交換律）（分配律）矢量叉積服從：標(biāo)量三重積矢量三重積（不服從交換律）（分配律）第6頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

三維空間任意一點(diǎn)的位置可通過(guò)三條相互正交曲線的交點(diǎn)來(lái)確定。1.2三種常用的正交曲線坐標(biāo)系

在電磁場(chǎng)與波理論中，三種常用的正交曲線坐標(biāo)系為：直角坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系和球面坐標(biāo)系。

三條正交曲線組成的確定三維空間任意點(diǎn)位置的體系，稱為正交曲線坐標(biāo)系；三條正交曲線稱為坐標(biāo)軸；描述坐標(biāo)軸的量稱為坐標(biāo)變量。第7頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四1、直角坐標(biāo)系

位置矢量面元矢量線元矢量體積元坐標(biāo)變量坐標(biāo)單位矢量

點(diǎn)P(x0,y0,z0)0yy=（平面）

o

x

y

z0xx=（平面）0zz=（平面）P

直角坐標(biāo)系

x

yz直角坐標(biāo)系的長(zhǎng)度元、面積元、體積元

odzdydx第8頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四直角坐標(biāo)系中A矢量：

B矢量：（圓柱坐標(biāo)系及球坐標(biāo)系下相應(yīng)知識(shí)）類似第9頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2、圓柱面坐標(biāo)系坐標(biāo)變量坐標(biāo)單位矢量位置矢量線元矢量體積元面元矢量132（1）（2）（3）第10頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四3、球面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系球坐標(biāo)系中的線元、面元和體積元坐標(biāo)變量坐標(biāo)單位矢量位置矢量線元矢量體積元面元矢量第11頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四4、坐標(biāo)單位矢量之間的關(guān)系

直角坐標(biāo)與圓柱坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)與球坐標(biāo)系直角坐標(biāo)與球坐標(biāo)系oqrz單位圓

柱坐標(biāo)系與求坐標(biāo)系之間坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系qq

ofxy單位圓

直角坐標(biāo)系與柱坐標(biāo)系之間坐標(biāo)單位矢量的關(guān)系

f第12頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四§1.3標(biāo)量場(chǎng)的梯度等值面的概念：在標(biāo)量場(chǎng)中，使標(biāo)量函數(shù)取得相同數(shù)值的點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)空間曲面稱為等值面。等值面方程：C為任意給定的常數(shù)。

等值面的特點(diǎn)：①常數(shù)C取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，

形成等值面族；

②若

是標(biāo)量場(chǎng)中的任一點(diǎn)，顯然，曲面

是通過(guò)該點(diǎn)的等值面，因此標(biāo)量場(chǎng)的等值面充滿場(chǎng)所在的整個(gè)空間；?第13頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例題求二維標(biāo)量場(chǎng)的等值面

由于z不影響u,故在任意z=const的面上場(chǎng)的分布是相同的。(片狀分布)取u為某一常量c時(shí)c=y2-x是一組拋物線立體拋物柱面③由于標(biāo)量函數(shù)為單一值，一個(gè)點(diǎn)只能在一個(gè)等值面上，因此標(biāo)量場(chǎng)的等值面互不相交（兩個(gè)等值面不能有相同的c值）第14頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四1.3.2標(biāo)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)的概念:方向?qū)?shù)的意義：方向?qū)?shù)是描述標(biāo)量場(chǎng)沿L方向?qū)嚯x的變化率。

方向?qū)?shù)的計(jì)算公式是標(biāo)量場(chǎng)中的一點(diǎn)，從該點(diǎn)出發(fā)引一條射線L,M是射線上的動(dòng)點(diǎn)。到點(diǎn)的距離為（直角坐標(biāo)系）第15頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四式中：是L方向的方向余弦。方向?qū)?shù)的特點(diǎn)：1.3.3梯度問(wèn)題的提出：標(biāo)量場(chǎng)在什么方向上的變化率最大、其最大的變化率又是多少？(方向?qū)?shù)沿何方向取得最大值？）(grads)第16頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四通過(guò)推導(dǎo)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)方向與矢量

方向一致時(shí)，方向?qū)?shù)的值最大，由此可以得到梯度在三種不同的坐標(biāo)系下的計(jì)算公式：第17頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四為哈密頓算符，（讀作del或Nabla)在直角坐標(biāo)系中記住!!練習(xí)U=2x+y+z求其梯度第18頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第19頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四自證（作業(yè)）

在電磁場(chǎng)中，通常以表示源點(diǎn)的坐標(biāo)，以表示場(chǎng)點(diǎn)的坐標(biāo)，因此上述運(yùn)算結(jié)果在電磁場(chǎng)中非常重要！第20頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四1.4矢量場(chǎng)的通量散度1.4.1矢量場(chǎng)的矢量線形象地描述矢量場(chǎng)在空間的分布

矢量線的概念：矢量線是場(chǎng)空間中的有向曲線，矢量線上任一點(diǎn)的切線方向都與該點(diǎn)的場(chǎng)矢量方向相同，如圖所示。第21頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四特點(diǎn)：矢量場(chǎng)中的每一點(diǎn)都有矢量線通過(guò)，矢量線充滿矢量場(chǎng)所在的空間。

解此微分方程組，即可得到矢量線方程，從而繪制出矢量線。則既能根據(jù)矢量線確定矢量場(chǎng)中各點(diǎn)矢量的方向，又可根據(jù)各處矢量線的疏密程度，判別各處的矢量大小及變化趨勢(shì)。如：電場(chǎng)線第22頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四求此二維場(chǎng)的力線方程及場(chǎng)圖由力線方程有：例題有一二維矢量場(chǎng):因此求得的矢量線是一組同心圓。

？思考哪種矢量線具有這種特點(diǎn)第23頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四分析矢量穿過(guò)一個(gè)曲面的通量面元矢量法向矢量有兩個(gè)要素：{右手螺旋法則（開(kāi)面）閉合面外法線（雞蛋殼外表面）面大小穿越方向1.矢量場(chǎng)的通量

矢量場(chǎng)的通量是描述矢量場(chǎng)性質(zhì)的重要概念之一。通量的概念：矢量場(chǎng)在場(chǎng)中的曲面上的標(biāo)量積（稱為矢量場(chǎng)的通量，取一小面元ds為例§1.4.2矢量的通量、散度(點(diǎn)乘）點(diǎn)積第24頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四曲面通量：>0表示有凈流出---正通量源例：靜電場(chǎng)中的正電荷

<0表示有凈流入---負(fù)通量源例：靜電場(chǎng)中的負(fù)電荷＝0正通量源與負(fù)通量源代數(shù)和為0—無(wú)通量源矢量流與穿越面積方向乘積的和通量的物理意義：手例穿出閉曲面的正通量與進(jìn)入閉曲面的負(fù)通量的代數(shù)和。第25頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四通量的特點(diǎn)：描述的是一定范圍內(nèi)總的凈通量源，而不能反映場(chǎng)域內(nèi)的每一點(diǎn)的具體分布情況2矢量場(chǎng)的散度

矢量場(chǎng)的散度描述矢量場(chǎng)在一個(gè)點(diǎn)附近的通量特性。第26頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四散度的物理意義：通量源的密度。時(shí)，發(fā)出矢量線的正源；時(shí)，發(fā)出矢量線的負(fù)源；時(shí)，無(wú)通量源。第27頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四設(shè)有如圖的小立方體及矢量場(chǎng)散度的直角坐標(biāo)表示第28頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四!!第29頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四記住第30頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四1.4.4散度(高斯)定理例球體第31頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例1:已知解：根據(jù)散度的計(jì)算公式：第32頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第33頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

第34頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四1.5.2矢量場(chǎng)的旋度

矢量場(chǎng)的旋度描述場(chǎng)域內(nèi)的旋渦源分布情況的重要概念。第35頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四上式為旋度在方向的投影（面元矢量為）第36頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第37頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四不同坐標(biāo)系下旋度計(jì)算公式：直角坐標(biāo)系

（圓柱坐標(biāo)系）

（球坐標(biāo)系）

!!記住第38頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四1.5.3斯托克斯定理矢量對(duì)閉合回路的線積分等于該回路所包圍任意表面上對(duì)該矢量旋度的面積分。第39頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例：第40頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四1.6無(wú)旋場(chǎng)與無(wú)散場(chǎng)1.無(wú)旋場(chǎng)（1）如果一個(gè)矢量場(chǎng)的旋度處處為0，即則該矢量場(chǎng)為無(wú)旋場(chǎng)。它是由散度源產(chǎn)生的。例如靜電場(chǎng)。梯度是一無(wú)旋場(chǎng)證明：取直角坐標(biāo)系結(jié)論1：第41頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第42頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四結(jié)論（2）引申：無(wú)旋場(chǎng)可以表示為某一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)的梯度即如果則存在一個(gè)標(biāo)量函數(shù)u,使得其中的負(fù)號(hào)是為了與電磁場(chǎng)中的電場(chǎng)強(qiáng)度E與標(biāo)量電位的關(guān)系相一致第43頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

結(jié)論（3）由斯托克斯定理對(duì)一個(gè)無(wú)旋場(chǎng)表明無(wú)旋場(chǎng)的曲線積分與路徑無(wú)關(guān)，只與起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān)。（證明如下）第44頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四以Q為固定點(diǎn)，則上式可以看作是點(diǎn)P的函數(shù)：因?yàn)橐粋€(gè)標(biāo)量場(chǎng)可以完全由它的梯度來(lái)確定同時(shí)表明一個(gè)無(wú)旋場(chǎng)可以對(duì)應(yīng)無(wú)數(shù)個(gè)標(biāo)量位函數(shù)（參考點(diǎn)的選?。┑?5頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四結(jié)論：任意矢量旋度的散度恒為零1.6.2無(wú)散場(chǎng)如果一個(gè)矢量場(chǎng)的散度處處為0，即

則該矢量場(chǎng)為無(wú)散場(chǎng)證明：第46頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四由此可知：對(duì)于任何一個(gè)無(wú)散場(chǎng)。必然可以表示為某個(gè)矢量場(chǎng)的旋度。即：為矢量位函數(shù)，簡(jiǎn)稱矢量位第47頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四1.7拉普拉斯運(yùn)算與格林定理拉普拉斯運(yùn)算：

1.對(duì)標(biāo)量場(chǎng)而言：稱為標(biāo)量場(chǎng)的拉普拉斯運(yùn)算稱為拉普拉斯算符第48頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四直角坐標(biāo)系中：2.對(duì)矢量場(chǎng)而言：直角坐標(biāo)系中：第49頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

格林恒等式是矢量分析中的重要恒等式。由散度定理設(shè)而得格林第一恒等式同理，若設(shè)格林第一恒等式表示為——格林第二恒等式1.7.2格林定理第50頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2月20日，星期四由散度定理格林第一恒等式：格林第二恒等式：格林定理描述了兩個(gè)標(biāo)量場(chǎng)之間的關(guān)系，如果已知其中一個(gè)場(chǎng)的分布，可以利用該定理求解另一個(gè)場(chǎng)的分布。第51頁(yè)，共55頁(yè)，2023年，2