冪函數(shù)與方程

冪函數(shù)與方程第1頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期四自然對(duì)數(shù)的奧秘自然對(duì)數(shù)又稱“雙曲對(duì)數(shù)”。以超越數(shù)e＝1＋1/1!＋1/2!＋1/3!＋…＝2.71828…為底的對(duì)數(shù)。用記號(hào)“l(fā)n”表示。有自然對(duì)數(shù)表可查。

第2頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期四超越數(shù)：不能滿足任何整系數(shù)代數(shù)方程的實(shí)數(shù)

超越數(shù)π

最先得出π≈3.14的是希臘的阿基米德（約公元前240年），最先給出π小數(shù)后面四位準(zhǔn)確值的是希臘人托勒密（約公元前150年），最早算出π小數(shù)后七位準(zhǔn)確值的是我國(guó)的祖沖之（約480年），1610年荷蘭籍德數(shù)學(xué)家魯?shù)婪驊?yīng)用內(nèi)接和外切正多邊形計(jì)算π值，通過(guò)262邊形計(jì)算π到35位小數(shù)，花費(fèi)了畢生精力，1630年格林貝格利用斯涅耳的改進(jìn)方法計(jì)算π值到39位小數(shù)，這是利用古典方法計(jì)算π值的最重要嘗試。

值得提出的是，達(dá)什1824年生于漢堡，只活了短短的37年，便離開了人世，他是一個(gè)閃電般的計(jì)算者，是一位最了不起的人工計(jì)算者，他曾在54秒鐘內(nèi)便完成了兩個(gè)8位數(shù)的乘法，在6分種內(nèi)完成了兩個(gè)20位數(shù)的乘法，在40分鐘內(nèi)完成了兩個(gè)40位數(shù)的乘法；他曾在52分鐘內(nèi)算出一個(gè)100位數(shù)的平方根。達(dá)什的這種非凡的計(jì)算才能在他制作7位對(duì)數(shù)表和從7000000到10000000之間的數(shù)的因子表便得到了最有價(jià)值的充分的運(yùn)用

π在科學(xué)中的應(yīng)用是極為廣泛的，但有時(shí)它的出現(xiàn)也會(huì)是意想不到的。例如，1777年，法國(guó)數(shù)學(xué)家布封做過(guò)一個(gè)“小針實(shí)驗(yàn)”：先在桌上鋪一張帶有平行橫線的紙，相鄰橫線距離為2cm，再準(zhǔn)備很多長(zhǎng)為1cm的小針，然后將針隨便地?cái)S在紙上，擲完后，再將投擲次數(shù)除以針與平行線交叉的次數(shù)，卻驚奇地發(fā)現(xiàn)：其所得值竟接近π！π，竟在一個(gè)與圓“無(wú)關(guān)”的問(wèn)題中奇跡般地出現(xiàn)了。

第3頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第4頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期四e=:2.71828

182845904523536028747135266249775724709369995957496696762772407663035354759457138217852516642742746639193200305992181741359662904357290033429526059563073813232862794349076323382988075319525101901157383418793070215408914993488416750924476146066808226480016847741185374234544243710753907774499206955170276183860626133138458300075204493382656029760673711320070932870912744374704723069697720931014169283681902551510865746377211125238978442505695369677078544996996794686445490598793163688923009879312773617821542499922957635148220826989519366803318252886939849646510582093923982948879332036250944311730123819706841614039701983767932068328237646480429531180232878250981945581530175671736133206981125099618188159304169035159888851934580727386673858942287922849989208680582574927961048419844436346324496848756023362482704197862320900216099023530436994184914631409343173814364054625315209618369088870701676839642437814059271456354906130310720851038375051011574770417189861068739696552126715468895703503540212340784981933432106817012100562788023519303322474501585390473041995777709350366041699732972508868769664035557071622684471625607988265178713419512466520103059212366771943252786753985589448969709640975459185695638023637016211204774272283648961342251644507818244235294863637214174023889344124796357437026375529444833799801612549227850925778256209262264832627793338656648162772516401910590049164499828931505660472580277863186415519565324425869829469593080191529872117255634754639644791014590409058629849679128740687050489585867174798546677575732056812884592054133405392200011378630094556068816674001698420558040336379537645203040243225661352783695117788386387443966253224985065499588623428189970773327617178392803494650143455889707194258639877275471096295374152111513683506275260232648472870392076431005958411661205452970302364725492966693811513732275364509888903136020572481765851180630364428123149655070475102544650117272115551948668508003685322818315219600373562527944951582841882947876108526398139e的小數(shù)點(diǎn)后兩千位第5頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期四☆兩者的關(guān)系：指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，其圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱。函數(shù)y=(a＞0,且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù),其中x是自變量,函數(shù)的定義域是R.函數(shù)y=(a＞0,且a≠1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù),其中x是自變量,函數(shù)的定義域是（0,+∞）.1.定義第6頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期四反函數(shù)：一般地，如果x與y關(guān)于某種對(duì)應(yīng)關(guān)系f（x）相對(duì)應(yīng)，

y=f（x）。則y=f（x）的反函數(shù)為y=f^-1（x）。

【反函數(shù)的性質(zhì)】

（1）互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱；

（2）函數(shù)存在反函數(shù)的充要條件是，函數(shù)的定義域與值域是一一映射；

（3）一個(gè)函數(shù)與它的反函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上單調(diào)性一致；

（4）一般的偶函數(shù)一定不存在反函數(shù)(但一種特殊的偶函數(shù)存在反函數(shù),例f（x）=a（x=0）它的反函數(shù)是f（x）=0（x=a）這是一種極特殊的函數(shù))，奇函數(shù)不一定存在反函數(shù)。關(guān)于y軸對(duì)稱的函數(shù)一定沒有反函數(shù)。若一個(gè)奇函數(shù)存在反函數(shù)，則它的反函數(shù)也是奇函數(shù)。

（5）嚴(yán)格增（減）的函數(shù)一定有嚴(yán)格增（減）的反函數(shù)【反函數(shù)存在定理】。

（6）反函數(shù)是相互的

（7）定義域、值域相反對(duì)應(yīng)法則互逆（三反）

(8)原函數(shù)一旦確定，反函數(shù)即確定（三定）

第7頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期四對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算1

第8頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期四yy＝2xy＝log2x1234567887654321-3-2-1-1-2-3互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)圖像關(guān)于直線y＝x對(duì)稱第9頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期四4

圖象性質(zhì)a>10<a<1指數(shù)函數(shù)yx0y=1(0,1)y=ax(a>1)x(0,1)y=10y=ax(0<a<1)定義域:值域:必過(guò)點(diǎn)：在R

上是在R

上是R(0,+∞)(0,1),即x=0

時(shí),y=1

.增函數(shù)減函數(shù)當(dāng)x<0時(shí),0<y<1當(dāng)x>0時(shí),y>1當(dāng)x>0時(shí),0<y<1當(dāng)x<0時(shí),y>1第10頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

圖象性質(zhì)a>10<a<1對(duì)數(shù)函數(shù)x定義域:值域:必過(guò)點(diǎn)：在(0,+∞)上是在(0,+∞)上是R(0,+∞)(1,0),即x=1時(shí),y=0.增函數(shù)減函數(shù)xyo(1,0)xyo（1,0)當(dāng)0<x<1時(shí)，y<0;當(dāng)x>1時(shí)，y>0當(dāng)0<x<1時(shí)，y<0;當(dāng)x>1時(shí)，y>0第11頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期四化、生授課體現(xiàn)性

質(zhì)圖象對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,a≠1)指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,a≠1)(4)a>1時(shí),x<0,0<y<1;x>0,y>1

0<a<1時(shí),x<0,y>1;x>0,0<y<1(4)a>1時(shí),0<x<1,y<0;x>1,y>0

0<a<1時(shí),0<x<1,y>0;x>1,y<0(5)a>1時(shí),在R上是增函數(shù)；

0<a<1時(shí),在R上是減函數(shù)(5)a>1時(shí),在(0,+∞)是增函數(shù)；

0<a<1時(shí),在(0,+∞)是減函數(shù)(3)過(guò)點(diǎn)(0,1),

即x=0時(shí),y=1(3)過(guò)點(diǎn)(1,0),

即x=1時(shí),y=0(2)值域：(0,+∞)(1)定義域：R(1)定義域：(0,+∞)(2)值域：Ry=ax(a>1)y=ax

(0<a<1)xyo1y=logax(a>1)y=logax(0<a<1)xyo1指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)返回第12頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期四冪函數(shù)的概念形如

（x∈R）的函數(shù)稱為冪函數(shù),變量x的系數(shù)為1,指數(shù)α是一個(gè)常數(shù),嚴(yán)格按這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)來(lái)判斷.例如：判別下列函數(shù)中有幾個(gè)冪函數(shù)？①y=;②y=2;③y=+x;④y=-.解：①的底數(shù)是變量,指數(shù)是常數(shù),因此①是冪函數(shù);②的變量系數(shù)為2,因此不是冪函數(shù);③的變量是和的形式,因此也不是冪函數(shù);④的變量x3的系數(shù)為-1,因此不是冪函數(shù).第13頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期四1函數(shù)性質(zhì)y=xy=x2y=x3y=x-1定義域值域奇偶性單調(diào)性特殊點(diǎn)圖象分布第14頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期四冪函數(shù)集中營(yíng)1y=x函數(shù)性質(zhì)y=xy=x2y=x3y=x-1定義域RRR{x|x≥0}{x|x≠0}值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0}奇偶性奇奇奇非奇非偶奇單調(diào)性在第Ⅰ象限單調(diào)遞增在第Ⅰ象限單調(diào)遞增在第Ⅰ象限單調(diào)遞增在第Ⅰ象限單調(diào)遞增在第Ⅰ象限單調(diào)遞增特殊點(diǎn)(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)圖象分布第Ⅰ、Ⅲ象限第Ⅰ、Ⅱ象限第Ⅰ、Ⅲ象限第Ⅰ象限第Ⅰ、Ⅲ象限第15頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期四冪函數(shù)y=的圖像.1第16頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期四冪函數(shù)y=的性質(zhì).

（1）所有的圖形都通過(guò)（1，1）這點(diǎn).(a≠0)

（2）當(dāng)a大于0時(shí)，冪函數(shù)為單調(diào)遞增的，而a小于0時(shí)，冪函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)。

（3）當(dāng)a大于1時(shí)，冪函數(shù)圖形下凸；當(dāng)a小于1大于0時(shí)，冪函數(shù)圖形上凸。

（4）當(dāng)a小于0時(shí)，a越小，圖形傾斜程度越大。

（5）顯然冪函數(shù)無(wú)界限。

（6）a=0,該函數(shù)為偶函數(shù)｛x|x≠0｝。第17頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期四？你知道函數(shù)的凹凸性嗎設(shè)f為定義在區(qū)間Ｉ上的函數(shù)，若對(duì)Ｉ上的任意兩點(diǎn)Ｘ１，Ｘ２和任意的實(shí)數(shù)λ∈（０，１），總有則f稱為Ｉ上的下凸函數(shù)（反之為上凸函數(shù)）.第18頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期四神秘的等冪和問(wèn)題第19頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期四謎底揭開恒等式:第20頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期四二次函數(shù)與一元二次方程第21頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期四反過(guò)來(lái)，也可利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的解。二次函數(shù)y=ax2+bx+cy=0一元二次方程ax2+bx+c=0兩根為x1=m；x2=n則函數(shù)與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為：（m，0）；（n，0）第22頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期四二次函數(shù)應(yīng)用題第23頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期四問(wèn)題2：

如圖是某公園一圓形噴水池，水流在各方向沿形狀相同的拋物線落下。建立如圖所示的坐標(biāo)系，如果噴頭所在處A（0，1.25），水流路線最高處B（1，2.25），則該拋物線的表達(dá)式為。如果不考慮其他因素，那么水池的半徑至少要____米，才能使噴出的水流不致落到池外。y=－(x-1)2+2.252.5Y

OxB(1,2.25)．(0,1.25)

A第24頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期四籃球中的二次函數(shù)籃球第25頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例1.如圖，一位運(yùn)動(dòng)員在距籃下4m處起跳投籃，球運(yùn)行的路線是拋物線，當(dāng)球運(yùn)行的水平距離是2.5m時(shí)，球達(dá)到最大高度3.5m,已知籃筐中心到地面的距離3.05m,問(wèn)球出手時(shí)離地面多高時(shí)才能中？球的出手點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為-2.5，將x=-2.5代入拋物線表達(dá)式得y=2.25,即當(dāng)出手高度為2.25m時(shí)，才能投中。xy2.5m4m3.05ABCO3.5解：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則球的最高點(diǎn)和球籃的坐標(biāo)分別為B(0,3.5),C(1.5,3.05).3.5=c3.05=1.52a+c設(shè)所求的二次函數(shù)的表達(dá)式為y=ax2+c.

將點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入，得

解得a=-02c=3.5∴該拋物線的表達(dá)式為y=-0.2x2+3.5第26頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期四“二次函數(shù)應(yīng)用”的思路1.理解問(wèn)題;2.分析問(wèn)題中的變量和常量,以及它們之間的關(guān)系;3.用數(shù)學(xué)的方式表示出變量和常量之間的關(guān)系;4.解題求解;5.檢驗(yàn)結(jié)果的合理性.實(shí)際問(wèn)題抽象轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)問(wèn)題運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)問(wèn)題的解第27頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期四函數(shù)與簡(jiǎn)單邏輯第28頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期四[解析]第29頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期四再回首，知識(shí)是否依舊熟悉

集合的概念

一定范圍的，確定的，可以區(qū)別的事物，當(dāng)作一個(gè)整體來(lái)看待，就叫做集合，簡(jiǎn)稱集，其中各事物叫做集合的元素或簡(jiǎn)稱元。如（1）阿Q正傳中出現(xiàn)的不同漢字（2）全體英文大寫字母。任何集合是它自身的子集.

元素與集合的關(guān)系：

元素與集合的關(guān)系有“屬于”與“不屬于”兩種。

第30頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期四集合的分類:

并集：以屬于A或?qū)儆贐的元素為元素的集合稱為A與B的并（集），記作A∪B（或B∪A），讀作“A并B”（或“B并A”），即A∪B={x|x∈A,或x∈B}

交集：以屬于A且屬于B的元素為元素的集合稱為A與B的交（集），記作A∩B（或B∩A），讀作“A交B”（或“B交A”），即A∩B={x|x∈A,且x∈B}

無(wú)限集有限集第31頁(yè)，共35頁(yè)，202