第六章定積分在幾何上應(yīng)用

微元第章六 平面圖形的面章定分積 立體的體分 -1 U具有下列三個(gè)特點(diǎn) U是與一個(gè)變 x的變化區(qū)間[a,b]有關(guān)的量章 U對(duì)于區(qū)間[a,b]具有可加性，即如果用分章 ax0x1x2 xn分把區(qū)間[ab]分成n個(gè)小區(qū)間xi1xi](i12n),分n相應(yīng)地分成n個(gè)部分量UinUUii Ui的近似-2 Uif(i

(i1,2,"n其中xixixi1,ixi1xin Uf(ii 令max{xi}0,n章 n章 U f(積 0積

bf(b 這里Uif(i)xi含義是Uif(i 是較

即f(i)xi是Ui的線性主部一般地,如果某個(gè)實(shí)際問題具有上述的三個(gè)特點(diǎn),-3根據(jù)問題的具體情況，選取一個(gè)變量例如x為積分變量，并確定它的變化區(qū)間[a,b]；設(shè)想把區(qū)間[ab]分成n個(gè)小區(qū)間，取其中任一小區(qū)間并記為x,xdx]，求出相應(yīng)于這小區(qū)間的部章分第分量U的近似值.如果U能近似地表示為[a,b]上六的 續(xù)函數(shù)在x處的值f(x)與dx的乘積(省略定的部分是dx的高階無窮小)，就把f(x)dx稱為量U積的元素且記作dU，即章分dUf(以所求量U的元素fx)dx為被積表達(dá)式，在b間[a,b]上作定積分，得U f(x)dx，即為所求量的積分表達(dá)式-4 第-5 平面圖形的面1y設(shè)[a,b六 f(x),g(x)滿六 f(x)g(x)x[a,b]積 則由曲線yf(x)積 yg( xa,x

f(g(SSba[f(x)g(

b-6 直線xaxb之間 因此選取x作為積章 變量,[a,b]作為積章 積

x

f(g(b (2)在[a,b]上任取一個(gè)區(qū)間[x,x f(x)g(x)為高,為底長的長方形,dS(f(x)g(-7 (3)以(fxgx))dx作為定積分的被積表示式在[a,b]b 六

S[c,d

a[f(x)g(ydydg(f(y(f(y),(g(y),cox xf(y),xg(y)(f(y)g(定與直線ycyd積分圖形的面積SSdc(f(y)g(-8 yyxyoxxyyxyoxxx 兩曲線的交點(diǎn) 選x為積分變量

x六x

dS

x S xx

x2 130 130y或選y為積分變量,y dSy

y21S1

y2

(2

y) 133 y) 1330-9yyxox1xxy yx 求由曲線yyxox1xxy yx解法 x xy六 積 該圖形可以看成是由y x,y x,x1圍成的平積 圖形與y x,yx2,x 部分構(gòu)成的,因此取x為積分變量 x4x41S01

x))dxx-10x

(x 3 x30

x2

2 61yyoxxxyyoxxxy第 積分區(qū)間為[1,2],2章2 S積

(y2y2分 2y 6

-11 例 計(jì)算由曲線yx36x和yx2所圍成的形的面積. yx36 yx六

y(2,

選x為積分變量x[2,

yx362 x[2,

dS1(

6x

x

dS2(x2x36SS10S0

(x3

6x

x2)dx 3(x0-12

x36x)dx253例4在曲線ylnx(2x4)上求一點(diǎn)P，使得該點(diǎn)的切線與曲線ylnx,直線x2x4所圍成y(y(t,lntylno24x六 (t,lnt (2t六章定 ylnt1(xt 4S(t)(x1lntln4 62lnt6lnt

-13S(t)62 S(t)0t3,S(3)422t

因此當(dāng)t3時(shí)，面積最小。所求點(diǎn)為(3,ln例 求橢圓x

y2

1的面積. a 六章

xacos定 橢圓的參數(shù)方程ybsin定積 令xacos 則ybsin A

24ab2sin2 -142極坐標(biāo)系下平面圖形的面積設(shè)由曲線()及射線,圍成一曲邊扇形 ()六第[]上連續(xù)六 ,積分區(qū)

((x積定[],在區(qū)間[上任取一小區(qū)間[,d],積 地得到一小的曲邊扇形,它可以用半徑為(),中心S1S12(2dS12()d2-15同理,

(

2(

)(01()2(

(及射線,( S1S1222()21(o定

x 例6求心形線a(1cos)所圍平面圖形的面 a(1cos(a0). dS1a2(1cos)2 2-16 S2

1a2

(1cos)22a2 0

(12coscos2a232sin1sin23a2 六

例 求雙紐線2a2cos2所圍平面圖形的面積定 分S S 0

cos2da 2-17 求由曲線3cos,1cos o3xo3x3cos六 1六 得積,

,

1 積分區(qū)間 ],因 S 3[9cos(1cos)2 3[8cos22cos1]d0-18 立體的體設(shè)空間某立體是由一曲面和過a,b且垂直于x軸 如果已知該立體上且垂直于x軸的各六第個(gè)截面面積SS(x),求此立體體積 其中S(x)為六章間[a,b]上連續(xù)函數(shù)積 積分為積分區(qū)間，在[a,b

xxdx],

x -19 VaS(VaS(b例9 一平面經(jīng)過半徑為R的圓柱體的底圓中心，并與底面交成 ，計(jì)算這平面截圓柱體所得立體的體積第章 章 x分R 2y2 x分R垂直于x軸的截面為直角三角形

A(x)1(R2x2)tan2

V1R(R2x2)tandx2R3tan2 -20 例10 求以半徑為R的圓為底、平行且等于圓徑的線段為頂、高為h的正劈錐體的體積. 六 六章定x2y2R2定積

垂直于x軸的截面為等腰三角形

A(x)hyR2R VR2R

-21

x2dx12 yfx)(fx0)與直線xaxbx第 面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而章的,求此物體的體積

yf( 積 取x為積分變量,[a,b]為積分區(qū)間,在[a,b]上任積 一點(diǎn)x,相應(yīng)物體的截面是以f(x)為半徑的圓,因此面積為Sxf2x),VVb2a (-22線xgy)(gy0)與直ycyd及y面圖形繞y六第的,六章定

VVd2cg( 求由曲線y x,直線x4及x軸所圍分yox4xx面圖形繞x,y軸旋轉(zhuǎn)一周所得立體的體積yox4xx 繞x軸旋x為積分變量[0,4]區(qū)間,-23 Vx

x)dx

xy 取y為積分變量,[0,2]六

4 積分區(qū)間,對(duì)[0,2]上任一y,相應(yīng)的截面面積定分 S(y)(16y4分2424Vy

5-24例 求由曲線yex及yex在點(diǎn)(1,e)處的切線和 平面圖形繞x, 第 第

yy yex在點(diǎn)(1,e)處切線方 章 yxxxeey1y1

e2x2

1y2

y2 Vy0e2

dy1(e2 (2

3

-25 例13求星形線x3 y3 a3(a0)繞x軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積. x3y3a 第 xacos3 yasin3分 分令xacos3 則yasin3 V2

y

62

a3sin7tcos2

6a

2(1cost)costdcos0

-26例 yfx)直線xax及x 繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得立

yf( xdx 章 取x為積分變量,[a,b]為積分區(qū)間,在[a,b]章 任取小區(qū)間[x,xdx],相應(yīng)的曲邊梯形可以近似地分 成底長為dx高為f(x)的矩形,其繞分

[(xdx)2x2]f(x)2xf(x)dxf(b2xf(x)dxb所 V2axf(-27 平面曲線弧設(shè)A、B

n Bn0 A0章

,

,"Mi ",Mn1,Mn定積

A 分無限增加且每個(gè)小弧段都縮向一點(diǎn)時(shí)，此折線的n|Mi1Mi|的極限存在，則稱此極限為曲線弧ABi弧長-28 設(shè)曲線弧為yfx)(axbfx在[a上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù),六x,在[ab]上任取小第區(qū)間xxdx],以對(duì)應(yīng)小切六定分 分

xdx

f((dx)2 (dx)2

ds 1y2ssba1y2 3例15計(jì)算曲線y x2上相應(yīng)于x從a到b的一段3abab的長度.解

∵

x12 ds22六2

1(x1)2dx 1

s

1xdx x3x

(1a)2 例 解求曲線y

3t2dt的全長

3 y 3x23s 1y2dx

4x2dx 2 2

343343cos

-30

x(t), (ty(t其中(t),(t)在[上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù),且第 2(t)2(t)章則[[2(t)2(t)](dt(dx)2(dx)2分 2(t)2(tss2(t)2(t-31 例 求星形線x3y a3(a0)的全長xacos3解星形線的參數(shù)方程為 (0tyasin3第 s第