講義一元二次方程的應用

授課主題：一元二次方程的應用針對的學生年級：江蘇初三學生中上等拔高類型教材分析：一元二次方程是中學數(shù)學的重要內(nèi)容之一，在初中數(shù)學中占有重要的地位，其中一元二次方程的應用在初中數(shù)學應用問題中極具代表性，它是一元一次方程的繼續(xù)，又是函數(shù)學習的基礎，它是研究現(xiàn)實世界數(shù)量關系和變化規(guī)律的重要數(shù)學模型。中考形式：一元二次方程的應用是中考數(shù)學重點考查的內(nèi)容之一，它的試題背景與二元一次方程組的應用、簡單分式方程的應用、一元一次方程的應用一樣，隨著改革的繼續(xù)而更富有時代的氣息，更宣于生活化，更貼近學生的實際.【學習目標】1.能根據(jù)具體問題中的數(shù)量關系，列出一元二次方程，體會方程是刻畫現(xiàn)實世界的一個有效的數(shù)學模型．2.能根據(jù)具體問題的實際意義，檢驗結果是否合理．【教學重點】列一元二次方程解有關傳播問題、平均變化率問題、圖形的面積問題、商品利潤類、幾何圖形運動類的應用題【教學難點】發(fā)現(xiàn)傳播問題、平均變化率問題、圖形的面積問題、商品利潤類、幾何圖形運動類等問題的等量關系?！緦W習過程】一、知識回顧1、解一元二次方程都是有哪些方法？3.列一元二次方程解應用題又有哪些步驟呢？解一元二次方程的數(shù)學應用題的一般步驟找——找出題中的等量關系設——設未知數(shù)列——列出方程，即根據(jù)找出的等量關系列出含有未知數(shù)的等式解——解出所列的方程驗——將方程的解代入方程中檢驗，回到實際問題中檢驗答——作答下結論應用1：傳播問題問題1：有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有121人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？分析：設每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，那么患流感的這一個人在第一輪中傳染了_______人，第一輪后共有______人患了流感；第二輪傳染中，這些人中的每個人又傳染了_______人，第二輪后共有_______人患了流感。則：列方程，解得即平均一個人傳染了個人。思考：如果按照這樣的傳染速度，三輪后有多少人患流感？鞏固練習1.某種電腦病毒傳播非常快，如果一臺電腦被感染，經(jīng)過兩輪感染后就會有81臺電腦被感染．請你用學過的知識分析，每輪感染中平均一臺電腦會感染幾臺電腦？若病毒得不到有效控制，3輪感染后，被感染的電腦會不會超過700臺？2.某種植物的主干長出若干數(shù)目的支干，每個支干又長出同樣數(shù)目的小分支，主干、支干和小分支的總數(shù)是91，求每個支干長出多少小分支？應用2：有關平均變化率問題的應用題此類問題是在某個數(shù)據(jù)的基礎上連續(xù)增長（降低）兩次得到的新的數(shù)據(jù)。常見的等量關系是：a=b，其中b為增長（或降低）后的數(shù)量，a為增長（或降低）前的基數(shù)，為增長率（降低率）。例1：兩年前生產(chǎn)1噸甲種藥品的成本是5000元，生產(chǎn)1噸乙種藥品的成本是6000元，隨著生產(chǎn)技術的進步，現(xiàn)在生產(chǎn)1噸甲種藥品的成本是3000元，生產(chǎn)1噸乙種藥品的成本是3600元，哪種藥品成本的年平均下降率較大？解：①設甲種藥品成本的年平均下降率為x，則一年后甲種藥品成本為元，兩年后甲種藥品成本為元．依題意，得解得：x1≈，x2≈。根據(jù)實際意義，甲種藥品成本的年平均下降率約為。②設乙種藥品成本的平均下降率為y．則，列方程：解得：答：兩種藥品成本的年平均下降率．思考：經(jīng)過計算，你能得出什么結論？成本下降額較大的藥品，它的下降率一定也較大嗎？應怎樣全面地比較幾個對象的變化狀態(tài)？變式練習：例：某印刷廠元月份印刷課本30萬冊，第一季度共印了150萬冊，問2、3月份平均每月的增長率是多少？分析：本題的關鍵是應用形如a=b形式的問題，但要注意不能盲目套公式，此題沒有直接給出增長后的數(shù)據(jù)，而是直接給出了第一季度印刷的總數(shù)量，所以使用的等量關系是：元月份印刷數(shù)量30萬冊＋2月份印刷數(shù)量30＋3月份印刷數(shù)量30=150萬冊解：設2、3月份平均增長率為，則30＋30＋30=150解得，1=3.56（舍去）2=0.56=56%答：略中考真題：（2014云南昆明）某果園2011年水果產(chǎn)量為100噸，2013年水果產(chǎn)量為144噸，求該果園水果產(chǎn)量的年平均增長率，設該果園水果產(chǎn)量的年平均增長率為x，則根據(jù)題意可列方程為A．B、C、D、應用3：數(shù)字問題根據(jù)數(shù)字問題列方程，只要根據(jù)題目中給出的相等關系列出方程即可，但要注意兩位數(shù)或三位數(shù)的表示方式。兩位數(shù)=（十位數(shù)字）×10＋（個位數(shù)字）三位數(shù)=（百位數(shù)字）×100＋（十位數(shù)字）×10＋（個位數(shù)字）例：一個兩位數(shù)，十位數(shù)字與個位數(shù)字之和是5，把這個數(shù)的個位數(shù)字與十位數(shù)字對調(diào)后，所得的新的兩位數(shù)與原來的兩位數(shù)的乘積是736，求原來的兩位數(shù)。分析：題中等量關系比較明顯，所以兩位數(shù)與原來的兩位數(shù)的乘積是736,正確列出方程的關鍵是熟練掌握用字母表示兩位數(shù)的方法。兩位數(shù)=（十位數(shù)字）×10＋（個位數(shù)字）。解：設原來兩位數(shù)的十位數(shù)字為，則個位數(shù)字為（5－）。根據(jù)題意，得[10＋（5－）][10（5－）＋]=736整理，得－5＋6=0，1=2，2=3。當=2時，5－=3符合題意，原來的兩位數(shù)是23；當=3時，5－=2符合題意，原來的兩位數(shù)是32。答：原來的兩位數(shù)是23或32。應用4：有關特殊圖形問題的應用題面積公式是此類問題的等量關系。例：①幾何圖形的面積問題面積公式是此類問題的等量關系。例：如圖1—1所示，某小區(qū)規(guī)劃在一個長為40m，寬為26m的矩矩形場地ABCD上修建三條同樣寬的道路，使其中兩條與AB平行，另一條與AD平行，其余部分種草，若使每一塊草坪的面積都是144㎡，則道路的寬是多少米?分析：（1）設路的寬為m，那么道路所在的面積（40＋26×2－2）㎡，于是六塊草坪的面積為[40×26－（40＋26×2－2）]㎡，根據(jù)題意，得40×26－（40＋26×2－2）=144×6（2）將圖1—1所示中的三條道路分別向上和向左、向右平移圖1—2的位置，若設寬為m，則草坪的總面積為（40－2）（26－）㎡所列方程為（40－2）（26－）=144×6解法1：設道路的寬為m，則根據(jù)題意，得40×26－（40＋26×2－2）=144×6整理，得－46＋88=0，解得1=44（舍去），2=2解法2：設道路的寬為m，則根據(jù)題意，得（40－2）（26－）=144×6解得，1=44（舍去），2=2答：略②勾股定理問題：勾股定理是此類問題的等量關系。例：如圖2—1兩只螞蟻從A點出發(fā)，分別沿正北，正東方向爬，甲的速度為每分鐘6cm，乙的速度為每分鐘8cm，幾分鐘后，兩只螞蟻相距20cm?分析：假設t分鐘后相距20cm，那么甲所爬的距離為6tcm，乙所爬的距離為8tcm，甲乙所爬的距離正好是兩個直角邊，相距20cm正好是兩直角邊所對的斜邊，此題可用勾股定理作等量關系列方程。解：設t分鐘后，相距20cm，由題意得：＋﹦整理，得﹦400，﹦2，﹦－2（不合題意，舍去）答：略變式1：用一塊長方形的鐵片，把它的四角各自剪去一個邊長是4cm的小方塊，然后把四邊折起來，做成一個沒有蓋的盒子，已知鐵片的長是寬的2倍，做成盒子的容積是1536,求這塊鐵片的長和寬．變式2：如圖所示，在寬為20m，長為32m的矩形耕地上，修筑三條同樣寬的耕處道路，使其中兩條與AB平行，另一條與AD平行，要使耕地面積504㎡，道路寬應為多少？變式3：如圖3-9-2所示要建一個面積為150m2的長方形養(yǎng)雞場,為了節(jié)約材料,雞場的一邊靠著原有的一條墻,墻長為m,另三邊用竹籬笆圍成,已知籬笆總長為35m.(1)求雞場的長與寬各為多少米?(2)題中的墻長度m對題目的解起著怎樣的作用?變式4：如圖3-9-13，所示一個農(nóng)戶用24m長的籬笆圍成一排一面靠墻、大小相等且彼此相連的三個矩形雞舍.要使三個雞舍的總面積為36m2,求每個雞舍的長和寬.中考真題（2014浙江省麗水市）如圖，某小區(qū)規(guī)劃在一個長30m、寬20m的長方形ABCD上修建三條同樣寬的通道，使其中兩條與AB平行，另一條與AD平行，其余部分種花草．要使每一塊花草的面積都為78，那么通道的寬應設計成多少m？設通道的寬為xm，由題意列得方程________．應用5：商品利潤類例題4：上海市百貨商店服裝柜在銷售中發(fā)現(xiàn):“寶樂”牌童裝平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了迎接“六·一”國際兒童節(jié)，商場決定采取適當?shù)慕祪r措施，擴大銷售量，增加盈得，減少庫存，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：如果每件童裝每降價4元，那么平均每天就可多售出8件，要想平均每天在銷售這種童裝上盈得1200元，那么每件童裝應降價多少元？等量關系式為：童裝平均每天售出的件數(shù)×每件盈利=每天銷售這種童裝利潤分析：假設每件襯衫應降價元，現(xiàn)每件盈利為（40－）元，現(xiàn)每天銷售襯衫為（20＋2）件，根據(jù)等量關系：解：設每件童裝應降價x元，利用童裝平均每天售出的件數(shù)×每件盈利=每天銷售這種童裝利潤的等量關系列出方程解答即可.得:

因為商家為了擴大銷售量，增加盈利，盡快減少庫存，所以

答：每件童裝應降價20元。小結：銷售問題的等量關系：單件的銷售利潤=售價-進價；總利潤=單件的銷售利潤X銷售量注意：單件的銷售利潤一定是售價-進價，不是用標價-進價。變式1：工藝商場按標價銷售某種工藝品時，每件可獲利45元；按標價的八五折銷售該工藝品8件與將標價降低35元銷售該工藝品12件所獲利潤相等.（1）該工藝品每件的進價、標價分別是多少元？（2）若每件工藝品按（1）中求得的進價進貨，標價售出，工藝商場每天可售出該工藝品100件．若每件工藝品降價1元，則每天可多售出該工藝品4件．問每件工藝品降價多少元出售，可使每天獲得的利潤達到4900元？變式2：將進貨單價為40元的商品按50元售出時，就能賣出500個.已知這種商品每個漲價1元，其銷售量就減少10個，問為了賺得8000元的利潤，售價應定為多少？這時應進貨多少個？變式3：某商店從廠家以每件21元的價格購進一批商品，該商店可以自行定價，若每件商品售價為元，則可賣出件，但物價局限定每次商品加價不能超過進價的20%，商店計劃要賺400元，需要賣了多少件商品？每件商品應售價多少元？應用6：幾何圖形運動類此類問題是一般幾何題的延伸，要學會用運動的觀點看問題，根據(jù)條件設出未知數(shù)，應想辦法把圖中變化的線段用未知數(shù)表示出來，再根據(jù)題中給出的等量關系（可以是圖形的面積、勾股定理等）列出方程。例：如圖3—1所示，在△ABC中，∠B=90°，點P從A點開始沿AB向B點以1cm/s的速度移動，點Q從點B開始沿BC邊向點C以2cm/s的速度移動，如果點P、Q分別從A，B同時出發(fā)，經(jīng)過幾秒鐘，使△PQB的面積等于8cm2？分析：設經(jīng)過s，點P在AB上移動后所剩的距離PB為（6－）cm點Q在BC上移動的距離BQ為2cm因此，可根據(jù)三角形面積公式列方程來求解解：設經(jīng)過s，點P在AB上，點Q在BC上，且使△PBQ面積為8根據(jù)題意，得（6－）×2=8－6＋8=0，解得1=2，2=4經(jīng)2s，點P在離A點1×2=2（cm）處；點Q在離B點2×2=4（cm）處。經(jīng)4s點P在離A點1×4=4（cm）處，點Q在離B點2×4=8（cm）處，所以它們都符合要求。答：略變式1：已知：如圖3-9-3所示，在△中，.點從點開始沿邊向點以1cm/s的速度移動，點從點開始沿邊向點以2cm/s的速度移動.（1）如果分別從同時出發(fā)，那么幾秒后，△的面積等于4cm2？（2）如果分別從同時出發(fā)，那么幾秒后，的長度等于5cm？（3）在（1）中，△的面積能否等于7cm2?說明理由.變式2：如圖3-9-10，等腰Rt△中，，動點從點出發(fā)，沿向點移動.通過點引平行于、的直線與、分別交于點、，問：等于多少厘米時，平行四邊形的面積等于16cm2？課后總結：1.這節(jié)課你都學到了什么？2.列一元二次方程解應用題的幾種典型問題的等量關系你會找了嗎？小結：面積問題公式：矩形=長X寬注意：尋找圖形是什么圖形？再根據(jù)具體的圖形的面積公式去尋找其等量關系。銷售問題的等量關系：單件的銷售利潤=售價-進價；總利潤=單件的銷售利潤X銷售量注意：單件的銷售利潤一定是售價-進價，不是用標價-進價。解一元二次方程的數(shù)學應用題的一般步驟找——找出題中的等量關系設——設未知數(shù)列——列出方程，即根據(jù)找出的等量關系列出含有未知數(shù)的等式解——解出所列的方程驗——將方程的解代入方程中檢驗，回到實際問題中檢驗答——作答下結論注意：用一元二次方程解決實際問題時，一定要注意檢驗所得的解是否符合實際意義，不合題意的解一定要舍去。課后作業(yè)：一、填空題1、（09中考填空題14）．某商品的原價為100元，如果經(jīng)過兩次降價，且每次降價的百分率都是，那么該商品現(xiàn)在的價格是元（結果用含的代數(shù)式表示）某工廠七月份的產(chǎn)值是100萬元，計劃九月份的產(chǎn)值要達到144萬元，每月的增長率相同.設這個增長率為，依據(jù)題意可以列出方程.3．有一塊面積為1000平方米的長方形草地，它的長比寬多30米，那么這塊草地的寬為_____20____米.4．如果三角形的面積為12cm2，一條邊比這條邊上的高短2cm，那么這條邊的長度等于4cm．5．某種型號的書包原價為a元，如果連續(xù)兩次以相同的百分率x降價，那么兩次降價后的價格為______________元（用含a和x的代數(shù)式表示）.6．如圖，在工地一邊的靠墻處，用120米長的鐵柵欄圍一個所占地面積為2000平方米的長方形臨時倉庫，并在其中一邊上留寬為3米的大門，設無門的那邊長為米．根據(jù)題意，可建立關于的方程．7.在正方形ABCD中，E是邊BC上一點，如果這個正方形的面積為m，△ABE的面積等于正方形面積的四分之一，那么BE的長用含m的代數(shù)式表示為．8．如果在直角三角形中，一個銳角是另一個銳角的3倍，那么這個三角形中最小的一個角等于22.5度．9、長方形的面積為10平方厘米，長比寬的2倍少1，設長方形的寬為x厘米，則據(jù)題意可列出方程是________________________10．某工廠七月份的產(chǎn)值是100萬元，計劃九月份的產(chǎn)值要達到144萬元，每月的增長率相同.設這個增長率為，依據(jù)題意可以列