湖南2023年會(huì)計(jì)從業(yè)資格考試真題及答案匯總

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/flashplayer概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題答案

第四版盛驟(浙江大學(xué))浙大第四版（高等教育出版社）第一章概率論的基本概念

1.[一]寫出以下隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間

（1）記錄一個(gè)小班一次數(shù)學(xué)考試的平均分?jǐn)?shù)（充以百分制記分）（[一]1）

o1n?100?S???,???，n表小班人數(shù)

nnn??（3）生產(chǎn)產(chǎn)品直到得到10件正品，記錄生產(chǎn)產(chǎn)品的總件數(shù)。（[一]2）

S={10，11，12，???，n，???}

（4）對(duì)某工廠出廠的產(chǎn)品進(jìn)行檢查，合格的蓋上“正品〞，不合格的蓋上“次品〞，如連續(xù)查出二個(gè)次品就中止檢查，或檢查4個(gè)產(chǎn)品就中止檢查，記錄檢查的結(jié)果。

查出合格品記為“1〞，查出次品記為“0〞，連續(xù)出現(xiàn)兩個(gè)“0〞就中止檢查，或查滿4次才中止檢查。（[一](3)）

S={00，100，0100，0101，1010，0110，1100，0111，1011，1101，1110，1111，}2.[二]設(shè)A，B，C為三事件，用A，B，C的運(yùn)算關(guān)系表示以下事件。（1）A發(fā)生，B與C不發(fā)生。表示為：

ABC或A－(AB+AC)或A－(B∪C)

（2）A，B都發(fā)生，而C不發(fā)生。表示為：

ABC或AB－ABC或AB－C

表示為：A+B+C

（3）A，B，C中至少有一個(gè)發(fā)生（4）A，B，C都發(fā)生，

表示為：ABC

表示為：ABC或S－(A+B+C)或A?B?C

（5）A，B，C都不發(fā)生，

（6）A，B，C中不多于一個(gè)發(fā)生，即A，B，C中至少有兩個(gè)同時(shí)不發(fā)生相當(dāng)于AB,BC,AC中至少有一個(gè)發(fā)生。故表示為：AB?BC?AC。（7）A，B，C中不多于二個(gè)發(fā)生。

相當(dāng)于：A,B,C中至少有一個(gè)發(fā)生。故表示為：A?B?C或ABC（8）A，B，C中至少有二個(gè)發(fā)生。

相當(dāng)于：AB，BC，AC中至少有一個(gè)發(fā)生。故表示為：AB+BC+AC

6.[三]設(shè)A，B是兩事件且P(A)=0.6，P(B)=0.7.問(1)在什么條件下P(AB)取到最大值，最大值是多少？（2）在什么條件下P(AB)取到最小值，最小值是多少？

解：由P(A)=0.6，P(B)=0.7即知AB≠φ，（否則AB=φ依互斥事件加法定理，P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.6+0.7=1.3>1與P(A∪B)≤1矛盾）.

從而由加法定理得

P(AB)=P(A)+P(B)－P(A∪B)

(*)

（1）從0≤P(AB)≤P(A)知，當(dāng)AB=A，即A∩B時(shí)P(AB)取到最大值，最大值為P(AB)=P(A)=0.6，

（2）從(*)式知，當(dāng)A∪B=S時(shí)，P(AB)取最小值，最小值為P(AB)=0.6+0.7－1=0.3。

7.[四]設(shè)A，B，C是三事件，且P(A)?P(B)?P(C)?P(AC)?1.求A，B，C至少有一個(gè)發(fā)生的概率。81,P(AB)?P(BC)?0，4

解：P(A，B，C至少有一個(gè)發(fā)生)=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)－P(AB)－P(BC)－P(AC)+P(ABC)=

315??0?4888.[五]在一標(biāo)準(zhǔn)英語字典中具有55個(gè)由二個(gè)不一致的字母新組成的單詞，若從26個(gè)英語字母中任取兩個(gè)字母予以排列，問能排成上述單詞的概率是多少？

記A表“能排成上述單詞〞

2∵從26個(gè)任選兩個(gè)來排列，排法有A26種。每種排法等可能。

字典中的二個(gè)不同字母組成的單詞：55個(gè)∴

P(A)?5511?2130A269.在電話號(hào)碼薄中任取一個(gè)電話號(hào)碼，求后面四個(gè)數(shù)全不一致的概率。（設(shè)后面4個(gè)數(shù)中的每一個(gè)數(shù)都是等可能性地取自0，1，2??9）

記A表“后四個(gè)數(shù)全不同〞

∵后四個(gè)數(shù)的排法有104種，每種排法等可能。

4后四個(gè)數(shù)全不同的排法有A10

∴

4A10P(A)?4?0.504

1010.[六]在房間里有10人。分別佩代著從1號(hào)到10號(hào)的紀(jì)念章，任意選3人記錄其紀(jì)念章的號(hào)碼。

（1）求最小的號(hào)碼為5的概率。

記“三人紀(jì)念章的最小號(hào)碼為5〞為事件A

10?∵10人中任選3人為一組：選法有??3?種，且每種選法等可能。??5?又事件A相當(dāng)于：有一人號(hào)碼為5，其余2人號(hào)碼大于5。這種組合的種數(shù)有1???2???∴

5?1???2????1P(A)?12?10??3???

（2）求最大的號(hào)碼為5的概率。

10?記“三人中最大的號(hào)碼為5〞為事件B，同上10人中任選3人，選法有??3?種，且??4?每種選法等可能，又事件B相當(dāng)于：有一人號(hào)碼為5，其余2人號(hào)碼小于5，選法有1???2???種

4?1???2????1P(B)?20?10??3???11.[七]某油漆公司發(fā)出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶，紅漆3桶。在搬運(yùn)中所標(biāo)箋脫落，交貨人隨意將這些標(biāo)箋重新貼，問一個(gè)定貨4桶白漆，3桶黑漆和2桶紅漆顧客，按所定的顏色如數(shù)得到定貨的概率是多少？

記所求事件為A。

9在17桶中任取9桶的取法有C17種，且每種取法等可能。432?C4?C3取得4白3黑2紅的取法有C10

故

432C10?C4?C3252P(A)??62431C1712.[八]在1500個(gè)產(chǎn)品中有400個(gè)次品，1100個(gè)正品，任意取200個(gè)。（1）求恰有90個(gè)次品的概率。記“恰有90個(gè)次品〞為事件A

1500?∵在1500個(gè)產(chǎn)品中任取200個(gè)，取法有??200?種，每種取法等可能。

??400??1100?200個(gè)產(chǎn)品恰有90個(gè)次品，取法有??90??110?種

?????400??1100??90??110????

P(A)???1500??200???∴

（2）至少有2個(gè)次品的概率。

記：A表“至少有2個(gè)次品〞

B0表“不含有次品〞，B1表“只含有一個(gè)次品〞，同上，200個(gè)產(chǎn)品不含次品，取法

1100??400??1100?有??200?種，200個(gè)產(chǎn)品含一個(gè)次品，取法有?1??199?種??????∵

A?B0?B1且B0，B1互不相容。

∴

??1100??400??1100???1??199????200??????

P(A)?1?P(A)?1?[P(B0)?P(B1)]?1?????15001500????????200??200????????13.[九]從5雙不同鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有2只配成一雙的概率是多少？記A表“4只全中至少有兩支配成一對(duì)〞則A表“4只人不配對(duì)〞

10?∵從10只中任取4只，取法有??4?種，每種取法等可能。

??要4只都不配對(duì)，可在5雙中任取4雙，再在4雙中的每一雙里任取一只。取法有

?5??24?4????P(A)?4C5?244C10?821813?2121

P(A)?1?P(A)?1?15.[十一]將三個(gè)球隨機(jī)地放入4個(gè)杯子中去，問杯子中球的最大個(gè)數(shù)分別是1，2，3，的概率各為多少？

記Ai表“杯中球的最大個(gè)數(shù)為i個(gè)〞i=1,2,3,三只球放入四只杯中，放法有43種，每種放法等可能

對(duì)A1：必需三球放入三杯中，每杯只放一球。放法43332種。(選排列：好比3個(gè)球在4個(gè)位置做排列)

P(A1)?4?3?26?3164

?1414313??????554543524.[十九]設(shè)有甲、乙二袋，甲袋中裝有n只白球m只紅球，乙袋中裝有N只白球M只紅球，今從甲袋中任取一球放入乙袋中，再?gòu)囊掖腥稳∫磺颍瑔柸〉剑磸囊掖腥〉剑┌浊虻母怕适嵌嗌?？（此為第三?9題(1)）

記A1，A2分別表“從甲袋中取得白球，紅球放入乙袋〞再記B表“再?gòu)囊掖腥〉冒浊颞?。∵?/p>

B=A1B+A2B且A1，A2互斥P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)

=

nN?1mN???n?mN?M?1n?mN?M?1[十九](2)第一只盒子裝有5只紅球，4只白球；其次只盒子裝有4只紅球，5只白球。先從第一盒子中任取2只球放入其次盒中去，然后從其次盒子中任取一只球，求取到白球的概率。

記C1為“從第一盒子中取得2只紅球〞。C2為“從第一盒子中取得2只白球〞。

C3為“從第一盒子中取得1只紅球，1只白球〞，

D為“從其次盒子中取得白球〞，顯然C1，C2，C3兩兩互斥，C1∪C2∪C3=S，由全概率公式，有

P(D)=P(C1)P(D|C1)+P(C2)P(D|C2)+P(C3)P(D|C3)

112C525C4?C47C5653?2?????2?21199C911C911C926.[二十一]已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者。今從男女人數(shù)相等的人群中隨機(jī)地挑揀一人，恰好是色盲患者，問此人是男性的概率是多少？

解：A1={男人}，A2={女人}，B={色盲}，顯然A1∪A2=S，A1A2=φ由已知條件知P(A1)?P(A2)?1P(B|A1)?5%,P(B|A2)?0.25%2?

由貝葉斯公式，有

15?P(A1B)P(A1)P(B|A1)202300P(A1|B)????125P(B)P(A1)P(B|A1)?P(A2)P(B|A2)1521???2100210000

[二十二]一學(xué)生接連參與同一課程的兩次考試。第一次及格的概率為P，若第一次

P及格則其次次及格的概率也為P；若第一次不及格則其次次及格的概率為（1）若至少

2有一次及格則他能取得某種資格，求他取得該資格的概率。（2）若已知他其次次已經(jīng)及格，求他第一次及格的概率。

解：Ai={他第i次及格}，i=1,2

已知P(A1)=P(A2|A1)=P，P(A2|A1)?P

2（1）B={至少有一次及格}

}?A1A2所以B?{兩次均不及格∴P(B)?1?P(B)?1?P(A1A2)?1?P(A1)P(A2|A1)?1?[1?P(A1)][1?P(A2|A1)]?1?(1?P)(1?P31)?P?P2222

（*）

定義P(A1A2)（2）P(A1A2)

P(A2)由乘法公式，有P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)=P2

由全概率公式，有P(A2)?P(A1)P(A2|A1)?P(A1)P(A2|A1)

?P?P?(1?P)?

P2P2P??22

將以上兩個(gè)結(jié)果代入（*）得P(A1|A2)?P2P2P?22?2PP?1

28.[二十五]某人下午5:00下班，他所積累的資料說明：

到家時(shí)間乘地鐵到0.10家的概率乘汽車到0.30家的概率某日他拋一枚硬幣決定乘地鐵還是乘汽車，結(jié)果他是5:47到家的，試求他是乘地鐵回家的概率。

解：設(shè)A=“乘地鐵〞，B=“乘汽車〞，C=“5:45~5:49到家〞，由題意,AB=φ,A∪B=S已知：P(A)=0.5,P(C|A)=0.45,P(C|B)=0.2,P(B)=0.5由貝葉斯公式有

0.350.200.100.050.250.450.150.055:35~5:395:40~5:445:45~5:495:50~5:54遲于5:54P(A|C)?P(C|A)P(A)?P(C)0.5?0.450.459???0.6923

110.6513P(C|A)?P(C|B)2229.[二十四]有兩箱同種類型的零件。第一箱裝5只，其中10只一等品；其次箱30只，其中18只一等品。今從兩箱中任挑出一箱，然后從該箱中取零件兩次，每次任取一只，作不放回抽樣。試求（1）第一次取到的零件是一等品的概率。（2）第一次取到的零件是一等品的條件下，其次次取到的也是一等品的概率。

解：設(shè)Bi表示“第i次取到一等品〞i=1，2Aj表示“第j箱產(chǎn)品〞j=1,2，顯然A1∪A2=S（1）P(B1)?A1A2=φ

1101182。?????0.4（B1=A1B+A2B由全概率公式解）

2502305110911817?P(B1B2)2504923029（2）P(B2|B1)???0.4857

2P(B1)5（先用條件概率定義，再求P(B1B2)時(shí)，由全概率公式解）

32.[二十六（2）]如圖1，2，3，4，5表示繼電器接點(diǎn)，假設(shè)每一繼電器接點(diǎn)閉合的概率為p，且設(shè)各繼電器閉合與否相互獨(dú)立，求L和R是通路的概率。

記Ai表第i個(gè)接點(diǎn)接通

記A表從L到R是構(gòu)成通路的。

∵A=A1A2+A1A3A5+A4A5+A4A3A2四種狀況不互斥

∴P(A)=P(A1A2)+P(A1A3A5)+P(A4A5)+P(A4A3A2)－P(A1A2A3A5)

+P(A1A2A4A5)+P(A1A2A3A4)+P(A1A3A4A5)

+P(A1A2A3A4A5)P(A2A3A4A5)+P(A1A2A3A4A5)+P(A1A2A3A4A5)+(A1A2A3A4A5)+P(A1A2A3A4A5)－P(A1A2A3A4A5)

又由于A1，A2，A3，A4，A5相互獨(dú)立。故

P(A)=p2+p3+p2+p3－[p4+p4+p4+p4+p5+p4]

L13452R+[p5+p5+p5+p5]－p5=2p2+3p3－5p4+2p5

[二十六（1）]設(shè)有4個(gè)獨(dú)立工作的元件1，2，3，4。它們的可靠性分別為P1，P2，P3，P4，將它們按圖（1）的方式聯(lián)接，求系統(tǒng)的可靠性。

記Ai表示第i個(gè)元件正常工作，i=1，2，3，4，

2143A表示系統(tǒng)正常。

∵A=A1A2A3+A1A4兩種狀況不互斥

(加法公式)

∴P(A)=P(A1A2A3)+P(A1A4)－P(A1A2A3A4)

=P(A1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(A4)－P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)=P1P2P3+P1P4－P1P2P3P4

(A1,A2,A3,A4獨(dú)立)

34.[三十一]袋中裝有m只正品硬幣，n只次品硬幣，（次品硬幣的兩面均印有國(guó)徽）。在袋中任取一只，將它投擲r次，已知每次都得到國(guó)徽。問這只硬幣是正品的概率為多

少？

解：設(shè)“出現(xiàn)r次國(guó)徽面〞=Br“任取一只是正品〞=A由全概率公式，有

m1rn()??1rm?n2m?nm1r()P(A)P(Br|A)mm?n2?P(A|Br)???m1rnP(Br)m?n?2r()?m?n2m?nP(Br)?P(A)P(Br|A)?P(A)P(Br|A)?（條件概率定義與乘法公式）

35．甲、乙、丙三人同時(shí)對(duì)飛機(jī)進(jìn)行射擊，三人擊中的概率分別為0.4，0.5，0.7。飛機(jī)被一人擊中而被擊落的概率為0.2，被兩人擊中而被擊落的概率為0.6，若三人都擊中，飛機(jī)必定被擊落。求飛機(jī)被擊落的概率。

解：高Hi表示飛機(jī)被i人擊中，i=1，2，3。B1，B2，B2分別表示甲、乙、丙擊中飛機(jī)

∵

H1?B1B2B3?B1B2B3?B1B2B3，三種狀況互斥。H2?B1B2B3?B1B2B3?B1B2B3三種狀況互斥H3?B2B2B3

又B1，B2，B2獨(dú)立?！?/p>

P(H1)?P(B1)P(B2)P(B3)?P(B1)P(B2)P(B3)

?P(B1)P(B2)P(B3)?0.4?0.5?0.3?0.6?0.5?0.3?0.6?0.5?0.7?0.36

P(H2)?P(B1)P(B2)P(B3)?P(B1)P(B2)P(B3)

?P(B1)P(B2)P(B3)?0.4?0.5?0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7=0.41

同理：

11?1?1?7?1?P(X?3)?3??????3????????4?4?44464????1?1P(X?4)?????64?4?3223

故

E(X)?1?37197125?2??3??4??64646464165.[五]設(shè)在某一規(guī)定的時(shí)間間段里，其電氣設(shè)備用于最大負(fù)荷的時(shí)間X（以分計(jì)）是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量。其概率密度為

1?0?x?1500?(1500)2x,???1f(x)??(x?3000),1500?x?15002?(1500)其他?0??求E(X)解：E(X)???????xf(x)dxxx?dx?(1500)2?15000?30001500x?(3000?x)(1500)2dx1x315001??(1500)230(1500)2?1500(分)6.[六]設(shè)隨機(jī)變量X的分布為

求E(X)，E(3X2+5)解：

XPk

－20.4

?x3?30002?1500x?3?1500??00.3

20.3

E(X)=(－2)×0.4+0×0.3+2×0.3=－0.2E(X2)=(－2)2×0.4+02×0.3+22×0.3=2.8E(3X2+5)=3E(X2)+E(5)=8.4+5=13.4

7.[七]設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為

?e?x,x?0f(x)??

?0,x?0

求（1）Y=2X

解：（1）E(y)?（2）Y=e

??－2x

的數(shù)學(xué)期望。

?????2xf(x)dx??02xe?xdx

??2xe?x?2e?x?????0??2

???0（2）E(Y)????e?2xf(x)dx?e?2xe?xex

??1?3x?1e?3038.[八]設(shè)（X，Y）的分布律為XY－10110.20.10.120.100.1300.30.1

(1)求E(X)，E(Y)。(2)設(shè)Z=Y/X，求E(Z)。(3)設(shè)Z=(X－Y)2，求E(Z)。

解：（1）由X，Y的分布律易得邊緣分布為

XY－10110.20.10.10.4－120.100.10.2300.30.10.40.30.40.310E(X)=1×0.4+2×0.2+3×0.4

=0.4+0.4+1.2=2.E(Y)=(－1)×0.3+0×0.4

+1×0.3=0.1/31/21（2）Z=Y/X－1/2－1/3pk0.20.100.40.10.10.1

E(Z)=(－1)×0.2+(－0.5)×0.1+(－1/3)×0+0×0.4+1/3×0.1+0.5×0.1+1×0.1=(－1/4)+1/30+1/20+1/10=(－15/60)+11/60=－1/15.（3）014916Z(X－Y)2(1-1)2(1-0)2或(2-1)2(2-0)2或(1-(-1))2或(3-1)2(3-0)2或(2-(-1))2(3-(-1))2

pk0.10.20.30.40

E(Z)=030.1+1×0.2+4×0.3+9×0.4+16×0=0.2+1.2+3.6=5

10.[十]一工廠生產(chǎn)的某種設(shè)備的壽命X（以年計(jì)）聽從指數(shù)分布，概率密度為

?1?1x?e4,x?0工廠規(guī)定出售的設(shè)備若在一年內(nèi)損壞，可予以調(diào)換。若工廠出售一f(x)??4??0,x?0臺(tái)設(shè)備可贏利100元，調(diào)換一臺(tái)設(shè)備廠方需花費(fèi)300元。試求廠方出售一臺(tái)設(shè)備凈贏

利的數(shù)學(xué)期望。

1解：一臺(tái)設(shè)備在一年內(nèi)損壞的概率為P(X?1)?4故P(X?1)?1?P(X?1)?1?(1?e則

?14?1?1xe4dx0??e?x41?1?0e?14

)?e?14.設(shè)Y表示出售一臺(tái)設(shè)備的凈贏利

?(?300?100)??200,(X?1)Y?f(X)??100,(X?1).??14故E(Y)?(?200)?P(X?1)?100?P(X?1)??200?200e?300e?14?100e?14

?200?33.64

11.[十一]某車間生產(chǎn)的圓盤直徑在區(qū)間（a,b）聽從均勻分布。試求圓盤面積的數(shù)學(xué)期望。

解：設(shè)X為圓盤的直徑，則其概率密度為

1??,x?(a,b)f(x)??b?a?0,其它.?用Y表示圓盤的面積，則Y?1πX2,從而4E(Y)?

???1??ππxf(x)dx?442?ba(b3?a3)π1π2xdx???(a2?ab?b2).b?a4(b?a)31212.[十三]設(shè)隨機(jī)變量X1，X2的概率密度分別為

?2e?2x,f1(x)???0x?0x?0?4e?4x,x?0f2(x)??

0,x?0?2求（1）E(X1+X2)，E(2X1－3X2)；（2）又設(shè)X1，X2相互獨(dú)立，求E(X1X2)

解：（1）E(X1?X2)?E(X1)?E(X2)???0x?2e?2xdx???0x?4e?4xdx

??11311=??xe?2x?e?2x????xe?4x?e?4x????

???24??0???024422（2）E(2X1?3X2)?2E(X1)?3E(X2)?2?1?32??0x2?4e?4xdx

?x135=1?3??x2e?4x?e?4x?e?4x??1??

??2888??0（3）E(X1X2)?E(X1)?E(X2)?111??24813.[十四]將n只球（1～n號(hào)）隨機(jī)地放進(jìn)n只盒子（1～n號(hào)）中去，一只盒子裝一只球。將一只球裝入與球同號(hào)的盒子中，稱為一個(gè)配對(duì)，記X為配對(duì)的個(gè)數(shù)，求E(X)

?1第i號(hào)盒裝第i號(hào)球解：引進(jìn)隨機(jī)變量Xi??

0第i號(hào)盒裝非i號(hào)球?