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本文格式為Word版,下載可任意編輯——高中物理奧賽解題方法05極限法五、極限法
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極限法是把某個(gè)物理量推向極端,即極大和微小或極左和極右,并依此做出科學(xué)的推理分析,從而給出判斷或?qū)С鲆话憬Y(jié)論。極限法在進(jìn)行某些物理過程的分析時(shí),具有獨(dú)特作用,恰當(dāng)應(yīng)用極限法能提高解題效率,使問題化難為易,化繁為簡(jiǎn),思路靈活,判斷確鑿。因此要求解題者,不僅具有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)囊?guī)律推理能力,而且具有豐富的想象能力,從而得到事半功倍的效果。
賽題精講
例1:如圖5—1所示,一個(gè)質(zhì)量為m的小球位于一質(zhì)量可忽略的直立彈簧上方h高度處,該小球從靜止開始落向彈簧,設(shè)彈簧的勁度系數(shù)為k,則物塊可能獲得的最大動(dòng)能為。
解析:球跟彈簧接觸后,先做變加速運(yùn)動(dòng),后做變減速運(yùn)動(dòng),據(jù)此推理,小球所受合力為零的位置速度、動(dòng)能最大。所以速最大時(shí)有
mg=kx①
1由機(jī)械能守恒有:mg(h+x)=Ek+kx2②
2m2g2聯(lián)立①②式解得:Ek=mgh-
2k
圖5—1
例2:如圖5—2所示,傾角為α的斜面上方有一點(diǎn)O,在O點(diǎn)放一至斜面的光滑直軌道,要求一質(zhì)點(diǎn)從O點(diǎn)沿直軌道到達(dá)斜面P點(diǎn)的時(shí)間最短。求該直軌道與豎直方向的夾角β。
解析:質(zhì)點(diǎn)沿OP做勻加速直線運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t應(yīng)當(dāng)與β角有關(guān),求時(shí)間t對(duì)于β角的函數(shù)的極值即可。
由牛頓運(yùn)動(dòng)定律可知,質(zhì)點(diǎn)沿光滑軌道下滑的加速度為:a=gcosβ
該質(zhì)點(diǎn)沿軌道由靜止滑到斜面所用的時(shí)間為t,則:
12
at=OP2
圖5—2
2OP①gcos?所以:t=由圖可知,在ΔOPC中有:
OPOC=
sin(90o??)sin(90o????)極限法第1頁(yè)(共14頁(yè))
所以:OP=
OCcos?②
cos(???)將②式代入①式得:t=
2OCcos?=gcos?cos(???)4OCcos?cos??cos(??2?)g??顯然,當(dāng)cos(α-2β)=1,即β=所以當(dāng)β=
?時(shí),上式有最小值。2?時(shí),質(zhì)點(diǎn)沿直軌道滑到斜面所用的時(shí)間最短。2此題也可以用作圖法求解。
例3:從底角為θ的斜面頂端,以初速度v0水平拋出一小球,不計(jì)空氣阻力,若斜面足夠長(zhǎng),如圖5—3所示,則小球拋出后,離開斜面的最大距離H為多少?
解析:當(dāng)物體的速度方向與斜面平行時(shí),物體離斜面最遠(yuǎn)。以水平向右為x軸正方向,豎直向下為y軸正方向,則由:vy=v0tanθ=gt,解得運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t=
該點(diǎn)的坐標(biāo)為:
22v012v0x=v0t=tanθ,y=gt=tan2θ
g2g2v0tanθg由幾何關(guān)系得:
H+y=xtanθcos?
圖5—
解得小球離開斜面的最大距離為:
2v0H=tanθ?sinθ
2g這道題若以沿斜面方向和垂直于斜面方向建立坐標(biāo)軸,求解則更加簡(jiǎn)便。
例4:如圖5—4所示,一水槍需將水射到離噴口的水平距離為3.0m的墻外,從噴口算起,墻高為4.0m。若不計(jì)空氣阻力,取g=10m/s2,求所需的最小初速及對(duì)應(yīng)的發(fā)射仰角。
解析:水流做斜上拋運(yùn)動(dòng),以噴口O為原點(diǎn)建立如下圖的直角坐標(biāo),此題的任務(wù)就是水流能通過點(diǎn)A(d、h)的最小初速度和發(fā)射仰角。
根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律,水流的運(yùn)動(dòng)方程為:
?x?v0cos??t??12y?vsin??t?gt0??2把A點(diǎn)坐標(biāo)(d、h)代入以上兩式,消去t,得:
gd2v=-
2(h?dtan?)cos2?20
圖5—4
gd2=dsin2??h(cos2??1)
極限法第2頁(yè)(共14頁(yè))
=
gd2??dhd2?h2??sin2???cos2???h22d2?h2?d?h?
令
dhh=tanθ,則2=cosθ,=sinθ,上式可變?yōu)椋篸d?h2d2?h2gd22v0=22d?hsin(2???)?h?顯然,當(dāng)sin(2α-θ)=1時(shí),即2α-θ=90°,亦即發(fā)射角α=45°+=45°
21h4+arctan=45°+arctan=71.6°時(shí),v0最小,且最小速度為:2d3v0=g(d2?h2?h)=310=9.5m/s例5:如圖5—5所示,一質(zhì)量為m的人,從長(zhǎng)為l、質(zhì)量為M的鐵板的一端勻加速跑向另一端,并在另一端猛然中止。鐵板和水平面間摩擦因數(shù)為μ,人和鐵板間摩擦因數(shù)為μ′,且μ′?μ。這樣,人能使鐵板朝其跑動(dòng)方向移動(dòng)的最大距離L是多少?
解析:人猛然中止奔跑后,其原有動(dòng)量轉(zhuǎn)化為與鐵板一起向前沖的動(dòng)量,此后,地面對(duì)載人鐵板的阻力是地面對(duì)鐵板的摩擦力f,其加速度a1=
?(M?m)gf==μg。圖5—5
M?mM?mv?2由于鐵板移動(dòng)的距離L=,故v′越大,L越大。v′是人與鐵板一起開始地運(yùn)
2a1
動(dòng)的速度,因此人應(yīng)以不會(huì)引起鐵板運(yùn)動(dòng)的最大加速度奔跑。
人在鐵板上奔跑但鐵板沒有移動(dòng)時(shí),人若達(dá)到最大加速度,則地面與鐵板之間的摩擦力達(dá)到最大靜摩擦μ(M+m)g,根據(jù)系統(tǒng)的牛頓其次定律得:
F=ma2+M?0
所以:a2=
FM?m=μg①mm設(shè)v、v′分別是人奔跑終止及人和鐵板一起運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度:
由于:mv=(M+m)v′②且:v2=2a2l,v?2=2a1L
并將a1、a2代入②式解得鐵板移動(dòng)的最大距離:L=
mlM?m例6:設(shè)地球的質(zhì)量為M,人造衛(wèi)星的質(zhì)量為m,地球的半徑為R0,人造衛(wèi)星環(huán)繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r。試證明:從地面上將衛(wèi)星發(fā)射至運(yùn)行軌道,發(fā)射
極限法第3頁(yè)(共14頁(yè))
速度v=gR0(2?R0),并用該式求出這個(gè)發(fā)射速度的最小值和最大值。(取R0=6.4×r106m),設(shè)大氣層對(duì)衛(wèi)星的阻力忽略不計(jì),地面的重力加速度為g)
解析:由能量守恒定律,衛(wèi)星在地球的引力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)總機(jī)械能為一常量。設(shè)衛(wèi)星從地面發(fā)射的速度為v發(fā),衛(wèi)星發(fā)射時(shí)具有的機(jī)械能為:
Mm12E1=mv發(fā)-G①
R02Mm12進(jìn)入軌道后衛(wèi)星的機(jī)械能為:E2=mv軌-G②
r2由E1=E2,并代入v軌=v發(fā)=GM,解得發(fā)射速度為:rRGM(2?0)③R0rMm=mg,所以:2R0又由于在地面上萬(wàn)有引力等于重力,即:G
GM=gR0④R0把④式代入③式即得:v發(fā)=gR0(2?R0)r(1)假使r=R0,即當(dāng)衛(wèi)星貼近地球表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí),所需發(fā)射速度最小為:vmin=gR0=7.9×103m/s。
(2)假使r→∞,所需發(fā)射速度最大(稱為其次宇宙速度或脫離速度)為:vmax=2gR0=11.2×103m/s。
例7:如圖5—6所示,半徑為R的勻質(zhì)半球體,其重心在球心O點(diǎn)正下方C點(diǎn)3G處,OC=R,半球重為G,半球放在水平面上,在半球的平面上放一重為的物
88體,它與半球平在間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.2,求無(wú)滑動(dòng)時(shí)物體離球心O點(diǎn)最大距離是
多少?
解析:物體離O點(diǎn)放得越遠(yuǎn),根據(jù)力矩的平衡,半球體轉(zhuǎn)過的角度θ越大,但物體在球體斜面上保持相對(duì)靜止時(shí),θ有限度。
設(shè)物體距球心為x時(shí)恰好無(wú)滑動(dòng),對(duì)整體以半球體和地面接觸點(diǎn)為軸,根據(jù)平衡條件有:
G?3RGsinθ=?xcosθ,得到:x=3Rtanθ88圖5—6
可見,x隨θ增大而增大。臨界狀況對(duì)應(yīng)物體所受摩擦力為最大靜摩擦力,則:
極限法第4頁(yè)(共14頁(yè))
tanθm=
fm=μ=0.2,所以x=3μR=0.6R。N例8:有一質(zhì)量為m=50kg的直桿,樹立在水平地面上,桿與地面間靜摩擦因數(shù)μ=0.3,桿的上端固定在地面上的繩索拉住,繩與桿的夾角θ=30°,如圖5—7所示。
(1)若以水平力F作用在桿上,作用點(diǎn)到地面的距離h12=L(L為桿長(zhǎng)),要使桿不滑倒,力F最大不能越過多少?54(2)若將作用點(diǎn)移到h2=L處時(shí),狀況又如何?
5
圖5—7
解析:桿不滑倒應(yīng)從兩方面考慮,桿與地面間的靜摩擦力達(dá)到極限的前提下,力的大小還與h有關(guān),探討力與h的關(guān)系是關(guān)鍵。
桿的受力如圖5—7—甲所示,由平衡條件得:F-Tsinθ-f=0N-Tcosθ-mg=0F(L-h(huán))-fL=0
另由上式可知,F(xiàn)增大時(shí),f相應(yīng)也增大,故當(dāng)f增大到最大
圖5—7—甲
靜摩擦力時(shí),桿剛要滑倒,此時(shí)滿足:f=μN(yùn)
解得:Fmax=
mgLtan?
tan?(L?h)?h?由上式又可知,當(dāng)[制了。
tan?(L-h(huán))-h(huán)]→∞,即當(dāng)h0=0.66L時(shí),對(duì)F就沒有限?2(1)當(dāng)h1=L<h0,將有關(guān)數(shù)據(jù)代入Fmax的表達(dá)式得:Fmax=385N
54(2)當(dāng)h2=L>h0,無(wú)論F為何值,都不可能使桿滑倒,這種現(xiàn)象即稱為自鎖。
5例9:放在光滑水平面上的木板質(zhì)量為M,如圖5—8所示,板上有質(zhì)量為m的小狗以與木板成θ角的初速度v0(相對(duì)于地面)由A點(diǎn)跳到B點(diǎn),已知AB間距離為s。求初速度的最小值。
解析:小狗跳起后,做斜上拋運(yùn)動(dòng),水平
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