高中物理奧賽解題方法05 極限法

本文格式為Word版，下載可任意編輯——高中物理奧賽解題方法05極限法五、極限法

方法簡(jiǎn)介

極限法是把某個(gè)物理量推向極端，即極大和微小或極左和極右，并依此做出科學(xué)的推理分析，從而給出判斷或?qū)С鲆话憬Y(jié)論。極限法在進(jìn)行某些物理過程的分析時(shí)，具有獨(dú)特作用，恰當(dāng)應(yīng)用極限法能提高解題效率，使問題化難為易，化繁為簡(jiǎn)，思路靈活，判斷確鑿。因此要求解題者，不僅具有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)囊?guī)律推理能力，而且具有豐富的想象能力，從而得到事半功倍的效果。

賽題精講

例1：如圖5—1所示，一個(gè)質(zhì)量為m的小球位于一質(zhì)量可忽略的直立彈簧上方h高度處，該小球從靜止開始落向彈簧，設(shè)彈簧的勁度系數(shù)為k，則物塊可能獲得的最大動(dòng)能為。

解析：球跟彈簧接觸后，先做變加速運(yùn)動(dòng)，后做變減速運(yùn)動(dòng)，據(jù)此推理，小球所受合力為零的位置速度、動(dòng)能最大。所以速最大時(shí)有

mg=kx①

1由機(jī)械能守恒有：mg(h+x)=Ek+kx2②

2m2g2聯(lián)立①②式解得：Ek=mgh－

2k

圖5—1

例2：如圖5—2所示，傾角為α的斜面上方有一點(diǎn)O，在O點(diǎn)放一至斜面的光滑直軌道，要求一質(zhì)點(diǎn)從O點(diǎn)沿直軌道到達(dá)斜面P點(diǎn)的時(shí)間最短。求該直軌道與豎直方向的夾角β。

解析：質(zhì)點(diǎn)沿OP做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t應(yīng)當(dāng)與β角有關(guān)，求時(shí)間t對(duì)于β角的函數(shù)的極值即可。

由牛頓運(yùn)動(dòng)定律可知，質(zhì)點(diǎn)沿光滑軌道下滑的加速度為：a=gcosβ

該質(zhì)點(diǎn)沿軌道由靜止滑到斜面所用的時(shí)間為t，則：

12

at=OP2

圖5—2

2OP①gcos?所以：t=由圖可知，在ΔOPC中有：

OPOC=

sin(90o??)sin(90o????)極限法第1頁(yè)（共14頁(yè)）

所以：OP=

OCcos?②

cos(???)將②式代入①式得：t=

2OCcos?=gcos?cos(???)4OCcos?cos??cos(??2?)g??顯然，當(dāng)cos(α－2β)=1，即β=所以當(dāng)β=

?時(shí)，上式有最小值。2?時(shí)，質(zhì)點(diǎn)沿直軌道滑到斜面所用的時(shí)間最短。2此題也可以用作圖法求解。

例3：從底角為θ的斜面頂端，以初速度v0水平拋出一小球，不計(jì)空氣阻力，若斜面足夠長(zhǎng)，如圖5—3所示，則小球拋出后，離開斜面的最大距離H為多少？

解析：當(dāng)物體的速度方向與斜面平行時(shí)，物體離斜面最遠(yuǎn)。以水平向右為x軸正方向，豎直向下為y軸正方向，則由：vy=v0tanθ=gt，解得運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t=

該點(diǎn)的坐標(biāo)為：

22v012v0x=v0t=tanθ，y=gt=tan2θ

g2g2v0tanθg由幾何關(guān)系得：

H+y=xtanθcos?

圖5—

解得小球離開斜面的最大距離為：

2v0H=tanθ?sinθ

2g這道題若以沿斜面方向和垂直于斜面方向建立坐標(biāo)軸，求解則更加簡(jiǎn)便。

例4：如圖5—4所示，一水槍需將水射到離噴口的水平距離為3.0m的墻外，從噴口算起，墻高為4.0m。若不計(jì)空氣阻力，取g=10m/s2，求所需的最小初速及對(duì)應(yīng)的發(fā)射仰角。

解析：水流做斜上拋運(yùn)動(dòng)，以噴口O為原點(diǎn)建立如下圖的直角坐標(biāo)，此題的任務(wù)就是水流能通過點(diǎn)A（d、h）的最小初速度和發(fā)射仰角。

根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，水流的運(yùn)動(dòng)方程為：

?x?v0cos??t??12y?vsin??t?gt0??2把A點(diǎn)坐標(biāo)（d、h）代入以上兩式，消去t，得：

gd2v=－

2(h?dtan?)cos2?20

圖5—4

gd2=dsin2??h(cos2??1)

極限法第2頁(yè)（共14頁(yè)）

=

gd2??dhd2?h2??sin2???cos2???h22d2?h2?d?h?

令

dhh=tanθ，則2=cosθ，=sinθ，上式可變?yōu)椋篸d?h2d2?h2gd22v0=22d?hsin(2???)?h?顯然，當(dāng)sin(2α－θ)=1時(shí)，即2α－θ=90°，亦即發(fā)射角α=45°+=45°

21h4+arctan=45°+arctan=71.6°時(shí)，v0最小，且最小速度為：2d3v0=g(d2?h2?h)=310=9.5m/s例5：如圖5—5所示，一質(zhì)量為m的人，從長(zhǎng)為l、質(zhì)量為M的鐵板的一端勻加速跑向另一端，并在另一端猛然中止。鐵板和水平面間摩擦因數(shù)為μ，人和鐵板間摩擦因數(shù)為μ′，且μ′?μ。這樣，人能使鐵板朝其跑動(dòng)方向移動(dòng)的最大距離L是多少？

解析：人猛然中止奔跑后，其原有動(dòng)量轉(zhuǎn)化為與鐵板一起向前沖的動(dòng)量，此后，地面對(duì)載人鐵板的阻力是地面對(duì)鐵板的摩擦力f，其加速度a1=

?(M?m)gf==μg。圖5—5

M?mM?mv?2由于鐵板移動(dòng)的距離L=，故v′越大，L越大。v′是人與鐵板一起開始地運(yùn)

2a1

動(dòng)的速度，因此人應(yīng)以不會(huì)引起鐵板運(yùn)動(dòng)的最大加速度奔跑。

人在鐵板上奔跑但鐵板沒有移動(dòng)時(shí)，人若達(dá)到最大加速度，則地面與鐵板之間的摩擦力達(dá)到最大靜摩擦μ(M+m)g，根據(jù)系統(tǒng)的牛頓其次定律得：

F=ma2+M?0

所以：a2=

FM?m=μg①mm設(shè)v、v′分別是人奔跑終止及人和鐵板一起運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度：

由于：mv=(M+m)v′②且：v2=2a2l，v?2=2a1L

并將a1、a2代入②式解得鐵板移動(dòng)的最大距離：L=

mlM?m例6：設(shè)地球的質(zhì)量為M，人造衛(wèi)星的質(zhì)量為m，地球的半徑為R0，人造衛(wèi)星環(huán)繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r。試證明：從地面上將衛(wèi)星發(fā)射至運(yùn)行軌道，發(fā)射

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速度v=gR0(2?R0)，并用該式求出這個(gè)發(fā)射速度的最小值和最大值。（取R0=6.4×r106m），設(shè)大氣層對(duì)衛(wèi)星的阻力忽略不計(jì)，地面的重力加速度為g）

解析：由能量守恒定律，衛(wèi)星在地球的引力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)總機(jī)械能為一常量。設(shè)衛(wèi)星從地面發(fā)射的速度為v發(fā)，衛(wèi)星發(fā)射時(shí)具有的機(jī)械能為：

Mm12E1=mv發(fā)－G①

R02Mm12進(jìn)入軌道后衛(wèi)星的機(jī)械能為：E2=mv軌－G②

r2由E1=E2，并代入v軌=v發(fā)=GM，解得發(fā)射速度為：rRGM(2?0)③R0rMm=mg，所以：2R0又由于在地面上萬(wàn)有引力等于重力，即：G

GM=gR0④R0把④式代入③式即得：v發(fā)=gR0(2?R0)r（1）假使r=R0，即當(dāng)衛(wèi)星貼近地球表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，所需發(fā)射速度最小為：vmin=gR0=7.9×103m/s。

（2）假使r→∞，所需發(fā)射速度最大（稱為其次宇宙速度或脫離速度）為：vmax=2gR0=11.2×103m/s。

例7：如圖5—6所示，半徑為R的勻質(zhì)半球體，其重心在球心O點(diǎn)正下方C點(diǎn)3G處，OC=R，半球重為G，半球放在水平面上，在半球的平面上放一重為的物

88體，它與半球平在間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.2，求無(wú)滑動(dòng)時(shí)物體離球心O點(diǎn)最大距離是

多少？

解析：物體離O點(diǎn)放得越遠(yuǎn)，根據(jù)力矩的平衡，半球體轉(zhuǎn)過的角度θ越大，但物體在球體斜面上保持相對(duì)靜止時(shí)，θ有限度。

設(shè)物體距球心為x時(shí)恰好無(wú)滑動(dòng)，對(duì)整體以半球體和地面接觸點(diǎn)為軸，根據(jù)平衡條件有：

G?3RGsinθ=?xcosθ，得到：x=3Rtanθ88圖5—6

可見，x隨θ增大而增大。臨界狀況對(duì)應(yīng)物體所受摩擦力為最大靜摩擦力，則：

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tanθm=

fm=μ=0.2，所以x=3μR=0.6R。N例8：有一質(zhì)量為m=50kg的直桿，樹立在水平地面上，桿與地面間靜摩擦因數(shù)μ=0.3，桿的上端固定在地面上的繩索拉住，繩與桿的夾角θ=30°，如圖5—7所示。

（1）若以水平力F作用在桿上，作用點(diǎn)到地面的距離h12=L（L為桿長(zhǎng)），要使桿不滑倒，力F最大不能越過多少？54（2）若將作用點(diǎn)移到h2=L處時(shí)，狀況又如何？

5

圖5—7

解析：桿不滑倒應(yīng)從兩方面考慮，桿與地面間的靜摩擦力達(dá)到極限的前提下，力的大小還與h有關(guān)，探討力與h的關(guān)系是關(guān)鍵。

桿的受力如圖5—7—甲所示，由平衡條件得：F－Tsinθ－f=0N－Tcosθ－mg=0F(L－h(huán))－fL=0

另由上式可知，F(xiàn)增大時(shí)，f相應(yīng)也增大，故當(dāng)f增大到最大

圖5—7—甲

靜摩擦力時(shí)，桿剛要滑倒，此時(shí)滿足：f=μN(yùn)

解得：Fmax=

mgLtan?

tan?(L?h)?h?由上式又可知，當(dāng)［制了。

tan?(L－h(huán))－h(huán)］→∞，即當(dāng)h0=0.66L時(shí)，對(duì)F就沒有限?2（1）當(dāng)h1=L＜h0，將有關(guān)數(shù)據(jù)代入Fmax的表達(dá)式得：Fmax=385N

54（2）當(dāng)h2=L＞h0，無(wú)論F為何值，都不可能使桿滑倒，這種現(xiàn)象即稱為自鎖。

5例9：放在光滑水平面上的木板質(zhì)量為M，如圖5—8所示，板上有質(zhì)量為m的小狗以與木板成θ角的初速度v0（相對(duì)于地面）由A點(diǎn)跳到B點(diǎn)，已知AB間距離為s。求初速度的最小值。

解析：小狗跳起后，做斜上拋運(yùn)動(dòng)，水平