電動力學(xué)復(fù)習(xí)總結(jié)第四章 電磁波的傳播2023答案

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第四章電磁波的傳播

一、填空題

1、色散現(xiàn)象是指介質(zhì)的()是頻率的函數(shù).答案：?,?

???s2、平面電磁波能流密度和能量密度w的關(guān)系為()。答案：S?wv

???3、平面電磁波在導(dǎo)體中傳播時,其振幅為()。答案：E0e???x

4、電磁波只所以能夠在空間傳播,依靠的是()。答案：變化的電場和磁場相互激發(fā)

5、滿足條件()導(dǎo)體可看作良導(dǎo)體，此時其內(nèi)部體電荷密度等于()答案：

???1,0,??6、波導(dǎo)管尺寸為0.7cm×0.4cm，頻率為30×109HZ的微波在該波導(dǎo)中能以

()波模傳播。答案：TE10波

?E7、線性介質(zhì)中平面電磁波的電磁場的能量密度（用電場表示）為

()，它對時間的平均值為()。答案：?E2,

12?E028、平面電磁波的磁場與電場振幅關(guān)系為()。它們的相位()。答案：E?vB,相等

9、在研究導(dǎo)體中的電磁波傳播時，引入復(fù)介電常數(shù)???()，其中虛部

是()的貢獻(xiàn)。導(dǎo)體中平面電磁波的解析表達(dá)式為()。

???????????xi(??x??t)答案：?????i，傳導(dǎo)電流，E(x,t)?E0ee,

???10、矩形波導(dǎo)中，能夠傳播的電磁波的截止頻率c,m,n()，當(dāng)電磁

波的頻率?滿足()時，該波不能在其中傳播。若b＞a，則最低截止頻率為()，該波的模式為()。答案：?c,m,n????mn?()2?()2，?＜?c,m,n，，TE01abb??1

11、全反射現(xiàn)象發(fā)生時,折射波沿()方向傳播.答案：平行于界面12、自然光從介質(zhì)1(?1，?1)入射至介質(zhì)2(?2，?2),當(dāng)入射角等于()

時,反射波是完全偏振波.答案：i0?arctgn2n113、迅變電磁場中導(dǎo)體中的體電荷密度的變化規(guī)律是().答案：???0e?t??

二、選擇題

??22??1?E1?B1、電磁波波動方程?2E?22?0,?2B?22?0,只有在以下那種狀況下

c?tc?t成立（）

A．均勻介質(zhì)B.真空中C.導(dǎo)體內(nèi)D.等離子體中答案：A

2、電磁波在金屬中的穿透深度（）

A．電磁波頻率越高,穿透深度越深B.導(dǎo)體導(dǎo)電性能越好,穿透深度越深C.電磁波頻率越高,穿透深度越淺D.穿透深度與頻率無關(guān)答案：C

3、能夠在理想波導(dǎo)中傳播的電磁波具有以下特征（）A．有一個由波導(dǎo)尺寸決定的最低頻率,且頻率具有不連續(xù)性B.頻率是連續(xù)的C.最終會衰減為零D.低于截至頻率的波才能通過.答案：A

4、絕緣介質(zhì)中，平面電磁波電場與磁場的位相差為（）

??A．B.?C.0D.

42答案：C

5、以下那種波不能在矩形波導(dǎo)中存在（）

A．TE10B.TM11C.TEMmnD.TE01答案：C

???6、平面電磁波E、B、k三個矢量的方向關(guān)系是（）

??????A．E?B沿矢量k方向B.B?E沿矢量k方向??????C.E?B的方向垂直于kD.E?k的方向沿矢量B的方向

答案：A

7、矩形波導(dǎo)管尺寸為a?b,若a?b,則最低截止頻率為（）

2

A．

???B.C.

??a??b??211??D.ab??2a答案：A

???28、亥姆霍茲方程?E?kE?0,(??E?0)對以下那種狀況成立（）

A．真空中的一般電磁波B.自由空間中頻率一定的電磁波C.自由空間中頻率一定的簡諧電磁波D.介質(zhì)中的一般電磁波答案：C

9、矩形波導(dǎo)管尺寸為a?b,若a?b,則最低截止頻率為（）

A．

???B.C.

??a??b??11??D.ab??2a答案：A

三、問答題

1、真空中的波動方程，均勻介質(zhì)中的定態(tài)波動方程和亥姆霍茲方程所描述的物

理過程是什么？從形式到內(nèi)容上試述它們之間的區(qū)別和聯(lián)系。

??1?E??1?B22答：（1）真空中的波動方程：?E?22?0，?B?22?0。

c?tc?t??說明：在??0，J?0的自由空間，電場與磁場相互激發(fā)形成電磁波,電磁波可以脫離場源而存在；真空中一切電磁波都以光速c傳播；適用于任何頻率的電磁波,無色散。

?2?1?E?2E?2?2?01v?tv??（2）均勻介質(zhì)中定態(tài)波動方程：，其中。???2?1?B??????????2B?2?2?0v?t?當(dāng)電磁場在介質(zhì)內(nèi)傳播時，其?與μ一般隨ω變化，存在色散,在單色波狀況下才有此波動方程。

??2?E?kE?0,k???????E?0（3）亥姆霍茲方程：??iB????E2???表示以一定頻率按正弦規(guī)律變化的單色電磁波的基本方程，其每個解都代表

3

一種可能存在的波模。

2、什么是定態(tài)電磁波、平面電磁波、平面單色波？分別寫出它們的電場表示式。

從形式到內(nèi)容上試述它們之間的區(qū)別和聯(lián)系。

答：（1）定態(tài)電磁波：以一定頻率作正弦振蕩的波稱為定態(tài)電磁波，即單色簡諧

?????i?t波。E(x,t)?E(x)e

（2）平面電磁波：等相位面與波傳播方向垂直且沿波矢量K傳播的電磁波。

???ik??r?E(x)?E0e（3）平面單色波：以一定頻率作正弦振蕩的平面波稱為平面單色波。

???i(k??r???t)E(x,t)?E0e3、在??0的定態(tài)電磁波情形麥?zhǔn)戏匠探M的形式如何？為什么說它不是獨(dú)立

的，怎樣證明？不是獨(dú)立的，是否等于說有的方程是多余的呢？試解釋之。答：定態(tài)電磁波情形麥?zhǔn)戏匠探M的形式為：

?????E?i?B……（1）??????B??i???E……（2）對（1）和（2）取散度可得（3）(4)兩式，所以??……（3）???E?0????B?0……（4）??它不獨(dú)立。不獨(dú)立不表示方程多余，定態(tài)電磁波只是一種特別情形,在更普遍的狀況下，麥?zhǔn)戏匠探M四個方程分別描述了場的不同方面。

??4、設(shè)有一電磁波其電場強(qiáng)度可以表示為E?E0?x,t?exp??i?0t?。試問它是否是平面時諧波（平面單色波）？為什么？

?答：不是。由于E做傅立葉展開后，可以看成是無數(shù)個平面單色波的疊加。如令

??ik0xE1E0(x,t)?E0ecos(2?0t)?0ei(k0x?2?0t)?ei(k0x?2?0t)則

22???E0i(k0x?3?0t)E0i(k0x??0t)E?e?e是兩個單色波的疊加。

225、試述平面單色波在均勻介質(zhì)中具有哪些傳播特性？并且一一加以證明。

???答：特性：①是橫波，且E，B，k有右手螺旋關(guān)系???i(k??r???t)證：E(x,t)?E0e

4

???????E?ik?E?0即k?E即電波為橫波????????B?k,B?E,E?k，得證。??ii??1???B????E??ik?E?k?E??????②E與B同相位，振幅比為vp?真空中為c?

????i?k?x??t?E?x,t??Eoe???1??1??i?k?x??t?B?k?E?n?Eoe?Vp?kk??其中：?n???n

??????此式證明：E，B相位均為k?x-?t,且振幅比為

E?B1???vp

??6、在自由空間中，E(z,t)?ey103sin(9??108t?kz)V/m

說明：(1)波數(shù)以及波的傳播方向,(2)H(z,t)的表現(xiàn)形式

??答：已知電場E(z,t)?ey103sin(9??108t?kz)V/m

?9??108?3?(rad/m).電磁波沿z方向傳播(1)由電場表示式知:k??8c3?10??(2)自由空間中,??0,J?0

????B????E??,ik?E?i??0H

?t?1??H?ez?E

c?0?1??3?H?ez?ey10sin(9??108t?kz)=?2.65sin(9??108t?3?z)ex

c?07、研究反射、折射問題的基礎(chǔ)是電磁場在兩個不同介質(zhì)分界面上的邊值關(guān)系，

但為什么只需用兩式，可否用另兩式呢？

5

????n?(E2?E1)?0?????n?(H?H)????答：邊值關(guān)系：???2?1在絕緣介質(zhì)界面上??0，??0

2?D1)???n?(D?????n?(B2?B1)?0對時諧電磁波，麥?zhǔn)戏匠探M不獨(dú)立，由前兩式可得后兩式，相應(yīng)的邊值關(guān)系也不????n?(E2?E1)?0?獨(dú)立，當(dāng)???成立時，法向分量的邊界條件自然滿足。

?n(H2?H1)?08、試述入射波、反射波、折射波的頻率、相位、傳播方向和振幅各有些什么關(guān)

系？

答：頻率關(guān)系：?＝?'??\，

??1cos???cos???E?sin(?????)?振幅與相位關(guān)系：E?入射面:????Esin(???)?1cos???2cos???2?1cos?E??2cos?sin???Esin????``????1cos???2cos??E?tg(?????)E//入射面時:?，

??Etg(???)E??2cos?sin????Esin(?????)cos(?????)傳播方向：反射波矢和折射波矢和入射波矢在同一平面上，

k?k???v1,k????v2,???',sin??sin?\?2?2?1?19、全反射時有什么特點(diǎn)？若要使線偏振的入射波通過全反射波反射成為圓偏

振波，則對介質(zhì)有什么要求？

答：①特點(diǎn)：a.發(fā)生全反射時，sin??n21折射波的波矢量垂直于界面的分量

???iksin2??n212變?yōu)閺?fù)數(shù),折射波隨進(jìn)入深度所得增加而迅速衰減.b.折射kz波的平均能流只有平行于界面的分量,能量主要集中在交界面附近厚度為k?1的薄層內(nèi)，反射波的平均能流密度等于入射波的平均能流密度，即對平均時間來說，入射波的能量全部被反射。

②要使線偏振的入射波通過全反射波反射成為圓偏振波，則全反射波的兩個分量

6

???E?,E?振幅必需相等，相差等于(2m?1),m?0,1,2,3?

2反射波的菲涅爾公式：

E??E??E?sin(?????)sin?cos????cos?sin???（1）????E?sin(?????)sin?cos????cos?sin????tg(?????)sin?cos??sin???cos???=（2）

tg(?????)sin?cos??sin???cos???由折射定律

sin??sin?\?2?2?n21，全反射發(fā)生時，sin??n21?1?1sin????111sin2??1（3）sin?，cos????1?sin2????1?2sin2??i2n21n21n21將三式代入（1），（2）式，得：

?cos??isin2??n212E?（4）?22E?cos??isin??n21E??E??n212cos??isin2??n212n221cos??isin??n2221(5)

可以看出,

E??E??1.

i???E?ei??,E???E?e?,由（4）,(5)式得:設(shè)E????arctg???arctg2cos?2212sin2??n21222212sin2??n212?cos2?2ncos?sin??nsin??n212?n4cos?(6)

當(dāng)入射波的線偏振時,E?,E?相位一致.經(jīng)反射后E??,E??相位不一致,

當(dāng)

E??1時,且E??與E??相差E???????(2m?1)12?2,m?0,1,2,3?時,(7)

反射成為圓偏振波.于是由(6),(7)得:

sin??n212?1?n214?6n212?1(8)

結(jié)論:當(dāng)線偏振的入射波電矢量的兩個分量E?,E?的振幅相等,并且入射角θ和

7

相對折射率n21滿足(8)式時,反射波便成為圓偏振波.10、

當(dāng)光以布儒斯特角入射時，反射光變?yōu)榇怪庇谌肷涿娴耐耆窆?。?/p>

人們要想得到完全偏振光,不直接采用反射的完全偏振光，往往通過一組平行玻璃板把垂直于入射面的偏振光濾掉，得到平行于入射面的完全偏振光，為什么？已知玻璃的布儒斯特角為56。。答:反射光雖然是完全偏振光，但它的強(qiáng)度太小

E?sin(?????)sin(56??34?)??????sin22???0.37?E?sin(?????)sin90而按題中的做法，可得折射光（平行于入射面的完全偏振光）11、

有哪些理由足以說明光波是頻率在一定范圍內(nèi)的電磁波？

答：真空中電磁波的傳播速度和光波在真空中的傳播速度都是c,且不需要任何介質(zhì)。光波的反射、折射、干擾、衍射規(guī)律與電磁波遵循一致的規(guī)律。12、

試推出導(dǎo)體中定態(tài)電磁波波動方程的兩種不同形式以及亥姆霍茲方程，

并與介質(zhì)中的相應(yīng)方程進(jìn)行比較，說明它們之間有何異同之處？

??答：良導(dǎo)體中：??0,J??E，，代入麥?zhǔn)戏匠探M得：

???B??E???t????E??B??????E，對前兩式取旋度得波動方程：

?t???E?0???B?0??2??E?E?2E???2????0?t?t與介質(zhì)中的方程相比多了與時間的一次導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，表??2??B?B?2B???2????0?t?t明傳導(dǎo)電流使電磁波傳播不斷損耗為一個不可逆過程。?????i?t定態(tài)電磁波：E?E(x)e,B?B(x)e?i?t，代入麥?zhǔn)戏匠探M得：

?????E?i?B??????????B??i???E???E??i???'E其中：?'???i，由第一式解出B代入其次??????E?0????B?0?

8

??2式可得：?E?k'E?0k'???'?，即亥姆霍茲方程。與介質(zhì)中的最大區(qū)別

2??在于k'???'?復(fù)數(shù),假使是絕緣介質(zhì),??0,????,k'????都是實(shí)數(shù),上述亥姆霍茲方程便過渡為絕緣介質(zhì)中定態(tài)電磁波的方程.13、

波矢量k的物理意義是什么？如何理解導(dǎo)體中的波矢量？衰減常量?的

方向如何確定，相位常量?的方向又如何？

??2?答：波矢量k是描述電磁波傳播方向的一個矢量，其量值k?????稱為

????波數(shù)，導(dǎo)體中波矢量為一復(fù)矢量。k'???i?

???波矢量k的實(shí)部?描述波的傳播的相位關(guān)系，虛部?描述波幅的衰減。

將?'???i????，k'???i?代入k'???'?比較實(shí)部和虛部得：??2??2??2????1???????2

????由邊界條件可確定?，?的方向。再代入上式確定?，?的大小.在良導(dǎo)體內(nèi)，

?垂直于表面，?也很接近法線方向。14、

電磁波在導(dǎo)體中和在介質(zhì)中傳播時存在哪些區(qū)別？

??答：①導(dǎo)體與絕緣介質(zhì)本質(zhì)差異在于導(dǎo)體有自由電子，電磁波進(jìn)入導(dǎo)體后必將引起傳導(dǎo)電流，電場對傳導(dǎo)電流做功使得電磁波能量轉(zhuǎn)化為焦耳熱，故在導(dǎo)體中傳播電磁波是一個衰減波。絕緣介質(zhì)中傳播電磁波振幅不衰減②絕緣介質(zhì)平面電磁波電場與磁場相位一致,導(dǎo)體平面電磁波電場與磁場相位不一致③絕緣介質(zhì)平面電磁波電場與磁場能量相等,導(dǎo)體中磁場能量遠(yuǎn)大于電場能量.15、

設(shè)電子濃度為ne，電量為e，質(zhì)量為m，在空氣中電子在電磁波的作用

下以速度v運(yùn)動，設(shè)電磁波的角頻率為?，電子的運(yùn)動方程近似地為：

eE?mdv?m?vdt式中?為電子與氣體分子碰撞頻率，且設(shè)v為常數(shù)。已知：

E?E0e?i?t，v?v0e?i?t

9

試探討電子對空氣的?0和?0的影響如何。

答：將E?E0e?i?t,v?v0e?i?t代入電子的運(yùn)動方程:eE?meE?(m??i?)v,空氣中的電流密度

?2???neeE?,于J??(?)E(?)比較,空氣電導(dǎo)率J??neev??(m??i?)nee2nee2(m??i?)?(?)????222(m??i?)m???nee2(im???)nee2nee2m??(?)????0?i??0??[?0?22]?i??(m2?2??2)m???2?(m2?2??2)???ineem??(m2?2??2)2dv?m?v,得:dt

nee2其中實(shí)部???0?222m???可見,空氣中電子的存在使得空氣變成導(dǎo)體,電導(dǎo)率出現(xiàn)虛部,說明有歐姆能量損

nee2耗,另外空氣的電容率由?0變?yōu)???0?22m???2,當(dāng)電子濃度為

ne?0,???0,?(?)?0,當(dāng)對空氣的磁導(dǎo)率沒有影響.

16、將一般的邊值關(guān)系用到波導(dǎo)內(nèi)表面處，因設(shè)波導(dǎo)為理想導(dǎo)體，n為由理

想導(dǎo)體指向管內(nèi)的法向單位矢量，故除nE=0外，還有哪幾個關(guān)系式，它們的作用如何？對于亥姆霍茲方程的解必加的條件??E?0可如何應(yīng)用？

??n?E?0???n?H??答：在導(dǎo)體表面有邊界條件：??當(dāng)前面兩式滿足時，后面兩式自然滿

n?D????n?B?0????足。n?H??，說明H方向平行于表面

??E??n?E?0，說明E只有n方向分量，考慮??E?0，即得：n?0

?n17、

何謂TM波、TE波和TEM波？比較一下TEM波與平面單色波之間的關(guān)系如何？

答：在波導(dǎo)內(nèi)傳播的波，電場E和電磁場H不能同時為橫波，設(shè)波沿Z方向傳

10

播，波模Ez?0的波稱為橫電（TE）波，波模Hz?0的波稱為橫磁（TM）波；

??TEM波則為Hz?0,Ez?0的橫波，平面單色波需滿足Hz?Ez?0，E,B同相且

??相互垂直，E?B沿波矢方向，故平面單色波是TEM波，而TEM波未必是平面單色波。18、

我們要用波導(dǎo)內(nèi)的電場，沿z方向加速一個帶電粒子，應(yīng)在波導(dǎo)中建立

什么波型電磁場？

答：應(yīng)建立TM波，從而在z方向上有電場可以加速電子。19、

有相距為L的兩無窮大理想導(dǎo)體板，設(shè)x軸垂直板面，在導(dǎo)體板間傳播

的波場與y無關(guān)。問在何種條件下，能得到TE型、TM型、TEM型波？寫出其表示式。

答：導(dǎo)體板間的電磁波滿足亥姆霍茲方程，設(shè)電場的通解為：

?E??E(x,y,z)?(C1sinkxx?D1coskxx)eikzz，由邊界條件n?E?0和n?0?n得：

n?x)ei(kzz??t)L??2n?2n?22i(kzz??t)?()，又由：??E?0，其中kx?k?kz?Ey?A2sin(x)e2cLLn?Ez?A3sin(x)ei(kzz??t)LEx?A1cos(??in???E，可得Hx,Hy,Hz，分析知當(dāng)A1＝0A1?ikzA3,A2獨(dú)立。再由H????Ln?x)ei(kzz??t)L時得到TEM波：

kzkzA2n?i(kzz??t)H?Hx??Ey??sin(x)e????LE?Ey?A2sin(20、

為什么諧振腔最低頻率是f110?12???1??1??????，而不是?L1??L2?22f100?12???1?????L1?211

答:fmnp?12???m??n??p?????????中的m,n,p最多只能有兩個為零，假使?L1??L2??L3?222有2個或都為零，則由

Ex?A1coskxxsinkyysinkzz,Ey?A2sinkyycoskyysinkzzEz?A3sinkxxsinkyycoskzzkx?

m?n?p?,ky?,kz?L1L2L3??知諧振腔內(nèi)場強(qiáng)E?0.B?0。

??21、矩形波導(dǎo)中的電場強(qiáng)度E和磁感應(yīng)強(qiáng)度B沿傳播方向的分量不同時為

零，這一結(jié)論似乎違背了電磁波是橫波的論斷，請解釋這一現(xiàn)象。答：實(shí)際上波導(dǎo)管的軸線方向并不是波的真正傳播方向。在波導(dǎo)管中的電磁波是在被管壁屢屢反射曲折前進(jìn)的。由于屢屢反射波疊加，在垂直于波導(dǎo)軸線方向成為駐波，而使合成波沿軸線方向前進(jìn)。22、

低頻電磁波用雙線傳輸，較高頻用同軸線，更高頻時用波導(dǎo)傳輸。試問

高頻電磁波用雙線傳輸或低頻電磁波用波導(dǎo)傳輸，可以嗎？為什么？答：都不可以。高頻電磁波用雙線傳輸有向外輻射損耗和熱損耗。而低頻電磁波在波導(dǎo)中則不再沿波導(dǎo)傳播，而是沿z軸方向振幅不斷衰減的電磁振蕩。23、

大氣中的電離層能夠反射廣播頻段的電磁波，不能反射電視頻段的電磁

波，這是為什么？

答：由于大氣中的電離層是等離子體，廣播頻段???p，不能在等離子體中傳

播，因而被反射回來，而電視頻段???p，可以在電離層中傳播。

四、計(jì)算與證明

1、考慮兩列振幅一致、偏振方向一致、頻率分別為??d?和??d?的線偏振

平面波，它們都沿z軸方向傳播。

（1）求合成波，證明波的振幅不是常數(shù)，而是一個波。（2）求合成波的相位傳播速度和振幅傳播速度。解：根據(jù)題意，設(shè)兩列波的電場表達(dá)式分別為：

E1(x,t)?E0(x)cos(k1z??1t)；E2(x,t)?E0(x)cos(k2z??2t)

則合成波為E?E1(x,t)?E2(x,t)?E0(x)[cos(k1z??1t)?cos(k2z??2t)]

12

k?k2???2k?k2???2?2E0(x)cos(1z?1t)cos(1z?1t)

2222其中k1?k?dk，k2?k?dk；?1???d?，?2???d?所以E?2E0(x)cos(kz??t)cos(dk?z?d??t)

用復(fù)數(shù)表示E?2E0(x)cos(dk?z?d??t)exp[i(kz??t)]相速由??kz??t確定，vp?dz/dt??/k群速由?'?dk?z?d??t確定，vg?dz/dt?d?/dk

2、一平面電磁波以??45°從真空入射到?r?2的介質(zhì)，電場強(qiáng)度垂直于入射

面，求反射系數(shù)和折射系數(shù)。

解：設(shè)n為界面法向單位矢量，S、S'、S\分別為入射波、反射波和折射

波的玻印亭矢量的周期平均值，則反射系數(shù)R和折射系數(shù)T定義為：

22S'?nE'0S\?nn2cos?\E\0R??2，T??

S?nS?nE0n1cos?E02又根據(jù)電場強(qiáng)度垂直于入射面的菲涅耳公式，可得

??1cos???2cos?\?4?1?2cos?cos?\?，T??1?RR??2??cos???cos?\?(?1cos???2cos?\)2?1?根據(jù)折射定律可得：?\?30?，代入上式，得

2?323R?，T?

2?32?33、有一可見平面光波由水入射到空氣，入射角為60°，證明這時將會發(fā)生全反

射，并求折射波沿表面?zhèn)鞑サ南嗨俣群屯溉肟諝獾纳疃?。設(shè)該波在空氣中的波長為?0?6.28?10?5cm，水的折射率為n=1.33。

1/1.33)?48.75?，所以當(dāng)平面光波以60°解：由折射定律得，臨界角?c?arcsin(角入射時，將會發(fā)生全反射。

???ksin?由于kx????/ksin??v水/sin??c/nsin??3c/2所以折射波相速度vp????/kx2透入空氣的深度為

2??1??1/2?sin2??n21?6.28?10?5/2?sin260??(3/4)2?1.7?10?5cm

4、頻率為?的電磁波在各向異性介質(zhì)中傳播時，若E,D,B,H仍按ei(k?x??t)變化，但D不再與E平行（即D??E不成立）。

（1）證明k?B?k?D?B?D?B?E?0，但一般k?E?0。（2）證明D?[k2E?(k?E)k]/?2?。

（3）證明能流S與波矢k一般不在同一方向上。證明：1）麥?zhǔn)戏匠探M為：??E???B/?t（1）

??H??D/?t（2）

??D?0（3）（4）??B?0

由（4）式得：??B?B0??ei(k?x??t)?ik?B0ei(k?x??t)?ik?B?0

（5）?k?B?0

13

同理由（3）式得：k?D?0（6）由（2）式得：??H?[?ei(k?x??t)]?H0?ik?H??i?D

?D??k?H/???k?B/??（7）（8）B?D??B?(k?B)/???0由（1）式得：??E?[?ei(k?x??t)]?E0?ik?E??i?B

?B?k?E/?（9）（10）B?E?(k?E)?E/??0

由（5）、（8）可知：k?B；D?B；E?B，所以k,E,D共面。又由（6）可知：k?D，所以，當(dāng)且僅當(dāng)E//D時，E?k。所以，各向異性介質(zhì)中，一般k?E?0。2）將（9）式代入（7）式，便得：D??k?(k?E)/?2??[k2E?(k?E)k]/?2?3）由（9）式得H?k?E/??

?S?E?H?E?(k?E)/???[E2k?(k?E)E]/??

由于一般狀況下k?E?0，所以S除了k方向的分量外，還有E方向的分量，即能流S與波矢k一般不在同一方向上。

5、有兩個頻率和振幅都相等的單色平面波沿z軸傳播，一個波沿x方向偏振，

另一個沿y方向偏振，但相位比前者超前?2，求合成撥的偏振。反之，一個圓偏振可以分解為怎樣的兩個線偏振？解：偏振方向在x軸上的波可記為

Ex?A0cos(?t?kz)?A0cos(?t??0x)

在y軸上的波可記為Ey?A0cos(?t?kz??/2)?A0cos(?t??0y)

????0y??0x??/2

合成得軌跡方程為：222Ex?Ey?A0[cos2(?t??0x)?cos2(?t??0y)]

22?A0[cos2(?t??0x)?sin2(?t??0x)]?A0

所以，合成的振動是一個圓頻率為?的沿z軸方向傳播的右旋圓偏振。反

之一個圓偏振可以分解為兩個偏振方向垂直，同振幅，同頻率，相位差為?/2的線偏振的合成。

6、平面電磁波垂直射到金屬表面上，試證明透入金屬內(nèi)部的電磁波能量全部變

為焦耳熱。

證明：設(shè)在z>0的空間中是金屬導(dǎo)體，電磁波由z

9、無限長的矩形波導(dǎo)管，在z=0處被一塊垂直插入的理想導(dǎo)體平板完全封閉，

求在z???到z=0這段管內(nèi)可能存在的波模。

解：在此結(jié)構(gòu)的波導(dǎo)管中，電磁波的傳播滿足亥姆霍茲方程：

?2E?k2E?0，k???0?0，??E?0電場的三個分量通解形式一致，均為：

E(x,y,z)?(C1sinkxx?D1coskxx)(C2sinkyy?D2coskyy)(C3sinkzz?D3coskzz)

邊界條件為：

在x?0及x?a兩平面：Ey?Ez?0，?Ex/?x?0在y?0及y?b兩平面：Ex?Ez?0，?Ey/?y?0在z?0平面：Ex?Ey?0，?Ez/?z?0由此可得：Ex?A1coskxxsinkyysinkzz

Ey?A2sinkxxcoskyysinkzzEz?A3sinkxxsinkyycoskzz

波數(shù)滿足：kx?m?/a，ky?n?/b，（m,n?0,1,2??????）

22kx?ky?kz2??2?0?0??2/c2

振幅滿足：A1m?/a?A2n?/b?A3kz?0

綜合上述各式，即得此種波導(dǎo)管中所有可能電磁波的解。

10、電磁波E(x,y,z,t)?E(x,y)ei(kzz???t)在波導(dǎo)管中沿z方向傳播，試使用

??E?i??0H及??H??i??0E證明電磁場所有分量都可用Ex(x,y)及

Hz(x,y)這兩個分量表示。

證明：沿z軸傳播的電磁波其電場和磁場可寫作：

E(x,y,z,t)?E(x,y)ei(kzz??t)，H(x,y,z,t)?H(x,y)ei(kzz??t)

??E???B/?t?i??0H，由麥?zhǔn)戏匠探M得：??H??0?E/?t??i??0E

?Ez/?y??Ey/?z??Ez/?y?ikzEz?i??0Hx寫成分量式：（1）

?Ex/?z??Ez/?x?ikzEx??Ez/?x?i??0Hy（2）?Ey/?x??Ex/?y?i??0Hz

?Hz/?y??Hy/?z??Hz/?y?ikzHy??i??0Ex（3）?Hx/?z??Hz/?x?ikzHx??Hz/?x??i??0Ey（4）

?Hy/?x??Hx/?y??i??0Ez（5）

由（2）（3）消去Hy得：Ex?(???0?Hz/?y?kz?Ez/?x)/i(?2/c2?kz2)由（1）（4）消去Hx得：Ey?(??0?Hz/?x?kz?Ez/?y)/i(?2/c2?kz2)由（1）（4）消去Ey得：Hx?(?kz?Hz/?x???0?Ez/?y)/i(?2/c2?kz2)由（2）（3）消去Ex得：Hy?(?kz?Hz/?y???0?Ez/?x)/i(?2/c2?kz2)11、寫出矩形波導(dǎo)管內(nèi)磁場H滿足的方程及邊界條件。

解：對于定態(tài)波，磁場為：H(x,t)?H(x)e?i?t

由麥?zhǔn)戏匠探M??H??D/?t??i??E，??H?0得：

??(??H)??(??H)??2H???2H??i????E

又???E???B/?t?i??H

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???2H??i????E??2??H

所以?2H?k2H?0，k2??2??，??H?0即為矩形波導(dǎo)管內(nèi)磁場H滿足的方程

由n?B?0得：n?H?0，Hn?0

利用??E?i??H和電場的邊界條件可得：?Ht/?n?0

邊界條件為：Hn?0，?Ht/?n?0

12、論證矩形波導(dǎo)管內(nèi)不存在TMm0或TM0n波。證明：已求得波導(dǎo)管中的電場E滿足:

Ex?A1coskxxsinkyyeikzz

Ey?A2sinkxxcoskyyeikzzEz?A3sinkxxsinkyyeikzz

由??E?i??H可求得波導(dǎo)管中的磁場為:

Hx??(i/??)(A3ky?iA2kz)sinkxxcoskyyeikzz(1)

Hy??(i/??)(iA1kz?A3kx)coskxxsinkyyeikzz(2)Hz??(i/??)(A2kx?A1ky)coskxxcoskyyeikzz(3)

(A2kx?A1ky)?0此題探討TM波，故Hz=0，由（3）式得：（4）

1）若n?0，m?0則ky?n?/b?0，kx?m?/a?0（5）代入（4）得：A2?0（6）

將（5）（6）代入（1）（2）得：Hx?Hy?02）若m?0，n?0則kx?0，ky?n?/b?0（7）

A1?0代入（4）得：（8）

將（7）（8）代入（1）（2）得：Hx?Hy?0

因此，波導(dǎo)中不可能存在TMm0和TM0n兩種模式的波。

13、頻率為30?109Hz的微波，在0.7cm?0.4cm的矩形波導(dǎo)管中能以什么波

模傳播？在0.7cm?0.6cm的矩形波導(dǎo)管中能以什么波模傳播？解：1）波導(dǎo)為0.7cm?0.4cm，設(shè)a?0.7cm，b?0.4cm

?cm2n()?()2得：由?c?c?2?2ab當(dāng)m=1，n=1時,?c1?4.3?1010Hz??

當(dāng)m=1，n=0時,?c2?2.1?1010Hz??

當(dāng)m=0，n=1時,?c3?3.7?1010Hz??所以此波可以以TE10波在其中傳播。

2）波導(dǎo)為0.7cm?0.6cm，設(shè)a?0.7cm，b?0.6cm

?cm2n()?()2得：由?c?c?2?2ab當(dāng)m=1，n=1時,?c1?3.3?1010Hz??

當(dāng)m=1，n=0時,?c2?2.1?1010Hz??

當(dāng)m=0，n=1時,?c3?2.5?1010Hz??

所以此波可以以TE10和TE01兩種波模在其中傳播。

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14、一對無限大的平行理想導(dǎo)體板，相