動力學(xué)優(yōu)秀公開課

2.3體系運(yùn)動方程的一般形式

在單自由度和兩自由度的基礎(chǔ)上，不難推廣得到n個自由度體系的情況。在記[M]—質(zhì)量陣、[C]—阻尼陣、[K]—剛度陣、[P]eq—等效荷載陣；[d]、[v]、[a]—為位移、速度、加速度陣；[f]—柔度陣；[]P—荷載位移陣情況下剛度法列式結(jié)果

[M][a]+[C][v]+[K][d]=[P]eq柔度法列式結(jié)果[d]=[f](-[M][a]-[C][v])+[]P由此可見，兩種列式間的關(guān)系為[K]=[f]-1；[P]eq=[K][]P在集中質(zhì)量時[M]為對角陣，由互等定理可知[K]和[f]為對稱矩陣。2.4應(yīng)注意的幾個問題1）在單自由度情況下，剛度（反力）系數(shù)和柔度系數(shù)互為倒數(shù)。2）在兩和多自由度情況下，剛度（反力）矩陣和柔度矩陣互為逆矩陣，但其元素之間不存在倒數(shù)關(guān)系。3）[P]eq并不一定等于外荷載排成的列陣。在動外荷下它由各自由度均被約束時，動荷引起的約束反力所組成?；蛘哂蒣P]eq=[K][]P=[f]-1[]P來計算。4）具體結(jié)構(gòu)究竟用什麼方法列運(yùn)動方程，要對比求什麼系數(shù)工作量少來定。一般靜定結(jié)構(gòu)用柔度法、由無窮剛梁的剪切型結(jié)構(gòu)用剛度法。5）雖然從原理上[C]=[Cij]，但實際兩和多自由度分析時阻尼矩陣并非由阻尼系數(shù)組成，這將在第四章多自由度分析中再討論。2.5剛度法、柔度法列方程的步驟剛度法（無阻尼）1）確定自由度，確定自由度方向的質(zhì)量，從而建立（集中）質(zhì)量矩陣[M]。2）加約束限制全部質(zhì)點自由度方向的位移，求動力外荷載引起的支座約束反力。按自由度順序排列這些反力，得到等效荷載矩陣[P]eq。3）對全部質(zhì)點自由度方向的位移被約束的結(jié)構(gòu)，令j自由度發(fā)生單位位移，求第i個約束的反力，它就是剛度系數(shù)Kij。由此建立剛度矩陣[K]。4）由上述結(jié)果即可建立運(yùn)動方程

[M][a]+[K][d]=[P]eq2.6運(yùn)動方程建立總結(jié)根據(jù)達(dá)朗泊爾原理和所假定的阻尼理論，確定自由度後可確定慣性力和阻尼力。由具體結(jié)構(gòu)情況，視那類系數(shù)求取方便，確定列方程的方法。所有問題都可用兩種方法建立方程，兩種方程間可以相互轉(zhuǎn)換。外界“荷載”是支座（例如地震時的地面運(yùn)動）運(yùn)動時，支座為牽連運(yùn)動，慣性力對應(yīng)絕對加速度，彈性恢復(fù)力對應(yīng)相對位移。經(jīng)推導(dǎo)得[P]eq=-[M][1]ag。其中[1]為元素均為1的向量。請自行驗證。三、單自由度體系振動分析3.1單自由度體系自由振動3.2單自由度體系受迫振動3.3非線性反應(yīng)分析3.4幾點結(jié)論和討論3.1單自由度體系自由振動本章部分內(nèi)容在理論力學(xué)振動這一章學(xué)過，但除回顧外，也有所擴(kuò)展。它是后面分析的基礎(chǔ)，請下功夫?qū)W好！3.1.1自由振動方程的通解上一章已指出，不管什麼結(jié)構(gòu)、用什麼方法建立方程，單自由度體系最終運(yùn)動方程均可寫為自由振動分析時，P(t)=0。上式可改為3.1單自由度體系自由振動式中由此可得3)<1，特征方程有一對共軛復(fù)根，稱作小阻尼情況。此時積分常數(shù)C1、C2由初始位移、速度確定，可得有阻尼頻率3.1單自由度體系自由振動可見有阻尼自由振動的解答是按指數(shù)規(guī)律衰減的簡諧運(yùn)動。衰減的速度隨、增大而加快。如果記振幅為A，初相位為，也即則運(yùn)動方程解答也可寫為3.1.2無阻尼自由振動它可作為特例，令上述結(jié)果中等于零得到。它是由初位移、初速度引起的簡諧運(yùn)動，運(yùn)動全過程能量守恒。3.1單自由度體系自由振動3.1.3結(jié)構(gòu)阻尼比的一種確定方法設(shè)由拉一初位移后突然釋放，或給結(jié)構(gòu)一個突然的沖擊（如放一小火箭），由試驗獲得了阻尼振動的記錄如教材的圖2-9。由此可量測得t時刻和n周后的振幅（一般測峰值位移，記T為有阻尼周期）分別為ut和ut+nT。記ut/ut+nT的自然對數(shù)為n（1稱為對數(shù)衰減率），由阻尼振動解答可得由于<<1，由此可得一般鋼混結(jié)構(gòu)0.05，鋼結(jié)構(gòu)(0.02~0.03)。3.2單自由度體系受迫振動3.2.1單自由度受迫振動的通解有任意荷載作用的單自由度運(yùn)動方程為可見關(guān)鍵在如何求得特解。對線性體系可通過疊加原理來獲得。設(shè)t=之前體系靜止，在t=到+時間間隔內(nèi)受到?jīng)_量I=P(t)的作用，根據(jù)沖量定理有由微分方程理論可知，u=u1+u2。u1為齊次方程（自由振動）通解，u2為非齊次方程的一個特解。這說明沖量作用結(jié)果體系所產(chǎn)生的位移u是2量級的量。因此t>之后為僅有初速度I/m的自由振動。3.2單自由度體系受迫振動根據(jù)上一節(jié)可得僅初位移引起的解答u2為記u2/I=h(t-)，稱作單位脈沖函數(shù)（單位沖量引起的位移）。則上式可改寫作再將任意荷載看成一系列獨(dú)立的沖量（脈沖），則由疊加原理可得3.2單自由度體系受迫振動或者上式是運(yùn)動方程特解（可代入運(yùn)動微分方程證明），也可看成零初始條件的解答（因為u2(0)=0）。將其和齊次方程解合在一起，即可得通解為上式也可由代入單位脈沖函數(shù)來改寫，這里從略。稱作Duhamel積分3.2單自由度體系受迫振動3.2單自由度體系受迫振動這解答中的第一項為初始條件引起的自由振動，第二項為荷載（干擾）引起的自由振動（稱作伴隨振動）。它們的頻率都是d，都按指數(shù)規(guī)律衰減。因此一段時間后，都將逐漸消失。自由振動消失前的運(yùn)動稱瞬態(tài)階段。第三項是以干擾頻率進(jìn)行的等幅振動，稱“純受迫振動（或穩(wěn)態(tài)階段）”，工程中只關(guān)心它記3.2單自由度體系受迫振動則純受迫振動的解可寫為ust為荷載幅值作用下的靜位移，稱位移放大系數(shù)（也稱動力系數(shù)）。無阻尼情況可令=0得到（當(dāng)然也可類似地直接推得）。動力系數(shù)取決于、/（頻率比），各種下-曲線如P.23的圖示意?？梢妼τ绊懯诛@著，增大將使減小，也即使反應(yīng)減小。在1時1/2，當(dāng)無阻尼共振時趨于無窮，可見阻尼對共振影響顯著，必須考慮。3.2單自由度體系受迫振動其u-dt曲線如(龍P.21)圖，可見開始時接近2，也即突加荷載所產(chǎn)生的最大位移接近靜位移的2倍。無阻尼情況等于2。3)周期荷載P(t)（設(shè)周期為TP）下的穩(wěn)態(tài)反應(yīng)周期荷載的Fourier展開為3.2單自由度體系受迫振動這表明，周期荷載可分解成一個常量荷載和一系列簡諧荷載的疊加。在a0作用下產(chǎn)生ust=a0/k的靜位移。在aicosit和bisinit簡諧荷載下（穩(wěn)態(tài)解）3.2單自由度體系受迫振動由此兩部分綜合即可得周期荷載下的穩(wěn)態(tài)解答。無阻尼情況可令=0得到（當(dāng)然也可類似地直接推得）。教材上還介紹了矩形脈沖、三角形脈沖等荷載下的反應(yīng)，這里只說明以下幾點：1)這種荷載都是短時作用荷載。2)用Duhamel積分求t時刻反應(yīng)時，應(yīng)該區(qū)分t在無荷載階段荷還是有荷載階段。3)動力系數(shù)和“持續(xù)作用時間t1和體系周期的比值有關(guān)”。其結(jié)果可看教材上的表。4)其他解析荷載，均可由Duhamel積分獲得位移反應(yīng)。當(dāng)荷載規(guī)律用一系列離散數(shù)據(jù)表示時，可經(jīng)編程用數(shù)值積分來求Duhamel積分。有關(guān)內(nèi)容可參考RayW.Clough等的教材。3.2單自由度體系受迫振動在荷載幅值作用下的彎矩圖如圖所示，桿端彎矩Mst值為0.25Fh，由于靜位移被放大倍，由此得因此，最大動彎矩為0.389Fh。

作業(yè)題：如果本例中荷載作用在左柱h/2處，試求：1）最大靜位移等于多少？2）最大動位移等于多少？3）最大靜彎矩等于多少？4）最大動彎矩等于多少？由此能總結(jié)什麼結(jié)論？hmF(t)EI=常數(shù)；=0.053.3非線性反應(yīng)分析當(dāng)系統(tǒng)的阻尼、剛度隨速度、位移變化時，運(yùn)動方程是非線性的，這時Duhamel積分不再適用。但不管線性還是非線性，“動平衡”方程都是úfd(t)ú(t)úfdúú(t+t)3.3.1非線性問題的增量方程設(shè)阻尼力、彈性恢復(fù)力和荷載曲線如圖所示。fs(t)uu(t)u(t+t)ufsP(t)ttt+ttP3.3非線性反應(yīng)分析將上述ü、ú代回增量方程整理后可得等效剛度等效荷載3.3非線性反應(yīng)分析如果已知t時刻c(t)、k(t)、狀態(tài)向量，則可求得等效剛度、等效荷載，從而求得位移增量。將位移增量代回速度(、加速度)增量的公式，由位移增量和t時刻狀態(tài)向量可求得速度(、加速度)增量。將t時刻狀態(tài)向量和位移、速度增量相加，即可求得t+t時刻位移、速度。(也可求加速度)由t+t時刻位移、速度求fd(t+t)和fs(t+t)。最后，由t+t時刻的“動平衡”方程求t+t時刻加速度，即可得到t+t時刻狀態(tài)向量。重復(fù)這一過程即可求得非線性問題的數(shù)值解答。

上述即為逐步積分的步驟。計算和理論分析表明，為使計算有足夠的精度，積分步長應(yīng)小于系統(tǒng)周期的十分之一。3.3非線性反應(yīng)分析根據(jù)上述逐步積分步驟，編制計算程序即可用于計算非線性結(jié)構(gòu)的動力反應(yīng)。由于它是求每一時刻的反應(yīng)，因此通常稱作時程分析。彈塑性分析演示程序查看計算結(jié)果3.4幾點結(jié)論與討論單自由度的固有頻率平方等于k/m。阻尼比可由實驗測得，一般結(jié)構(gòu)阻尼比為0.05。由于阻尼的存在，自由振動振動若干周后將恢復(fù)靜平衡狀態(tài)，受迫振動將從瞬態(tài)轉(zhuǎn)為穩(wěn)態(tài)。使阻尼器能消耗盡可能多的能量（也即增加阻尼）是減少振動的有效措施。對受迫振動，在共振區(qū)內(nèi)阻尼影響顯著，在非共振區(qū)可忽略阻尼影響。不管什麼結(jié)構(gòu)如果經(jīng)合理抽象化為單自由度體系，且具有相同的動力特征（m、k、），在相同初始條件和荷載下，結(jié)構(gòu)具有相同的動力反應(yīng)。動力系數(shù)取決于、頻率比，當(dāng)荷載作用在質(zhì)量上時，位移和內(nèi)力的動力系數(shù)相同。否則，兩者不同。對于線性體系，利用疊加原理可用Duh