常微分方程參考

本文格式為Word版，下載可任意編輯——常微分方程參考常微分方程參考試卷

一．填空1．稱為一階線性方程，它有積分因子，其通解為。

2．稱為黎卡提方程，若它有一個(gè)特解y(x),則經(jīng)過變換，可化為伯努利方程。

?n(x)??的極限，則有3．若?（x）為畢卡迫近序列?。

?（x）—?n(x)?

4．若xi(t)（i=1,2,┄,n）是齊線形方程的n個(gè)解，w(t)為其伏朗斯基行列式，則w(t)滿足一階線性方程。

5．若xi(t)（i=1,2,┄,n）是齊線形方程的一個(gè)基本解組，x(t)為非齊線形方程的一個(gè)特解，則非齊線形方程的所有解可表為。

6．假使A(t)是n×n矩陣，f(t)是n維列向量，則它們在a?t?b上滿足時(shí)，方程組xˊ=A(t)x+f(t)滿足初始條件x（t0）=?的解在a?t?b上存在唯一。7．若?（t）和?（t）都是xˊ=A(t)x的基解矩陣，則?（t）與?（t）具有關(guān)系：

。

8．若?（t）是常系數(shù)線性方程組x??解?(t)=_____________________

9.滿足_________________________________________的點(diǎn)（

x*,y*Ax的基解矩陣,則該方程滿足初始條件?(t0)??的

），稱為方程組的奇點(diǎn)。

10．當(dāng)方程組的特征根為兩個(gè)共軛虛根時(shí)，則當(dāng)其實(shí)部__________________________

時(shí)，零解是穩(wěn)定的，對應(yīng)的奇點(diǎn)稱為_______________________。二．計(jì)算題（60分）1．ydx?(x?2．(

y3)dy?0

dy3dy)?4xy?8y2?0dxdx

3．求方程dy?x?y2經(jīng)過（0，0）的第三次近似解

dx4．x???

5．若A??21?試求方程組x????14???

6.求

x?sint?cos2t

?1?并求expAt

Ax的解?(t),?(0)????????2?dxdy??x?y?1,?x?y?5的奇點(diǎn),并判斷奇點(diǎn)的類型及穩(wěn)定性.dtdt

三.證明題(10分)設(shè)

?ff(x,y)及連續(xù),試證方程dy-f(x,y)dx=0為線性方程的充要條件是它有僅依靠與x的

?y積分因子.

答案

一.填空

1.

dy?p(x)dxp(x)dx?p(x)dxe?(?Q(x)e?dx?c)?p(x)y?Q(x)e?dxMLnhn?1dy23.?p(x)y?Q(x)y?R(x)y?y?z(n?1)!dxw??a1(t)w?05.x(t)??cixi(t)?x(t)6．A(t)f(t)連續(xù)

i?1n2.

4.

7．?(t)??(t)c,detc?08。?(t)??(t)?(t0)?

?dx?X(x,y)??dt9．?中X(x,y)=0,Y(x,y)=010.為0穩(wěn)定中心

?dy?Y(x,y)??dt二．計(jì)算題

?M?N?1,??11．解：由于?y，所以此方程不是恰當(dāng)方程，方程有積分因子?x?(y)?e??ydy2?e?lny231，兩邊同乘1得dxx?y?dy?0?222yyyyx?????x?y3y?所以解為1??dy?c?ydx???2?y??y????xy2??c即2x?y(y2?c)另外y=0也是解y2?dy?232???8yp?8ydydx??2．解：方程可化為x?令?p則有x?dy4ypdx4ydx（*）兩邊對y求導(dǎo)：2y(p33（*）

?4y2)dp?p(8y2?p3)?4y2pdy1dpdpp32?p)?0由2y?p?0得p?cy2即y?()2將即(p?4y)(2ydydycy代入

?c22px??2?c22p?4cp為參數(shù)

（*）x??2即方程的含參數(shù)形式的通解為：?4c?y?(p)2?c?又由

p3?4y2?0得

p1?(4y2)3代入（*）得：

y?43x27也是方程的解

?0?y0?0x2?1?y0??xdx?023．解：xx2x2x5?2?y0??(x?)dx??04220xx4x10x7x2x5x11x8?3?y0??(x???)dx????04400202304400160x4．線性方程x???x?0的特征方程?2?1?0故特征根???i

f1(t)?sint??i是特征單根，原方程有特解x?t(Acost?Bsint)代入原方

程A=-

12B=0

f2(t)??cos2t??2i不是特征根，原方程有特解

x?Acos2t?Bsin2t代入原方程A?所以原方程的解為x?c1cost1B=0311?c2sint?tcost?cos2t

235．解：

p(?)???21?1??2?6??9?0解得?1,2?3此時(shí)k=1n1?2

??41i??1?t3t?i???1?3t??1?t(??1??2)??????v?(t)?e??(A?3E)????e????2?t(??1??2)???2??i?0i!???2?由公式expAt=

te?t?(A??E)i得

i?0i!n?1i??10???11??3t?1?tt?expAt?e3t?E?t(A?3E)??e3t???t?e????????t1?t???01???11???dx??x?y???x?y?1?0?dt6．解：由?解得奇點(diǎn)（3，-2）令X=x-3,Y=y+2則?

?x?y?5?0?dy?x?y??dt?1?1由于=1+1?0故有唯一零解（0，0）

1?1由

??1?11??2?2??1?1??2?2??2?0得???1?i故（3，-2）為穩(wěn)??1定焦點(diǎn)。三．證明題

證明：1若該方程為線性方程則有

dy?p(x)y?Q(x)（*）此方程有積分因子dx?p(x)dx?(x)?e??(x)只與x有關(guān)

2若該方程有只與x有關(guān)的積分因子?(x)則?(x)dy??(x)f(x,y)dx?0為恰當(dāng)方f)x?(y,?dx