考研數(shù)學(xué)高數(shù)必考題型總結(jié)2篇

1/1考研數(shù)學(xué)高數(shù)必考題型總結(jié)(菁選2篇)考研數(shù)學(xué)高數(shù)必考題型總結(jié)1第一：求極限。

無論數(shù)學(xué)一、數(shù)學(xué)二還是數(shù)學(xué)三，求極限是高等數(shù)學(xué)的基本要求，所以也是每年必考的內(nèi)容。區(qū)別在于有時以4分小題形式出現(xiàn)，題目簡單;有時以大題出現(xiàn)，需要使用的方法綜合性強(qiáng)。比如大題可能需要用到等價無窮小代換、泰勒展開式、洛比達(dá)法則、分離因子、重要極限等中的幾種方法，有時考生需要選擇其中簡單易行的組合完成題目。另外，分段函數(shù)個別點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，函數(shù)圖形的漸近線，以極限形式定義的函數(shù)的連續(xù)性、可導(dǎo)性的研究等也需要使用極限手段達(dá)到目的，須引起注意!

第二：利用中值定理證明等式或不等式，利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式。

證明題雖不能說每年一定考，但也基本上十年有九年都會涉及。等式的證明包括使用4個微分中值定理，1個積分中值定理;不等式的證明有時既可使用中值定理，也可使用函數(shù)單調(diào)性。這里泰勒中值定理的使用是一個難點(diǎn)，但考查的概率不大。

第三：一元函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，多元函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)。

求導(dǎo)數(shù)問題主要考查基本公式及運(yùn)算能力，當(dāng)然也包括對函數(shù)關(guān)系的處理能力。一元函數(shù)求導(dǎo)可能會以參數(shù)方程求導(dǎo)、變限積分求導(dǎo)或應(yīng)用問題中涉及求導(dǎo)，甚或高階導(dǎo)數(shù);多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)基本上每年都會考查，給出的函數(shù)可能是較為復(fù)雜的顯函數(shù)，也可能是隱函數(shù)。

另外，二元函數(shù)的極值與條件極值與實際問題聯(lián)系極其緊密，是一個考查重點(diǎn)。極值的充分條件、必要條件均涉及二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)。

第四：級數(shù)問題。

常數(shù)項級數(shù)斂散性的判別，條件收斂與絕對收斂的本質(zhì)含義均是考查的重點(diǎn)，但常常以小題形式出現(xiàn)。函數(shù)項級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間、收斂域、和函數(shù)等及函數(shù)在一點(diǎn)的冪級數(shù)展開在考試中常占有較高的分值。

第五：積分的計算。

積分的計算包括不定積分、定積分、反常積分的計算，以及二重積分的計算，對數(shù)學(xué)考生來說常主要是三重積分、曲線積分、曲面積分的計算。這是以考查運(yùn)算能力與處理問題的技巧能力為主，以對公式的熟悉及空間想像能力的考查為輔的。需要注意在復(fù)習(xí)中對一些問題的靈活處理，例如定積分幾何意義的使用，重心、形心公式的反用，對稱性的使用等。

第六：微分方程問題。

解常微分方程方法固定，無論是一階線性方程、可分離變量方程、齊次方程還是高階常系數(shù)齊次與非齊次方程，只要記住常用形式，注意運(yùn)算準(zhǔn)確性，在考場上正確運(yùn)算都沒有問題。但這里需要注意：研究生考試對微分方程的考查常有一種反向方式，即*常給出方程求通解或特解，現(xiàn)在給出通解或特解求方程。這需要考生對方程與其通解、特解之間的關(guān)系熟練掌握。

考研數(shù)學(xué)高數(shù)必考題型總結(jié)2整個數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)，高等數(shù)學(xué)是占分值最大的，復(fù)習(xí)的時候，要以高等數(shù)學(xué)為主。同時線性代數(shù)和概率為輔，不管原來熟悉不熟悉，必須要把線性代數(shù)和概率統(tǒng)計要復(fù)習(xí)好。高等數(shù)學(xué)它比較靈活的地方，主要集中在幾章，一個是所謂的未定式極限的運(yùn)算，再有一個是微分中值定理，還有積分的應(yīng)用，特別是定積分在幾何上的應(yīng)用，高等數(shù)學(xué)的下半部分多元函數(shù)微分法、求偏導(dǎo)數(shù)，還有數(shù)學(xué)的線面積分，這都是我們特別應(yīng)該注意的，應(yīng)該出大題。

線性代數(shù)的大題主要是參數(shù)問題，第一步是用證明的方法求參數(shù)，第二步就用書上例題的基本辦法來計算。概率統(tǒng)計大家不要只依靠記憶公式，要把公式定理和題目有機(jī)的結(jié)合起來。

數(shù)學(xué)也要考察考生能力和應(yīng)用。數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的時間越多，不會的題往往是越多，逐漸積累起來，到暑期很多的同學(xué)就面臨一個很困難的情況。一個是參考書里面積累了一些似懂非懂的問題，自己學(xué)習(xí)的時候，也會遇到這樣和那樣的困難。所以在暑期的時候，我們?nèi)珖?考生都面臨一個共同的任務(wù)，就是要有一個強(qiáng)化和提高。高等數(shù)學(xué)的復(fù)習(xí)內(nèi)容比較多，題目也比較難，大家下的功夫也比較大，但是往往大家感覺效果不是很好。

數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)有幾個特點(diǎn)。第一，注意考點(diǎn)。數(shù)學(xué)的考試的核心是大綱里面的知識點(diǎn)，這些知識往往距離考試的題目還是有一定的差距的?？键c(diǎn)對于大家解題來說，往往是比較方便的，而且是快捷的。線性代數(shù)他的內(nèi)容比較少一些，但是要注意線性代數(shù)不同章節(jié)內(nèi)容的轉(zhuǎn)換，他的內(nèi)容比較抽象，一開始在做計算題的時候比較容易掌握，后面再做一些綜合性的題目，處理起來感覺有難度。

考生應(yīng)著重以下幾方面復(fù)習(xí)：

一、知識打包。考試是以大綱為主的，但是并不等于是死記硬背大綱里面所有的知識點(diǎn)和定理公式，而是把不同的解題方法串起來，這樣我們在解題的時候就容易找到解題的思路。需要清理錯題，有針對性的加以改正。

二、清理重點(diǎn)內(nèi)容。有意識的把后面的內(nèi)容進(jìn)行強(qiáng)化和提高。大家復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)有一個特點(diǎn)，就是前面復(fù)習(xí)的內(nèi)容比較深刻，而且用的時間也比較長，效果也比較好。但是后面重點(diǎn)的內(nèi)容往往由于時間的關(guān)系，走馬觀花的就過去了，在考試的時候，后面的大題往往答得不好，或者是答而不全，會而不對。這樣對成績影響很大，所以要清理重點(diǎn)的內(nèi)容。

最后，要把所有的涉及到的知識點(diǎn)都要重新的整理一遍。每年考試都出現(xiàn)了一些新的題型，我們發(fā)現(xiàn)命題組的老師，特別重視能力的考察，考察主要是以新的形式、新的題目來考察大家靈活應(yīng)用基礎(chǔ)知識的能力。

這些年數(shù)學(xué)命題特別注重基礎(chǔ)，它有一個基本的指導(dǎo)思想，有利于本科教學(xué)質(zhì)量的提高，很多的同學(xué)，往往是丟掉了最基本的內(nèi)容，然后盲目追求一些偏難怪題，這個難度的把握并不是說難的題就是好的，也不是說簡單的題它就很容易做，我們每年給大家做了一些新的變型，往往誰結(jié)合具體的知識點(diǎn)，有的時候是正著考，有的時候是反著考，這樣大家容易開通腦筋，這樣的話，我們每年都和同學(xué)交流一下，從反饋的信息來看，我們學(xué)習(xí)的輔導(dǎo)作用是很顯著的，我們希望大家聽輔導(dǎo)之前，盡量把一些基礎(chǔ)的復(fù)習(xí)工作要?在輔導(dǎo)的過程中還要布置輔導(dǎo)完了之后做一些其他的練習(xí)，指定一些適合大家的參考書，我們還提供了一些新的變型題，這樣幾個結(jié)合在一起就有利于大家復(fù)習(xí)備考。

考研數(shù)學(xué)高數(shù)必考題型總結(jié)擴(kuò)展閱讀考研數(shù)學(xué)高數(shù)必考題型總結(jié)（擴(kuò)展1）——考研高數(shù)六大必考題型基礎(chǔ)復(fù)習(xí)重點(diǎn)

考研高數(shù)六大必考題型基礎(chǔ)復(fù)習(xí)重點(diǎn)1證明題雖不能說每年一定考，但也基本上十年有九年都會涉及。等式的證明包括使用4個微分中值定理，1個積分中值定理;不等式的證明有時既可使用中值定理，也可使用函數(shù)單調(diào)性。這里泰勒中值定理的使用是一個難點(diǎn)，但考查的概率不大。

考研高數(shù)六大必考題型基礎(chǔ)復(fù)習(xí)重點(diǎn)2求導(dǎo)數(shù)問題主要考查基本公式及運(yùn)算能力，當(dāng)然也包括對函數(shù)關(guān)系的處理能力。一元函數(shù)求導(dǎo)可能會以參數(shù)方程求導(dǎo)、變限積分求導(dǎo)或應(yīng)用問題中涉及求導(dǎo)，甚或高階導(dǎo)數(shù);多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)基本上每年都會考查，給出的函數(shù)可能是較為復(fù)雜的顯函數(shù)，也可能是隱函數(shù)。

另外，二元函數(shù)的極值與條件極值與實際問題聯(lián)系極其緊密，是一個考查重點(diǎn)。極值的充分條件、必要條件均涉及二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)。

考研高數(shù)六大必考題型基礎(chǔ)復(fù)習(xí)重點(diǎn)3常數(shù)項級數(shù)斂散性的判別，條件收斂與絕對收斂的本質(zhì)含義均是考查的重點(diǎn)，但常常以小題形式出現(xiàn)。函數(shù)項級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間、收斂域、和函數(shù)等及函數(shù)在一點(diǎn)的冪級數(shù)展開在考試中常占有較高的分值。

考研數(shù)學(xué)高數(shù)必考題型總結(jié)（擴(kuò)展2）——考研數(shù)學(xué)高數(shù)必考的題型有哪些

考研數(shù)學(xué)高數(shù)必考的題型有哪些11、認(rèn)真思考數(shù)學(xué)問題的習(xí)慣

思考對于數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是最核心的，對做題更甚。不堅持去思考，不仔細(xì)去聯(lián)想，類比，總結(jié)只相當(dāng)于背書，是學(xué)不到數(shù)學(xué)的本質(zhì)的，想考高分是不可能的。

舉一個例子：中值定理那塊的'證明題，一開始不會證，我就忍住不去看答案，自己去思考，有時候一晚上都在思考一個題。這樣思考，我會想到很多知識點(diǎn)并加以整合，會慢慢提煉出思路。以后解這一類題就會順暢很多?？佳械念}肯定是自己沒見過的，*常做題時不會就去看答案，考場上可沒有現(xiàn)成的答案看啊。

學(xué)數(shù)學(xué)的時候如果不思考就不會發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的美，就不會感覺到原來數(shù)學(xué)這么有意思。找不到這感覺，學(xué)數(shù)學(xué)簡直是個煎熬，或者虐心!考完研以后，我就有個計劃要好好學(xué)數(shù)學(xué)，一是因為喜歡上了數(shù)學(xué)，二是因為對我來說，讀研究生時還要經(jīng)常用到數(shù)學(xué)。

2、作總結(jié)，并經(jīng)常溫*結(jié)，做到問題不積壓。

自九月份開始，我每次作總結(jié)都會把我手頭上的資料書，課本翻一遍，力爭思考的全面深刻，更嘗試抓起本質(zhì)，我不認(rèn)為我一次就能把問題看全看透，所以我每做完一個總結(jié)都會經(jīng)常溫習(xí)，思考以求得出新的東西更本質(zhì)，更簡潔的總結(jié)。每思考一次會加深一次印象，也加深了理解。

其實問題不積壓的道理大家都懂，一個問題不會可能導(dǎo)致一連串的問題都不會的“蝴蝶效應(yīng)”!但是真正把這個問題重視起來的人不多。我經(jīng)常培養(yǎng)自己查漏補(bǔ)缺的意識，發(fā)現(xiàn)問題要即刻試圖解決，即便當(dāng)時解決不了也要把問題記下來，記在醒目的位置，以便自己得到靈感的時候能及時解決問題。

3、做標(biāo)注。

不管是做全書，還是做其他資料，做的時候我都會注意仔細(xì)標(biāo)注，這樣可以在下一次復(fù)習(xí)時盡快抓住重點(diǎn)，節(jié)省時間;也為作總結(jié)提供了諸多便利。

4、上自習(xí)時不帶手機(jī)。

考研需要靜心，很多國家大事可以暫時放一放，考完研再處理的。

5、打草稿要整潔，不要潦草。

不要吝嗇草稿紙，草稿紙上有點(diǎn)空就想演題，最后肯定是得不償失。根據(jù)墨菲定律：“有可能出錯的事情，就會出錯。

混亂的草稿很容易導(dǎo)致計算的錯誤，導(dǎo)致難以看出題目的思路。這樣計算能力得不到提升，也會影響學(xué)數(shù)學(xué)的信心。做真題時會經(jīng)常發(fā)現(xiàn)，很多時候得出的答案出錯都是因為計算，通過這個習(xí)慣的養(yǎng)成會慢慢提升對大型計算的信心和仔細(xì)程度，做到快與準(zhǔn)的統(tǒng)一。

另外，在此多說一句，做大題時要有足夠的覺知，也即警覺度，特別對于審題和計算，一旦出錯將浪費(fèi)大量的時間，不利于對解大題的信心的塑造。

6、坐住冷板凳。

自習(xí)時，全身心投入，不一會起來去上個廁所，去轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)走走，影響別人自習(xí)不說，自己也會懈怠。還有自習(xí)室進(jìn)來個人不去抬頭看，自習(xí)室里有其他動靜不要抬頭看，當(dāng)然地震時除外，我們自習(xí)時就出現(xiàn)了短暫的地震。

7、鍛煉身體。

身體很重要，有個健康的身體不僅能為學(xué)習(xí)的連貫性，學(xué)習(xí)的效率提供保證，也能為考場上有個好的發(fā)揮提供支持。舉個我身邊的例子，跟我考一個學(xué)校的，*常成績比我強(qiáng)不知道多少，復(fù)習(xí)的也比我好，可就是考試前一周多身體垮了得了重感冒，最后沒考好，豈不可惜。

8、調(diào)整作息。

我知道很多人是夜貓子，喜歡熬夜，或者是晚上思維更敏捷更活躍，白天呢，夜貓子們精神狀態(tài)就不佳，要么打瞌睡，要么思維凝滯——白天的效率很不高，但是考試是在白天考的，所以最好把興奮點(diǎn)調(diào)整到白天。

特別的，數(shù)學(xué)是上午考的，養(yǎng)成上午學(xué)數(shù)學(xué)的習(xí)慣，時間長了你會發(fā)現(xiàn)，上午數(shù)學(xué)思維特別敏捷，這樣興奮點(diǎn)就出來了。

還有，用好白天的時間，提高效率，對于考研來說時間肯定是夠用的。另外，這樣健康作息對身體也好。我以前經(jīng)常熬夜，白天起不來，基本沒吃過早飯。

考研時，不吃早飯就別想靜心復(fù)習(xí)了，復(fù)習(xí)強(qiáng)度那么大，不吃早飯復(fù)習(xí)時肯定有饑餓感，暈厥感，影響復(fù)習(xí)效率，影響心情。

還有一句話共勉“熬夜，是因為沒有勇氣結(jié)束這一天;賴床，是因為沒有勇氣開始新的一天”。

9、嘗試把東西記在腦子里。

這需要一個過程且這樣做有很多好處。如果習(xí)慣于遇到想不起來的就去翻書找，找到后不加以記憶就去做其他的事了，這樣就很有可能長時間掌握不住這個知識點(diǎn)，或知識點(diǎn)掌握的不牢靠。

而記在腦子里，一能節(jié)省很多時間，二你在想問題的時候能夠提供思路，能夠更快的把只是串聯(lián)起來，找到知識點(diǎn)內(nèi)在的本質(zhì)。

10、自己訓(xùn)練自己。

我認(rèn)為不管是時間的管理，情緒的管理，還是習(xí)慣的養(yǎng)成，自制力的培養(yǎng)都是自我訓(xùn)練的結(jié)果。這些有的是能力，有的是思維，有的是技能都需要一遍一遍地去培養(yǎng)，去引導(dǎo)，去訓(xùn)練。

自己訓(xùn)練自己，需要時間更需要方法。好處是，很多東西一旦掌握，一旦內(nèi)化為自己的能力，想忘都忘不了，會成為下意識的行為。

考研數(shù)學(xué)高數(shù)必考的題型有哪些21.求冪指函數(shù)的三種未定式，運(yùn)用抬頭法轉(zhuǎn)為基本未定式，然后再利用羅必達(dá)法則和等價無窮小量求極限。

2.求最值、極值或證明不等式，運(yùn)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，借助單調(diào)性研究問題。

3.微積分中值定理的運(yùn)用，運(yùn)用找原函數(shù)法、公式法或者經(jīng)驗法等構(gòu)造輔助函數(shù)證明。

4.二重積分的計算，運(yùn)用“型，型，型”。

5.常微分方程問題?？煞蛛x變量方程、齊次方程、一階線性微分方程等的通解、特解及線性方程解的性質(zhì)和結(jié)構(gòu)、常系數(shù)線性方程求解問題。

6.求抽象函數(shù)的二階混合偏導(dǎo)數(shù)，運(yùn)用復(fù)合函數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t和隱函數(shù)求導(dǎo)法則。

7.多元函數(shù)的極值，運(yùn)用拉格朗日函數(shù)乘數(shù)法。

8.判斷常數(shù)項級數(shù)的斂散性及求和。

9.求冪級數(shù)的收斂半徑和收斂域、和函數(shù)及函數(shù)的冪級數(shù)展開、傅里葉級數(shù)。

10.曲線積分和曲面積分的計算。

考研數(shù)學(xué)高數(shù)必考的題型有哪些31、認(rèn)真思考數(shù)學(xué)問題的習(xí)慣

思考對于數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是最核心的，對做題更甚。不堅持去思考，不仔細(xì)去聯(lián)想，類比，總結(jié)只相當(dāng)于背書，是學(xué)不到數(shù)學(xué)的本質(zhì)的，想考高分是不可能的。

舉一個例子：中值定理那塊的'證明題，一開始不會證，我就忍住不去看答案，自己去思考，有時候一晚上都在思考一個題。這樣思考，我會想到很多知識點(diǎn)并加以整合，會慢慢提煉出思路。以后解這一類題就會順暢很多?？佳械念}肯定是自己沒見過的，*常做題時不會就去看答案，考場上可沒有現(xiàn)成的答案看啊。

學(xué)數(shù)學(xué)的時候如果不思考就不會發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的美，就不會感覺到原來數(shù)學(xué)這么有意思。找不到這感覺，學(xué)數(shù)學(xué)簡直是個煎熬，或者虐心!考完研以后，我就有個計劃要好好學(xué)數(shù)學(xué)，一是因為喜歡上了數(shù)學(xué)，二是因為對我來說，讀研究生時還要經(jīng)常用到數(shù)學(xué)。

2、作總結(jié)，并經(jīng)常溫*結(jié)，做到問題不積壓。

自九月份開始，我每次作總結(jié)都會把我手頭上的資料書，課本翻一遍，力爭思考的全面深刻，更嘗試抓起本質(zhì)，我不認(rèn)為我一次就能把問題看全看透，所以我每做完一個總結(jié)都會經(jīng)常溫習(xí)，思考以求得出新的東西更本質(zhì)，更簡潔的總結(jié)。每思考一次會加深一次印象，也加深了理解。

其實問題不積壓的道理大家都懂，一個問題不會可能導(dǎo)致一連串的問題都不會的“蝴蝶效應(yīng)”!但是真正把這個問題重視起來的人不多。我經(jīng)常培養(yǎng)自己查漏補(bǔ)缺的意識，發(fā)現(xiàn)問題要即刻試圖解決，即便當(dāng)時解決不了也要把問題記下來，記在醒目的位置，以便自己得到靈感的時候能及時解決問題。

3、做標(biāo)注。

不管是做全書，還是做其他資料，做的時候我都會注意仔細(xì)標(biāo)注，這樣可以在下一次復(fù)習(xí)時盡快抓住重點(diǎn)，節(jié)省時間;也為作總結(jié)提供了諸多便利。

4、上自習(xí)時不帶手機(jī)。

考研需要靜心，很多國家大事可以暫時放一放，考完研再處理的。

5、打草稿要整潔，不要潦草。

不要吝嗇草稿紙，草稿紙上有點(diǎn)空就想演題，最后肯定是得不償失。根據(jù)墨菲定律：“有可能出錯的事情，就會出錯。

混亂的草稿很容易導(dǎo)致計算的錯誤，導(dǎo)致難以看出題目的思路。這樣計算能力得不到提升，也會影響學(xué)數(shù)學(xué)的信心。做真題時會經(jīng)常發(fā)現(xiàn)，很多時候得出的答案出錯都是因為計算，通過這個習(xí)慣的養(yǎng)成會慢慢提升對大型計算的信心和仔細(xì)程度，做到快與準(zhǔn)的統(tǒng)一。

另外，在此多說一句，做大題時要有足夠的覺知，也即警覺度，特別對于審題和計算，一旦出錯將浪費(fèi)大量的時間，不利于對解大題的信心的塑造。

6、坐住冷板凳。

自習(xí)時，全身心投入，不一會起來去上個廁所，去轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)走走，影響別人自習(xí)不說，自己也會懈怠。還有自習(xí)室進(jìn)來個人不去抬頭看，自習(xí)室里有其他動靜不要抬頭看，當(dāng)然地震時除外，我們自習(xí)時就出現(xiàn)了短暫的地震。

7、鍛煉身體。

身體很重要，有個健康的身體不僅能為學(xué)習(xí)的連貫性，學(xué)習(xí)的效率提供保證，也能為考場上有個好的發(fā)揮提供支持。舉個我身邊的例子，跟我考一個學(xué)校的，*常成績比我強(qiáng)不知道多少，復(fù)習(xí)的也比我好，可就是考試前一周多身體垮了得了重感冒，最后沒考好，豈不可惜。

8、調(diào)整作息。

我知道很多人是夜貓子，喜歡熬夜，或者是晚上思維更敏捷更活躍，白天呢，夜貓子們精神狀態(tài)就不佳，要么打瞌睡，要么思維凝滯——白天的效率很不高，但是考試是在白天考的，所以最好把興奮點(diǎn)調(diào)整到白天。

特別的，數(shù)學(xué)是上午考的，養(yǎng)成上午學(xué)數(shù)學(xué)的習(xí)慣，時間長了你會發(fā)現(xiàn)，上午數(shù)學(xué)思維特別敏捷，這樣興奮點(diǎn)就出來了。

還有，用好白天的時間，提高效率，對于考研來說時間肯定是夠用的。另外，這樣健康作息對身體也好。我以前經(jīng)常熬夜，白天起不來，基本沒吃過早飯。

考研時，不吃早飯就別想靜心復(fù)習(xí)了，復(fù)習(xí)強(qiáng)度那么大，不吃早飯復(fù)習(xí)時肯定有饑餓感，暈厥感，影響復(fù)習(xí)效率，影響心情。

還有一句話共勉“熬夜，是因為沒有勇氣結(jié)束這一天;賴床，是因為沒有勇氣開始新的一天”。

9、嘗試把東西記在腦子里。

這需要一個過程且這樣做有很多好處。如果習(xí)慣于遇到想不起來的就去翻書找，找到后不加以記憶就去做其他的事了，這樣就很有可能長時間掌握不住這個知識點(diǎn)，或知識點(diǎn)掌握的不牢靠。

而記在腦子里，一能節(jié)省很多時間，二你在想問題的時候能夠提供思路，能夠更快的把只是串聯(lián)起來，找到知識點(diǎn)內(nèi)在的本質(zhì)。

10、自己訓(xùn)練自己。

我認(rèn)為不管是時間的管理，情緒的管理，還是習(xí)慣的養(yǎng)成，自制力的培養(yǎng)都是自我訓(xùn)練的結(jié)果。這些有的是能力，有的是思維，有的是技能都需要一遍一遍地去培養(yǎng)，去引導(dǎo)，去訓(xùn)練。

自己訓(xùn)練自己，需要時間更需要方法。好處是，很多東西一旦掌握，一旦內(nèi)化為自己的能力，想忘都忘不了，會成為下意識的行為。

考研數(shù)學(xué)高數(shù)必考題型總結(jié)（擴(kuò)展3）——考研數(shù)學(xué)考點(diǎn)解析及必考題型總結(jié)

考研數(shù)學(xué)考點(diǎn)解析及必考題型總結(jié)1考研數(shù)學(xué)的卷種分三種，分別為數(shù)學(xué)一、數(shù)學(xué)二、數(shù)學(xué)三。

這三個卷中針對的專業(yè)不同，須使用數(shù)學(xué)一的招生專業(yè)為工學(xué)門類中的力學(xué)、機(jī)械工程、光學(xué)工程、儀器科學(xué)與技術(shù)、信息與通信工程、控制科學(xué)與工程、計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)、土木工程、水利工程、測繪科學(xué)與技術(shù)、交通運(yùn)輸工程、交通運(yùn)輸工程、傳播與海洋工程、航空宇航科學(xué)與技術(shù)、兵器科學(xué)與技術(shù)、核科學(xué)與技術(shù)、生物醫(yī)學(xué)工程等20個一級學(xué)科中所有的二級學(xué)科、專業(yè)，授工學(xué)學(xué)位的管理科學(xué)與工程的一級學(xué)科。

工學(xué)門類中的材料科學(xué)與工程、化學(xué)工程與技術(shù)、地質(zhì)資源與地質(zhì)工程、礦業(yè)工程、石油與天然氣工程、環(huán)境科學(xué)與工程等一級學(xué)科中對數(shù)學(xué)要求較高的二級學(xué)科，專業(yè)的選用數(shù)學(xué)一，對數(shù)學(xué)要求較高的選用數(shù)學(xué)二。

專業(yè)不同對數(shù)學(xué)的要求自然不同，從難度看數(shù)學(xué)一最難，其次是數(shù)學(xué)二，最后是數(shù)學(xué)三，從考試范圍看，數(shù)學(xué)一考試范圍最多，數(shù)學(xué)三次之，最后，數(shù)學(xué)二，三種卷中大部分考試內(nèi)容是一樣的，數(shù)一數(shù)二數(shù)三又各有自己特點(diǎn)和單獨(dú)考查的內(nèi)容。下面跨考教育數(shù)學(xué)教研室邊一老師就數(shù)學(xué)一單獨(dú)考查內(nèi)容進(jìn)行一一盤點(diǎn)。

一元函數(shù)微分學(xué)：隱函數(shù)求導(dǎo)、曲率圓和曲率半徑;

一元積分學(xué)：旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積、*面曲線的弧長、功、引力、壓力、質(zhì)心、形心等;

向量代數(shù)與空間解析幾何：向量、直線與*面、旋轉(zhuǎn)曲面、球面、柱面、常用的二次曲面方程及其圖形、投影曲線方程;

多元函數(shù)微分學(xué)：方向?qū)?shù)和梯度、空間曲線的切線與法*面、曲面的切*面和法線;

隱函數(shù)存在定理;

多元函數(shù)積分學(xué)：三重積分、第一型曲線積分、第二型曲線積分、第一型曲面積分、第二型曲面積分、格林公式、高斯公式、斯托克斯公式、散度、旋度;

無窮級數(shù)：傅里葉級數(shù);

微分方程：伯努利方程、全微分方程、可降階的高階微分方程、歐拉方程。

以上內(nèi)容為數(shù)學(xué)一單獨(dú)考查的內(nèi)容，是數(shù)學(xué)一特有的內(nèi)容，所以這些內(nèi)容每年必考。其中：

多元函數(shù)積分學(xué)中曲線曲面積分三重積分幾乎每年必考，常與空間解析幾何一起考查，尤見于大題，今年考查了第一型曲面積分及投影曲線，散度旋度常見于小題。

無窮級數(shù)中的傅里葉級數(shù)考過解答題也考過小題，31年真題中考過4次大題，6次小題。

多元函數(shù)微分學(xué)中考點(diǎn)常見于小題，切線和法*面，切*面和法線尤其喜歡出填空題，隱函數(shù)存在定理考過選擇題。

微分方程中可降階出現(xiàn)頻率較高，常在微分方程的應(yīng)用題中出現(xiàn)，歐拉方程單獨(dú)直接考查出現(xiàn)過1次。

一元微分學(xué)中的曲率常見于小題如選擇題填空題，隱函數(shù)求導(dǎo)屬于?？碱}型，是一種計算工具，常與其他考點(diǎn)結(jié)合考查，如與極值、拐點(diǎn)相結(jié)合。

一元積分學(xué)中的物理應(yīng)用：功、壓力、質(zhì)心等考頻不高，考過3次。由于這些考點(diǎn)屬于數(shù)一單有的，也是考官比較青睞的內(nèi)容，難度不大，只要我們復(fù)習(xí)到了就能拿分，所以希望大家引起重視。

考研數(shù)學(xué)考點(diǎn)解析及必考題型總結(jié)2一、概率與數(shù)理統(tǒng)計學(xué)科的特點(diǎn)

研究對象是隨機(jī)現(xiàn)象

高數(shù)是研究確定的現(xiàn)象，而概率研究的是不確定的，是隨機(jī)現(xiàn)象。對于不確定的，大家感覺比較頭疼。

題型比較固定，解法比較單一，計算技巧要求低一些

比如概率的解答題主要考查二維離散型隨機(jī)變量、二維連續(xù)型隨機(jī)變量、隨機(jī)變量函數(shù)的分布和參數(shù)的矩估計、最大似然估計?？忌灰莆樟讼鄳?yīng)的解題方法，計算準(zhǔn)確，就可以拿到滿分.

高數(shù)和概率相結(jié)合

求隨機(jī)變量的分布和數(shù)字特征運(yùn)用到高數(shù)的理論與方法，這也是考研所要求考生所具備的解決問題的綜合能力。

在復(fù)習(xí)概率與數(shù)理統(tǒng)計的過程中，把握住每章節(jié)的考試重點(diǎn)，概率一定能取得好成績。

二、通過各章節(jié)來具體分析考試重點(diǎn)

第一章隨機(jī)事件與概率

本章需要掌握概率統(tǒng)計的基本概念，公式。其核心內(nèi)容是概率的基本計算，以及五大公式的熟練應(yīng)用，加法公式、乘法公式、條件概率公式、全概率公式以及貝葉斯公式。

第二章隨機(jī)變量及其分布

本章重點(diǎn)掌握分布函數(shù)的性質(zhì);離散型隨機(jī)變量的分布律與分布函數(shù)及連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)與分布函數(shù);常見離散型及連續(xù)型隨機(jī)變量的分布;一維隨機(jī)變量函數(shù)的分布。

第三章多維隨機(jī)變量的分布

在涉及二維離散型隨機(jī)變量的題中，往往用到“先求取值、在求概率”的做點(diǎn)步驟。二維連續(xù)型隨機(jī)變量的相關(guān)計算，比如邊緣分布、條件分布是考試的重點(diǎn)和難點(diǎn)，考生在復(fù)習(xí)時要總結(jié)出求解邊緣分布、條件分布的解題步驟。掌握用隨機(jī)變量的獨(dú)立性的判斷的充要條件。最后是要會計算二維隨機(jī)變量簡單函數(shù)的分布，包括兩個離散變量的函數(shù)、兩個連續(xù)變量的函數(shù)、一個離散和一個連續(xù)變量的函數(shù)、以及特殊函數(shù)的分布。

第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征

本章的復(fù)習(xí)，首先要記住常見分布的數(shù)字特征，考試中一定會間接地用到這些結(jié)論。另外，本章可以與數(shù)理統(tǒng)計的考點(diǎn)結(jié)合，綜合后出大題，應(yīng)該引起考生足夠的重視。

第五章大數(shù)定律和中心極限定理

本章考查的重點(diǎn)是一個切比雪夫不等式，以及三個大數(shù)定律，兩個中心極限定理的條件和結(jié)論，考試需要記住。

第六章數(shù)理統(tǒng)計的基本概念

重點(diǎn)在于“三大分布、八個定理”以及計算統(tǒng)計量的`數(shù)字特征。

第七章參數(shù)估計

本章的重點(diǎn)是矩估計和最大似然估計，經(jīng)常以解答題的形式進(jìn)行考查。對于數(shù)一來說，有時還會要求驗證估計量的無偏性，這是和數(shù)字特征相結(jié)合。區(qū)間估計和假設(shè)檢驗只有數(shù)一的同學(xué)要求，考題中較少涉及到。

考生要對每章的出題重點(diǎn)做到了如指掌，加以強(qiáng)化做題訓(xùn)練，相信會有好的成績!

考研數(shù)學(xué)高數(shù)必考題型總結(jié)（擴(kuò)展4）——考研數(shù)學(xué)高數(shù)重要定理證明

考研數(shù)學(xué)高數(shù)重要定理證明1一、行列式部分，強(qiáng)化概念性質(zhì)，熟練行列式的求法

在這里我們需要明確下面幾條：行列式對應(yīng)的是一個數(shù)值，是一個實數(shù)，明確這一點(diǎn)可以幫助我們檢查一些疏漏的低級錯誤；行列式的計算方法中常用的是定義法，比較重要的是加邊法，數(shù)學(xué)歸納法，降階法，利用行列式的性質(zhì)對行列式進(jìn)行恒等變形，化簡之后再按行或列展開。另外范德蒙行列式也是需要掌握的；行列式的考查方式分為低階的數(shù)字型矩陣和高階抽象行列式的計算、含參數(shù)的行列式的計算等。

二、矩陣部分，重視矩陣運(yùn)算，掌握矩陣秩的應(yīng)用

通過歷年真題分類統(tǒng)計與考點(diǎn)分布，矩陣部分的重點(diǎn)考點(diǎn)集中在逆矩陣、伴隨矩陣及矩陣方程，其內(nèi)容包括伴隨矩陣的定義、性質(zhì)、行列式、逆矩陣、秩，在課堂輔導(dǎo)的時候會重點(diǎn)強(qiáng)調(diào).此外，伴隨矩陣的矩陣方程以及矩陣與行列式的結(jié)合也是需要同學(xué)們熟練掌握的細(xì)節(jié)。涉及秩的應(yīng)用，包含矩陣的秩與向量組的秩之間的關(guān)系，矩陣等價與向量組等價，對矩陣的秩與方程組的解之間關(guān)系的分析，備考需要在理解概念的基礎(chǔ)上，系統(tǒng)地進(jìn)行歸納總結(jié)，并做習(xí)題加以鞏固。

三、向量部分，理解相關(guān)無關(guān)概念，靈活進(jìn)行判定

向量組的線性相關(guān)問題是向量部分的重中之重，也是考研線性代數(shù)每年必出的考點(diǎn)。如何掌握這部分內(nèi)容呢?首先在于對定義概念的理解，然后就是分析判定的重點(diǎn)，即：看是否存在一組全為零的或者有非零解的實數(shù)對?；A(chǔ)線性相關(guān)問題也會涉及類似的題型：判定向量組的線性相關(guān)性、向量組線性相關(guān)性的證明、判定一個向量能否由一向量組線性表出、向量組的秩和極大無關(guān)組的求法、有關(guān)秩的證明、有關(guān)矩陣與向量組等價的命題、與向量空間有關(guān)的'命題。

四、線性方程組部分，判斷解的個數(shù)，明確通解的求解思路

線性方程組解的情況，主要涵蓋了齊次線性方程組有非零解、非齊次線性方程組解的判定及解的結(jié)構(gòu)、齊次線性方程組基礎(chǔ)解系的求解與證明以及帶參數(shù)的線性方程組的解的情況。通解的求法有兩種，若為齊次線性方程組，首先求解方程組的矩陣對應(yīng)的行列式的值，在特征值為零和不為零的情況下分別進(jìn)行討論，為零說明有解，帶入增廣矩陣化簡整理；不為零則有唯一解直接求出即可。若為非齊次方程組，則按照對增廣矩陣的討論進(jìn)行求解。

五、矩陣的特征值與特征向量部分，理解概念方法，掌握矩陣對角化的求解

矩陣的特征值、特征向量部分可劃分為三給我板塊：特征值和特征向量的概念及計算、方陣的相似對角化、實對稱矩陣的正交相似對角化。相關(guān)題型有：數(shù)值矩陣的特征值和特征向量的求法、抽象矩陣特征值和特征向量的求法、判定矩陣的相似對角化、有關(guān)實對稱矩陣的問題。

六、二次型部分，熟悉正定矩陣的判別，了解規(guī)范性和慣性定理

二次型矩陣是二次型問題的一個基礎(chǔ)，且大部分都可以轉(zhuǎn)化為它的實對稱矩陣的問題來處理。另外二次型及其矩陣表示，二次型的秩和標(biāo)準(zhǔn)形等概念、二次型的規(guī)范形和慣性定理也是填空選擇題中的不可或缺的部分，二次型的標(biāo)準(zhǔn)化與矩陣對角化緊密相連，要會用配方法、正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形；掌握二次型正定性的判別方法等等。

考研數(shù)學(xué)高數(shù)重要定理證明2高數(shù)定理證明之微分中值定理:

這一部分內(nèi)容比較豐富，包括費(fèi)馬引理、羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理和泰勒中值定理。除泰勒中值定理外，其它定理要求會證。

費(fèi)馬引理的條件有兩個：1.f'存在2.f為f的極值，結(jié)論為f'=0。考慮函數(shù)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，用什么方法?自然想到導(dǎo)數(shù)定義。我們可以按照導(dǎo)數(shù)定義寫出f'的極限形式。往下如何推理?關(guān)鍵要看第二個條件怎么用?！癴為f的極值”翻譯成數(shù)學(xué)語言即ff0)，對x0的某去心鄰域成立。結(jié)合導(dǎo)數(shù)定義式中函數(shù)部分表達(dá)式，不難想到考慮函數(shù)部分的正負(fù)號。若能得出函數(shù)部分的符號，如何得到極限值的符號呢?極限的保號性是個橋梁。

費(fèi)馬引理中的“引理”包含著引出其它定理之意。那么它引出的定理就是我們下面要討論的羅爾定理。若在微分中值定理這部分推舉一個考頻最高的，那羅爾定理當(dāng)之無愧。該定理的條件和結(jié)論想必各位都比較熟悉。條件有三：“閉區(qū)間連續(xù)”、“開區(qū)間可導(dǎo)”和“端值相等”，結(jié)論是在開區(qū)間存在一點(diǎn)，使得函數(shù)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0。

該定理的證明不好理解，需認(rèn)真體會：條件怎么用?如何和結(jié)論建立聯(lián)系?當(dāng)然，我們現(xiàn)在討論該定理的證明是“馬后炮”式的：已經(jīng)有了證明過程，我們看看怎么去理解掌握。如果在羅爾生活的時代，證出該定理，那可是十足的創(chuàng)新，是要流芳百世的。

閑言少敘，言歸正傳。既然我們討論費(fèi)馬引理的作用是要引出羅爾定理，那么羅爾定理的證明過程中就要用到費(fèi)馬引理。我們對比這兩個定理的結(jié)論，不難發(fā)現(xiàn)是一致的：都是函數(shù)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0。話說到這，可能有同學(xué)要說：羅爾定理的證明并不難呀，由費(fèi)馬引理得結(jié)論不就行了。大方向?qū)?，但過程沒這么簡單。起碼要說清一點(diǎn)：費(fèi)馬引理的條件是否滿足，為什么滿足?

前面提過費(fèi)馬引理的條件有兩個——“可導(dǎo)”和“取極值”，“可導(dǎo)”不難判斷是成立的，那么“取極值”呢?似乎不能由條件直接得到。那么我們看看哪個條件可能和極值產(chǎn)生聯(lián)系。注意到羅爾定理的第一個條件是函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)。我們知道閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)有很好的性質(zhì)，哪條性質(zhì)和極值有聯(lián)系呢?不難想到最值定理。

那么最值和極值是什么關(guān)系?這個點(diǎn)需要想清楚，因為直接影響下面推理的走向。結(jié)論是：若最值取在區(qū)間內(nèi)部，則最值為極值；若最值均取在區(qū)間端點(diǎn)，則最值不為極值。那么接下來，分兩種情況討論即可：若最值取在區(qū)間內(nèi)部，此種情況下費(fèi)馬引理條件完全成立，不難得出結(jié)論；若最值均取在區(qū)間端點(diǎn)，注意到已知條件第三條告訴我們端點(diǎn)函數(shù)值相等，由此推出函數(shù)在整個閉區(qū)間上的最大值和最小值相等，這意味著函數(shù)在整個區(qū)間的表達(dá)式恒為常數(shù)，那在開區(qū)間上任取一點(diǎn)都能使結(jié)論成立。

拉格朗日定理和柯西定理是用羅爾定理證出來的。掌握這兩個定理的證明有一箭雙雕的效果：真題中直接考過拉格朗日定理的證明，若再考這些原定理，那自然駕輕就熟；此外，這兩個的定理的證明過程中體現(xiàn)出來的基本思路，適用于證其它結(jié)論。

以拉格朗日定理的證明為例，既然用羅爾定理證，那我們對比一下兩個定理的結(jié)論。羅爾定理的結(jié)論等號右側(cè)為零。我們可以考慮在草稿紙上對拉格朗日定理的結(jié)論作變形，變成羅爾定理結(jié)論的形式，移項即可。接下來，要從變形后的式子讀出是對哪個函數(shù)用羅爾定理的結(jié)果。這就是構(gòu)造輔助函數(shù)的過程——看等號左側(cè)的式子是哪個函數(shù)求導(dǎo)后，把x換成中值的結(jié)果。這個過程有點(diǎn)像犯罪現(xiàn)場調(diào)查：根據(jù)這個犯罪現(xiàn)場，反推嫌疑人是誰。當(dāng)然，構(gòu)造輔助函數(shù)遠(yuǎn)比破案要簡單，簡單的題目直接觀察；復(fù)雜一些的，可以把中值換成x，再對得到的函數(shù)求不定積分。

高數(shù)定理證明之求導(dǎo)公式:

2022年真題考了一個證明題：證明兩個函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)公式。幾乎每位同學(xué)都對這個公式怎么用比較熟悉，而對它怎么來的較為陌生。實際上，從授課的角度，這種在2022年前從未考過的基本公式的證明，一般只會在基礎(chǔ)階段講到。如果這個階段的考生帶著急功近利的心態(tài)只關(guān)注結(jié)論怎么用，而不關(guān)心結(jié)論怎么來的，那很可能從未認(rèn)真思考過該公式的證明過程，進(jìn)而在考場上變得很被動。這里給2022考研學(xué)子提個醒：要重視基礎(chǔ)階段的復(fù)習(xí)，那些真題中未考過的重要結(jié)論的證明，有可能考到，不要放過。

當(dāng)然，該公式的證明并不難。先考慮f*g在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)。函數(shù)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)自然用導(dǎo)數(shù)定義考察，可以按照導(dǎo)數(shù)定義寫出一個極限式子。該極限為“0分之0”型，但不能用洛必達(dá)法則，因為分子的導(dǎo)數(shù)不好算。利用數(shù)學(xué)上常用的拼湊之法，加一項，減一項。這個“無中生有”的項要和前后都有聯(lián)系，便于提公因子。之后分子的四項兩兩配對，除以分母后考慮極限，不難得出結(jié)果。再由x0的任意性，便得到了f*g在任意點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)公式。

高數(shù)定理證明之積分中值定理:

該定理條件是定積分的被積函數(shù)在積分區(qū)間上連續(xù)，結(jié)論可以形式地記成該定積分等于把被積函數(shù)拎到積分號外面，并把積分變量x換成中值。如何證明?可能有同學(xué)想到用微分中值定理，理由是微分相關(guān)定理的結(jié)論中含有中值?？梢园凑沾怂悸吠路治?，不過更易理解的思路是考慮連續(xù)相關(guān)定理，理由更充分些：上述兩個連續(xù)相關(guān)定理的結(jié)論中不但含有中值而且不含導(dǎo)數(shù)，而待證的積分中值定理的結(jié)論也是含有中值但不含導(dǎo)數(shù)。

若我們選擇了用連續(xù)相關(guān)定理去證，那么到底選擇哪個定理呢?這里有個小的技巧——看中值是位于閉區(qū)間還是開區(qū)間。介值定理和零點(diǎn)存在定理的結(jié)論中的中值分別位于閉區(qū)間和開區(qū)間，而待證的積分中值定理的結(jié)論中的中值位于閉區(qū)間。那么何去何從，已經(jīng)不言自明了。

若順利選中了介值定理，那么往下如何推理呢?我們可以對比一下介值定理和積分中值定理的結(jié)論：介值定理的結(jié)論的等式一邊為某點(diǎn)處的函數(shù)值，而等號另一邊為常數(shù)A。我們自然想到把積分中值定理的結(jié)論朝以上的形式變形。等式兩邊同時除以區(qū)間長度，就能達(dá)到我們的要求。當(dāng)然，變形后等號一側(cè)含有積分的式子的長相還是挺有迷惑性的，要透過現(xiàn)象看本質(zhì)，看清楚定積分的值是一個數(shù)，進(jìn)而定積分除以區(qū)間長度后仍為一個數(shù)。這個數(shù)就相當(dāng)于介值定理結(jié)論中的A。

接下來如何推理，這就考察各位對介值定理的熟悉程度了。該定理條件有二：1.函數(shù)在閉區(qū)間連續(xù)，2.實數(shù)A位于函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值之間，結(jié)論是該實數(shù)能被取到。再看若積分中值定理的條件成立否能推出介值定理的條件成立。函數(shù)的連續(xù)性不難判斷，僅需說明定積分除以區(qū)間長度這個實數(shù)位于函數(shù)的最大值和最小值之間即可。而要考察一個定積分的值的范圍，不難想到比較定理。

高數(shù)定理證明之微積分基本定理:

該部分包括兩個定理：變限積分求導(dǎo)定理和牛頓萊布尼茨公式。

變限積分求導(dǎo)定理的條件是變上限積分函數(shù)的被積函數(shù)在閉區(qū)間連續(xù)，結(jié)論可以形式地理解為變上限積分函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為把積分號扔掉，并用積分上限替換被積函數(shù)的自變量。注意該求導(dǎo)公式對閉區(qū)間成立，而閉區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)要區(qū)別對待：對應(yīng)開區(qū)間上每一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是一類，而區(qū)間端點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)屬單側(cè)導(dǎo)數(shù)?；ㄩ_兩朵，各表一枝。我們先考慮變上限積分函數(shù)在開區(qū)間上任意點(diǎn)x處的導(dǎo)數(shù)。一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)仍用導(dǎo)數(shù)定義考慮。至于導(dǎo)數(shù)定義這個極限式如何化簡，筆者就不能剝奪讀者思考的權(quán)利了。單側(cè)導(dǎo)數(shù)類似考慮。

“牛頓萊布尼茨公式是聯(lián)系微分學(xué)與積分學(xué)的橋梁，它是微積分中最基本的公式之一。它證明了微分與積分是可逆運(yùn)算，同時在理論上標(biāo)志著微積分完整體系的形成，從此微積分成為一門真正的學(xué)科?！边@段話精彩地指出了牛頓萊布尼茨公式在高數(shù)中舉足輕重的作用。而多數(shù)考生能熟練運(yùn)用該公式計算定積分。不過，提起該公式的證明，熟悉的考生并不多。

該公式和變限積分求導(dǎo)定理的公共條件是函數(shù)f在閉區(qū)間連續(xù)，該公式的另一個條件是F為f在閉區(qū)間上的一個原函數(shù)，結(jié)論是f在該區(qū)間上的定積分等于其原函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值的差。該公式的證明要用到變限積分求導(dǎo)定理。若該公式的條件成立，則不難判斷變限積分求導(dǎo)定理的條件成立，故變限積分求導(dǎo)定理的結(jié)論成立。

注意到該公式的另一個條件提到了原函數(shù)，那么我們把變限積分求導(dǎo)定理的結(jié)論用原函數(shù)的語言描述一下，即f對應(yīng)的變上限積分函數(shù)為f在閉區(qū)間上的另一個原函數(shù)。根據(jù)原函數(shù)的概念，我們知道同一個函數(shù)的兩個原函數(shù)之間只差個常數(shù)，所以F等于f的變上限積分函數(shù)加某個常數(shù)C。萬事俱備，只差寫一下。將該公式右側(cè)的表達(dá)式結(jié)合推出的等式變形，不難得出結(jié)論。

考研數(shù)學(xué)高數(shù)重要定理證明3一、行列式部分，強(qiáng)化概念性質(zhì)，熟練行列式的求法

在這里我們需要明確下面幾條：行列式對應(yīng)的是一個數(shù)值，是一個實數(shù)，明確這一點(diǎn)可以幫助我們檢查一些疏漏的低級錯誤；行列式的計算方法中常用的是定義法，比較重要的是加邊法，數(shù)學(xué)歸納法，降階法，利用行列式的性質(zhì)對行列式進(jìn)行恒等變形，化簡之后再按行或列展開。另外范德蒙行列式也是需要掌握的；行列式的`考查方式分為低階的數(shù)字型矩陣和高階抽象行列式的計算、含參數(shù)的行列式的計算等。

二、矩陣部分，重視矩陣運(yùn)算，掌握矩陣秩的應(yīng)用

通過歷年真題分類統(tǒng)計與考點(diǎn)分布，矩陣部分的重點(diǎn)考點(diǎn)集中在逆矩陣、伴隨矩陣及矩陣方程，其內(nèi)容包括伴隨矩陣的定義、性質(zhì)、行列式、逆矩陣、秩，在課堂輔導(dǎo)的時候會重點(diǎn)強(qiáng)調(diào).此外，伴隨矩陣的矩陣方程以及矩陣與行列式的結(jié)合也是需要同學(xué)們熟練掌握的細(xì)節(jié)。涉及秩的應(yīng)用，包含矩陣的秩與向量組的秩之間的關(guān)系，矩陣等價與向量組等價，對矩陣的秩與方程組的解之間關(guān)系的分析，備考需要在理解概念的基礎(chǔ)上，系統(tǒng)地進(jìn)行歸納總結(jié)，并做習(xí)題加以鞏固。

三、向量部分，理解相關(guān)無關(guān)概念，靈活進(jìn)行判定

向量組的線性相關(guān)問題是向量部分的重中之重，也是考研線性代數(shù)每年必出的考點(diǎn)。如何掌握這部分內(nèi)容呢?首先在于對定義概念的理解，然后就是分析判定的重點(diǎn)，即：看是否存在一組全為零的或者有非零解的實數(shù)對。基礎(chǔ)線性相關(guān)問題也會涉及類似的題型：判定向量組的線性相關(guān)性、向量組線性相關(guān)性的證明、判定一個向量能否由一向量組線性表出、向量組的秩和極大無關(guān)組的求法、有關(guān)秩的證明、有關(guān)矩陣與向量組等價的命題、與向量空間有關(guān)的命題。

四、線性方程組部分，判斷解的個數(shù)，明確通解的求解思路

線性方程組解的情況，主要涵蓋了齊次線性方程組有非零解、非齊次線性方程組解的判定及解的結(jié)構(gòu)、齊次線性方程組基礎(chǔ)解系的求解與證明以及帶參數(shù)的線性方程組的解的情況。通解的求法有兩種，若為齊次線性方程組，首先求解方程組的矩陣對應(yīng)的行列式的值，在特征值為零和不為零的情況下分別進(jìn)行討論，為零說明有解，帶入增廣矩陣化簡整理；不為零則有唯一解直接求出即可。若為非齊次方程組，則按照對增廣矩陣的討論進(jìn)行求解。

五、矩陣的特征值與特征向量部分，理解概念方法，掌握矩陣對角化的求解

矩陣的特征值、特征向量部分可劃分為三給我板塊：特征值和特征向量的概念及計算、方陣的相似對角化、實對稱矩陣的正交相似對角化。相關(guān)題型有：數(shù)值矩陣的特征值和特征向量的求法、抽象矩陣特征值和特征向量的求法、判定矩陣的相似對角化、有關(guān)實對稱矩陣的問題。

六、二次型部分，熟悉正定矩陣的判別，了解規(guī)范性和慣性定理

二次型矩陣是二次型問題的一個基礎(chǔ)，且大部分都可以轉(zhuǎn)化為它的實對稱矩陣的問題來處理。另外二次型及其矩陣表示，二次型的秩和標(biāo)準(zhǔn)形等概念、二次型的規(guī)范形和慣性定理也是填空選擇題中的不可或缺的部分，二次型的標(biāo)準(zhǔn)化與矩陣對角化緊密相連，要會用配方法、正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形；掌握二次型正定性的判別方法等等。

考研數(shù)學(xué)高數(shù)必考題型總結(jié)（擴(kuò)展5）——考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)怎樣選擇高數(shù)資料

考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)怎樣選擇高數(shù)資料11.確立目標(biāo)。高等數(shù)學(xué)部分的主體由函數(shù)、極限和連續(xù)、一元函數(shù)的微積分、多元函數(shù)的微積分、微分方程和級數(shù)五大模塊構(gòu)成，從歷年的試題中，高等數(shù)學(xué)的考查重點(diǎn)和難點(diǎn)更多的集中在前兩個模塊，他們既是考試的重點(diǎn)，也是學(xué)好后面模塊的基礎(chǔ)，因此，建議大家在整個寒假期間把復(fù)習(xí)高數(shù)的重點(diǎn)集中在這兩個模塊，根據(jù)個人實際情況，一步步扎實的復(fù)習(xí)，切不可囫圇吞棗，盲目圖快。

2.資料選擇。這一階段復(fù)習(xí)建議以教材為主，數(shù)學(xué)一、二的考生建議使用同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)三同學(xué)推薦趙樹嫄的《微積分》，中國人民大學(xué)出版社。當(dāng)教材習(xí)題對你而言沒有太大困難的時候，可以參考一本基礎(chǔ)階段的考研輔導(dǎo)講義，比較推薦的是國家行政學(xué)院出版社出版的，李永樂的復(fù)習(xí)全書，或北京理工大學(xué)出版社出版，張宇、蔡燧林主編的輔導(dǎo)講義。

3.復(fù)習(xí)任務(wù)。有了目標(biāo)和資料，接下來就是如何復(fù)習(xí)的問題。我們建議大家第一步先細(xì)看教材，以及結(jié)合上課內(nèi)容，逐一突破每個知識點(diǎn)，然后通過習(xí)題去鞏固檢測，需要注意的是，由于考試是以題目是否作對為給分依據(jù)的，建議大家從現(xiàn)在開始就養(yǎng)成將每道題做到底的習(xí)慣，切忌眼高手低，大眼看去感覺會做就不具體算出來。教材習(xí)題解決后，可結(jié)合輔導(dǎo)書，適當(dāng)增加難度。當(dāng)遇到不懂得知識點(diǎn)，要做上記號，及時解決，我們?yōu)榇蠹议_辟了免費(fèi)答疑的頻道，歡迎大家使用。

最后需要強(qiáng)調(diào)的一點(diǎn)是，考研高數(shù)中蘊(yùn)含著三大運(yùn)算：求極限、求導(dǎo)數(shù)和求不定積分，它們是貫穿于整個高等數(shù)學(xué)的靈魂，因此建議大家在寒假集中強(qiáng)化訓(xùn)練這三種運(yùn)算，尤其是不定積分和求極限，它們的難度比較大。對這三種運(yùn)算的熟練程度直接決定了你的考研高數(shù)部分的得分。

考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)怎樣選擇高數(shù)資料21、穩(wěn)定

從每年考試大綱中反映的情況來看，考研統(tǒng)考的三科政治、英語、數(shù)學(xué)當(dāng)中，數(shù)學(xué)的變化情況是很小的。每一年的考點(diǎn)和前一年相比，不論是命題方向還是試題特點(diǎn)上，都是在不斷重復(fù)的。正是由于考研數(shù)學(xué)的穩(wěn)定性，九十年代甚至是八十年代的考研真題與現(xiàn)在的考試試題相比，都沒有發(fā)生很大的.變化。它的穩(wěn)定性這一特點(diǎn)，對我們考生的復(fù)習(xí)是很有好處的，因為這表示在新的大綱還沒有出來之前，大家完全可以把去年的大綱作為指路明燈去進(jìn)行復(fù)習(xí)。

2、基礎(chǔ)

為什么說考研數(shù)學(xué)是基礎(chǔ)的呢?我們來看一下考試大綱對于考研數(shù)學(xué)是怎么定義的：考研數(shù)學(xué)，考查的是考生對基本概念的理解，以及運(yùn)用數(shù)學(xué)的基本方法和基本理論，解決數(shù)學(xué)的基本問題的能力。這一句話充分表達(dá)了考研數(shù)學(xué)考查是每個學(xué)科內(nèi)最基本的內(nèi)容和最基本的考點(diǎn)，這也說明不需要大家對數(shù)學(xué)有多么深刻的認(rèn)識，只需要理解、掌握每個學(xué)科內(nèi)最基本、最簡單的內(nèi)容就可以了，這也是我們考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的基本方向：以基礎(chǔ)為重。其實這也從側(cè)面回答了考研數(shù)學(xué)難不難的問題，至少從考試大綱反映的情況來看是不會特別難的。

3、綜合

這個特點(diǎn)說明雖然考研數(shù)學(xué)考查的都是很基礎(chǔ)的點(diǎn)，但是不會孤立的、分開的去考查大家，而是會把很多知識點(diǎn)融合到一道題目當(dāng)中去考核大家。題目的綜合性一上來，對大家的要求也就很高了。這就要求大家在復(fù)習(xí)的過程中既要，又要系統(tǒng)，也就是說大家不僅要掌握各個考點(diǎn)，還要理解考點(diǎn)和考點(diǎn)之間的聯(lián)系，只有做好了這兩點(diǎn)，才能有得高分的可能。

4、題量大

考研數(shù)學(xué)的試卷一共有23道題，考試時間是180分鐘，看起來題量不是很大，時間很長，但從每年實際考試的情況來看，能夠完完整整做完整套試卷的考生是不超過10%的，絕大部分考生都是有會做但是沒有時間做的題目，這樣的話就會影響大家最后的成績了。關(guān)于這個問題，沒有任何技巧可以避免，大家只能做題，做題，再做題，通過做題加深對知識點(diǎn)的理解，從而提高解題的速度。在考試中做到不但要會，更要快，不但要掌握，更要熟練!

以上就是考研數(shù)學(xué)的四大基本特點(diǎn)。所謂知己知彼百戰(zhàn)不殆，知道了我們要面臨的問題，我們才能有針對性的解決辦法?？佳袛?shù)學(xué)到底怎么復(fù)習(xí)呢?其實答案就隱藏在這幾個基本特點(diǎn)中，概括起來就是：先打好基礎(chǔ)，再學(xué)會綜合應(yīng)用，最后提高熟練度，加快解題速度。這就是我們復(fù)習(xí)考研數(shù)學(xué)的基本方向。

考研數(shù)學(xué)高數(shù)必考題型總結(jié)（擴(kuò)展6）——考研數(shù)學(xué)概率重難點(diǎn)及?？碱}型分析

考研數(shù)學(xué)概率重難點(diǎn)及常考題型分析1一、隨機(jī)事件與概率

重點(diǎn)難點(diǎn)：

重點(diǎn)：概率的定義與性質(zhì)，條件概率與概率的乘法公式，事件之間的關(guān)系與運(yùn)算，全概率公式與貝葉斯公式

難點(diǎn)：隨機(jī)事件的概率，乘法公式、全概率公式、Bayes公式以及對貝努利概型的事件的概率的計算

常考題型：

事件關(guān)系與概率的性質(zhì)

古典概型與幾何概型

乘法公式和條件概率公式

全概率公式和Bayes公式

事件的獨(dú)立性

貝努利概型

二、隨機(jī)變量及其分布

重點(diǎn)難點(diǎn)

重點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量概率分布及其性質(zhì)，連續(xù)型隨機(jī)變量概率密度及其性質(zhì)，隨機(jī)變量分布函數(shù)及其性質(zhì)，常見分布，隨機(jī)變量函數(shù)的分布

難點(diǎn)：不同類型的隨機(jī)變量用適當(dāng)?shù)母怕史绞降拿枋?，隨機(jī)變量函數(shù)的分布

?？碱}型

分布函數(shù)的概念及其性質(zhì)

求隨機(jī)變量的分布律、分布函數(shù)

利用常見分布計算概率

常見分布的逆問題

隨機(jī)變量函數(shù)的分布

三、多維隨機(jī)變量及其分布

重點(diǎn)難點(diǎn)

重點(diǎn)：二維隨機(jī)變量聯(lián)合分布及其性質(zhì)，二維隨機(jī)變量聯(lián)合分布函數(shù)及其性質(zhì)，二維隨機(jī)變量的邊緣分布和條件分布，隨機(jī)變量的獨(dú)立性，個隨機(jī)變量的簡單函數(shù)的分布

難點(diǎn)：多維隨機(jī)變量的描述方法、兩個隨機(jī)變量函數(shù)的分布的求解

?？碱}型

二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布、邊緣分布和條件分布

二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布、邊緣分布和條件分布

二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布

二維隨機(jī)變量取值的概率計算

隨機(jī)變量的獨(dú)立性

四、隨機(jī)變量的數(shù)字特征

重點(diǎn)難點(diǎn)

重點(diǎn)：隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望、方差的概念與性質(zhì)，隨機(jī)變量矩、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)

難點(diǎn)：各種數(shù)字特征的概念及算法

?？碱}型

數(shù)學(xué)期望與方差的計算

一維隨機(jī)變量函數(shù)的期望與方差

二維隨機(jī)變量函數(shù)的期望與方差

協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的計算

隨機(jī)變量的獨(dú)立性與不相關(guān)性

考研數(shù)學(xué)概率重難點(diǎn)及?？碱}型分析2考研數(shù)學(xué)的秘訣就是靠練習(xí)?？佳袛?shù)學(xué)做題的`具體要求是：求穩(wěn)而不求多、不求快，力爭做到做完此階段應(yīng)該做完的題，對每個題的知識點(diǎn)和相應(yīng)的題型都有一定掌握，要多思考，做到舉一反三。

至于怎么做題、做什么樣的題，我們建議考生要對所復(fù)習(xí)用的一本資料上的例題和每個章節(jié)后的習(xí)題認(rèn)真練習(xí)，做到做一道題保證會一道題。近幾年考研數(shù)學(xué)的一個命題趨勢是：難題偏題怪題沒有了，取而代之的是基礎(chǔ)題型，至少占有60%.中檔題占30%，難題大約占有10%，而對于中檔題或者較難題，如果對知識點(diǎn)掌握扎實熟練的話，那么難題在此也不是很難的了。所以關(guān)鍵是要抓基礎(chǔ)，打牢基礎(chǔ)，才能在考試中取得高分。

同學(xué)們所選的考研歷年真題一定都是經(jīng)過精挑細(xì)選的，是對每個知識點(diǎn)最基礎(chǔ)的體現(xiàn)，掌握基礎(chǔ)知識掌握這些題型，能夠扎實地把知識點(diǎn)運(yùn)用于解題的過程中，就能很好地掌握和運(yùn)用知識點(diǎn)，再聯(lián)系相關(guān)做過的真題，大致了解具體的出題思路和出題方向，對做題技巧也會有一些心得。

另外，建議準(zhǔn)備一個“錯題集”，將自己在復(fù)習(xí)過程中發(fā)現(xiàn)的錯題或不會做的題編寫起來，分析一下做錯或者不會做的原因在哪個方面，是對題型不熟悉，還是對知識點(diǎn)不清楚，還是因為沒有記清楚公式等等。隔一段時間回顧一下“錯題集”中的內(nèi)容，對知識的鞏固和提高都是很有幫助的。

數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)應(yīng)采取矩陣式的學(xué)習(xí)方法，每天的復(fù)習(xí)時間應(yīng)保證在3個小時左右。雖然只有三個月左右的時間了，但是此階段數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)仍然不能松懈，仍然需要大家堅持不懈，持之以恒，這樣到積累到最后，一定會使你受益非淺，你的努力加上正確的學(xué)習(xí)方法，相信大家在數(shù)學(xué)考試中一定會取得很好的成績。

考研數(shù)學(xué)高數(shù)必考題型總結(jié)（擴(kuò)展7）——考研數(shù)學(xué)高數(shù)易錯知識點(diǎn)盤點(diǎn)

考研數(shù)學(xué)高數(shù)易錯知識點(diǎn)盤點(diǎn)11.函數(shù)連續(xù)是函數(shù)極限存在的充分條件。若函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)，則該函數(shù)在該點(diǎn)必有極限。若函數(shù)在某點(diǎn)不連續(xù)，則該函數(shù)在該點(diǎn)不一定無極限。

2,若函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)，則函數(shù)在該點(diǎn)一定連續(xù)。但是如果函數(shù)不可導(dǎo)，不能推出函數(shù)在該點(diǎn)一定不連續(xù)。

3.基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的，而初等函數(shù)在其定義區(qū)間上是連續(xù)的。

4.在一元函數(shù)中，駐點(diǎn)可能是極值點(diǎn)，也可能不是極值點(diǎn)。函數(shù)的極值點(diǎn)必是函數(shù)的駐點(diǎn)或?qū)?shù)不存在的點(diǎn)。

5.設(shè)函數(shù)y=f在x=a處可導(dǎo)，則函數(shù)y=f的絕對值在x=a處不可導(dǎo)的充分條件是：f=0,f'≠0

6.無窮小量與有界變量之積仍是無窮小量。

7.可導(dǎo)是對定義域內(nèi)的點(diǎn)而言的，處處可導(dǎo)則存在導(dǎo)函數(shù)，只要一個函數(shù)在定義域內(nèi)某一點(diǎn)不可導(dǎo)，那么就不存在導(dǎo)函數(shù)，即使該函數(shù)在其它各處均可導(dǎo)。

8.在求極限的問題中，極限包括函數(shù)的極限和數(shù)列的極限，但在考試中一般出的都是函數(shù)的極限，求函數(shù)的極限中，主要是掌握公式，有些不常見的公式一定要記熟，這種類型的題一般屬于簡單題，但往更難一點(diǎn)的方向出題的話，它會和變上限的定積分聯(lián)系在一起出題。

9.在運(yùn)用兩個重要極限求函數(shù)極限的時候，一定要首先把所求的式子變換成類似于兩個重要極限的形式，其次還需要看自變量的取極限的范圍是否和兩個重要極限一樣。

10.介值定理和零點(diǎn)定理的巧妙運(yùn)用關(guān)鍵在于，觀察和變換所要證明的式子的形式，構(gòu)造輔助函數(shù)。

考研數(shù)學(xué)高數(shù)易錯知識點(diǎn)盤點(diǎn)2一、經(jīng)典教材

考研參考資料必備的就是經(jīng)典教材，我們需要去要報考學(xué)校的官網(wǎng)看下16年的招生目錄，看下學(xué)下所要求的書目是哪些。這里需要解釋的是17年和16年的參考資料是不會有太大變化的，可以到正規(guī)書店購買。

經(jīng)典教材是對本學(xué)科知識的高度濃縮和概括，提出本學(xué)科的“真問題”，引導(dǎo)你去追問，去思考。比如說同濟(jì)版的《高等數(shù)學(xué)》基本上考研數(shù)學(xué)要用到的都是這本書。精看一本書應(yīng)該比較好，要把書上所有的東西都要摸透。

二、報考院校導(dǎo)師著作

就目標(biāo)院校的導(dǎo)師研究方向而言，各個導(dǎo)師往往有自己的關(guān)注方向和研究領(lǐng)域，這些關(guān)注點(diǎn)有可能就是當(dāng)年的出題點(diǎn)。另外，目標(biāo)院校導(dǎo)師近幾年出版的書籍、發(fā)表的文章等加入自己的論述或新的觀點(diǎn)，這些不一樣的地方，是需要格外關(guān)注的，這些可以看看書評。

選擇這類資料主要是對復(fù)試很有幫助，我們可以很好地了解導(dǎo)師的研究方向和興趣，和導(dǎo)師溝通起來容易引起共鳴，那導(dǎo)師選你的機(jī)會就會很大。

三、考研真題

作為考研必備的參考資料之一，真題是不容忽視的。真題可以幫助我們了解考試題型，考研的知識點(diǎn)以及重難點(diǎn)?？荚囁疾斓姆秶呛苡邢薜?，所以我們必須建立在對歷年真題的全面而深入的分析基礎(chǔ)上，把握好重點(diǎn)，迎戰(zhàn)考研。

四、其它相關(guān)資料

除了教材和真題，我們還需要一些其它的輔助資料，比如模擬題什么的。蔡子華的復(fù)習(xí)大全，《基礎(chǔ)過關(guān)660》，李永樂系列的資料等。每個資料都有我們值得關(guān)注的地方，這些資料在各自的學(xué)科領(lǐng)域中，都會口耳相傳，有著良好的.口碑。

對于參考書問題，我們還是要注意一下。參考資料不在多而在“精”，我們要把每本參考資料都摸索透徹，如果拿錯了工具，再怎么用力也不會達(dá)到想要的效果的。選擇對了參考資料是有助于我們考研成功的。希望大家買好參考書，好好復(fù)習(xí)。

考研數(shù)學(xué)高數(shù)必考題型總結(jié)（擴(kuò)展8）——考研數(shù)學(xué)高數(shù)重要定理證明復(fù)習(xí)要點(diǎn)

考研數(shù)學(xué)高數(shù)重要定理證明復(fù)習(xí)要點(diǎn)1高數(shù)定理證明之微分中值定理:

這一部分內(nèi)容比較豐富，包括費(fèi)馬引理、羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理和泰勒中值定理。除泰勒中值定理外，其它定理要求會證。

費(fèi)馬引理的條件有兩個：1.f'存在2.f為f的極值，結(jié)論為f'=0?？紤]函數(shù)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，用什么方法?自然想到導(dǎo)數(shù)定義。我們可以按照導(dǎo)數(shù)定義寫出f'的極限形式。往下如何推理?關(guān)鍵要看第二個條件怎么用。“f為f的極值”翻譯成數(shù)學(xué)語言即ff0)，對x0的某去心鄰域成立。結(jié)合導(dǎo)數(shù)定義式中函數(shù)部分表達(dá)式，不難想到考慮函數(shù)部分的正負(fù)號。若能得出函數(shù)部分的符號，如何得到極限值的符號呢?極限的保號性是個橋梁。

費(fèi)馬引理中的“引理”包含著引出其它定理之意。那么它引出的定理就是我們下面要討論的羅爾定理。若在微分中值定理這部分推舉一個考頻最高的，那羅爾定理當(dāng)之無愧。該定理的條件和結(jié)論想必各位都比較熟悉。條件有三：“閉區(qū)間連續(xù)”、“開區(qū)間可導(dǎo)”和“端值相等”，結(jié)論是在開區(qū)間存在一點(diǎn)，使得函數(shù)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0。

該定理的證明不好理解，需認(rèn)真體會：條件怎么用?如何和結(jié)論建立聯(lián)系?當(dāng)然，我們現(xiàn)在討論該定理的證明是“馬后炮”式的：已經(jīng)有了證明過程，我們看看怎么去理解掌握。如果在羅爾生活的時代，證出該定理，那可是十足的創(chuàng)新，是要流芳百世的。

閑言少敘，言歸正傳。既然我們討論費(fèi)馬引理的作用是要引出羅爾定理，那么羅爾定理的證明過程中就要用到費(fèi)馬引理。我們對比這兩個定理的結(jié)論，不難發(fā)現(xiàn)是一致的：都是函數(shù)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0。話說到這，可能有同學(xué)要說：羅爾定理的證明并不難呀，由費(fèi)馬引理得結(jié)論不就行了。大方向?qū)Γ^程沒這么簡單。起碼要說清一點(diǎn)：費(fèi)馬引理的條件是否滿足，為什么滿足?

前面提過費(fèi)馬引理的條件有兩個——“可導(dǎo)”和“取極值”，“可導(dǎo)”不難判斷是成立的，那么“取極值”呢?似乎不能由條件直接得到。那么我們看看哪個條件可能和極值產(chǎn)生聯(lián)系。注意到羅爾定理的第一個條件是函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)。我們知道閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)有很好的性質(zhì)，哪條性質(zhì)和極值有聯(lián)系呢?不難想到最值定理。

那么最值和極值是什么關(guān)系?這個點(diǎn)需要想清楚，因為直接影響下面推理的走向。結(jié)論是：若最值取在區(qū)間內(nèi)部，則最值為極值;若最值均取在區(qū)間端點(diǎn)，則最值不為極值。那么接下來，分兩種情況討論即可：若最值取在區(qū)間內(nèi)部，此種情況下費(fèi)馬引理條件完全成立，不難得出結(jié)論;若最值均取在區(qū)間端點(diǎn)，注意到已知條件第三條告訴我們端點(diǎn)函數(shù)值相等，由此推出函數(shù)在整個閉區(qū)間上的最大值和最小值相等，這意味著函數(shù)在整個區(qū)間的表達(dá)式恒為常數(shù)，那在開區(qū)間上任取一點(diǎn)都能使結(jié)論成立。

拉格朗日定理和柯西定理是用羅爾定理證出來的。掌握這兩個定理的證明有一箭雙雕的效果：真題中直接考過拉格朗日定理的證明，若再考這些原定理，那自然駕輕就熟;此外，這兩個的定理的證明過程中體現(xiàn)出來的基本思路，適用于證其它結(jié)論。

以拉格朗日定理的證明為例，既然用羅爾定理證，那我們對比一下兩個定理的結(jié)論。羅爾定理的結(jié)論等號右側(cè)為零。我們可以考慮在草稿紙上對拉格朗日定理的結(jié)論作變形，變成羅爾定理結(jié)論的形式，移項即可。接下來，要從變形后的式子讀出是對哪個函數(shù)用羅爾定理的結(jié)果。這就是構(gòu)造輔助函數(shù)的過程——看等號左側(cè)的式子是哪個函數(shù)求導(dǎo)后，把x換成中值的結(jié)果。這個過程有點(diǎn)像犯罪現(xiàn)場調(diào)查：根據(jù)這個犯罪現(xiàn)場，反推嫌疑人是誰。當(dāng)然，構(gòu)造輔助函數(shù)遠(yuǎn)比破案要簡單，簡單的題目直接觀察;復(fù)雜一些的，可以把中值換成x，再對得到的函數(shù)求不定積分。

高數(shù)定理證明之求導(dǎo)公式:

20xx年真題考了一個證明題：證明兩個函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)公式。幾乎每位同學(xué)都對這個公式怎么用比較熟悉，而對它怎么來的較為陌生。實際上，從授課的角度，這種在20xx年前從未考過的基本公式的證明，一般只會在基礎(chǔ)階段講到。如果這個階段的考生帶著急功近利的心態(tài)只關(guān)注結(jié)論怎么用，而不關(guān)心結(jié)論怎么來的，那很可能從未認(rèn)真思考過該公式的證明過程，進(jìn)而在考場上變得很被動。這里給20xx考研學(xué)子提個醒：要重視基礎(chǔ)階段的復(fù)習(xí)，那些真題中未考過的重要結(jié)論的證明，有可能考到，不要放過。

當(dāng)然，該公式的證明并不難。先考慮f*g在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)。函數(shù)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)自然用導(dǎo)數(shù)定義考察，可以按照導(dǎo)數(shù)定義寫出一個極限式子。該極限為“0分之0”型，但不能用洛必達(dá)法則，因為分子的導(dǎo)數(shù)不好算。利用數(shù)學(xué)上常用的拼湊之法，加一項，減一項。這個“無中生有”的項要和前后都有聯(lián)系，便于提公因子。之后分子的四項兩兩配對，除以分母后考慮極限，不難得出結(jié)果。再由x0的任意性，便得到了f*g在任意點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)公式。

高數(shù)定理證明之積分中值定理:

該定理條件是定積分的被積函數(shù)在積分區(qū)間上連續(xù)，結(jié)論可以形式地記成該定積分等于把被積函數(shù)拎到積分號外面，并把積分變量x換成中值。如何證明?可能有同學(xué)想到用微分中值定理，理由是微分相關(guān)定理的結(jié)論中含有中值?？梢园凑沾怂悸吠路治?，不過更易理解的思路是考慮連續(xù)相關(guān)定理，理由更充分些：上述兩個連續(xù)相關(guān)定理的結(jié)論中不但含有中值而且不含導(dǎo)數(shù)，而待證的積分中值定理的結(jié)論也是含有中值但不含導(dǎo)數(shù)。

若我們選擇了用連續(xù)相關(guān)定理去證，那么到底選擇哪個定理呢?這里有個小的技巧——看中值是位于閉區(qū)間還是開區(qū)間。介值定理和零點(diǎn)存在定理的結(jié)論中的中值分別位于閉區(qū)間和開區(qū)間，而待證的積分中值定理的結(jié)論中的中值位于閉區(qū)間。那么何去何從，已經(jīng)不言自明了。

若順利選中了介值定理，那么往下如何推理呢?我們可以對比一下介值定理和積分中值定理的結(jié)論：介值定理的結(jié)論的等式一邊為某點(diǎn)處的函數(shù)值，而等號另一邊為常數(shù)A。我們自然想到把積分中值定理的結(jié)論朝以上的形式變形。等式兩邊同時除以區(qū)間長度，就能達(dá)到我們的要求。當(dāng)然，變形后等號一側(cè)含有積分的式子的長相還是挺有迷惑性的，要透過現(xiàn)象看本質(zhì)，看清楚定積分的值是一個數(shù)，進(jìn)而定積分除以區(qū)間長度后仍為一個數(shù)。這個數(shù)就相當(dāng)于介值定理結(jié)論中的A。

接下來如何推理，這就考察各位對介值定理的熟悉程度了。該定理條件有二：1.函數(shù)在閉區(qū)間連續(xù)，2.實數(shù)A位于函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值之間，結(jié)論是該實數(shù)能被取到。再看若積分中值定理的條件成立否能推出介值定理的條件成立。函數(shù)的連續(xù)性不難判斷，僅需說明定積分除以區(qū)間長度這個實數(shù)位于函數(shù)的最大值和最小值之間即可。而要考察一個定積分的值的范圍，不難想到比較定理。

高數(shù)定理證明之微積分基本定理:

該部分包括兩個定理：變限積分求導(dǎo)定理和牛頓萊布尼茨公式。

變限積分求導(dǎo)定理的條件是變上限積分函數(shù)的被積函數(shù)在閉區(qū)間連續(xù)，結(jié)論可以形式地理解為變上限積分函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為把積分號扔掉，并用積分上限替換被積函數(shù)的自變量。注意該求導(dǎo)公式對閉區(qū)間成立，而閉區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)要區(qū)別對待：對應(yīng)開區(qū)間上每一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是一類，而區(qū)間端點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)屬單側(cè)導(dǎo)數(shù)。花開兩朵，各表一枝。我們先考慮變上限積分函數(shù)在開區(qū)間上任意點(diǎn)x處的導(dǎo)數(shù)。一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)仍用導(dǎo)數(shù)定義考慮。至于導(dǎo)數(shù)定義這個極限式如何化簡，筆者就不能剝奪讀者思考的權(quán)利了。單側(cè)導(dǎo)數(shù)類似考慮。

“牛頓萊布尼茨公式是聯(lián)系微分學(xué)與積分學(xué)的橋梁，它是微積分中最基本的公式之一。它證明了微分與積分是可逆運(yùn)算，同時在理論