高考2023必勝高考數學必勝秘訣在哪――概念方法題型易誤點

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――概念、方法、題型、易誤點及應試技巧總結

基本概念、公式及方法是數學解題的基礎工具和基本技能，為此作為臨考前的高三學生，務必首先要把握高中數學中的概念、公式及基本解題方法，其次要熟悉一些基此題型，明確解題中的易誤點，還應了解一些常用結論，最終還要把握一些的應試技巧。本資料對高中數學所涉及到的概念、公式、常見題型、常用方法和結論及解題中的易誤點，按章節(jié)進行了系統的整理，最終闡述了考試中的一些常用技巧，相信通過對本資料的認真研讀，一定能大幅度地提升高考數學成績。

一、集合與簡易規(guī)律

1.集合元素具有確定性、無序性和互異性.在求有關集合問題時，特別要注意元素的互異性，如（1）設P、Q為兩個非空實數集合，定義集合P+Q={a?b|a?P,b?Q}，若（答：8）（2）設P?{0,2,5}，Q?{1,2,6}，則P+Q中元素的有________個。

U?{(x,y)|x?R,y?R}，A?{(x,y)|2x?y?m?0}，B?{(x,y)|x?y?n?0}，那么點P(2,3)?A?(CuB)的充要條件是________（答：m??1,n?5）；（3）非空集合

，這樣的S共有_____個（答：7）S?{1,2,3,4,5}，且滿足“若a?S，則6?a?S〞

2.遇到A?B??時，你是否注意到“極端〞狀況：A??或B??；同樣當A?B時，你是否忘掉A??的情形？要注意到?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

2如集合A?{x|ax?1?0}，B??x|x?3x?2?0?，且A?B?B，則實數a＝______.

1）23.對于含有n個元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的個數

nnn依次為2，2?12?2.如滿足{1,2}?2n?1，，?M?{1,2,3,4,5}集合M有______個。

（答：a?0,1,（答：7）

4.集合的運算性質：⑴A?B?A?B?A；⑵A?B?B?B?A；⑶A?B?

痧uB???uA?B；⑸euA?B?U?A?B；⑹CU(A?B)uA?uB；⑷A?痧?CUA?CUB；⑺CU(A?B)?CUA?CUB.如設全集U?{1,2,3,4,5}，若A?B?{2}，(CUA)?B?{4}，(CUA)?(CUB)?{1,5}，則A＝_____，B＝___.（答：A?{2,3}，B?{2,4}）

5.研究集合問題，一定要理解集合的意義――抓住集合的代表元素。如：?x|y?lgx?—函數的定義域；?y|y?lgx?—函數的值域；?(x,y)|y?lgx?—函數圖象上的點集，如

（1）設集合M?{x|y?x?2}，集合N＝?y|y?x2,x?M?，則M?N?___（答：????M?{a|a?(1,2)??(3,4),??R}N?{a|a?(2,3)??(4,5)，；（2）設集合，[4,??)）

??R}，則M?N?_____（答：{(?2,?2)}）

6.數軸和韋恩圖是進行交、并、補運算的有力工具，在具體計算時不要忘了集合本身和空集這兩種特別狀況，補集思想常運用于解決否定型或正面較繁雜的有關問題。如已知函數f(x)?4x?2(p?2)x?2p?p?1在區(qū)間[?1,1]上至少存在一個實數c，使

223f(c)?0，求實數p的取值范圍。（答：(?3,)）

27.復合命題真假的判斷?！盎蛎}〞的真假特點是“一真即真，要假全假〞；“且命題〞的真假特點是“一假即假，要真全真〞；“非命題〞的真假特點是“真假相反〞。如在以下說法中：⑴“p且q〞為真是“p或q〞為真的充分不必要條件；⑵“p且q〞為假是“p或q〞為真的充分不必要條件；⑶“p或q〞為真是“非p〞為假的必要不充分條件；⑷“非

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p〞為真是“p且q〞為假的必要不充分條件。其中正確的是__________（答：⑴⑶）

8.四種命題及其相互關系。若原命題是“若p則q〞，則逆命題為“若q則p〞；否命題為“若﹁p則﹁q〞；逆否命題為“若﹁q則﹁p〞。提醒：（1）互為逆否關系的命題是等價命題，即原命題與逆否命題同真、同假；逆命題與否命題同真同假。但原命題與逆命題、否命題都不等價；（2）在寫出一個含有“或〞、“且〞命題的否命題時，要注意“非或即且，非且即或〞；（3）要注意區(qū)別“否命題〞與“命題的否定〞：否命題要對命題的條件和結論都否定，而命題的否定僅對命題的結論否定；（4）對于條件或結論是不等關系或否定式的命題，一般利用等價關系“A?B?B?A〞判斷其真假，這也是反證法的理論依據。（5）哪些命題

0

宜用反證法？如（1）“在△ABC中，若∠C=90，則∠A、∠B都是銳角〞的否命題為（答：在?ABC中，若?C?90，則?A,?B不都是銳角）；（2）已知函數

?f(x)?ax?x?2,a?1，證明方程f(x)?0沒有負數根。x?19.充要條件。關鍵是分清條件和結論（劃主謂賓），由條件可推出結論，條件是結論成立的充分條件；由結論可推出條件，則條件是結論成立的必要條件。從集合角度解釋，若A?B，則A是B的充分條件；若B?A，則A是B的必要條件；若A=B，則A是B的充要條件。如（1）給出以下命題：①實數a?0是直線ax?2y?1與2ax?2y?3平行的充要條件；②若a,b?R,ab?0是a?b?a?b成立的充要條件；③已知x,y?R，“若；④“若a和b都xy?0，則x?0或y?0〞的逆否命題是“若x?0或y?0則xy?0〞是偶數，則a?b是偶數〞的否命題是假命題。其中正確命題的序號是_______（答：①④）；

2（2）設命題p：|4x?3|?1；命題q:x?(2a?1)x?a(a?1)?0。若┐p是┐q的必要而

1不充分的條件，則實數a的取值范圍是（答：[0,]）

210.一元一次不等式的解法：通過去分母、去括號、移項、合并同類項等步驟化為ax?bbb的形式，若a?0,則x?；若a?0,則x?；若a?0,則當b?0時，x?R；當b?0aa1時，x??。如已知關于x的不等式(a?b)x?(2a?3b)?0的解集為(??,?)，則關于x3的不等式(a?3b)x?(b?2a)?0的解集為_______（答：{x|x??3}）

11.一元二次不等式的解集（聯系圖象）。特別當??0和??0時的解集你會正確表示

2嗎？設a?0,x1,x2是方程ax?bx?c?0的兩實根，且x1?x2，則其解集如下表：

??0??0??0ax2?bx?c?0ax2?bx?c?0ax2?bx?c?0ax2?bx?c?0{x|x?x1或x?x2}{x|x?x1或x?x2}{x|x1?x?x2}{x|x1?x?x2}{x|x??Rb}2aRR?{x|x??b}2a??2如解關于x的不等式：ax?(a?1)x?1?0。（答：當a?0時，x?1；當a?0時，

111x?1或x?；當0?a?1時，1?x?；當a?1時，x??；當a?1時，?x?1）

aaa212.對于方程ax?bx?c?0有實數解的問題。首先要探討最高次項系數a是否為0，

2其次若a?0，則一定有??b?4ac?0。對于多項式方程、不等式、函數的最高次項中含有參數時，你是否注意到同樣的情形？如：（1）?a?2?x2?2?a?2?x?1?0對一切x?R恒成立，則a的取值范圍是_______（答：(1,2]）；（2）關于x的方程f(x)?k有解的條

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件是什么？(答：k?D，其中D為f(x)的值域)，特別地，若在[0,?2]內有兩個不等的實

根滿足等式cos2x?3sin2x?k?1，則實數k的范圍是_______.（答：[0,1)）

13.一元二次方程根的分布理論。方程f(x)?ax?bx?c?0(a?0)在(k,??)上有兩根、在(m,n)上有兩根、在(??,k)和(k,??)上各有一根的充要條件分別是什么？

2???0?f(m)?0?、f(k)?0）。根的分布理論成立的?f(n)?0??m??b?n?2a前提是開區(qū)間，若在閉區(qū)間[m,n]探討方程f(x)?0有實數解的狀況，可先利用在開區(qū)間(m,n)上實根分布的狀況，得出結果，再令x?n和x?m檢查端點的狀況．如實系數方程

b?2的取值范圍是x2?ax?2b?0的一根大于0且小于1，另一根大于1且小于2，則

a?11_________（答：（，1））

4????0?（?f(k)?0、?b???k?2ay(a>0)Okx1x2x14.二次方程、二次不等式、二次函數間的聯系你了解了嗎？二次方程ax?bx?c?0的兩個根即為二次不等式ax?bx?c?0(?0)的解集的端點值，也是二次函數

223如（1）不等式x?ax?的解集是(4,b)，y?ax2?bx?c的圖象與x軸的交點的橫坐標。

212則a=__________（答：）；（2）若關于x的不等式ax?bx?c?0的解集為

82其中m?n?0，則關于x的不等式cx?bx?a?0的解集為________(??,m)?(n,??)，112（答：(??,?)?(?,??)）；（3）不等式3x?2bx?1?0對x?[?1,2]恒成立，則實

mn數b的取值范圍是_______（答：?）。

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二、函數

1.映射f:A?B的概念。在理解映射概念時要注意：⑴A中元素必需都有象且唯一；⑵B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。如（1）設f:M?N是集合M到N的映射，以下說法正確的是A、M中每一個元素在N中必有象B、N中每一個元素在M中必有原象C、N中每一個元素在M中的原象是唯一的D、N是M中所在元素的象的集合（答：A）；（2）點(a,b)在映射f的作用下的象是(a?b,a?b)，則在f作用下點(3,1)的原象為點________（答：（2，－1））；（3）若A?{1,2,3,4}，B?{a,b,c}，

則A到B的映射有個，（答：a,b,c?R，B到A的映射有個，A到B的函數有個81,64,81）；（4）設集合M?{?1,0,1},N?{1,2,3,4,5}，映射f:M?N滿足條件“對任

2意的x?M，x?f(x)是奇數〞，這樣的映射f有____個（答：12）；（5）設f:x?x是集合A到集合B的映射，若B={1,2}，則A?B一定是_____（答：?或{1}）.

2.函數f:A?B是特別的映射。特別在定義域A和值域B都是非空數集！據此可知函數圖像與x軸的垂線至多有一個公共點，但與y軸垂線的公共點可能沒有，也可能有任意個。

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如（1）已知函數f(x)，x?F，那么集合{(x,y)|y?f(x),x?F}?{(x,y)|x?1}中所含元素的個數有個（答：0或1）；（2）若函數y?12x?2x?4的定義域、值域都2是閉區(qū)間[2,2b]，則b＝（答：2）

3.同一函數的概念。構成函數的三要素是定義域，值域和對應法則。而值域可由定義域和對應法則唯一確定，因此當兩個函數的定義域和對應法則一致時，它們一定為同一函數。如若一系列函數的解析式一致，值域一致，但其定義域不同，則稱這些函數為“天一函數〞，那么解析式為y?x，值域為{4，1}的“天一函數〞共有______個（答：9）

4.求函數定義域的常用方法（在研究函數問題時要樹立定義域優(yōu)先的原則）：（1）根據解析式要求如偶次根式的被開方大于零，分母不能為零，對數logax中

2x?0,a?0且a?1，三角形中0?A??,最大角??3，最小角??3等。如（1）函數

y?x?4?x?lg?x?3?2的定義域是____(答：(0,2)?(2,3)?(3,4))；（2）若函數y?kx?7kx2?4kx?3?3?（3）函數f(x)的定義域是[a,b]，b??a?0，?)；4??則函數F(x)?f(x)?f(?x)的定義域是__________(答：[a,?a])；（4）設函數

的定義域為R，則k?_______(答：?0,f(x)?lg(ax2?2x?1)，①若f(x)的定義域是R，求實數a的取值范圍；②若f(x)的值域是R，求實數a的取值范圍（答：①a?1；②0?a?1）

（2）根據實際問題的要求確定自變量的范圍。

（3）復合函數的定義域：若已知f(x)的定義域為[a,b],其復合函數f[g(x)]的定義域由不等式a?g(x)?b解出即可；若已知f[g(x)]的定義域為[a,b],求f(x)的定義域，相當于當x?[a,b]時，求g(x)的值域（即f(x)的定義域）。如（1）若函數y?f(x)的定義域為?,2?，則f(log2x)的定義域為__________（答：x|2?1?2?x?4）；（2）若函數

??．f(x2?1)的定義域為[?2,1)，則函數f(x)的定義域為________（答：[1,5]）

??5.求函數值域（最值）的方法：

（1）配方法――二次函數（二次函數在給出區(qū)間上的最值有兩類：一是求閉區(qū)間[m,n]上的最值；二是求區(qū)間定（動），對稱軸動（定）的最值問題。求二次函數的最值問題，勿忘數形結合，注意“兩看〞：一看開口方向；二看對稱軸與所給區(qū)間的相對位置關系），如（1）求函數y?x?2x?5,x?[?1,2]的值域（答：[4,8]）；（2）當x?(0,2]時，函數

21f(x)?ax2?4(a?1)x?3在x?2時取得最大值，則a的取值范圍是___（答：a??）；

2x?b?12?12（3）已知f(x)?3(2?x?4)的圖象過點（2,1），則F(x)?[f(x)]?f(x)的值域

為______（答：[2,5]）

（2）換元法――通過換元把一個較繁雜的函數變?yōu)楹唵我浊笾涤虻暮瘮?，其函數特征是函數解析式含有根式或三角函數公式模型，如?）y?2sinx?3cosx?1的值域為_____（答：[?4,217x?1?x?1；（2）y?2]）

8的值域為_____（答：(3,??)）（令x?1?t，

；（3）y?n的isxocs?nisxocs?x?xt?0。運用換元法時，要特別要注意新元t的范圍）

12[1,32?4]）值域為____（答：；（4）y?x?4?9?x的值域為____（答：；[?1,?2]）

2（3）函數有界性法――直接求函數的值域困難時，可以利用已學過函數的有界性，來

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確定所求函數的值域，最常用的就是三角函數的有界性，如求函數y?2sin??1，

1?sin?3x2sin??113，的值域（答：、（0,1）、）；y?y?(??,](??,]x1?31?cos?22（4）單調性法――利用一次函數，反比例函數，指數函數，對數函數等函數的單調性，

19x?5，y?2?log3x?1的值域為______(1?x?9)，y?sin2x?2x1?sinx8011（答：(0,)、[,9]、[2,10]）；

92如求y?x?（5）數形結合法――函數解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點的距離、直線斜率、等等，如（1）已知點P(x,y)在圓x?y?1上，求

22y及y?2x的取值范圍（答：x?2[?3322,]、[?5,5]）；（2）求函數y?(x?2)?(x?8)的值域（答：[10,??)）；33x2?6x?13?x2?4x?5及y?x2?6x?13?x2?4x?5的值域

（3）求函數y?（答：[43,??)、(?26,26)）注意：求兩點距離之和時，要將函數式變形，使兩定點在x軸的兩側，而求兩點距離之差時，則要使兩定點在x軸的同側。

（6）判別式法――對分式函數（分子或分母中有一個是二次）都可通用，但這類題型有時也可以用其它方法進行求解，不必拘泥在判別式法上，也可先通過部分分式后，再利用均值不等式：

b33型，可直接用不等式性質，如求的值域（答：y?(0,]）k?x22?x22bxx②y?2型，先化簡，再用均值不等式，如（1）求y?的值域（答：

x?mx?n1?x2x?211；（2）求函數y?的值域（答：[0,]）(??,]）

x?322x2?m?x?n?mx2?8x?n③y?2型，尋常用判別式法；如已知函數y?log3的定義域

x?mx?nx2?1為R，值域為[0，2]，求常數m,n的值（答：m?n?5）

x2?m?x?n?x2?x?1④y?型，可用判別式法或均值不等式法，如求y?的值域（答：

mx?nx?1(??,?3]?[1,??)）

①y?（7）不等式法――利用基本不等式a?b?2ab(a,b?R?)求函數的最值，其題型特征解析式是和式時要求積為定值，解析式是積時要求和為定值，不過有時必需用到拆項、添

(a1?a2)2項和兩邊平方等技巧。如設x,a1,a2,y成等差數列，x,b1,b2,y成等比數列，則的

b1b2取值范圍是____________.（答：(??,0]?[4,??)）。

（8）導數法――一般適用于高次多項式函數，如求函數f(x)?2x?4x?40x，（答：－48）x?[?3,3]的最小值。

提醒：（1）求函數的定義域、值域時，你按要求寫成集合形式了嗎？（2）函數的最值與值域之間有何關系？

6.分段函數的概念。分段函數是在其定義域的不同子集上，分別用幾個不同的式子來表示對應關系的函數，它是一類較特別的函數。在求分段函數的值f(x0)時，一定首先要判斷

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x0屬于定義域的哪個子集，然后再代相應的關系式；分段函數的值域應是其定義域內不同

2??(x?1).(x?1)子集上各關系式的取值范圍的并集。如（1）設函數f(x)??，則使得

??4?x?1.(x?1)）；（2）已知f(x)?1的自變量x的取值范圍是__________（答：(??,?2]?[0,10](x?0)?13f(x)??，則不等式x?(x?2)f(x?2)?5的解集是________（答：(??,]）

?1(x?0)2?7.求函數解析式的常用方法：

（1）待定系數法――已知所求函數的類型（二次函數的表達形式有三種：一般式：

f(x)?ax2?bx?c；頂點式：f(x)?a(x?m)2?n；零點式：f(x)?a(x?x1)(x?x2)，要會根據已知條件的特點，靈活地選用二次函數的表達形式）。如已知f(x)為二次函數，

且f(x?2)?f(?x?2)，且f(0)=1,圖象在x軸上截得的線段長為22,求f(x)的解析式。（答：f(x)?12x?2x?1）22（2）代換（配湊）法――已知形如f(g(x))的表達式，求f(x)的表達式。如（1）已知f(1?cosx)?sinx,求fx若f(x?)?x???的解析式（答：f(x)??x224?2x2,x?[?2,2]）；（2）

12，則函數=_____（答：；（3）若函數f(x)是x?2x?3）f(x?1)2x定義在R上的奇函數，且當x?(0,??)時，f(x)?x(1?3x)，那么當x?(??,0)時，

21xf(x)=________（答：x(1?3x)）.這里需值得注意的是所求解析式的定義域的等價性，即f(x)的定義域應是g(x)的值域。

（3）方程的思想――已知條件是含有f(x)及另外一個函數的等式，可抓住等式的特征對等式的進行賦值，從而得到關于f(x)及另外一個函數的方程組。如（1）已知

2，求f(x)的解析式（答：f(x)??3x?）；（2）已知f(x)是奇f(x)?2f(?x)?3x?23x1函數，g(x)是偶函數，且f(x)+g(x)=,則f(x)=__（答：2）。

x?1x?18.反函數：

（1）存在反函數的條件是對于原來函數值域中的任一個y值，都有唯一的x值與之對應，故單調函數一定存在反函數，但反之不成立；偶函數只有f(x)?0(x?{0})有反函數；周期函數一定不存在反函數。如函數y?x?2ax?3在區(qū)間[1,2]上存在反函數的充要條件是A、a????,1?B、a??2,???C、a?[1,2]D、a????,1???2,???（答：D）

（2）求反函數的步驟：①反求x；②互換x、y；③注明反函數的定義域（原來函數的值域）。注意函數y?f(x?1)的反函數不是y?f?1(x?1)，而是y?f?1(x)?1。如設f(x)?(x?12)(x?0).求f(x)的反函數fx?12(x)（答：f?1(x)?1．(x?1)）

x?1（3）反函數的性質：

①反函數的定義域是原來函數的值域，反函數的值域是原來函數的定義域。如單調遞增函數f(x)滿足條件f(ax?3)=x，其中a≠0，若f(x)的反函數f?1(x)的定義域為

?14??a,a?，則f(x)的定義域是____________（答：[4,7]）.???1②函數y?f(x)的圖象與其反函數y?f(x)的圖象關于直線y?x對稱，注意函數

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y?f(x)的圖象與x?f?1(y)的圖象一致。如（1）已知函數y?f(x)的圖象過點(1,1),那

2x?3么f?4?x?的反函數的圖象一定經過點_____（答：（1,3））；（2）已知函數f(x)?，

x?17?1若函數y?g(x)與y?f(x?1)的圖象關于直線y?x對稱，求g(3)的值（答：）；

24x?1的解x?______（答：1）；（2）設函數f(x)的圖象關于點（1,2）對稱，且存在反函數f(x)，

③f(a)?b?f?1(b)?a。如（1）已知函數f(x)?log3(?2)，則方程f?1(x)?4f(4)＝0，則f?1(4)＝（答：－2）

④互為反函數的兩個函數具有一致的單調性和奇函數性。如已知f?x?是R上的增函數，點A??1,1?,B?1,3?在它的圖象上，f?1?x?是它的反函數，那么不等式f?1?log2x??1的解集為________（答：（2,8））；

⑤設f(x)的定義域為A，值域為B，則有f[f?1(x)]?x(x?B)，f?1[f(x)]?x

(x?A)，但f[f?1(x)]?f?1[f(x)]。

9.函數的奇偶性。

（1）具有奇偶性的函數的定義域的特征：定義域必需關于原點對稱！為此確定函數的奇偶性時，務必先判定函數定義域是否關于原點對稱。如若函數f(x)?2sin(3x??)，；x?[2??5?,3?]為奇函數，其中??(0,2?)，則???的值是（答：0）

（2）確定函數奇偶性的常用方法（若所給函數的解析式較為繁雜，應先化簡，再判斷

其奇偶性）：

①定義法：如判斷函數y?|x?4|?49?x2的奇偶性____（答：奇函數）。

②利用函數奇偶性定義的等價形式：f(x)?f(?x)?0或判斷f(x)?x(f(?x)。如??1（f(x)?0）

f(x)11?)的奇偶性___.（答：偶函數）x2?12③圖像法：奇函數的圖象關于原點對稱；偶函數的圖象關于y軸對稱。（3）函數奇偶性的性質：

①奇函數在關于原點對稱的區(qū)間上若有單調性，則其單調性完全一致；偶函數在關于原點對稱的區(qū)間上若有單調性，則其單調性恰恰相反.

②假使奇函數有反函數，那么其反函數一定還是奇函數.

③若f(x)為偶函數，則f(?x)?f(x)?f(|x|).如若定義在R上的偶函數f(x)在

1(??,0)上是減函數，且f()=2，則不等式f(log1x)?2的解集為______.（答：

38(0,0.5)?(??2,）)

④若奇函數f(x)定義域中含有0，則必有f(0)?0.故f(0)?0是f(x)為奇函數的既a·2x?a?2不充分也不必要條件。如若f(x)?為奇函數，則實數a＝____（答：1）.x2?1⑤定義在關于原點對稱區(qū)間上的任意一個函數，都可表示成“一個奇函數與一個偶函數

f(x)?f(?x)的和（或差）〞。如設f(x)是定義域為R的任一函數，F(x)?，

2f(x)?f(?x)x。①判斷F(x)與G(x)的奇偶性；②若將函數f(x)?lg(10?1)，

2表示成一個奇函數g(x)和一個偶函數h(x)之和，則g(x)＝____（答：①F(x)為偶函數，G(x)?當前第7頁共58頁

1G(x)為奇函數；②g(x)＝x）

2⑥復合函數的奇偶性特點是：“內偶則偶，內奇同外〞.

⑦既奇又偶函數有無窮多個（f(x)?0，定義域是關于原點對稱的任意一個數集）.10.函數的單調性。

（1）確定函數的單調性或單調區(qū)間的常用方法：①在解答題中常用：定義法（取值――作差――變形――定號）、導數法（在區(qū)間(a,b)內，若總有f?(x)?0，則f(x)為增函數；反之，若f(x)在區(qū)間(a,b)內為增函數，則

3請注意兩者的區(qū)別所在。如已知函數f(x)?x?ax在區(qū)間[1,??)上是增函數，f?(x)?0，

則a的取值范圍是____(答：(0,3]）)；

b②在選擇填空題中還可用數形結合法、特別值法等等，特別要注意y?ax?(a?0

xbbb?0)型函數的圖象和單調性在解題中的運用：增區(qū)間為(??,?],[,??)，減區(qū)間為

aabb,0),(0,].如（1）若函數f(x)?x2?2(a?1)x?2在區(qū)間（－∞，4]上是減函aaax?1數，那么實數a的取值范圍是______(答：a??3）)；（2）已知函數f(x)?在區(qū)

x?21間??2,???上為增函數，則實數a的取值范圍_____（答：(,??)）；（3）若函數

2a??f?x??loga?x??4??a?0,且a?1?的值域為R，則實數a的取值范圍是______(答：

x??0?a?4且a?1）)；

2③復合函數法：復合函數單調性的特點是同增異減，如函數y?log1??x?2x?的單[?2調遞增區(qū)間是________(答：（1,2）)。

（2）特別提醒：求單調區(qū)間時，一是勿忘定義域，如若函數f(x)?loga(x?ax?3)在區(qū)間(??,]上為減函數，求a的取值范圍（答：(1,23)）；二是在多個單調區(qū)間之間不一定能添加符號“?〞和“或〞；三是單調區(qū)間應當用區(qū)間表示，不能用集合或不等式表示．

（3）你注意到函數單調性與奇偶性的逆用了嗎?（①比較大??；②解不等式；③求參數范圍）.如已知奇函數f(x)是定義在(?2,2)上的減函數,若f(m?1)?f(2m?1)?0，求實數m的取值范圍。（答：?2a212?m?）2311.常見的圖象變換

①函數y?f?x?a?(a?0)的圖象是把函數y?f?x?的圖象沿x軸向左平移a個單位得到的。如設f(x)?2,g(x)的圖像與f(x)的圖像關于直線y?x對稱，h(x)的圖像由g(x)的圖像向右平移1個單位得到，則h(x)為__________(答：h(x)??log2(x?1))

②函數y?f?x?a?((a?0)的圖象是把函數y?f?x?的圖象沿x軸向右平移a個單位得到的。如（1）若f(x?199)?4x?4x?3，則函數f(x)的最小值為____(答：2)；（2）要得到y?lg(3?x)的圖像，只需作y?lgx關于_____軸對稱的圖像，再向____平移3個單位而得到(答：y；右)；（3）函數f(x)?x?lg(x?2)?1的圖象與x軸的交點個數有____個(答：2)

當前第8頁共58頁

2?x③函數y?f?x?+a(a?0)的圖象是把函數y?f?x?助圖象沿y軸向上平移a個單位得到的；

④函數y?f?x?+a(a?0)的圖象是把函數y?f?x?助圖象沿y軸向下平移a個單

b?a的圖象向右平移2個單位后又向下平移2個單位,所得圖x?a象假使與原圖象關于直線y?x對稱,那么(A)a??1,b?0(B)a??1,b?R(C)a?1,b?0(D)a?0,b?R(答：C)

1⑤函數y?f?ax?(a?0)的圖象是把函數y?f?x?的圖象沿x軸伸縮為原來的得

a1到的。如（1）將函數y?f(x)的圖像上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼模v坐標不變），再

3將此圖像沿x軸方向向左平移2個單位，所得圖像對應的函數為_____(答：f(3x?6))；（2）

1如若函數y?f(2x?1)是偶函數，則函數y?f(2x)的對稱軸方程是_______(答：x??)．

2⑥函數y?af?x?(a?0)的圖象是把函數y?f?x?的圖象沿y軸伸縮為原來的a倍得

位得到的；如將函數y?到的.

12.函數的對稱性。

a?b對稱。如已知二次函22數f(x)?ax?bx(a?0)滿足條件f(5?x)?f(x?3)且方程f(x)?x有等根，則f(x)12＝_____(答：?x?x)；

2②點(x,y)關于y軸的對稱點為(?x,y)；函數y?f?x?關于y軸的對稱曲線方程為y?f??x?；

③點(x,y)關于x軸的對稱點為(x,?y)；函數y?f?x?關于x軸的對稱曲線方程為y??f?x?；

④點(x,y)關于原點的對稱點為(?x,?y)；函數y?f?x?關于原點的對稱曲線方程為y??f??x?；

⑤點(x,y)關于直線y??x?a的對稱點為(?(y?a),?x?a)；曲線f(x,y)?0關于直線y??x?a的對稱曲線的方程為f(?(y?a),?x?a)?0。特別地，點(x,y)關于直線y?x的對稱點為(y,x)；曲線f(x,y)?0關于直線y?x的對稱曲線的方程為f(y,x)

)關于直線y??x的對稱點為(?y,?x)；曲線f(x,y)?0關于直線y??x的?0；點(x,yx?33對稱曲線的方程為f(?y,?x)?0。如己知函數f(x)?,(x?),若y?f(x?1)的

2x?32圖像是C1,它關于直線y?x對稱圖像是C2,C2關于原點對稱的圖像為C3,則C3對應的函

x?2數解析式是___________（答：y??）；

2x?1⑥曲線f(x,y)?0關于點(a,b)的對稱曲線的方程為f(2a?x,2b?y)?0。如若函數

①滿足條件f?x?a??f?b?x?的函數的圖象關于直線x?y?x2?x與y?g(x)的圖象關于點（-2，3）對稱，則g(x)＝______（答：?x2?7x?6）

⑦形如y?ax?b(c?0,ad?bc)的圖像是雙曲線，其兩漸近線分別直線x??d

cx?dc(由分母為零確定)和直線y?a(由分子、分母中x的系數確定)，對稱中心是點(?d,a)。

ccc2如已知函數圖象C?與C:y(x?a?1)?ax?a?1關于直線y?x對稱，且圖象C?關于點

當前第9頁共58頁

（2，－3）對稱，則a的值為______（答：2）

⑧|f(x)|的圖象先保存f(x)原來在x軸上方的圖象，作出x軸下方的圖象關于x軸的對稱圖形，然后擦去x軸下方的圖象得到；f(|x|)的圖象先保存f(x)在y軸右方的圖象，擦去y軸左方的圖象，然后作出y軸右方的圖象關于y軸的對稱圖形得到。如（1）作出函數y?|log2(x?1)|及y?log2|x?1|的圖象；（2）若函數f(x)是定義在R上的奇函數，則函數F(x)?f(x)?f(x)的圖象關于____對稱（答：y軸）

提醒：（1）從結論②③④⑤⑥可看出，求對稱曲線方程的問題，實質上是利用代入法轉化為求點的對稱問題；（2）證明函數圖像的對稱性，即證明圖像上任一點關于對稱中心（對稱軸）的對稱點仍在圖像上；（3）證明圖像C1與C2的對稱性，需證兩方面：①證明C1上任意點關于對稱中心（對稱軸）的對稱點仍在C2上；②證明C2上任意點關于對稱中心（對

x?1?a(a?R)。求證：函數f(x)a?x3的圖像關于點M(a,?1)成中心對稱圖形；（2）設曲線C的方程是y?x?x,將C沿x軸,y軸正方向分別平行移動t,s單位長度后得曲線C1。①寫出曲線C1的方程（答：

稱軸）的對稱點仍在C1上。如（1）已知函數f(x)??ts?y?(x?t)3?(x?t)?s）；②證明曲線C與C1關于點A?,?對稱。

?22?13.函數的周期性。

（1）類比“三角函數圖像〞得：

①若y?f(x)圖像有兩條對稱軸x?a,x?b(a?b)，則y?f(x)必是周期函數，且一周期為T?2|a?b|；

②若y?f(x)圖像有兩個對稱中心A(a,0),B(b,0)(a?b)，則y?f(x)是周期函數，且一周期為T?2|a?b|；

③假使函數y?f(x)的圖像有一個對稱中心A(a,0)和一條對稱軸x?b(a?b)，則函數

y?f(x)必是周期函數，且一周期為T?4|a?b|；

如已知定義在R上的函數f(x)是以2為周期的奇函數，則方程f(x)?0在[?2,2]上至少有__________個實數根（答：5）

（2）由周期函數的定義“函數f(x)滿足f?x??f?a?x?(a?0)，則f(x)是周期為a的周期函數〞得：

①函數f(x)滿足?f?x??f?a?x?，則f(x)是周期為2a的周期函數；

1(a?0)恒成立，則T?2a；f(x)1(a?0)恒成立，則T?2a.③若f(x?a)??f(x)如(1)設f(x)是(??,??)上的奇函數，f(x?2)??f(x)，當0?x?1時，f(x)?x，則f(47.5)等于_____(答：?0.5)；(2)定義在R上的偶函數f(x)滿足f(x?2)?f(x)，且在[?3,?2]上是減函數，若?,?是銳角三角形的兩個內角，則

（3）已知f(x)是f(sin?),f(cos?)的大小關系為_________(答：f(sin?)?f(cos?))；

②若f(x?a)?偶函數，且f(1)=993，g(x)=f(x?1)是奇函數，求f(2023)的值(答：993)；（4）設f?x?是定義域為R的函數，且f?x?2???1?f?x????1?f?x?，又f?2??2?2，則

f?2023?=(答：

2?2)214.指數式、對數式：

當前第10頁共58頁

?1loga1?0，logaa?1，logex?lnx，，，a0?1，lg2?lg5?1，manab?N?logaN?b(a?0,a?1,N?0)，alogaN?N，logab?logcb，

a?a，anmmn?mnlogca1lognlog34?log59的值為________(答：8)；（2）()logab。如（1）log225?2m1的值為________(答：)

64logambn?2815.指數、對數值的大小比較：（1）化同底后利用函數的單調性；（2）作差或作商法；（3）利用中間量（0或1）；（4）化同指數（或同真數）后利用圖象比較。

16.函數的應用。（1）求解數學應用題的一般步驟：①審題――認真讀題，確鑿理解題意，明確問題的實際背景，尋覓各量之間的內存聯系；②建模――通過抽象概括，將實際問題轉化為相應的數學問題，別忘了注上符合實際意義的定義域；③解模――求解所得的數學問題；④回歸――將所解得的數學結果，回歸到實際問題中去。（2）常見的函數模型有：①建立一次函數或二次函數模型；②建立分段函數模型；③建立指數函數模型；④建立

by?ax?型。

x17.抽象函數：抽象函數尋常是指沒有給出函數的具體的解析式，只給出了其它一些條件（如函數的定義域、單調性、奇偶性、解析遞推式等）的函數問題。求解抽象函數問題的常用方法是：

（1）借鑒模型函數進行類比探究。幾類常見的抽象函數：

①正比例函數型：f(x)?kx(k?0)f(x?y)?f(x)?f(y)；

f(x)；f(y)f(x)x③指數函數型：f(x)?af(x?y)?f(x)f(y)，f(x?y)?；

f(y)x④對數函數型：f(x)?logaxf(xy)?f(x)?f(y)，f()?f(x)?f(y)；

yf(x)?f(y)⑤三角函數型：f(x)?tanxf(x?y)?。如已知f(x)是定義在

1?f(x)f(y)TR上的奇函數，且為周期函數，若它的最小正周期為T，則f(?)?____（答：0）

2②冪函數型：f(x)?xf(xy)?f(x)f(y)，f()?2xy（2）利用函數的性質（如奇偶性、單調性、周期性、對稱性等）進行演繹探究：如（1）設函數f(x)(x?N)表示x除以3的余數，則對任意的x,y?N，都有A、f(x?3)?f(x)B、f(x?y)?f(x)?f(y)C、f(3x)?3f(x)D、f(xy)?f(x)f(y)（答：A）；（2）設f(x)是定義在實數集R上的函數，且滿足f(x?2)?f(x?1)?f(x)，假使

3，f(2)?lg15，求f(2023)（答：1）；（3）如設f(x)是定義在R上的奇函2數，且f(x?2)??f(x)，證明：直線x?1是函數f(x)圖象的一條對稱軸；（4）已知定義域為R的函數f(x)滿足f(?x)??f(x?4)，且當x?2時，f(x)單調遞增。假使x1?x2?4，且(x1?2)(x2?2)?0，則f(x1)?f(x2)的值的符號是____（答：負數）

（3）利用一些方法（如賦值法（令x＝0或1，求出f(0)或f(1)、令y?x或y??x等）、遞推法、反證法等）進行規(guī)律探究。如（1）若x?R，f(x)滿足f(x?y)?f(x)

則f(x)的奇偶性是______（答：奇函數）；（2）若x?R，f(x)滿足f(xy)?f(x)?f(y)，f(1)?lg當前第11頁共58頁

；（3）已?f(y)，則f(x)的奇偶性是______（答：偶函數）

知f(x)是定義在(?3,3)上的奇函數，當0?x?3時，f(x)的圖像如右圖所示，那么不等式f(x)?cosx?0的解集是_____________（答：(?y；（4）設f(x),?1)?(0,1)?(,3)）

O123x22?的定義域為R?，對任意x,y?R，都有

x1f(?)f(?x)f，且(yx)?1時，f(x)?0，又f()?1，y2①求證f(x)為減函數；②解不等式f(x)?f(5?x)??2.（答：?0,1???4,5?）．

??高考數學必勝秘訣在哪？

――概念、方法、題型、易誤點及應試技巧總結

三、數列

1、數列的概念：數列是一個定義域為正整數集N*（或它的有限子集｛1,2，3，?，n｝）

n(n?N*)，2n?1561an則在數列{an}的最大項為__（答：）；（2）數列{an}的通項為an?，其中a,b均

25bn?1an?an?1）為正數，則an與an?1的大小關系為___（答：；（3）已知數列{an}中，an?n2??n，

且{an}是遞增數列，求實數?的取值范圍（答：???3）；（4）一給定函數y?f(x)的圖象在以下圖中，并且對任意a1?(0,1)，由關系式an?1?f(an)得到的數列{an}滿足

的特別函數，數列的通項公式也就是相應函數的解析式。如（1）已知an?an?1?an(n?N*)，則該函數的圖象是

（）（答：A）

ABCD

2.等差數列的有關概念：

（1）等差數列的判斷方法：定義法an?1?an?d(d為常數）或an?1?an?an?an?1(n?2)。如設{an}是等差數列，求證：以bn=

a1?a2???ann?N*為通項公式的數列{bn}為等

n差數列。

（2）等差數列的通項：an?a1?(n?1)d或an?am?(n?m)d。如(1)等差數列{an}中，

a10?30，a20?50，則通項an?（答：2n?10）；（2）首項為-24的等差數列，

8?d?3）3n(a1?an)n(n?1)（3）等差數列的前n和：Sn?，Sn?na1?d。如（1）數列{an}221315*中，an?an?1?(n?2,n?N)，an?，前n項和Sn??，則a1＝＿，n＝＿（答：

222從第10項起開始為正數，則公差的取值范圍是______（答：

當前第12頁共58頁

a1??3，n?10）；（2）已知數列{an}的前n項和Sn?12n?n2，求數列{|an|}的前n2*??12n?n(n?6,n?N)項和Tn（答：Tn??2）.*??n?12n?72(n?6,n?N)a?b。2提醒：（1）等差數列的通項公式及前n和公式中，涉及到5個元素：a1、d、n、an及

（4）等差中項：若a,A,b成等差數列，則A叫做a與b的等差中項，且A?Sn，其中a1、d稱作為基本元素。只要已知這5個元素中的任意3個，便可求出其余2個，

即知3求2。（2）為減少運算量，要注意設元的技巧，如奇數個數成等差，可設為?，a?2d,a?d,a,a?d,a?2d?（公差為d）；偶數個數成等差，可設為?，

a?3d,a?d,a?d,a?3d,?（公差為2d）

3.等差數列的性質：

（1）當公差d?0時，等差數列的通項公式an?a1?(n?1)d?dn?a1?d是關于n的一次函數，且斜率為公差d；前n和Sn?na1?n(n?1)ddd?n2?(a1?)n是關于n的二次222函數且常數項為0.

（2）若公差d?0，則為遞增等差數列，若公差d?0，則為遞減等差數列，若公差d?0，則為常數列。

（3）當m?n?p?q時,則有am?an?ap?aq，特別地，當m?n?2p時，則有

am?an?2ap.如（1）等差數列{an}中，Sn?18,an?an?1?an?2?3,S3?1，則n＝____

（答：27）；（2）在等差數列?an?中，a10?0,a11?0，且a11?|a10|，Sn是其前n項和，則A、S1,S2?S10都小于0，S11,S12?都大于0B、S1,S2?S19都小于0，S20,S21?都大于0C、S1,S2?S5都小于0，S6,S7?都大于0D、S1,S2?S20都小于0，

S21,S22?都大于0（答：B）

(4)若{an}、{bn}是等差數列，則{kan}、{kan?pbn}(k、p是非零常數)、

a{ap?nq}(p,q?N*)、Sn,S2n?Sn,S3n?S2n，?也成等差數列，而{an}成等比數列；若{an}是等比數列，且an?0，則{lgan}是等差數列.如等差數列的前n項和為25，前2n項和為100，則它的前3n和為。（答：225）

（5）在等差數列{an}中，當項數為偶數2n時，S偶－S奇?nd；項數為奇數2n?1時，

SS奇?S偶?a中，S2n?1?(2n?1)?a中（這里a中即an）；S奇:偶?k()1:?k。如（1）在等

差數列中，S11＝22，則a6＝______（答：2）；（2）項數為奇數的等差數列{an}中，奇數項和為80，偶數項和為75，求此數列的中間項與項數（答：5；31）.

（6）若等差數列{an}、{bn}的前n和分別為An、Bn，且

An?f(n)，則Bnan(2n?1)anA2n?1???f(2n?1).如設{an}與{bn}是兩個等差數列，它們的前n項和分bn(2n?1)bnB2n?1aS6n?23n?1別為Sn和Tn，若n?，那么n?___________（答：）

bnTn4n?38n?7(7)“首正〞的遞減等差數列中，前n項和的最大值是所有非負項之和；“首負〞的遞增

等差數列中，前n項和的最小值是所有非正項之和。法一：由不等式組

?an?0??an?0?確定出前多少項為非負（或非正）；法二：因等差數列前n項是關于?或??????an?1?0??an?1?0?當前第13頁共58頁

n的二次函數，故可轉化為求二次函數的最值，但要注意數列的特別性n?N*。上述兩種

方法是運用了哪種數學思想？（函數思想），由此你能求一般數列中的最大或最小項嗎？如（1）等差數列{an}中，a1?25，S9?S17，問此數列前多少項和最大？并求此最大值。（答：前13項和最大，最大值為169）；（2）若{an}是等差數列，首項a1?0,a2023?a2023?0，

a2023?a2023?0，則使前n項和Sn?0成立的最大正整數n是（答：4006）

(8)假使兩等差數列有公共項，那么由它們的公共項順次組成的新數列也是等差數列，且新等差數列的公差是原兩等差數列公差的最小公倍數.注意：公共項僅是公共的項，其項數不一定一致，即研究an?bm.

4.等比數列的有關概念：

（1）等比數列的判斷方法：定義法

an?1aa，其中q?0,an?0或n?1?n?q(q為常數）ananan?1(n?2)。如（1）一個等比數列{an}共有2n?1項，奇數項之積為100，偶數項之積為120，

則an?1為____（答：）；（2）數列{an}中，Sn=4an?1+1(n?2)且a1=1，若bn?an?1?2an，求證：數列｛bn｝是等比數列。

（2）等比數列的通項：an?a1qn?1或an?amqn?m。如設等比數列{an}中，a1?an?66，

561或2）2a1(1?qn)（3）等比數列的前n和：當q?1時，Sn?na1；當q?1時，Sn?

1?q10na1?anqk。如（1）等比數列中，S99=77，求a3?a6???a99（答：44）（；2）(?Cn)?q＝2，?1?qn?1k?0a2an?1?128，前n項和Sn＝126，求n和公比q.（答：n?6，q?的值為__________（答：2046）；

特別提醒：等比數列前n項和公式有兩種形式，為此在求等比數列前n項和時，首先要判斷公比q是否為1，再由q的狀況選擇求和公式的形式，當不能判斷公比q是否為1時，要對q分q?1和q?1兩種情形探討求解。

（4）等比中項：若a,A,b成等比數列，那么A叫做a與b的等比中項。提醒：不是任何兩數都有等比中項，只有同號兩數才存在等比中項，且有兩個?ab。如已知兩個正數a,b(a?b)的等差中項為A，等比中項為B，則A與B的大小關系為______（答：A＞B）

提醒：（1）等比數列的通項公式及前n和公式中，涉及到5個元素：a1、q、n、an及

Sn，其中a1、q稱作為基本元素。只要已知這5個元素中的任意3個，便可求出其余2個，

即知3求2；（2）為減少運算量，要注意設元的技巧，如奇數個數成等比，可設為?，

aaaa32,,aq,aq?（公比為）；但偶數個數成等比時，不能設為?，?，,,a,aq,a23因公比不一定為正數，只有公比為正時才可如此設，且公比為q。如有四個數，其中前三個數成等差數列，后三個成等比數列，且第一個數與第四個數的和是16，其次個數與第三個數的和為12，求此四個數。（答：15，,9，3,1或0,4，8,16）

5.等比數列的性質：

（1）當m?n?p?q時，則有am?an?ap?aq，特別地，當m?n?2p時，則有

2am?an?ap2.如（1）在等比數列{an}中，a3?a8?124,a4a7??512，公比q是整數，則

a10=___（答：512）；（2）各項均為正數的等比數列{an}中，若a5?a6?9，則

（答：10）。logga2???lo3ag10?3a1?lo3(2)若{an}是等比數列，則{|an|}、{ap?nq}(p,q?N)、{kan}成等比數列；若

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*an若{an}是等比數列，且公比q??1，}成等比數列；

bn則數列Sn,S2n?Sn,S3n?S2n，?也是等比數列。當q??1，且n為偶數時，數列Sn,S2n?Sn,S3n?S2n，?是常數數列0，它不是等比數列.如（1）已知a?0且a?1，{an}、{bn}成等比數列，則{anbn}、{設數列{xn}滿足loagx?n1??1，且x1?x2???xlxog(ann?N*)100100?100，則

x10?1x102???x2?.（答：100a）；（2）在等比數列{an}中，Sn為其前

n項和，若S30?13S10,S10?S30?140，則S20的值為______（答：40）

(3)若a1?0,q?1，則{an}為遞增數列；若a1?0,q?1,則{an}為遞減數列；若

a1?0,0?q?1，則{an}為遞減數列；若a1?0,0?q?1,則{an}為遞增數列；若q?0，

則{an}為搖擺數列；若q?1，則{an}為常數列.

?a1naq?1?aqn?b，這里a?b?0，但a?0,b?0，1?q1?q這是等比數列前n項和公式的一個特征，據此很簡單根據Sn，判斷數列{an}是否為等比數

(4)當q?1時，Sn?列。如若{an}是等比數列，且Sn?3n?r，則r＝（答：－1）

(5)Sm?n?Sm?qSn?Sn?qSm.如設等比數列{an}的公比為q，前n項和為Sn，若Sn?1,Sn,Sn?2成等差數列，則q的值為_____（答：－2）

(6)在等比數列{an}中，當項數為偶數2n時，S偶?qS奇；項數為奇數2n?1時，

mnS奇?a1?qS偶.

數列{an}僅是此數列既成等差數列又成等比數列的必要非充分條件。如設數列?an?的前n項和為Sn（n?N），關于數列?an?有以下三個命題：①若an?an?1n(7)假使數列{an}既成等差數列又成等比數列，那么數列{an}是非零常數數列，故常數

(n?N)，則?an?既

b?R?，則?an?是等差數列；③若是等差數列又是等比數列；②若Sn?an2?bn?a、Sn?1???1?，則?an?是等比數列。這些命題中，真命題的序號是（答：②③）

6.數列的通項的求法：

⑴公式法：①等差數列通項公式；②等比數列通項公式。如已知數列

111113,5,7,9,?試寫出其一個通項公式：__________（答：an?2n?1?n?1）

2481632S,(n?1)⑵已知Sn（即a1?a2???an?f(n)）求an，用作差法：an?1。

Sn?Sn?1,(n?2)?如①已知{an}的前n項和滿足log2(Sn?1)?n?1，求an（答：an?滿足

11114,n?1）a1?2a2???nan?2n?5，求an（答：an?n?12,n?2222f(1),(n?1)??f(n)a2???an?f(n)求an，⑶已知a1?用作商法：an??。如數列{an}中，

,(n?2)??f(n?1)61a1?1,對所有的n?2都有a1a2a3?an?n2，則a3?a5?______（答：）

16⑷若an?1?an?f(n)求an用累加法：an?(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a2?a1)

1?a1(n?2)。如已知數列{an}滿足a1?1，an?an?1?(n?2)，則

n?1?n當前第15頁共58頁

??3,n?1）；②數列{an}2n,n?2

an=________（答：an?n?1?2?1）

aaaa⑸已知n?1?f(n)求an，用累乘法：an?n?n?1???2?a1(n?2)。如已知數

anan?1an?2a142列{an}中，a1?2，前n項和Sn，若Sn?nan，求an（答：an?）

n(n?1)⑹已知遞推關系求an，用構造法（構造等差、等比數列）。特別地，（1）形如an?kan?1?b、an?kan?1?bn（k,b為常數）的遞推數列都可以用待定系數法轉化為公比3為k的等比數列后，再求an。如①已知a1?1,an?3an?1?2，求an（答：an?2?3②已知a1?1,an?3an?1?2，求an（答：an?5?nn?1n?1?1）；

an?1的

kan?1b?an?11遞推數列都可以用倒數法求通項。如①已知a1?1,an?，求an（答：an?）；

3an?1?13n?21②已知數列滿足a1=1，an?1?an?anan?1，求an（答：an?2）

n注意：（1）用an?Sn?Sn?1求數列的通項公式時，你注意到此等式成立的條件了嗎？

?2n?1）；（2）形如an?（n?2，當n?1時，a1?S1）；（2）一般地當已知條件中含有an與Sn的混合關系時，常需運用關系式an?Sn?Sn?1，先將已知條件轉化為只含an或Sn的關系式，然后再求解。如數列{an}滿足a1?4,Sn?Sn?1?54,n?1）an?1，求an（答：an?3?4n?1,n?23?7.數列求和的常用方法：

（1）公式法：①等差數列求和公式；②等比數列求和公式，特別聲明：運用等比數列求和公式，務必檢查其公比與1的關系，必要時需分類探討.；③常用公式：，，1?2?3???n?1n(n?1)12?22???n2?1n(n?1)(2n?1)26n(n?1)213?23?33???n3?[].如（1）等比數列{an}的前n項和Sｎ＝2ｎ－１，則

24n?12222a1?a2?a3???an＝_____（答：）；（2）計算機是將信息轉換成二進制數進行

3處理的。二進制即“逢2進1〞，如(1101)2表示二進制數，將它轉換成十進制形式是1?23?1?22?0?21?1?20?13，那么將二進制(111?11)2轉換成十進制數是_______（答：

?????2023個122023?1）

（2）分組求和法：在直接運用公式法求和有困難時，常將“和式〞中“同類項〞先合

Sn??1?3?5?7???(?1)(2n?1)(?1)?n）并在一起，再運用公式法求和.如求：（答：

（3）倒序相加法：若和式中到首尾距離相等的兩項和有其共性或數列的通項與組合數

相關聯，則?？煽紤]選用倒序相加法，發(fā)揮其共性的作用求和（這也是等差數列前n和公式

nn2；②已知的推導方法）.如①求證：Cn?3Cn?5Cn???(2n?1)Cn?(n?1)?012nnx21117f(x)?，則＝______（答：）f(1)?f(2)?f(3)?f(4)?f()?f()?f()1?x22342（4）錯位相減法：假使數列的通項是由一個等差數列的通項與一個等比數列的通項相

乘構成，那么常選用錯位相減法（這也是等比數列前n和公式的推導方法）.如（1）設{an}為等比數列，Tn?na1?(n?1)a2???2an?1?an，已知T1?1，T2?4，①求數列{an}的首

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項和公比；②求數列{Tn}的通項公式.（答：①a1?1，q?2；②Tn?22n?1?n?2）；（2）

設函數f(x)?(x?1)，g(x)?4(x?1)，數列{an}滿足：a1?2,f(an)?(an?

2①求證：數列{an?1}是等比數列；②令h(x)?(a1?1)x?(a2?1)xan?1)g(an)(n?N?)，

8882???(an?1)xn，求函數h(x)在點x?處的導數h?()，并比較h?()與2n?n的大小。

33388（答：①略；②h?()?(n?1)?2n?1，當n?1時，h?()＝2n2?n；當n?2時，

3388h?()2n2?n）33（5）裂項相消法：假使數列的通項可“分裂成兩項差〞的形式，且相鄰項分裂后相關聯，那么常選用裂項相消法求和.常用裂項形式有：

11?1?1；②?1(1?1)；n(n?1)nn?1n(n?k)knn?k111111111111③2?2??2???；?(?)，?kk?1(k?1)kk(k?1)kk?1kkk?12k?1k?1n111111④；???[?]；⑤n(n?1)(n?2)2n(n?1)(n?1)(n?2)(n?1)!n!(n?1)!22⑥2(n?1?n)??1??2(n?n?1).n?n?1nn?n?1n111如（1）求和：）；（2）在數?????（答：

1?44?7(3n?2)?(3n?1)3n?11列{an}中，an?，且Sｎ＝９，則n＝_____（答：99）；

n?n?1①

（6）通項轉換法：先對通項進行變形，發(fā)現其內在特征，再運用分組求和法求和。如①求數列1×4，2×5，3×6，?，n?(n?3)，?前n項和Sn=（答：②求和：1?n(n?1)(n?5)）；

32n111）?????（答：

1?21?2?31?2?3???nn?18.“分期付款〞、“森林木材〞型應用問題

(1)這類應用題一般可轉化為等差數列或等比數列問題.但在求解過程中，務必“卡手指〞，細心計算“年限〞.對于“森林木材〞既增長又砍伐的問題，則常選用“統一法〞統一到“最終〞解決.

(2)利率問題：①單利問題：如零存整取儲蓄（單利）本利和計算模型：若每期存入本金p元，每期利率為r，則n期后本利和為：Sn?p(1?r)?p(1?2r)??p(1?nr)n(n?1)；②復利問題：按揭貸款的分期等額還款（復利）模r)（等差數列問題）

2型：若貸款（向銀行借款）p元，采用分期等額還款方式，從借款日算起，一期（如一年）后為第一次還款日，如此下去，分n期還清。假使每期利率為r（按復利），那么每期等額

nn?1n?2還款x元應滿足：p(1?r)?x(1?r)?x(1?r)???x(1?r)?x（等比數列問題）.?p(n?

高考數學必勝秘訣在哪？

――概念、方法、題型、易誤點及應試技巧總結

四、三角函數

當前第17頁共58頁

1、角的概念的推廣：平面內一條射線圍著端點從一個位置旋轉到另一個位置所的圖形。按逆時針方向旋轉所形成的角叫正角，按順時針方向旋轉所形成的角叫負角，一條射線沒有作任何旋轉時，稱它形成一個零角。射線的起始位置稱為始邊，終止位置稱為終邊。

2、象限角的概念：在直角坐標系中，使角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，角的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限的角。假使角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何象限。

3.終邊一致的角的表示：

（1）?終邊與?終邊一致(?的終邊在?終邊所在射線上)?????2k?(k?Z)，注意：相等的角的終邊一定一致，終邊一致的角不一定相等.如與角?1825的終邊一致，且絕對值最小的角的度數是＿＿＿，合＿＿＿弧度。（答：?25；??5?）36（2）?終邊與?終邊共線(?的終邊在?終邊所在直線上)?????k?(k?Z).（3）?終邊與?終邊關于x軸對稱??????2k?(k?Z).（4）?終邊與?終邊關于y軸對稱???????2k?(k?Z).（5）?終邊與?終邊關于原點對稱???????2k?(k?Z).

（6）?終邊在x軸上的角可表示為：??k?,k?Z；?終邊在y軸上的角可表示為：

?k????k??,k?Z；??,k?Z.如?的終邊與的?終邊在坐標軸上的角可表示為：

226?終邊關于直線y?x對稱，則?＝____________。（答：2k???3,k?Z）

4、?與?的終邊關系：由“兩等分各象限、一二三四〞確定.如若?是其次象限角，

2則

?是第_____象限角（答：一、三）2?25.弧長公式：l?|?|R，扇形面積公式：S?1lR?1|?|R，1弧度(1rad)?57.3.

22如已知扇形AOB的周長是6cm，該扇形的中心角是1弧度，求該扇形的面積。（答：2cm）

6、任意角的三角函數的定義：設?是任意一個角，P(x,y)是?的終邊上的任意一點（異于原點），它與原點的距離是r?2x2?y2?0，那么sin??yx,cos??，rrtan??xryr,?x?0?，cot??(y?0)，sec???x?0?，csc???y?0?。三角函

yyxx數值只與角的大小有關，而與終邊上點P的位置無關。如（1）已知角?的終邊經過點P(5，

7）；（2）設?是第三、四象限角，13|sin?|cos?2m?33，則m的取值范圍是_______（答：（－1，)）；（3）若??0，sin??sin?|cos?|4?m2試判斷cot(sin?)?tan(cos?)的符號（答：負）

y7.三角函數線的特征是：正弦線MP“站在x軸上(起點在xTBS軸上)〞、余弦線OM“躺在x軸上(起點是原點)〞、正切線AT“站P在點A(1,0)處(起點是A)〞.三角函數線的重要應用是比較三－12)，則sin（答：???cos?的值為＿＿。角函數值的大小和解三角不等式。如（1）若??8???0，則

sin?,cos?,tan?的大小關系為_____(答：

（ta??n??sin)；?2）若?為銳角，則?,sin?,tan?的

αOMAx當前第18頁共58頁

大小關系為_______（答：sin????tan?）；（3）函數y?1?2cosx?lg(2sinx?3)的定義域是_______（答：(2k??8.特別角的三角函數值：30°45°60°?3,2k??2?](k?Z)）3180°0270°－115°75°0°090°1sin?123233322221326?246?246?246?242+3cos?tan?cot?12310－10002-313322002+32-39.同角三角函數的基本關系式：（1）平方關系：sin??cos??1,1?tan??sec?,1?cot??csc?（2）倒數關系：sin?csc?=1,cos?sec?=1,tan?cot?=1,（3）商數關系：tan??2222sin?cos?,cot??cos?sin?同角三角函數的基本關系式的主要應用是，已知一個角的三角函數值，求此角的其它三

角函數值。在運用平方關系解題時，要根據已知角的范圍和三角函數的取值，盡可能地壓縮角的范圍，以便進行定號；在具體求三角函數值時，一般不需用同角三角函數的基本關系式，而是先根據角的范圍確定三角函數值的符號，再利