2023屆中考數(shù)學(xué)一輪專題復(fù)習(xí)第6講分式方程及應(yīng)用精講精練浙教版

第6講分式方程考點(diǎn)一、分式方程的解法【例1】分式方程的根為（）A．x1=1，x2=2 B．x1=﹣1，x2=﹣2 C．x=2 D．x=1方法總結(jié)解分式方程時(shí)應(yīng)注意以下兩點(diǎn)：(1)去分母時(shí)，要將最簡(jiǎn)公分母乘以每一個(gè)式子，不要“漏乘”；(2)解分式方程時(shí)必須檢驗(yàn)，檢驗(yàn)時(shí)只要代入最簡(jiǎn)公分母看其是否為0即可．若能使最簡(jiǎn)公分母為0，則該解是原方程的增根．舉一反三解分式方程：=﹣．考點(diǎn)二、分式方程增根【例2】1.已知方程有增根，則k=．2.分式方程=有增根，則m的值為（）A．0和3 B．1 C．1和﹣2 D．3方法總結(jié)利用增根求分式方程中字母的值：(1)確定增根；(2)將原分式方程化成整式方程；(3)增根代入變形后的整式方程，求出字母的值．舉一反三1.若關(guān)于x的分式方程﹣2=有增根，則m的值為．2.若分式方程有增根，則增根可能是（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．0考點(diǎn)三、分式的應(yīng)用【例3】1．已知a2﹣3a﹣1=0，求a6+120a﹣2=．2．為了提高產(chǎn)品的附加值，某公司計(jì)劃將研發(fā)生產(chǎn)的1200件新產(chǎn)品進(jìn)行精加工后再投放市場(chǎng)．現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)工廠都具備精加工能力，公司派出相關(guān)人員分別到這兩間工廠了解情況，獲得如下信息：信息一：甲工廠單獨(dú)加工完成這批產(chǎn)品比乙工廠單獨(dú)加工完成這批產(chǎn)品多用10天；信息二：乙工廠每天加工的數(shù)量是甲工廠每天加工數(shù)量的1.5倍；信息三：甲工廠加工一天、乙工廠加工2天共需加工費(fèi)11200元，甲工廠加工2天、乙工廠加工3天共需加工費(fèi)18400元；根據(jù)以上信息，完成下列問題：（1）求甲、乙兩個(gè)工廠每天分別能加工多少件新產(chǎn)品？（2）公司將1200件新產(chǎn)品交甲、乙兩工廠一起加工3天后，根據(jù)產(chǎn)品質(zhì)量和市場(chǎng)需求，決定將剩余產(chǎn)品交乙工廠單獨(dú)加工，求該公司這批產(chǎn)品的加工費(fèi)用為多少？方法總結(jié)對(duì)于分式的應(yīng)用題要把握好前面講的解分式方程的步驟，對(duì)于分式的綜合題型要把握好分式的增根計(jì)算及性質(zhì)等的綜合。舉一反三1．對(duì)于正數(shù)x，規(guī)定，例如：，，則=．2．為弘揚(yáng)中華民族傳統(tǒng)文化，某校舉辦了“古詩文大賽”，并為獲獎(jiǎng)同學(xué)購買簽字筆和筆記本作為獎(jiǎng)品．1支簽字筆和2個(gè)筆記本共8.5元，2支簽字筆和3個(gè)筆記本共13.5元．（1）求簽字筆和筆記本的單價(jià)分別是多少元？（2）為了激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，學(xué)校決定給每名獲獎(jiǎng)同學(xué)再購買一本文學(xué)類圖書，如果給每名獲獎(jiǎng)同學(xué)都買一本圖書，需要花費(fèi)720元；書店出臺(tái)如下促銷方案：購買圖書總數(shù)超過50本可以享受8折優(yōu)惠．學(xué)校如果多買12本，則可以享受優(yōu)惠且所花錢數(shù)與原來相同．問學(xué)校獲獎(jiǎng)的同學(xué)有多少人？一、選擇題1．(2023江干區(qū)一模，6)將分式方程去分母，整理后得（）A.B.C.D.二、填空題1.(2023杭州，13)已知分式，當(dāng)時(shí)，分式無意義，則；當(dāng)時(shí)，使分式無意義的的值共有個(gè).三、解答題1．(2023上城區(qū)一模，17)閱讀材料，解答問題：觀察下列方程：①；②；③；…；（1）按此規(guī)律寫出關(guān)于的第4個(gè)方程為，第n個(gè)方程為；（2）直接寫出第n個(gè)方程的解，并檢驗(yàn)此解是否正確.2．（2023江干區(qū)一模，17）解方程﹣2．3．（2023拱墅區(qū)一模，19）（1）解方程：﹣2=；（2）設(shè)y=kx，且k≠0，若代數(shù)式（x﹣3y）（2x+y）+y（x+5y）化簡(jiǎn)的結(jié)果為2x2，求k的值．1．已知方程﹣a=，且關(guān)于x的不等式組只有4個(gè)整數(shù)解，那么b的取值范圍是（）A．﹣1＜b≤3 B．2＜b≤3 C．8≤b＜9 D．3≤b＜42．已知關(guān)于x的方程+=恰有一個(gè)實(shí)根，則滿足條件的實(shí)數(shù)a的值的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．43．若關(guān)于x的方程=+1無解，則a的值為（）A．1 B．2 C．1或2 D．0或24．小王乘公共汽車從甲地到相距40千米的乙地辦事，然后乘出租車返回，出租車的平均速度比公共汽車多20千米/時(shí)，回來時(shí)路上所花時(shí)間比去時(shí)節(jié)省了，設(shè)公共汽車的平均速度為x千米/時(shí)，則下面列出的方程中正確的是（）A． B．C． D．5．關(guān)于x的分式方程﹣=0無解，則m=．6．關(guān)于x的方程=﹣1的解是正數(shù)，則a的取值范圍是．7．新定義：[a，b]為一次函數(shù)y=ax+b（a≠0，a，b為實(shí)數(shù)）的“關(guān)聯(lián)數(shù)”．若“關(guān)聯(lián)數(shù)”[1，m﹣2]的一次函數(shù)是正比例函數(shù)，則關(guān)于x的方程的解為．8.關(guān)于x的方程有實(shí)根，則a的取值范圍是．9．已知實(shí)數(shù)x滿足x2++x﹣=4，則x﹣的值是．已知關(guān)于x的分式方程﹣=0無解，則a的值為．11.解方程：．12．為了保護(hù)環(huán)境，某開發(fā)區(qū)綜合治理指揮部決定購買A，B兩種型號(hào)的污水處理設(shè)備共10臺(tái)．已知用90萬元購買A型號(hào)的污水處理設(shè)備的臺(tái)數(shù)與用75萬元購買B型號(hào)的污水處理設(shè)備的臺(tái)數(shù)相同，每臺(tái)設(shè)備價(jià)格及月處理污水量如下表所示：污水處理設(shè)備A型B型價(jià)格（萬元/臺(tái)）mm﹣3月處理污水量（噸/臺(tái)）220180（1）求m的值；（2）由于受資金限制，指揮部用于購買污水處理設(shè)備的資金不超過165萬元，問有多少種購買方案？并求出每月最多處理污水量的噸數(shù)．13．先閱讀下面的材料，然后回答問題：方程x+=2+的解為x1=2，x2=；方程x+=3+的解為x1=3，x2=；方程x+=4+的解為x1=4，x2=；…（1）觀察上述方程的解，猜想關(guān)于x的方程x+=5+的解是；（2）根據(jù)上面的規(guī)律，猜想關(guān)于x的方程x+=的解是；（3）由（2）可知，在解方程：y+=時(shí)，可變形轉(zhuǎn)化為x+=的形式求值，按要求寫出你的變形求解過程．14.（1）解下列方程：①根為；②根為；③根為；（2）根據(jù)這類方程特征，寫出第n個(gè)方程為，其根為．（3）請(qǐng)利用（2）的結(jié)論，求關(guān)于x的方程（n為正整數(shù)）的根．答案【例1】D舉一反三解：原方程即=﹣，兩邊同時(shí)乘以（2x+1）（2x﹣1）得：x+1=3（2x﹣1）﹣2（2x+1），x+1=6x﹣3﹣4x﹣2，解得：x=6．經(jīng)檢驗(yàn)：x=6是原分式方程的解．∴原方程的解是x=6．【例2】1.﹣2.解：∵分式方程=有增根，∴x﹣1=0，x+2=0，∴x1=1，x2=﹣2．兩邊同時(shí)乘以（x﹣1）（x+2），原方程可化為x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）=m，整理得，m=x+2，當(dāng)x=1時(shí)，m=1+2=3，當(dāng)x=﹣2時(shí)，m=﹣2+2=0，當(dāng)m=0時(shí)，分式方程無解，并沒有產(chǎn)生增根，故選：D．舉一反三1.32.解：∵原方程有增根，∴最簡(jiǎn)公分母（x+1）（x﹣1）=0，解得x=﹣1或1，∴增根可能是：±1．故選：C．【例3】1．1309解：∵a2﹣3a﹣1=0，∴a2=3a+1，a6=（a2）3=（3a+1）2（3a+1）=（9a2+6a+1）（3a+1）=[9×（3a+1）+6a+1]（3a+1）=（33a+10）（3a+1）=99a2+63a+10=99（3a+1）+63a+10=360a+109，∵a2﹣3a=1，120a﹣2=（a2﹣3a）=120﹣=120﹣×（a2﹣3a）=120﹣360a+1080，∴a6+120a﹣2=360a+109+120﹣360a+1080=1309．2．解：（1）設(shè)甲工廠每天加工x件產(chǎn)品，則乙工廠每天加工1.5x件產(chǎn)品，依題意得﹣=10解得x=40．經(jīng)檢驗(yàn)，x=40是原方程的跟，且符合題意，則1.5x=60答：甲工廠每天加工40件產(chǎn)品，乙工廠每天加工60件產(chǎn)品；（2）設(shè)甲、乙工廠一天的加工費(fèi)分別為a萬元、b萬元，由題意得，解得．∵加工3天后的時(shí)間為：=15（天）∴3×3200+（15+3）×4000=81600（元）答：該公司這批產(chǎn)品的加工費(fèi)用為81600元．舉一反三1．2023.5解：∵當(dāng)x=1時(shí)，f（1）=，當(dāng)x=2時(shí)，f（2）=，當(dāng)x=時(shí)，f（）=；當(dāng)x=3時(shí)，f（3）=，當(dāng)x=時(shí)，f（）=…，∴f（2）+f（）=1，f（3）+f（）=1，…，∴f（n）+…+f（1）+…+f（）=f（1）+（n﹣1），∴=f（1）+（2023﹣1）=+2023=2023.5．2．解：（1）設(shè)簽字筆的單價(jià)為x元，筆記本的單價(jià)為y元．則可列方程組，解得．答：簽字筆的單價(jià)為1.5元，筆記本的單價(jià)為3.5元．（2）設(shè)學(xué)校獲獎(jiǎng)的同學(xué)有z人．則可列方程=，解得z=48．經(jīng)檢驗(yàn)，z=48符合題意．答：學(xué)校獲獎(jiǎng)的同學(xué)有48人．一、選擇題1．C二、填空題1.6；2.三、解答題1．解：（1），（2）檢驗(yàn)2．解：方程的兩邊同乘（x﹣3），得：2﹣x=﹣1﹣2（x﹣3），解得：x=3，檢驗(yàn)：把x=3代入（x﹣3）=0，即x=3不是原分式方程的解．則原方程無解．3．解：（1）去分母得：1﹣2（x﹣3）=﹣3x，解得：x=﹣7，檢驗(yàn)：當(dāng)x=﹣7時(shí)，x﹣3≠0，故x=﹣7是原方程的解；（2）∵（x﹣3y）（2x+y）+y（x+5y）=2x2﹣5xy﹣3y2+xy+5y2=2x2﹣4xy+2y2=2（x﹣y）2=2x2，∴x﹣y=±x，則x﹣kx=±x，解得：k=0（不合題意舍去）或k=2．D解：分式方程去分母得：3﹣a﹣a2+4a=﹣1，即（a﹣4）（a+1）=0，解得：a=4或a=﹣1，經(jīng)檢驗(yàn)a=4是增根，故分式方程的解為a=﹣1，已知不等式組解得：﹣1＜x≤b，∵不等式組只有4個(gè)整數(shù)解，∴3≤b＜4．故選：D2． C解：去分母，將原方程兩邊同乘x（x﹣2），整理得2x2﹣3x+（4﹣a）=0．①方程①的根的情況有兩種：（1）方程①有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，即△=9﹣4×2（4﹣a）=0．解得a=．當(dāng)a=時(shí)，解方程2x2﹣3x+（﹣+4）=0，得x1=x2=．（2）方程①有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，而其中一根使原方程分母為零，即方程①有一個(gè)根為0或2．（i）當(dāng)x=0時(shí)，代入①式得4﹣a=0，即a=4．當(dāng)a=4時(shí)，解方程2x2﹣3x=0，x（2x﹣3）=0，x1=0或x2=1.5．而x1=0是增根，即這時(shí)方程①的另一個(gè)根是x=1.5．它不使分母為零，確是原方程的唯一根．（ii）當(dāng)x=2時(shí)，代入①式，得2×4﹣2×3+（4﹣a）=0，即a=6．當(dāng)a=6時(shí)，解方程2x2﹣3x﹣2=0，x1=2，x2=﹣．x1是增根，故x=﹣為方程的唯一實(shí)根；因此，若原分式方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根時(shí)，所求的a的值分別是，4，6共3個(gè)．故選：C．C解：方程去分母得：ax=4+x﹣2解得：（a﹣1）x=2，∴當(dāng)a﹣1=0即a=1時(shí)，整式方程無解，分式方程無解；當(dāng)a≠1時(shí)，x=x=2時(shí)分母為0，方程無解，即=2，∴a=2時(shí)方程無解．故選：C．4．A5．0或﹣4解：方程去分母得：m﹣（x﹣2）=0，解得：x=2+m，∴當(dāng)x=2時(shí)分母為0，方程無解，即2+m=2，∴m=0時(shí)方程無解．當(dāng)x=﹣2時(shí)分母為0，方程無解，即2+m=﹣2，∴m=﹣4時(shí)方程無解．綜上所述，m的值是0或﹣4．故答案為：0或﹣4．6．a(chǎn)＞﹣1且a≠﹣解：=﹣1，解得x=，∵=﹣1的解是正數(shù)，∴x＞0且x≠2，即0且≠2，解得a＞﹣1且a≠﹣．故答案為：a＞﹣1且a≠﹣．7．x=3解：根據(jù)題意可得：y=x+m﹣2，∵“關(guān)聯(lián)數(shù)”[1，m﹣2]的一次函數(shù)是正比例函數(shù)，∴m﹣2=0，解得：m=2，則關(guān)于x的方程變?yōu)?=1，解得：x=3，檢驗(yàn)：把x=3代入最簡(jiǎn)公分母2（x﹣1）=4≠0，故x=3是原分式方程的解，故答案為：x=3．8.﹣3＜a≤2解：設(shè)y=，方程變形為y2﹣6y+2﹣a=0，拋物線對(duì)稱軸為y=3，開口向上．∵方程有實(shí)根，∴△=b2﹣4ac=36﹣4（2﹣a）=28+4a≥0，解得：a≥﹣7，又y=的取值范圍為0≤y＜1即方程在0≤y＜1．所以有f（0）=2﹣a≥0，f（1）=﹣3﹣a＜0，解得﹣3＜a≤2故答案為：﹣3＜a≤29．1或﹣2解：x﹣=t，則由原方程，得t2+t+2=4，整理，得（t﹣1）（t+2）=0，解得t=1或t=﹣2，所以x﹣的值是1或﹣2．故答案是：1或﹣2．10.0、或﹣111.解：原方程即：，

方程兩邊同時(shí)乘以x（x-2）得：2（x+1）（x-2）-x（x+2）=x2-2，

化簡(jiǎn)得：-4x=2，

解得：x=-，

把x=-代入x（x-2）=≠0，

故方程的解是：x=-．12．解：（1）由90萬元購買A型號(hào)的污水處理設(shè)備的臺(tái)數(shù)與用75萬元購買B型號(hào)的污水處理設(shè)備的臺(tái)數(shù)相同，即可得：，解得m=18，經(jīng)檢驗(yàn)m=18是原方程的解，即m=18；（2）設(shè)買A型污水處理設(shè)備x臺(tái)，則B型（10﹣x）臺(tái)，根據(jù)題意得：18x+15（10﹣x）≤165，解得x≤5，由于x是整數(shù)，則有6種方案，當(dāng)x=0時(shí)，10﹣x=10，月處理污水量為1800噸，當(dāng)x=1時(shí)，10﹣x=9，月處理污水量為220+180×9=1840噸，當(dāng)x=2時(shí)，10﹣x=8，月處理污水量為220×2+180×8=1880噸，當(dāng)x=3時(shí)，10﹣x=7，月處理污水量為220×3+180×7=1920噸，當(dāng)x=4時(shí)，10﹣x=6，月處理污水量為220×4+180×6=1960噸，當(dāng)x=5時(shí)，10﹣x=5，月處理污水量為220×5+180×5=2000噸，答：有6種購買方案，每月最多處理污水量的噸數(shù)為2000噸．13．14.解：（1）①去分母，得：x2+2=3x，即x2﹣3x+2=0，（x﹣1