4月大數(shù)據(jù)精選模擬卷05(上海卷)(解析版)

2020年4月高考數(shù)學大數(shù)據(jù)精選模擬卷05

數(shù)學（上海卷）一、填空題（本大題滿分54分）本大題共有12題,考生應在答題紙相應編號的空格內(nèi)直接填寫結果.每空格填對得4分，否則一律得零分.1.已知集合A=卜I-L>—1卜B={xIIx1>1>1},則AB=【答案】（一哈一1）(1,+^)【解析】由A=卜I—>-1>={xIx>【答案】（一哈一1）(1,+^)【解析】由A=卜I—>-1>={xIx>0或x<一1},B={xIIxI>1}={x|x>1或x<-1}所以AB=(T,-1)(1,+^)..已知復數(shù)z滿足：zi=3+4i（i為虛數(shù)單位），則Z=【答案】4+3i.一.. 3+4i3i-4.… .一，【解析】由z=3+4i，則z=7二二p=4-3‘，所以z=4+3i.故選:4+3i.已知向量a=（2,2<3）,4【答案】-37 16若a?b二一3則b在a上的投影是16a?b【解析】由題意b在a上的投影為——a.為實現(xiàn)國民經(jīng)濟新“三步走”的發(fā)展戰(zhàn)略目標，國家加大了扶貧攻堅的力度.某地區(qū)在2015年以前的年均脫貧率（脫離貧困的戶數(shù)占當年貧困戶總數(shù)的比）為70%.2015年開始，全面實施“精準扶貧”政策后，扶貧效果明顯提高，其中2019年度實施的扶貧項目，各項目參加戶數(shù)占比（參加該項目戶數(shù)占2019年貧困戶總數(shù)的比）及該項目的脫貧率見下表:實施項目種植業(yè)養(yǎng)殖業(yè)工廠就業(yè)服務業(yè)參加用戶比40%40%10%10%脫貧率95%95%90%90%那么2019年的年脫貧率是實施“精準扶貧”政策前的年均脫貧率的47【答案】352義400義95°a+2*10。義90oa?.【解析】設貧困戶總數(shù)為a，脫貧率P= ° ° ° 」=94o：TOC\o"1-5"\h\za 0所以黑=47.故2019年的年脫貧率是實施“精準扶貧”政策前的年均脫貧率的47倍.7000 35 355.已知(%+2)5(2%—5)=a+ax++ax6，則a-0 1 6 5令x-令x-0得25x(-5)-a0即a。二一160【解析】由(%+2)5(2x—5)-a+ax+01a5即x5的系數(shù)，根據(jù)乘法分配律以及二項式展開式可知，x5的系數(shù)為C1-21-2+C；?(—5)-15，即a5=15.故答案為:156.已知實數(shù)x,y滿足不等式組〈x+6.已知實數(shù)x,y滿足不等式組〈2x-y+4>0，則|3x+4yl的最小值為4x+y-4<0-x+y-1>0【答案】3【解析】作出實數(shù)x，y滿足不等式組J2x—y+4>04x+y-4<0c, 3z的可行域，如圖(陰影部分)令z-3x+4y，則y--4x+43 ，-作出y--4x，平移直線，當直線經(jīng)過點a1,0時，截距最小，故Z=3義1+0=3，即|3x+4y|的最小值為3.min

FA連接FA，則=\c2—3 b <3 =_= ?J3 a3X2解得c=2，所以c2=a2FA連接FA，則=\c2—3 b <3 =_= ?J3 a3X2解得c=2，所以c2=a2+b2=4，解得a2=3,b2=1.故雙曲線方程為——y2=1..已知函數(shù)f(x)=(lnax—1)(%2+ax一4),若X>0時,f(x)>0恒成立，則實數(shù)a的值為【答案】-^=\4一e【解析】如圖所示，函數(shù)y=lnax—1(x>0)與y=x2+ax一4(x>0)的圖像，因為x>0時，f(x)>0恒成立，flnat—1=0于是兩函數(shù)必須有相同的零點t，所以< ,at=4—12=eIa2+at—4=0.如圖，棱長為1的正方體ABCD—ABCD中，p為線段AB的中點，M,N分別為線段AC和棱BC1111 1 1 11上任意一點，則2PM+v'2MN的最小值為【答案】2AAPM二AAEM，故PM=EM而對固定的點M，當MN1B1cl時，MN最小.此時由MF1面4B1clDj可知AMFN為等腰直角三角形，MF=是MN

MF=是MN

22PM+J!MN=2PM+—MNI2J=2(EM+MF)>2AA=2110.已知數(shù)列｛a｝中，a=1,a=2，且當n為奇數(shù)時，a—a=2；當n=2(EM+MF)>2AA=21a+1=3(a+1).則此數(shù)列的前20項的和為n+2 n311—32【答案】__^+902【解析】當n為奇數(shù)時，a—a=2，則數(shù)列奇數(shù)項是以1為首項，以2為公差的等差數(shù)列，n+2nTOC\o"1-5"\h\z當n為偶數(shù)時，a+1=3(a+1),則數(shù)列中每個偶數(shù)項加1是以3為首項，以3為公比的等比數(shù)列.n+2 n所以S=a+a+a++a=a+a++a+a+a++a20 1 2 3 20 1 3 19 2 4 20=10X1+。X2+(a+1)=10X1+。X2+(a+1)+(a+1)+2 2 4(a+1)—10=100+ — 10= 一+90.20 1—3 2.已知aeR,函數(shù)于(x)=x+X-a+a在區(qū)間［1,4］上的最大值是5,則a的取值范圍是 , 9r【答案】(-8，+-］【解析】xeh,4],x+-e[4,5],分類討論：①當a>5時，f(x)=a—x—4+a=2a—x—4x x x9函數(shù)的最大值29函數(shù)的最大值2a-4=5'，a=2，舍去;②當a<4時，f(x)=x+——a+a此時命題成立;③當4<a<5時，「f③當4<a<5時，「f(x)]=maxmax則：|4—a|+a>|5—a|+a“4—a|+a<|5—a|+a|4—a|+a=5或||5—a|+a=5解得:99綜上可得，實數(shù)a的取值范圍是(9一，I2兀...已知銳角AABC的三個內(nèi)角的余弦值分別等于鈍角AABC的三個內(nèi)角的正弦值，其中A＞彳，若111 222 2 2IBCI=1，則2v2lABI+31ACI的最大值為22 22 22【答案】＜10【解析】???銳角AA1BC的三個內(nèi)角的余弦值分別等于鈍角AA2B2c2的三個內(nèi)角的正弦值，???不妨設:cos???不妨設:cosA=sinA,cosB=sinB,cosC=sinC1 2 1 2 1 2兀 c-又A2＞-，為鈍角，則B2，C2為銳角，A乙結合誘導公式可知：A=A+900,B=900—B，C=900—CTOC\o"1-5"\h\z2 1 2 1 2 1兀 3兀 T由三角形內(nèi)角和定理可得：A+B+C=180。，解得：A=-,A=—，71BC1=12 2 2 1 4 2 4 22

???由正弦定理可得:c???由正弦定理可得:c a.(兀sin-B14 2)b 2—sinB222 ,一. ，一.兀，可得.b=2ssinB,c=<2sin(——B)2 2 2 4 2??.2<2IAB1+31AC1=2短c+3b=4x2sin(-—B)+3v2sinB=2<2cosB+<'2sinB22 22 2 2 4 2 2 2 2=<10sin(B2+^)<<10,(其中tan①=2)。故答案為<10二、選擇題(本大題滿分20分)本大題共有4題,每題只有一個正確答案,考生應在答題紙相應編號上，將代表答案的小方格涂黑，選對得5分，否則一律得零分．13.實數(shù)m豐n且m2sin9—mcos0+^3=0,n2sin9—ncos0+^3=0，則連接&,m2),3,n2)兩點的直線與圓C：X2+y2=1的位置關系是A.相切BA.相切B.相離C.相交D.不能確定【答案】B兀【解析】依題意過(m,m2),(n,n2)兩點的直線方程為xsin0+ycos0+y=0,圓心(0,0)到直線的距離為:兀兀10xsin0+0xcos0+—I一d= 3=3=1>]；故直線和圓相離故選：BTOC\o"1-5"\h\z(sin0)2+(cos0)2 1 3.一組統(tǒng)計數(shù)據(jù)x、x、x、X與一組統(tǒng)計數(shù)據(jù)3x+2、3x+2、3x+2、3X+2相比較是( )1234 1 2 3 4A.標準差相同 B.中位數(shù)相同 C平均數(shù)相同 D.以上都不同【答案】D【解析】設數(shù)據(jù)X,X,X,X,X的平均數(shù)為X，方差為s2，標準差為s,中位數(shù)為X12345 3則數(shù)據(jù)2X]+3,2x2+3,2x3+3,2x4+3,2x5+3的平均數(shù)為2X+3，方差為4s2，標準差為2s，中位數(shù)為2X3+3；...它們的平均數(shù)不相同，標準差不同，中位數(shù)也不同.故選：D..設函數(shù)f(x)=］：+10X11'X<0若關于X的方程f(X)=a(a￡R)有四個實數(shù)解X(i=12,3,4)，其l|lgx|,x>0 i中X<X<X<X,

1234則(X中X<X<X<X,

12341234A.(。A.(。1。1］ B.(0,991C.(01。。］D.(0,+s)【答案】B【解析】f（x）=，畫出函數(shù)圖像，如圖所示：x2+10x+【解析】f（x）=，畫出函數(shù)圖像，如圖所示：|lgx,x>01根據(jù)圖像知：x+x=T0,lgx=Tgx，故xx-1,且<x<1.1 2 3 4 34 10 3故（x+故（x+x）（x-x）=-10

1234（ 1）x一—I3xJ3￡（0,99].故選:B..設點A,B的坐標分別為（0,1）,（1,0）,p,Q分別是曲線y=2x和y=log/上的動點，記TOC\o"1-5"\h\zI=AQ-AB，I=BP-BA. （ ）12A.若I=I,則PQ=九AB（九￡R） B.若I=I,則AP=IbqI2 12 IIc.若PQ=九ab（九￡r），則I=I d.若ap=IbqI，則i=i1 2 II 12【答案】C【解析】根據(jù)題意,在直線AB上取P'Q',且IAP]=|BQ'.過P'Q分別作直線AB的垂線，交曲線y=2x于P'P和交y=log2x于Q1,Q2在曲線y=2x上取點勺使|Ap]\=AP3].如下圖所示:11=AQ-AB=AQ|-|ABcos/QAB=AQ'?|AB12=BP-BA=|BP|-|BA|cos/PBA=|BP'|?|BA若|AP'=|BQ'則AQ'=|BP'若11=12，則IAQ'I=lBP1即可.此時p可以與P重合,Q與Q重合，滿足題意，但是PQ二九AB（九￡R）不成立，且AP|^|BQ「所以A、B錯誤；對于C,若PQ二九AB（九￡R），則PQ〃AB，此時必有p與Q對應（或P2與Q2）,所以滿足11=12，所以C正確;對于D,對于點勺滿足|APJ=1Ap3,但此時P3在直線AB上的投影不在P'處，因而不滿足|AQ||=|BP1,即I豐I，所以D錯誤;綜上可知,C為正確選項.故選:C12三、解答題（本大題74分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.

17.(本題滿分14分)本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分。如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PA1底面ABCD,PA=AB,E為線段PB的中點.(1)若F為線段BC的中點，求直線EF和平面ABCD所成角的大小.(2)若點F在線段BC上移動，當三棱錐A-BEF體積最大時，求異面直線EF與PD所成角的大小;【答案】(1)arctan^-2 (2)與26【解析】(1)因為E為線段PB的中點，F(xiàn)為線段BC的中點；所以EF是NPBC的中位線，EF//PC；此時直線EF和平面ABCD所成角大小即為直線PC和平面ABCD所成角大小.又因為PA1底面ABCD,連接AC,則/PCA是直線PC和平面ABCD所成角，設PA=AB=2a，在RtAPAC中,p PA 2a 22PA=2a,AC=2J2a,所以tan/PCA= =一^==；所以直線EF和平面ABCD所成角的大小AC2<2a2arctan-。故異面直線EF與PD所成角的大小為三(2)因為PA=AB，E為線段PB的中點，所以AE1PB，因為PA1底面ABCD，BCu平面ABCD，所以PA1BC，又因為底面ABCD為正方形，所以BC1AB,又PAAB=A所以BC，平面PAB???AEu平面PAB，二BC±AE，因為PBcBC=B，所以AE，平面PBC，因此當F與C重合時三棱錐A-BEF體積最大。以AB,AD,AP所在直線分別為羽乂工軸如圖建立空間直角坐標系，令PA=2a則P(0,0,2a),B(2a,0,0),D(0,2a,0),E(a,0,a),F(2a,2a,0)=C(2a,2a,0)，所以pd=(0,2a,-2a)EF=(a,2a,-a)，設異面直線EF與PD所成角為a

則cosa=PDEF6a則cosa=PDEF6a2 <3IPDIIEFI_473a2―2又aG(0,—]，所以a——2 618.(本題滿分14分)本題共有2個小題第1小題滿分8分，第2小題滿分6分。已知函數(shù)f已知函數(shù)f(x)=sin(3x+①)(3>0I①l<w)滿足下列3個條件中的2個條件：①函數(shù)f(X)的周期二是函數(shù)f(x)的對稱軸；③f-=0且在區(qū)間工,不上單調(diào).I62；(I)請指出這二個條件，并求出函數(shù)f(x)的解析式;(II)若xG0,3，求函數(shù)f(x)的值域.【答案】(I)【答案】(I)只有①②成立，一」一兀、f(x)—sin[2"彳J；(I)【解析】TOC\o"1-5"\h\z2兀 兀3 兀 兀 兀3 ,【解析】(I)由①可得，———兀n3―2；由②得：,+①—kK+-n^―kk+---,kgZ

3 6 2 2 6兀3 「T兀兀兀2兀2k c由③得，+9—mKn9—mK——,mgZ,一>一一———n—>—n0<3<3由③得，4 2263若①②成立則3―2,①—若①②成立則3―2,①——,f(x)二

6若①③成立則①二m兀一若②③成立兀3 ?！猰兀-一4 2兀3 兀3——m兀-——mgZ，不合題意，n3—12(m一k)-6>6兀、sin2x+—與③中的0<3?3矛盾，所以②③不成立，所以只有①②成立，兀、sin2x+—(II)由題意得，八，，兀兀兀，5兀1 (II)由題意得，0<x<3n6<2"6<dn2</(x)<1,所以函數(shù)小)的值域為2」19.(本題滿分14分)本題共有2個小題，第1小題滿分8分，第2小題滿分6分。某校課外興趣小組的學生為了給學校邊的一口被污染的池塘治污，他們通過實驗后決定在池塘中投放一種能與水中的污染物質(zhì)發(fā)生化學反應的藥劑.已知每投放m(1<m<4,且mgR)個單位的藥劑，它在水中釋放的濃度，(克/升)隨著時間工(天)變化的函數(shù)關系式近似為J'=優(yōu),/(，)，其中16 ^ ,04x44,8xf（x）=\ 1 ，若多次投放，則某一時刻水中的藥劑濃度為各次投放的藥劑在相應時刻所釋5——x，4<x<10.[2放的濃度之和.根據(jù)經(jīng)驗，當水中藥劑的濃度不低于4（克/升）時，它才能起到有效治污的作用.（I）若一次投放4個單位的藥劑，則有效治污時間可達幾天？（H）若第一次投放2個單位的藥劑,6天后再投放m個單位的藥劑,要使接下來的4天中能夠持續(xù)有效治污，試求二的最小值.【答案】（I）有效治污的時間可達8天；（II）m的最小值為164（0<x<4）【解析】（I）：m=4,?,.y={8—x20—2x（4<x<10）64當0<x<4時，由——>4，解得x>-8，此時0<x<48-x當4<x<10時，由20一2x>4，解得x<8，此時4<x<8綜上，得0<x<8.故若一次投放4個單位的藥劑，則有效治污的時間可達8天.1 16 16m 16m（II）當6<x<10時，y=2義（5--x）+m[—-——]=10-x+ =14-x+ —42 8-（x-6） 14-x 14-x又14一x€[4,8],m€[1,4],則Uy>2%16m-4=87m-416m當且僅當14-x= ，即14-x=4、/m€[4,8]時取等號.14-x令8jm-4>4，解得m>1,故所求m的最小值為120.（本題滿分16分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分,第3小題滿分6分.在平面直角坐標系xOy中，已知向量m=（x+1,y）,n=（x-1,y），且|m|+|n|=4記動點4x,y）的軌跡為C.（1）求曲線C的標準方程；（2）若M,N是曲線C上關于x軸對稱的任意兩點，設P（-4,0）,連接PM交曲線C于另一點E.求證：直線NE過定點B,并求出點B的坐標；（3）在（2）的條件下，過點B的直線交曲線C于S,T兩點，求OS.OT的取值范圍./5(3)-4,-4.y=k(x+4)設直線pm的方程為y/5(3)-4,-4.y=k(x+4)設直線pm的方程為y=k(x+4)，聯(lián)立《x2y2—+—=1[4 3，消去y得到(4k2+3)x2+32k2x+64k2-12=0,設點M(x,y),E(x,y)，則N(x,-y).所以x+x11 22 1 1 1 232k2 ,xx4k2+31264k2-124k2+3y+y( )八 y(x-x)所以NE的方程為y-y,二一 1(x-x),令y=0得x=x= 一一2x-x2 2y+y2 1 2 12xx+4(x+x)將y=k(x+4),y=k(x+4)代入上式并整理,x= V,1122 x+x+812(128k2-24)-128k2整理得x=—~~酊…)=-1，所以，直線NE與x軸相交于定點B(-1,0)—32k2+24+32k2z(3)當過點B的直線ST的斜率不存在時,一 .J一3直線ST的方程為x=-1,S-1,~V2(一3\TT-5，此時OSOT=-V2當過點B的直線ST斜率存在時,y=m(x+1)設直線ST的方程為y=m(x+1)月S(x3,y3),T(x4,y4)在橢圓C上，聯(lián)立方程組＜消去y,整理系(4m2+3)x2+8m2x+4m2-12=0,則A=(8m2)-4(4m2+3)Qm2-12)=144(m2+1)>0.所以x+x3 4 ,xx4m2+3344m2-124m2+3TOC\o"1-5"\h\z【答案】(1)三+二=1；(2)證明詳見解析，B(-1,0)4 3【解析】(1)設F(-1,0),F2(1,0)，則|mI=J(x+1)2+y2=|PF^I,InI=J(x-1)2+y2=|PF2I.因為H+|川=4，所以IPFI+IPF1=4>2=1FFI，由橢圓的定義可知A的軌跡是以F(-1,0),F(1,0)12 12 1 2x2y2 .為焦點，4為長軸的橢圓.故C的方程為—+==1.4 3(2)證明：根據(jù)對稱性，直線NE過的定點B一定在x軸上，由題意可知直線PM的斜率存在,(x+1)G+1)=m2(xx+x+x+1)=-所以OS-OT=xx+yy34 345m2+12 5 33二一4m?ZT二一4一4(4m1所以OS-OT=xx+yy34 345m2+12 5 33二一4m?ZT二一4一4(4m1+3)，由m2-0，得OS0TG5\*4J，、，， ,,……/5綜上可得,OS-OT的取值范圍是一4，—421.（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分.已知｛〃｝,%｝,｛c｝都是各項不為零的數(shù)列，且滿足ab+ab+…+ab=cS,ngN*,其中S是數(shù)nnn 11 22 nnnn n列｛a｝的前n項和，｛c｝是公差為d（d豐0）的等差數(shù)列.n n（1）若數(shù)列｛a｝是常數(shù)列，d=2,c=3，求數(shù)列｛。｝的通項公式；n 2 n（2）若a=kn（'是不為零的常數(shù)），求證：數(shù)列｛b｝是等差數(shù)列；nn（3）若a=c=d=k（k為常數(shù)，kgN*）,b=c（n-2,ngN*）.求證：對任意1 1 nn+kn—2,ngN*,—n~>f+1aan n+1的恒成立.【答案】（1）b=4n—3；（2）詳見解析；（3）詳見解析.n【解析】(1)d=2,c=3,Ac=2n-1

2n｛a｝是各項不為零的常數(shù)列,nAa=a=

12=a,則S=na，則由cS=ab+ab+…+ab

nn1 nn11 22 nn及c=2n-1,得n(2n-1)=b+b++b當n—2時n 1 2 n(n-1)(2n-3)=b+b++bn-1兩式作差，可得b=4n—3.當n=1時,b=1滿足上式，故b=4n—3

n 1 n(2)證明：ab+ab++ab=cS當n―2時ab+ab++ab=cS11 22 nnnn 11 22 n-1n-1n-1n-1兩式相減得：Sc-Sc=ab,即(S+annn-1n-1nn n-1)c-Sc=ab,S(c-c)+ac=ab

nnn-1n-1 nnn-1nn-1 nnnn即Sd+九nc=九nb.又Sn-1 n n n-1入n(n-1)入n(n-1)d+入ncnn—1r,=Xnb,即 d+c=bn2 nna當n—3時,n—2d+c=b，兩式相減得：b-b=3d(n—3)2 n-1n-1 nn-12a數(shù)列｛b｝從第二項起是公差為3d的等