反比例函數(shù)(強(qiáng)化)(解析版)

專題11反比例函數(shù)

一、考向分析

反比例函數(shù)是中考命題熱點之一，主要考查反比例函數(shù)的圖象、性質(zhì)及解析式的確定，考

查形式以選擇題、填空題為主，也經(jīng)常與一次函數(shù)、二次函數(shù)及幾何圖形等知識綜合考查.

二、思維導(dǎo)圖

反比例由戮的■義車■:2y=|k|.kwO,.

StfaWmKy=xfty=-x?

所處今限ysk/x.k>0,.k<0,在二四藏座.因為xy;陽

反比例給U的圖繳和拄質(zhì)----------------------------------------------------------------------

---------------------------!?現(xiàn)郵SMy=k/x.陽越大.蹙同原爆越近.因為k;卜|

y與葡文化關(guān)系本質(zhì)xy=|k|?岡0±.|yW小?）

ESP=F/5,期=壓力度力面超

實際向愚與反匕例的散速度與功奉8P/F.財二嬌血

\力一*工汗平布

反比例函數(shù)

三、最新考綱

1.理解反比例函數(shù)的概念，能根據(jù)已知條件確定反比例函數(shù)的解析式.

2.會畫反比例函數(shù)圖象，根據(jù)圖象和解析式討論其基本性質(zhì).

3.能用反比例函數(shù)解決某些實際問題.

四、考點強(qiáng)化

【考點總結(jié)】一、反比例函數(shù)的概念

一般地，形如y=8或），=履M是常數(shù)，后0）的函數(shù)叫做反比例函數(shù).

x

1.反比例函數(shù)y=Lf中的k:是一個分式，所以自變量/0,函數(shù)與x軸、y軸無交點.

2.反比例函數(shù)解析式可以寫成x），=&（右0）,它表明在反比例函數(shù)中自變量x與其對應(yīng)函數(shù)值），之積，總等

于已知常數(shù)上

【考點總結(jié)】二、反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)

1.圖象：反比例函數(shù)的圖象是雙曲線.

2.性質(zhì)：

(1)當(dāng)％>0時，雙曲線的兩支分別在一、三象限，在每一個象限內(nèi)，)，隨x的增大而減?。?/p>

當(dāng)/<0時，雙曲線的兩支分別在二、四象限，在每一個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大.

注意雙曲線的兩支和坐標(biāo)軸無限靠近，但永遠(yuǎn)不能相交.

(2)雙曲線是軸對稱圖形，直線y=x或y=-x是它的對稱軸；雙曲線也是中心對稱圖形，對稱中心是坐

標(biāo)原點.

函數(shù)反比例函數(shù)

解析式丁=為是常數(shù)，心0)

X

圖象形狀雙曲線

K>0位置第一、三象限

增減性y隨x的增大而減小

K<0位置第二、四象限

r

增減性y隨x的增大而增大

【考點總結(jié)】三、反比例函數(shù)的應(yīng)用

1.利用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)解析式

根據(jù)兩變量之間的反比例關(guān)系，設(shè)出形如的函數(shù)關(guān)系式，再由已知條件求出火的值，從而確定函數(shù)解

析式.

2.反比例函數(shù)的實際應(yīng)用

解決反比例函數(shù)應(yīng)用問題時，首先要找出存在反比例關(guān)系的兩個變量，然后建立反比例函數(shù)模型，進(jìn)而利

用反比例函數(shù)的有關(guān)知識加以解決.

五、新題解析

一、單選題

IT]

1.（2021?河南許昌市?九年級一模）如圖，點A是第一象限內(nèi)雙曲線y=—（加>0）上一點，過點4作AB〃x

x

軸，交雙曲線y=-（?<0）于點8,作AC〃），軸，交雙曲線y=—（n<0）于點C連接3c若AABC

Xx

9

的面積為一，則相，〃的值不可能是（)

2

15

B.m=-，n=-----

44

C.m=\,n=-2D.〃?=4,n=-2

【答案】A

【分析】

設(shè)A的坐標(biāo)為（x,-）,分別表示出點B和點C的坐標(biāo)，再根據(jù)三角形的面積公式得出（m-n『=9m,

再將各個選項中的值代入比較，據(jù)此進(jìn)行判斷即可.

【詳解】

!77

解：丁點A是第一象限內(nèi)雙曲線y=—（m>0）上一點，

x

m

?,?設(shè)A的坐標(biāo)為（x,—）,

x

n

?.?AB〃x軸，AC〃y軸，且B、C兩點在y=-（n<0）上,

x

...B的坐標(biāo)為（，一），C的坐標(biāo)為（x,—）,

mxx

nxmn

AB=X------,AC=---------，

mxx

9

△ABC的面積為一，

2

19

.'.-ACxBA=-,

22

(m-n)-=9m,

?.?將m和n的值代入，只有選項A中不符合.

故選：A.

【點睛】

本題考查了反比例函數(shù)圖像上點的特征，三角形形的面積等知識及綜合應(yīng)用知識、解決問題的能力.

2.(2021?浙江溫州市?九年級零模)如圖，在菱形OABC中，AC=6,OB=8,點O為原點，點B在y軸正

半軸上，若函數(shù)y=&(k#))的圖象經(jīng)過點C,則k的值是()

【答案】C

【分析】

先根據(jù)菱形的性質(zhì)求出C點坐標(biāo)，再把C點坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式即可得出k的值.

【詳解】

解：在菱形OABC中，AC=6,OB=8,

AC(-3,4),

反比例函數(shù)，(k/0)的圖象經(jīng)過點C,

X

；.k=(-3)x4=-12.

故選：C.

【點睛】

本題考查的是反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特點，即反比例函數(shù)圖象上各點的坐標(biāo)一定滿足此函數(shù)的解析式.

3.(2021?云南九年級一模)已知某品牌顯示器的使用壽命為定值.這種顯示器可工作的天數(shù)y與平均每天

工作的小時數(shù)x是反比例函數(shù)關(guān)系，圖象如圖所示.如果這種顯示器至少要用2000天，那么顯示器平均每

天工作的小時數(shù)X應(yīng)控制在()

A.0<x<10B.10<x<24C.0<x<20D.20<x<24

【答案】A

【分析】

k

把(20,1000)代入y=力0)求出解析式，再把y=2000代入解析式再結(jié)合圖象即可得出結(jié)果.

【詳解】

k

解：由題意可設(shè)y=、(k70),

???圖象過點(20,1000),

/.k=20000.

.?.當(dāng)y=2000時，t=10.

觀察圖象可得：

故選：A.

【點睛】

本題考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，能根據(jù)實際問題列出函數(shù)關(guān)系式是解決本題的關(guān)鍵.

4.(2021?湖北黃岡市?九年級一模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形A8QD在第一象限內(nèi)，邊與x軸

k

平行，A,B兩點的縱坐標(biāo)分別為4,1,反比例函數(shù)y=—的圖象經(jīng)過A,B兩點，菱形A8QD的面積

x

為9丘，則左的值為()

【答案】A

【分析】

過點B作BE_LAD于點E,由題意易得BE=3,設(shè)點A1：,4),8億1),進(jìn)而可得AE=^,然后由勾股

定理可得AB=A￡>=最后根據(jù)菱形的面積可求解.

【詳解】

解：過點B作BELAD于點E,如圖所示:

???四邊形ABCD是菱形，

；.AB=AD,AD〃BC,

：BC〃x軸，A,3兩點的縱坐標(biāo)分別為4,I,

；.BE=3,

設(shè)點哈,4),8(%,1),則4￡=手,

,S菱形ABCD=AD?BE=95/2,

；?3J/%?+9=,解得：k=±4?

Ak=4,

故選A.

【點睛】

本題主要考查反比例函數(shù)與幾何綜合，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

5.（2021?山東淄博市?九年級一模）如圖，A,B兩點在反比例函數(shù)>=勺的圖象上，C,D兩點在反比例

x

函數(shù)>=8的圖象上，ACJ_y軸于點E,BDJ_y軸于點F,AC=6,BD=3,EF=8,則k「k2的值是（）

B.18C.12D.16

【答案】D

【分析】

=_

由反比例函數(shù)的性質(zhì)可知SAOE=SBOF=-k}tS&COE-S/XDOF—^2，結(jié)合SAOC=SAOE+SCOE和

S△BOD=S4D0F+S4BOF可求得K-&的值.

【詳解】

解：連接OA、OC、OD、OB,如圖:

由反比例函數(shù)的性質(zhì)可知Sa?：=S&ROF=g他|=g勺,SMOE==g出1=一*，

*'S&AOC=S^AOE+S&COE，

.".gACOE=gx6xOE=3OE=g(K-&)…①，

?*S^BOD=S&DQF+S^BOF，

.---BDOF=-x3x(EF-OE)=-x3x(8-OE)=12--OE=-(k-^)...(2),

2222i

3

由①?兩式得：12--OE=3OE,

2

o

解得OE=—,

3

則仁-%=16,

故選：D.

【點睛】

本題考查反比例函數(shù)圖象上的點的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是利用參數(shù)，構(gòu)建方程組解決問題，屬T中考常

考題型.

k

6.（2021.山東臨沂市.九年級一模）如圖，A、B是反比例函數(shù)y=一圖象上的兩點，過點A作ACLy軸,

x

垂足為C,AC交OB于點D,若D為OB的中點，AA。。的面積為12,則女的值為（）

C.28D.14

【答案】B

【分析】

先設(shè)點￡＞坐標(biāo)為(a,b)，得出點3的坐標(biāo)為(2a,?),A的坐標(biāo)為(4〃/),再根據(jù)AAOD的面積為12,列

出關(guān)系式求得女的值.

【詳解】

解:設(shè)點D坐標(biāo)為(a,h),

???點。為。8的中點，

點B的坐標(biāo)為(2a,2b),

\k=4ab,

又?.?AC_Ly軸，A在反比例函數(shù)圖象上，

A的坐標(biāo)為(4“力),

\AD=4a-a=3a^

?.■△40。的面積為12,

—倉白白b—121

2

cib=8,

\k=4ah=4?832.

故選：B.

【點睛】

本題主要考查了反比例函數(shù)系數(shù)々的幾何意義，以及運(yùn)用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，根據(jù)AA。。的

面積為12列出關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.

2

7.(2021.廣東江門市.九年級二模)把函數(shù)丁=%與y=-的圖象畫在同一個直角坐標(biāo)系中，正確的是()

【分析】

根據(jù)正比例函數(shù)解析式及反比例函數(shù)解析式確定其函數(shù)圖象經(jīng)過的象限即可.

【詳解】

2

解：函數(shù)y=x中左=1>0,所以其圖象過一、三象限，函數(shù)y=—中欠=2>0,所以其圖象的兩支分別位

x

于第一、三象限，符合的為D選項.

故選D.

【點睛】

本題綜合考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象，熟練掌握函數(shù)的系數(shù)與其圖象經(jīng)過的象限的關(guān)系是解題的

關(guān)鍵.

8.（2021?山東濟(jì)寧市?九年級一模）若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點（-1,2）,則它的函數(shù)表達(dá)式是（）

21c21

A.y=--B.y=----C.y=~D.y=—

x2xxx

【答案】A

【分析】

先設(shè)y=K，再把已知點的坐標(biāo)代入可求出k值，即得到反比例函數(shù)的解析式.

X

【詳解】

設(shè)反比例函數(shù)關(guān)系式為丫=工,

X

將x=-l,y=2代入得k=-2,

2

??y=—，

x

故選A.

【點睛】

本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，較為簡單.

9.（2021?山東濟(jì)寧市?九年級一模）如圖，已知第一象限內(nèi)的點A在反比例函數(shù)y=2的圖象上，第二象限

X

內(nèi)的點B在反比例函數(shù)y二七的圖象上，且OA_LOB,COSA=X3,則k的值為（）

x3

A.-3B.-6C.—4D.-2\/3

【答案】C

【分析】

過A作AELx軸，過B作BFLx軸，由04與OB垂直，再利用鄰補(bǔ)角定義得到一對角互余，再由直角三角

形80尸中的兩銳角互余，利用同角的余角相等得到一對角相等，又一對直角相等，利用兩對對應(yīng)角相等的

三角形相似得到三角形80尸與三角形。E4相似，在直角三角形A08中，由銳角三角函數(shù)定義，根據(jù)

COS/8A。的值，設(shè)出A8與0A,利用勾股定理表示出。8,求出08與0A的比值，即為相似比，根據(jù)面積

2

之比等于相似比的平方，求出兩三角形面積之比，由A在反比例函數(shù)尸一上，利用反比例函數(shù)比例系數(shù)的

X

幾何意義求出三角形40E的面積，進(jìn)而確定出8。尸的面積，再利用我的集合意義即可求出A的值.

【詳解】

過A作4E_Lx軸，過8作8尸_Lx軸.

'：OAA-OB,：.ZAOB=90°,ZBOF+ZEOA=90°.

?:NBOF+NFBO=90°,：.ZE0A=ZFB0.

“AQ,AOJ3

?:NBFO=NOEA=90°,：.Z\BF0^/^0EA.在RtAAOB中，cosZHAO^——^―.

AB3

設(shè)則0A=l,根據(jù)勾股定理得：B0=O,：.OB：0A=42-1>

??BFO?SxOE4=2：1.

2

TA在反比例函數(shù)尸一上，/.SAOEA-1?*<.SABFO-2,則上=-4.

X

故選c.

【點睛】

本題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識有：相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，勾股定理，

以及反比例函數(shù)a的幾何意義，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

10.(202卜全國九年級專題練習(xí))如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)y=A(x>0)的圖象與邊長是6

x

的正方形OABC的兩邊AB,BC分別相交于M,N兩點.△OMN的面積為10.若動點P在x軸上，則PM+PN

的最小值是()

A.6應(yīng)B.10C.2商D.2729

【答案】C

【詳解】

kk

解：:正方形OA8C的邊長是6,???點M的橫坐標(biāo)和點N的縱坐標(biāo)為6,???M(6,-),/V(-,6),：.BN=6

66

kA1k\\k

--,BM=6~—.,:&OMN的面積為10,.二6x6--x6x---x6x---x(6)2=10>七24,M

66262626

(6,4),/7(4,6).作河關(guān)于1軸的對稱點數(shù),連接可3交工軸于匕則可步的長=。知+。"的最小值.：八M=4歷=4,

：.BM'=\0,BN=2,:.NMHBM'2+BN2=V102+22=2726.故選C.

y

M

0\pV

M

11.（2021?山東濟(jì)寧市?九年級一模）如圖，反比例函數(shù)yi="

工和正比例函數(shù)y2=kzx的圖象交于A（—1,

一3）、B（l,3）兩點.若」〉k2X,則x的取值范圍是（）

X

A.-l<x<0B.-1<X<1

C.x<-l或0<x<lD.-l<x<0或x>l

【答案】c

【詳解】

k

解：已知」?>%：,即可知%>%，

X

觀察圖象可知，當(dāng)X<—1或ovxvi時y>乂，

故選c

二、填空題

12.（2021?西安市第二十三中學(xué)九年級一模）如圖，點A在x軸正半軸上,3（5,4）,四邊形40cB為平行

四邊形，反比例函數(shù)y=—的圖象經(jīng)過點C，交A3邊于點。，則點。的坐標(biāo)為________

X

o\Ax

【答案】（4,2）

【分析】

作CELOA于E,由反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義求得0E,即可求得C的坐標(biāo)，從而求得直線0C的解析

式，根據(jù)平行線的性質(zhì)設(shè)直線48的解析式為y=2x+b,根據(jù)待定系數(shù)法即可求得解析式，然后與反比例函

數(shù)解析式聯(lián)立，解方程組即可求得D的坐標(biāo).

【詳解】

?:B(5,4),四邊形40cB為平行四邊形,

，CE=4,

Q

V反比例函數(shù)y=—的圖象經(jīng)過點C,

x

：.SACOE=-0E*CE=-X8,

22

???0E=2,

：.C(2,4),OA=AB=5-2=3,

?"(3,0),

設(shè)直線OC為產(chǎn)收，

把C(2,4)代入得，4=2女，解得七2,

■:AB//OC,

**?設(shè)直線AB的解析式為y=2x+bf

代入A(3,0)解得，0=6,

?,?直線AB的解析式為）=2x?6,

=2x-6

yx=-lx=4

由V8，得《或,

》二一3=一8,y=2

x

點。的坐標(biāo)為（4,2）,

故答案為：（4,2）.

【點睛】

本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，解方程組

等，求得直線A2的解析式是解題的關(guān)鍵.

2

13.（2021?山東濟(jì)寧市?九年級一模）如圖，點P,Q,R是反比例函數(shù)y=—的圖象上任意三點，PAA.y

x

軸于點A,QB軸于點8,7?。_1%軸于點。，5，邑，S?分別表示△Q4P,/\OBQ,△OCH的

面積，則S2,S3的大小關(guān)系是.

【答案】1

=s2=s3

【分析】

根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義作答.

【詳解】

解：依題意，得Si=l,S2=l,Sa=l,

，S|=S2=S3.

故答案為，=$2=醺.

【點睛】

本題考查了反比例函數(shù)的比例系數(shù)k與其圖象上的點與原點所連的線段、坐標(biāo)軸、向坐標(biāo)軸作垂線所圍成

的直角三角形面積S的關(guān)系，即S=?k|.

14.（2021.安徽九年級一模）如圖，將直線產(chǎn)x向下平移。個單位長度后得到直線/,直線/與反比例函數(shù)

Q

丁=一（%>0/>0）的圖象相交于點4,與x軸相交于點8,則。/_。82=.

【分析】

先寫出平移后宜線/的解析式丁=%-b,求得其與x軸的交點5(d0),設(shè)A(也加一切，由勾股定理解得

QQ

042=2加2—29+/，再根據(jù)A反比例函數(shù)y=、(A>0,x>0)的圖象上，得到s-力=藐，繼而整理

得到。個=16+/，由此解題即可.

【詳解】

解：將直線y=x向下平移。個單位長度后得到直線/：y=x-b,

今y=o,得x=b

B(b,0)

設(shè)A(〃z,m-b)

:,OA2-m2+(m-/?)2=2m2-2mb+h2

Q

?.?4反比例函數(shù)丁=1%>0/>0)的圖象上，

,8

:.m-b=一

m

nr-mb=S

：.2m2—2mb=16

資=16+〃

:.O^-OB2=16

故答案為：16.

【點睛】

并提出一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合，涉及一次函數(shù)的平移等知識，是重要考點，難度較易，掌握相關(guān)知識

是解題關(guān)鍵.

m

15.（2021?廣東陽江市?九年級一模）如圖，一次函數(shù)（原0）的圖象與反比例函數(shù)”=一（“為常

x

r）i

數(shù)且"用0）的圖象都經(jīng)過A（-1,2）,8（2,-1）,結(jié)合圖象，則關(guān)于x的不等式履+匕>一的解集是.

【分析】

根據(jù)一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方的x的取值范圍便是不等式丘+8>%的解集.

X

【詳解】

m

解：由函數(shù)圖象可知，當(dāng)一次函數(shù)>1=履+8（原0）的圖象在反比例函數(shù)J2=一（"?為常數(shù)且小和）的圖象

X

上方時，X的取值范圍是：元v-1或0VXV2,

不等式Ax+b>—的解集是x<-1或0<x<2,

X

故答案為：x<-1或0<x<2.

【點睛】

本題考查一次函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象的交點問題，主要考查了由函數(shù)圖象求不等式的解集.利用數(shù)形

結(jié)合思想分析是解題的關(guān)鍵.

16.（2021.西安鐵一中濱河學(xué)校九年級一模）若一個反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點&機(jī)，⑼和8（2機(jī)，-1）,則

這個反比例函數(shù)的表達(dá)式為

4

【答案】丁=一

x

【解析】

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的橫、縱坐標(biāo)之積不變可得關(guān)于m的方程，解方程即可求得m的值，再

由待定系數(shù)法即可求得反比例函數(shù)的解析式.

【詳解】設(shè)反比例函數(shù)解析式為丫=&，

由題意得：m2=2mx(-l),

解得：m=-2或m=0(不符題意，舍去),

所以點A(-2,-2),點B(-4,1),

所以k=4,

4

所以反比例函數(shù)解析式為：y二一，

4

故答案為y=一.

【點睛】本題考查了反比例函數(shù)，熟知反比例函數(shù)圖象上點的橫、縱坐標(biāo)之積等于比例系數(shù)k是

解題的關(guān)鍵.

17.(2021?陜西九年級零模)如圖，反比例函數(shù)y=L(x>0)的圖象交RAOAB的斜邊OA于點D,交直角

邊AB于點C,點B在x軸上.若AOAC的面積為5,AD：OD=1：2,則k的值為

【答案】8

【詳解】

試題分析：如答圖，過D點作x軸的垂線交x軸于H點,

,.?△ODH的面積=AOBC的面積=3閃=彳1<,△0人(2的面積為5,...408人的面積=5+31<.

VAD：OD=I：2,AOD：OA=2：3.

S（2丫o及4

；DH〃AB,.,.△ODH^AOAB,A_^?H=_,即-4.?=一.解得:k=8.

S.…I3）<,19

5+k

2

HB

考點：1.反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義；2.相似三角形的判定和性質(zhì).

三、解答題

18.（2021.河南許昌市.九年級一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系X。），中，菱形ABCD的頂點B的坐標(biāo)為（1,

0）,頂點C的坐標(biāo)為（4,2）,對角線AC〃x軸，邊AB所在直線yi=nx+b與反比例函數(shù)（%<0）的

X

圖象交于A,E兩點;

（1）求》和”的函數(shù)解析式；

（2）當(dāng)》>"時，求x的取值范圍；

（3）點P是x軸上一動點，當(dāng)ABAC是以AC為斜邊的直角三角形時，請直接寫出點P的坐標(biāo).

224

【答案】（1）yi=--x+—,y2=—,；（2）x<-2或0<x<3；（3）（7+75,0）,（1-底0）

33x

【分析】

（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)和B、C兩的坐標(biāo)即可求出A的坐標(biāo)，代入yi和y2求出即可；

（2）根據(jù)yi和y2的函數(shù)解析式得出點E的橫坐標(biāo)，觀察圖像即可得出答案；

（3）設(shè)點P的坐標(biāo)為（x,0）,AC的中點M,根據(jù)已知得出MP=，AC=3,列出方程解之即可

2

【詳解】

解：（1）連接BD,

???B的坐標(biāo)為(1,0),C的坐標(biāo)為(4,2),

???A的坐標(biāo)為(-2,2),

/.k=xy=-2x2=-4,

4

，反比例函數(shù)y2=—,

x

把A、B兩點坐標(biāo)代入yi=ax+b中得：

2

a=--

a+b-03

c,c，解得：1

-2a+。=2b/

3

22

.,?一次函數(shù)為yi=--x+—；

(2)當(dāng)yi=y2時，

224

--xH■—=--

33x

解得：x=-2或3

二點E的橫坐標(biāo)3

由圖像可得：當(dāng)yi>y2時，x<-2或0Vx<3

(3)設(shè)點P的坐標(biāo)為(x,0),

：A的坐標(biāo)為(-2,2),C的坐標(biāo)為(4,2),

AC的中點M的坐標(biāo)為(1,2),且AC=6

PAC是以AC為斜邊的直角三角形

，MP」AC=3,

2

??.(X-/)2+22=9

?*-Xj=l+yl5,X2=1-\/5

:,點P的坐標(biāo)為(1+6。)，(；-A/5,0)

【點睛】

本題是反比例函數(shù)和一次函數(shù)的綜合題，主要考查反比例函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)，以及菱形的性質(zhì)和直角

三角形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)的知識是解題的關(guān)鍵.

19.(2021?內(nèi)蒙古呼和浩特市?九年級一模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，反比例函數(shù)y='(x>0)的圖象

x

過點A(m,4)和點B,且點B的橫坐標(biāo)大于1,過A作x軸的垂線,垂足為C(1,0),過點B作y軸的垂

線，垂足為且A的面積等于4.記直線AB的函數(shù)解析式為y=or+8(存0).

(1)求點B的坐標(biāo)；

(2)求直線AB的函數(shù)解析式；

(3)請直接寫出8>以+6成立時，對應(yīng)的x的取值范圍.

x

4416

【答案】(1)點8的坐標(biāo)為(3,-)；(2)y=--x+—；(3)04<1或x>3.

333

【分析】

(1)直接將A的值代入函數(shù)y=七中，即可得出k的值，然后根據(jù)AAB。的面積等于4即可求出點B的坐

x

標(biāo)；

(2)根據(jù)A點和B點的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法可求出直線AB的解析式；

(3)根據(jù)圖象直接解答即可；

【詳解】

解：(1)由題意可知A(l,4).

,反比例函數(shù)y=1(x>0)的圖象過點41,4),

X

4

，2=4,???反比例函數(shù)解析式為y=—(x>0),

X

44

???設(shè)點B的坐標(biāo)為a，一)，則點。的坐標(biāo)為(0,-).

xx

,14

?,*/\ABD的面積為一X-(4-—)=4,

2x

4

解得工=3,且工=3是分式方程的解，則點3的坐標(biāo)為(3,-).

3

4

(2)將41,4),僅3,§)的坐標(biāo)代入產(chǎn)at+雙”邦)，

。+/?=4

得L,4，

3

4

a=——

解得《必3，

,16

b=—

I3

416

?：宜線A8的函數(shù)解析式為y=-一X+一.

33

(3)當(dāng)上>〃x+力成立時，從圖象可知x的取值范圍為：0<x〈l或x>3.

x

【點睛】

本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，利用函數(shù)圖形解不等式，熟練掌握待定系數(shù)法

是解答本題的關(guān)鍵.

20.(2021?上海靜安區(qū)?九年級一模)如圖，點A、4在第一象限的反比例函數(shù)圖像上，48的延長線與)，軸

交于點C,已知點4、8的橫坐標(biāo)分別為6、2,AB=2逐.

(1)求NAC。的余弦值；

(2)求這個反比例函數(shù)的解析式.

【分析】

(1)如圖，分別過點A、B作AD，y軸，BE，x軸，可證/ACO=NABH,由點A、B的橫坐標(biāo)分別為6、

2,可得AHE,再由勾股定理可求得BH,即可求解NAC。的余弦值：

(2)設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y=幺(％。0),根據(jù)點A、B在第一象限的反比例函數(shù)圖像上，則點A(6,-),

x6

B(2,-),由BH=2可得K—K=2,求出k值，此題即可得解.

226

【詳解】

解：(1)如圖，分別過點A、B作ADLy軸，BELx軸，垂足分別為D、E,AD、BE相交于點H.

：BE〃y軸，

.*.ZACO=ZABH,ZAHB=ZADC=90°.

?.?點A、B的橫坐標(biāo)分別為6、2,

AAH=4.

在RtAABH中，?；BH=dAB?-AH2=yl^)2-42=2.

RH2Is

...cosZACO=cosZABH=-----=―尸=——.

AB2755

k

(2)設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y=—(ZwO),

x

設(shè)點A(6,則B(2,-),

62

.kk_.

26

:?k=6,

A

...反比例函數(shù)解析式為＞=—.

X

【點睛】

本題考查了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)及求銳角的三角函數(shù)值，掌握反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)并能結(jié)合反比

例函數(shù)圖象上的點的坐標(biāo)特點求出函數(shù)表達(dá)式與角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.

21.(2021?上海普陀區(qū)?九年級一模)在平面直角坐標(biāo)系xQy中，反比例函數(shù)y=￡的圖像與一次函數(shù)

x

y=的圖像相交于橫坐標(biāo)為3的點A.

(1)求這個一次函數(shù)的解析式；

(2)如圖，已知點8在這個一次函數(shù)圖像上，點C在反比例函數(shù)＞的圖像上，直線軸，且在點

x

A上方，并與y軸相交于點D.如果點C恰好是BD的中點，求點B的坐標(biāo).

【答案】(1)y=x-\-.(2)3(4,3)

【分析】

(1)先將點A的坐標(biāo)求出來，然后代入一次函數(shù)表達(dá)式求解即可；

(2)根據(jù)題意設(shè)出C、B兩點的坐標(biāo)，將B點坐標(biāo)代入一次函數(shù)中即可求出最終結(jié)果.

【詳解】

解：(1)?.?點A在反比例函數(shù)圖像上且橫坐標(biāo)為3,則A(3,2),

由題意，得3&—1=2,

了.女=1,

???一次函數(shù)解析式y(tǒng)=x-l；

、16

(2)設(shè)Cx,一

Ix

/6、

B\2X,—,

Ix)

乂點3在一次函數(shù)圖像上,

6.1

—=2x—1,

x

3

解得》=2或％=——(舍去).

2

/.8(4,3).

【點睛】

本題考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合題，難度一般，熟練掌握一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合題的處理方法，

能夠設(shè)出點通過耒知數(shù)求解是解決本題的關(guān)鍵.

22.(2021?河南九年級二模)如圖，RrQABC中，NACB=90。，頂點A,8都在反比例函數(shù)y="(x>0)

X

的圖象上，直線AC_Lx軸，垂足為。，連結(jié)OA,OC,并延長OC交A3于點￡，當(dāng)A8=2OA時，

點E恰為AB的中點，若NAOZ)=45°，OA=2日

(1)求反比例函數(shù)的解析式；

x

【分析】

(1)根據(jù)勾股定理求得AD=OD=2,A(2,2),代入函數(shù)關(guān)系式求解即可；

(2)先根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半可得CE=BE,ZAEC=2ZECB,又由OA=AEu]■得

ZAOE=ZAEO=2ZECB,由平行線的性質(zhì)可知/ECB=/EOD,所以NEOD=，/AOD,代入求解即可.

3

【詳解】

(1)：AD_Lx軸，ZAOD=45°,OA=2五，

.?.AD=OD=2,

；.A(2,2),

???點A在反比例函數(shù)圖象上，

；.k=2x2=4,

4

即反比例函數(shù)的解析式為y=一.

X

(2):△ABC為直角三角形，點E為AB的中點，

，AE=CE=EB,ZAEC=2ZECB,

；AB=2OA,

；.AO=AE,

ZA0E=ZAE0=2ZECB,

VZACB=90°,ADJ_x軸，

.?.BC//X軸，

/.ZECB=ZEOD,

.?.NA0E=2ZE0D,

VZAOD=45°,

/.ZEOD=-ZAOD=-x45°=15°.

33

【點睛】

本題考查了反比例函數(shù)的解析式、含30度角的直角三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)等知

識點，根據(jù)題意找出角之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

23.(2021?廣東陽江市?九年級一模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)丫=11?+11(m#0)的圖象與反

比例函數(shù)y=K(k翔)的圖象交于第一、三象限內(nèi)的A、B兩點，與y軸交于點C,過點B作BMLx軸,

X

垂足為M,BM=OM,OB=2&，點A的縱坐標(biāo)為4.

(1)求該反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；

(2)連接AO,求AAOB的面積.

4

【答案】(1)y=-，y=2x+2；(2)3

x

【分析】

(1)根據(jù)題意得出B點坐標(biāo)，進(jìn)而得出反比例函數(shù)解析式，再利用待定系數(shù)法得出一次函數(shù)解析式;

（2）過點A作ADJ_y軸，垂足為D,過點B作BELy軸，垂足為E,求出點C的坐標(biāo)，從而得到OC的

長度，即可求出三角形的面積.

【詳解】

解：（1）由題意可得，BM=OM,OB=20，

.,.BM=OM=2,

.?.點B的坐標(biāo)為（-2,-2）,

k

設(shè)反比例函數(shù)的解析式為y=一,

x

則-2=土，得k=4,

-2

4

???反比例函數(shù)的解析式為y=一；

x

???點A的縱坐標(biāo)是4,

4,

；?4二一,得x=l,

x

???點A的坐標(biāo)為（1,4）,

,一次函數(shù)y=mx+n（m#0）的圖象過點A（1,4）、點B（-2,-2）,

m+n=4\m=2

受,得《，

-2m+〃=—2[n=2

即一次函數(shù)的解析式為：y=2x+2；

（2）連接OA,過點A作AD，y軸，垂足為D,過點B作BELy軸，垂足為E,

???y=2x+2與y軸交于點C,

???點C的坐標(biāo)為（0,2）,

：.OC=2,

?點A的坐標(biāo)為（1,4）,點B的坐標(biāo)為（-2,-2）

，AD=1,BE=2

AD-COBE-CO1x22x2

...△AOB的面積為:--------1-------=---4-----=3；

2222

【點睛】

此題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合問題，以及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是熟練掌

握反比例函數(shù)的性質(zhì)和一次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解題.

k

24.(2021?山東淄博市?九年級一模)如圖，一次函數(shù)yi=x+4的圖象與反比例函數(shù)”=一的圖象交于A(-