4.高考專題復(fù)習(xí)排列組合難題21種題型及方法

#高考數(shù)學(xué)排列組合難題種方法排列組合問題聯(lián)系實(shí)際生動有趣，但題型多樣，思路靈活，因此解決排列組合問題，首先要認(rèn)真審題，弄清楚是排列問題、組合問題還是排列與組合綜合問題；其次要抓住問題的本質(zhì)特征，采用合理恰當(dāng)?shù)姆椒▉硖幚怼?分類計(jì)數(shù)原理

完成一件事，有辦法中有（加法原理 ）n類辦法，在第種不同的方法，…，在第1類辦法中有n類辦法中有m種不同的方法，在第1.分類計(jì)數(shù)原理

完成一件事，有辦法中有（加法原理 ）n類辦法，在第種不同的方法，…，在第1類辦法中有n類辦法中有m種不同的方法，在第1完成這件事共有：m種不同的方法，那么n種不同的方法口.分步計(jì)數(shù)原理（乘法原理）

完成一件事，需要分成n個步驟，做第1步有種不同的方法，做第0m種不同的方法，…，做第0m種不同的方法，…，做第20：n步有m種不同的方法，那么完成這件事共n種不同的方法口.分類計(jì)數(shù)原理分步計(jì)數(shù)原理區(qū)別分類計(jì)數(shù)原理方法相互獨(dú)立，任何一種方法都可以獨(dú)立地完成這件事。分步計(jì)數(shù)原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一個階段，不能完成整個事件口解決排列組合綜合性問題的一般過程如下.認(rèn)真審題弄清要做什么事.怎樣做才能完成所要做的事進(jìn)行，確定分多少步及多少類。成整個事件口解決排列組合綜合性問題的一般過程如下.認(rèn)真審題弄清要做什么事.怎樣做才能完成所要做的事進(jìn)行，確定分多少步及多少類。.確定每一步或每一類是排列問題多少及取出多少個元素，即采取分步還是分類（有序）還是組合，或是分步與分類同時（無序）問題，元素總數(shù)是.解決排列組合綜合性問題，往往類與步交叉，因此必須掌握一些常用的解題策略.特殊元素和特殊位置優(yōu)先策略例1.10,1,2,3,4,5可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字五位奇數(shù):由于末位和首位有特殊要求，應(yīng)該優(yōu)先安排，以免不合要求的元素占了這兩個位置.000000然后排首位共有最后排其它位置共有由分步計(jì)數(shù)原理得C13C14A3:由于末位和首位有特殊要求，應(yīng)該優(yōu)先安排，以免不合要求的元素占了這兩個位置.000000然后排首位共有最后排其它位置共有由分步計(jì)數(shù)原理得C13C14A34C1C1A3=288434位置分析法和元素分析法是解決排列組合問題最常用也是最基本的方法0000000，再處理其它元素.若以位置分析為主C4C3，若以00分析為主 ，需，需先滿足000口的要求 ，再處理其它0置。若有多個約束條件，往往是考慮一個約束條件的同時還要兼顧其它條件，若兩種葵花不種在中間，也不練習(xí)題：7種不同的花種在000列的花盆里，若兩種葵花不種在中間，也不種在兩端的花盆里，問有多少不同的種法？二.相鄰元素捆綁策略例2.二.相鄰元素捆綁策略例2.700000，其中甲乙相鄰且丙丁相鄰,共有多少種不同的排法A5A2A2=480種不同的排法練習(xí)題：某人射擊同種數(shù)為208槍，命中4A5A2A2=480種不同的排法練習(xí)題：某人射擊同種數(shù)為208槍，命中4槍，4槍命中恰好有3槍連在一起的情形的不.不相鄰問題插空策略3.00晚會的節(jié)目有則節(jié)目的出場順序有多少種?:分兩步進(jìn)行第一步040舞蹈,2000 ,3000，舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場入第一步排好的由分步計(jì)數(shù)原理2個相聲和3000000元素中間包含首尾兩個空位共有種A5種，第二步將54舞蹈插，節(jié)目的不同順序共有A4不同的方法6解：可先將甲乙兩元素捆綁成整體并看000復(fù)合元素，同時丙丁也看成一個復(fù)合元素，再與其它元素進(jìn)行排列，同時對相鄰元素內(nèi)部進(jìn)行自0。由分步計(jì)數(shù)原理可得共有要求某幾個元素必須排在一起的問題，可以用捆綁法來解決問題.即將需要相鄰的元素合并為一個元素，再與其它元素一起作排列，同時要注意合并元素內(nèi)部也必須排列.元素相離問題可先把沒有位置要求的元素進(jìn)行排隊(duì)再把不相鄰元素插入中間和兩練習(xí)題：某班新年聯(lián)歡會原定的50練習(xí)題：某班新年聯(lián)歡會原定的50節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩0新節(jié)目0新節(jié)目.如果將這兩個新節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩個新節(jié)目不相鄰，那么不同插法的種數(shù)為.定序問題倍縮空位插入策略304.70排隊(duì):（倍縮法，其中甲乙丙3人順序一定共有多少不同的排法）對于某幾0元素順序一定的排列問題 ，可先把這幾0元素與其他元素一起進(jìn)行排列 ，然后用總排列數(shù)除以這幾那么不同插法的種數(shù)為.定序問題倍縮空位插入策略304.70排隊(duì):（倍縮法，其中甲乙丙3人順序一定共有多少不同的排法）對于某幾0元素順序一定的排列問題 ，可先把這幾0元素與其他元素一起進(jìn)行排列 ，然后用總排列數(shù)除以這幾0元素之間的（空位法全排列數(shù)，則00不同排法種數(shù)是：）設(shè)想有7把椅子讓除甲乙丙以外的00就坐00A4種方法，其7余的三個位置甲乙丙共有1種坐法，則共有A4種方法。7口插入法0思考：可以先讓甲乙丙就坐嗎）00000000 ,00方法1種排法，再把其余40000000定序問題可以用倍縮法，還可轉(zhuǎn)化為占位插練習(xí)題：10人身高各不相等增加，共有多少口法？練習(xí)題：10人身高各不相等增加，共有多少口法？C510五.重排問題求冪策略例5.把6名實(shí)習(xí)生分配到解：完成此事共分六步實(shí)習(xí)生分配到車間也有排法，排成前后排，每排 5人，要求從左至右身高逐漸7個車間實(shí)習(xí)，共有多少種不同的分法:把第一名實(shí)習(xí)生分配到車間有 7POP.把第二名7種分依此類推，由分步計(jì)數(shù)原理共有— 76種不同的允許重復(fù)的排列問題的特點(diǎn)是以元素為研究對象，元素不受位置的約束，可以逐一安排各個元素的位置，一般地n不同的元素沒有限制地安排在m個位置上的排列數(shù)為mn種練習(xí)題：11 某班新年聯(lián)歡會原定的 5個節(jié)目已排成節(jié)目單， 開演前又增加了兩個TOC\o"1-5"\h\z新節(jié)目 .如果將這兩個節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同插法的種數(shù)為 _422.某8層大樓一樓電梯上來 8名乘客人，他們到各自的一層下電梯 ，下電梯的方法 78六.環(huán)排問而排策略例6.8人圍桌而坐，共有多少種口法 ？口：圍桌而坐與坐成一排的不同點(diǎn)在于，坐成圓形沒有首尾之分，所以固定一人A4并從此位置把圓形展成直線其余 7人共有( 8-1)!種排法即7!一般地,n個不同元素作圓形排列，共有(n-1)!種排法.如果從n個不同元素中取出m個元素作圓形排列共有1Amnn練習(xí)題：6顆顏色不同的鉆石，可穿成幾種鉆石圈練習(xí)題：6顆顏色不同的鉆石，可穿成幾種鉆石圈120七.多排問題直排策略例7.8人排成前后兩排例7.8人排成前后兩排，每排4人，其中甲乙在前排，丙在后排，共有多少口法解：8人排前后兩排元素有 A解：8人排前后兩排元素有 A2種個位置上任意而，相當(dāng)于8人坐8把椅子，可以把椅子排成一排，再排后4個位置上的特殊元素丙有 ai種，其余的_4_A5種，則共有 A2AiA5種.個特殊5人在5'—獷'排一‘ 一后“排一一般地，元素分成多排的排列問題，可歸結(jié)為一排考慮，再分段研練習(xí)題：有兩排座位，前排定前排中間的11練習(xí)題：有兩排座位，前排定前排中間的11個座位，后排3個座位不能坐，并且這12個座位，現(xiàn)安排 2人就座規(guī)2人不左右相鄰，那么不同排法的種數(shù)是 346八.排列組合混合問題先選后排策略例8.有5個不同的小球，裝入4八.排列組合混合問題先選后排策略例8.有5個不同的小球，裝入4個不同的盒內(nèi)不同的裝法解：第一步從5個球中選出2個組成復(fù)合元共有（包含一個復(fù)合元素）裝入4個不同的盒內(nèi)有，每盒至少裝一個球 ，共有多少C2種方法 .再把4個元素5_A7種方法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)41,口在1,口在再排小集團(tuán)原理裝球的方法共有解決排列組合混合問題，先選后排是最基本的指導(dǎo)思想.此法與相鄰元素捆綁策略相似嗎?練習(xí)題：一個班有 6名戰(zhàn)士，其中正副班長各 1人現(xiàn)從中選4人完成四種不同的任務(wù)，每人完成一種任務(wù) ，且正副班長有且只有 1人參加，則不同的選法有192種九.小集團(tuán)問題先整體后局部策略例9.01,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)其中恰有兩個偶數(shù)夾兩個奇數(shù)之間，這樣的五位數(shù)有多少個？口：把口，口，口，口當(dāng)作一個小集團(tuán)與□排隊(duì)共有 A2種排法，內(nèi)部共有 A2A2種排法，由分步計(jì)數(shù)原理共有 A2A2A2種排法小集團(tuán)排列問題中，先整體后局部，再結(jié)合其它策略進(jìn)行處理。練習(xí)題：口.計(jì)劃展出10幅不同的畫，其中1幅水彩畫，口幅油畫，口幅國畫，排成一行陳列 ，要求同一品種的必須連在一起，并且水彩畫不在兩端，那么共有陳列方式的種數(shù)為 A2A5A42 5 45男生和□女生站成一排照像 ，男生相鄰 ，女生也相鄰的排法有 A2A5A5種十.元素相同問題隔板策略例10.有10個運(yùn)動員名額，分給7個班，每班至少一個 ，有多少種分配方案？解：因?yàn)?10個名額沒有差別，把它們排成一排。相鄰名額之間形成□個空隙。在1個空檔中選□個位置插個隔板，可把名額分成口口，對應(yīng)地分給1個班級，每一種插板方法對應(yīng)一種分法共有 C6種分法。

將n個相同的元素分成m份（n,m為正整數(shù)），每份至少一個元素，可以用m-1塊隔板，插入n個元素排成一排的n-1個空隙中，所有分法數(shù)為Cm-1n-1練習(xí)題：11 10個相同的球裝 5個盒中，每盒至少一有多少口法？ C492.x+y+z+w=100]這個方程組的自然數(shù)解的組數(shù) C3103十一.正難則反總體淘汰策略例11.從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這十個數(shù)字中取出三個數(shù)，使其和為不小于10000 ，不同的取法有多少種？解：這問題中如果直接求不小于000000 5個偶數(shù)解：這問題中如果直接求不小于000000 5個偶數(shù)10000很困難50口數(shù) ,00000000，可用總體淘汰法。這30000000C1C2+C3□□□□□55 5C1CC1C2+C3□□□□□55 5C1C2+C3-955 5練習(xí)題：我們班里有0000000口00多少種43位同學(xué),000050，正、副班長、團(tuán)支部書記至十二.平均分組問題除法策略12.6本不同的書平均分成 3堆解：分三步取書得 C2c2c2種方法本書為 ABCDE而若第而為 （AB,CD,EF）,，每堆20000000?，但這里出現(xiàn)重復(fù)計(jì)00現(xiàn)象AB,第二步0CD,D0D0則 c2c42c22 0，不妨記6EF該分法記[ 0(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)O0a33種00 ，而這些分法僅是 (AB,CD,EF)一種00 ，［00 c2c2c2/a3種6 4 2 300。平均分成的組，不管它們的順序如何渚B是一種情況，所以分組后要一定要除以An（n為均分的n組數(shù)）避免重復(fù)計(jì)數(shù)。練習(xí)題：1將13個球隊(duì)分成(c5c4c4/A2)138 4 23組，一組50隊(duì)，其它兩組4個隊(duì)，00000?只含有10000000 C1C2，和為0000法共有55小于10000共9種，符合條件000共有有些排列組合問題，正面直接考慮比較復(fù)雜，而它的反面往往比較簡捷，可以先求出它的反面，再從整體中淘汰.

2.10名學(xué)生分成3組，其中一組組，有多少種不同的分組方法(1540)3.某校高二年級共有六個班級，現(xiàn)從外地轉(zhuǎn)的兩個班級且每班安排2名，則不同的安排方案種數(shù)為十三.合理分類與分步策略例13.在一次演唱會上共 10名演員2.10名學(xué)生分成3組，其中一組組，有多少種不同的分組方法(1540)3.某校高二年級共有六個班級，現(xiàn)從外地轉(zhuǎn)的兩個班級且每班安排2名，則不同的安排方案種數(shù)為十三.合理分類與分步策略例13.在一次演唱會上共 10名演員出一個2人唱歌 2人伴舞的節(jié)目解：10演員中有5人只會唱歌，口人員為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行研究只會唱的5人中沒有人選上唱歌人員共有4人，另兩組3人但正副班長不能分在同一有1人選上唱歌人員 ace種，只會唱的534員有 C2c2種，由分類計(jì)數(shù)原理共有C2c2+C1C1C2+C2C2種。3 3 534 5 5入4名學(xué)生，要安排到該年級1C2C2A2/A2=9014 2 6 2，其中8人能能唱歌，5人會跳舞 ，現(xiàn)要演，有多少選派方法2人只會跳舞 3人為全能演員。選上唱C2C2種，只會唱的5人中只3 350000 2人選上唱歌人解含有約束條件的排列組合問題，可按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類，按事件發(fā)生的連續(xù)過程分步，做到標(biāo)準(zhǔn)明確。分步層次清楚，不重不漏，分類標(biāo)準(zhǔn)一旦確定要貫穿于解題過程的始終。練習(xí)題：1.從40000 3名女生中選出4000000談會，若這400必須既有男生又有女生，則不同的選法共有342.3成人2小孩乘船游玩，1號船最多乘能乘10，他們?nèi)芜x20船或30船0多少乘船方法 .(27口30,2號船最多乘，但小孩不能單獨(dú)乘一只船20,3000,這30共本題還有如下分類標(biāo)準(zhǔn)：以30全能演員是否選上唱歌人員為標(biāo)準(zhǔn)以30全能演員是否選上跳舞人員為標(biāo)準(zhǔn)000000 20是否選上跳舞人員為標(biāo)準(zhǔn)都可經(jīng)得到正確結(jié)果十四.構(gòu)造模型策略口14.馬路上0編號為口，但不能關(guān)掉相鄰的件的關(guān)燈方法有多少種?解：把此問題當(dāng)作一個排隊(duì)模型在1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路燈2盞或3盞，也不能關(guān)掉兩端的，現(xiàn)要關(guān)掉其00 32盞，口滿足條6盞亮燈0 5000000 3000000C3種一些不易理解的排列組合題如果能轉(zhuǎn)化為非常熟悉的模型，如占位填空模型，排隊(duì)模型，裝盒模型等，可使問題直觀解決

練習(xí)題：某排共有不同的坐法有多少種口□十五.實(shí)際操作窮舉策略例15.設(shè)有編號個球投入這五個盒子內(nèi)號與盒子的編號相同解：從50000010個座位，口120)4人就坐，每人左右兩邊都有空位，那么1,2,3,4,5的五00和編號，要求每個盒子放一00,，有多少投法20與盒子對號有1,2,3,4,5的五個盒子，現(xiàn)將5并且恰好有兩00的編C2種還剩下53球練習(xí)題：某排共有不同的坐法有多少種口□十五.實(shí)際操作窮舉策略例15.設(shè)有編號個球投入這五個盒子內(nèi)號與盒子的編號相同解：從50000010個座位，口120)4人就坐，每人左右兩邊都有空位，那么1,2,3,4,5的五00和編號，要求每個盒子放一00,，有多少投法20與盒子對號有1,2,3,4,5的五個盒子，現(xiàn)將5并且恰好有兩00的編C2種還剩下53球3盒序號不能對應(yīng)，利用實(shí)際操作法，如果剩下時，則有也只有4,5號球有只有1種裝法3,4,5001種裝法，同理，由分步計(jì)數(shù)原理有,3,4,5號盒300裝40盒300裝50盒時，4,5002C2種530盒40盒50盒對于條件比較復(fù)雜的排列組合問題，不易用公式進(jìn)行運(yùn)算，往往利用窮舉法或畫出樹狀圖會收到意想不到的結(jié)果練習(xí)題：1.00004人，每人寫一張賀年卡集中起來卡，則四張賀年卡不同的分配方式有多少種？2.給圖中區(qū)域涂色 ，要求相鄰區(qū)域不同色方法有72種，然后每人各拿一張別人的賀年⑼，現(xiàn)有4種可選顏色，則不同的著色十六.分解與合成策略例16.30030能被多少個不同的偶數(shù)整除分析：先把30030分解成質(zhì)因數(shù)的乘積形式1111330030=2131517口組成乘積，依題意可知偶因數(shù)必先取2,0000 5000000000所有的偶因數(shù)為： C1+C2+C3+C4+C55 5 5 5 5練習(xí)：正方體的80頂點(diǎn)可連成多少對口面直線解：我們先從 80頂點(diǎn)00040頂點(diǎn)構(gòu)成四體共有體共面體有3對口面直線,00000 80頂點(diǎn)可連成C4—12=58，每0四8 3x58=174對異面直線分解與合成策略是排列組合問題的一種最基本的解題策略,把一個復(fù)雜問題分解成幾個小問題逐一解決,然后依據(jù)問題分解后的結(jié)構(gòu)用分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理將問題合成，從而得到問題的答案，每個比較復(fù)雜的問題都要用到這種解題策略十七.化歸策略例17.25人排成515方口，現(xiàn)從中選3人，要求3人不在同一行也不在同一列，不同的選法有多少種？解：將這個問題退化成9人排成 313方口，現(xiàn)從中選3人，要求3人不在同一行也不在同一列，有多少選法.這樣每行必有 1人從其中的一行中選取例17.25人排成515方口，現(xiàn)從中選3人，要求3人不在同一行也不在同一列，不同的選法有多少種？解：將這個問題退化成9人排成 313方口，現(xiàn)從中選3人，要求3人不在同一行也不在同一列，有多少選法.這樣每行必有 1人從其中的一行中選取1人后，把這人所在的行列都劃掉，如此繼續(xù)下去.從313方隊(duì)中選3人的方法有可解決問題.從51方陣選不在同一行也不在同一列的℃10種。再從 515方口選出 313方陣便3215方隊(duì)而— 3行3列有 c3c3選法所以從 5153人有c3c3c1C1c1選法。5 5 321處理復(fù)雜的排列組合問題時可以把一個問題退化成一個簡要的問題，通過解決這個簡要的問題的解決找到解題方法，從而進(jìn)下一步解決原來的問題從A走練習(xí)題：某城市的街區(qū)由到B的最短路徑有多少種？12個全等的矩形區(qū)組成其中實(shí)線表示馬路，(c3=35)7十八.數(shù)字排序問題查字典策略例181由 0,1,2,3,4,5六個數(shù)字可以組成多少個沒有重復(fù)的比大的數(shù)？解：N=2A5+2A4+A3+A2+A1=2975 4 3 2 1數(shù)字排序問題可用查字典法 ，查字典的法應(yīng)從高位向低位查 ，依次求出其符合要求的個數(shù)，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理求出其總數(shù)。324105練習(xí)