河南八市2023學(xué)年高考全國統(tǒng)考預(yù)測(cè)密卷數(shù)學(xué)試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。

3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

QinY

1.已知函數(shù)/(力=」一的部分圖象如圖所示，將此圖象分別作以下變換，那么變換后的圖象可以與原圖象重合

l+2sinx

的變換方式有()

①繞著x軸上一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。；

②沿x軸正方向平移；

③以x軸為軸作軸對(duì)稱；

④以x軸的某一條垂線為軸作軸對(duì)稱.

A.①③B.③④C.②③D.②④

2.若直線y=-2x的傾斜角為a,貝(!sin2a的值為()

4443

A.—B.——C.士-D.--

5555

3

、x+sinx

3.已知函數(shù)fM=-―-——-~；—-為奇函數(shù)，貝!|m=()

(1+x)(m-x)+e+e

1

A.-B.1C.2D.3

2

4.下列四個(gè)結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是

(1)對(duì)于命題。閆與6/?使得看一140,則都有

(2)已知X?N(2,b2),貝！|P(X>2)=0.5

(3)已知回歸直線的斜率的估計(jì)值是2,樣本點(diǎn)的中心為(4,5),則回歸直線方程為￡=2x-3；

(4)“xNl”是“x+，22”的充分不必要條件.

X

A.1B.2C.3D.4

5.已知函數(shù)/（x）=gsinx+乎cos無，將函數(shù)/（x）的圖象向左平移加，〃>。）個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得到的圖象關(guān)于）'軸

對(duì)稱，則"2的最小值是（）

兀兀；r〃

A,—B.-C.—D.一

6432

6.已知等差數(shù)列｛%,｝的公差為-2,前”項(xiàng)和為S“，%,%為某三角形的三邊長(zhǎng)，且該三角形有一個(gè)內(nèi)角為120。，

若S“WS,“對(duì)任意的〃eN*恒成立，則實(shí)數(shù)加=（）.

A.6B.5C.4D.3

7.天干地支，簡(jiǎn)稱為干支，源自中國遠(yuǎn)古時(shí)代對(duì)天象的觀測(cè).“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”稱為十天

干，“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥”稱為十二地支.干支紀(jì)年法是天干和地支依次按固定的順序

相互配合組成，以此往復(fù)，60年為一個(gè)輪回.現(xiàn)從農(nóng)歷2000年至2019年共20個(gè)年份中任取2個(gè)年份，則這2個(gè)年份

的天干或地支相同的概率為（）

29485

A.—B.—C.—D.—

19959519

22

8.設(shè)雙曲線C：二—二=1g>0力>0）的左右焦點(diǎn)分別為《，鳥，點(diǎn)E（0"）（r>0）.已知?jiǎng)狱c(diǎn)P在雙曲線C的右支

a"b~

上，且點(diǎn)P,E，6不共線.若APE"的周長(zhǎng)的最小值為48,則雙曲線。的離心率6的取值范圍是（）

9.已知。=（彳）。',5=108]0.2述=<?,則a,>,c的大小關(guān)系是（）

22

A.a<b<cB.c<a<bC.a<c<bD.b<c<a

10.設(shè)〃x）=?,點(diǎn)0（0,0）,4（“，〃〃）），〃GN*,設(shè)NA%,=仇對(duì)一切〃eM都有不等式

空1+竺2+竺2+……+竺％<尸一2，—2成立，則正整數(shù)，的最小值為（）

I22232n2

A.3B.4C.5D.6

11.等比數(shù)列｛《,｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，且/%+%%=18,貝！]k）g3%+log3a2+…+bg3%o=（）

A.12B.10C.8D.2+log35

12.“完全數(shù)”是一些特殊的自然數(shù)，它所有的真因子（即除了自身以外的約數(shù)）的和恰好等于它本身.古希臘數(shù)學(xué)家

畢達(dá)哥拉斯公元前六世紀(jì)發(fā)現(xiàn)了第一、二個(gè)“完全數(shù)”6和28,進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)后續(xù)三個(gè)完全數(shù)”分別為496,8128,

33550336,現(xiàn)將這五個(gè)“完全數(shù)”隨機(jī)分為兩組，一組2個(gè)，另一組3個(gè)，則6和28不在同一組的概率為（）

1234

A.-B.—C?-D.一

5555

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.甲、乙、丙、丁四名同學(xué)報(bào)名參加淮南文明城市創(chuàng)建志愿服務(wù)活動(dòng)，服務(wù)活動(dòng)共有“走進(jìn)社區(qū)”、“環(huán)境監(jiān)測(cè)”、“愛

心義演”、“交通宣傳”等四個(gè)項(xiàng)目，每人限報(bào)其中一項(xiàng)，記事件A為“4名同學(xué)所報(bào)項(xiàng)目各不相同”，事件8為“只有甲

同學(xué)一人報(bào)走進(jìn)社區(qū)項(xiàng)目”，則P（A|B）的值為.

x+y>3

14.已知實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件1,則z=2的最小值為.

x<2

15.設(shè)函數(shù)/*）=,+2019，V~°,則滿足的x的取值范圍為.

16.某學(xué)校高一、高二、高三年級(jí)的學(xué)生人數(shù)之比為5:5:4,現(xiàn)按年級(jí)采用分層抽樣的方法抽取若干人，若抽取的高

三年級(jí)為12人，則抽取的樣本容量為人.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）如圖所示，在四棱錐P—ABCD中，底面A5CD為正方形，PA±AB,PA=6,AB=S,PD=10,

N為PC的中點(diǎn)，尸為棱8c上的一點(diǎn).

（1）證明：^PAFl^ABCD；

（2）當(dāng)尸為中點(diǎn)時(shí)，求二面角A-N/一。余弦值.

18.（12分）如圖，在等腰梯形ABCD中，AOM5C,AD^AB=CD=2,BC=4,M，N,。分別為BC,CD,

AC的中點(diǎn)，以AC為折痕將AACD折起，使點(diǎn)O到達(dá)點(diǎn)P位置（P任平面ABC）.

（1）若H為直線QN上任意一點(diǎn)，證明：〃平面ABP;

(2)若直線A3與直線MN所成角為四，求二面角A-PC-3的余弦值.

4

19.(12分)已知數(shù)列｛4｝滿足4=5,%+2=2%.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)若2=〃(％,-4),求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和Sn.

20.(12分)已知三棱錐A-BCD中側(cè)面4犯與底面BCD都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,且面A3。，面8c。，M.N

分別為線段AQ、A5的中點(diǎn).P為線段8C上的點(diǎn)，且MNJLNP.

(D證明：P為線段BC的中點(diǎn)；

(2)求二面角A—的余弦值.

21.(12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線C：(p>0)的焦點(diǎn)尸在直線x+y—1=0上，平行

于x軸的兩條直線4，4分別交拋物線C于A,5兩點(diǎn)，交該拋物線的準(zhǔn)線于O,E兩點(diǎn).

(2)若尸在線段AB上，尸是OE的中點(diǎn)，證明：AP//EF.

22.(10分)已知函數(shù)/(x)=/-x+gx2.

(1)若玉彳工2,且/(4)=/(工2)，求證：

(2)若xeR時(shí)，f(x)>-x2+ax+b,求他+6的最大值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.D

【解析】

計(jì)算得到了(x+2公r)=/(x),=+故函數(shù)是周期函數(shù)，軸對(duì)稱圖形，故②④正確，根據(jù)圖像

知①③錯(cuò)誤，得到答案.

【詳解】

、sinx，/、sin(x+2Z4)sinx.

/(x)=———,仆+2癡)=)--1-=(kwZ，

1+2sinxl+2sin(x+2Z;r)1+2siiir

當(dāng)沿x軸正方向平移個(gè)單位時(shí)，重合，故②正確

故-+xj，函數(shù)關(guān)于X=］對(duì)稱，故④正確；

根據(jù)圖像知：①③不正確；

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了根據(jù)函數(shù)圖像判斷函數(shù)性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)于三角函數(shù)知識(shí)和圖像的綜合應(yīng)用.

2.B

【解析】

根據(jù)題意可得：tana=-2,所求式子利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，再利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系弦化切后,

將tana=-2代入計(jì)算即可求出值.

【詳解】

由于直線y=-2x的傾斜角為。，所以tana=-2,

.一c.2sintzcost/2tan?-2x24

則sin2a=2sinacosa=——--------5—=——；-------=-----$——=——

sin-5a+cos-atan-a+1（-2）+15

故答案選B

【點(diǎn)睛】

本題考查二倍角的正弦函數(shù)公式，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及直線傾斜角與斜率之間的關(guān)系，熟練掌握公式是

解本題的關(guān)鍵.

3.B

【解析】

根據(jù)/（力整體的奇偶性和部分的奇偶性，判斷出的值.

【詳解】

依題意“X）是奇函數(shù).而>=》3+$m；1為奇函數(shù)，y="+eT為偶函數(shù)，所以g（X）=（l+M（加一%）為偶函數(shù)，故

g（x）-g（-%）=0,也即（l+x）（加一次）-（1一x）（/"+x）=0,化簡(jiǎn)得（2加一2）%=0,所以加=1.

故選：B

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查根據(jù)函數(shù)的奇偶性求參數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.

4.C

【解析】

由題意，（1）中，根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系，即可判定是正確的；（2）中，根據(jù)正態(tài)分布曲線的性質(zhì)，即可

判定是正確的；（3）中，由回歸直線方程的性質(zhì)和直線的點(diǎn)斜式方程，即可判定是正確；（4）中，基本不等式和充要

條件的判定方法，即可判定.

【詳解】

由題意，（1）中，根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系，可知命題。三天6/?使得需-140,則「〃：VxeA都有

x2-l>0,是錯(cuò)誤的；

（2）中，已知X?N（2,（T2）,正態(tài)分布曲線的性質(zhì)，可知其對(duì)稱軸的方程為x=2,所以P（X>2）=0.5是正確的;

（3）中，回歸直線的斜率的估計(jì)值是2,樣本點(diǎn)的中心為（4,5）,由回歸直線方程的性質(zhì)和直線的點(diǎn)斜式方程，可得

回歸直線方程為J=2x-3是正確；

(4)中，當(dāng)xNl時(shí)，可得》+‘22/尤'=2成立，當(dāng)x+」N2時(shí)，只需滿足x>0,所以“xN1”是“x+，22”

X\XXX

成立的充分不必要條件.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了命題的真假判定及應(yīng)用，其中解答中熟記含有量詞的否定、正態(tài)分布曲線的性質(zhì)、回歸直線方程的性

質(zhì)，以及基本不等式的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，逐項(xiàng)判定是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于

基礎(chǔ)題.

5.A

【解析】

化簡(jiǎn)/(x)=gsiiw+#cosx為/(x)=sin，+?],求出它的圖象向左平移機(jī)⑷>0)個(gè)單位長(zhǎng)度后的圖象的函數(shù)表

達(dá)式y(tǒng)=sin[x+加+。),利用所得到的圖象關(guān)于>軸對(duì)稱列方程即可求得加=7+&%(AGZ),問題得解。

【詳解】

函數(shù)/(x)=gsiar+?^cosx可化為：f(x)=sin(x+1],

將函數(shù)/(x)的圖象向左平移，”(〃?>0)個(gè)單位長(zhǎng)度后，

得到函數(shù)卜=4111》+加+5)的圖象，又所得到的圖象關(guān)于)'軸對(duì)稱，

IJT\jrjr-rr

所以sin0+6+不=±1,解得：m+—=—卜k兀(kwz),即：m=——卜k兀(kwz),

\3J326

TT

又7W>0,所以mmin=：.

6

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了兩角和的正弦公式及三角函數(shù)圖象的平移、性質(zhì)等知識(shí)，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題。

6.C

【解析】

若S“<S,“對(duì)任意的"eN*恒成立，則s,“為S”的最大值，所以由已知，只需求出s“取得最大值時(shí)的〃即可.

【詳解】

由已知，4>。2>。3>0，又三角形有一個(gè)內(nèi)角為120°,所以=色+a2a3,

22

a[=(?,-2)+(?,-4)+(fl1-2)(?,-4),解得％=7或4=2(舍)，

故S.=7〃+Dx(-2)=一〃2+8〃,當(dāng)〃=4時(shí)，S“取得最大值，所以加=4.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查等差數(shù)列前〃項(xiàng)和的最值問題，考查學(xué)生的計(jì)算能力，是一道基礎(chǔ)題.

7.B

【解析】

利用古典概型概率計(jì)算方法分析出符合題意的基本事件個(gè)數(shù)，結(jié)合組合數(shù)的計(jì)算即可出求得概率.

【詳解】

20個(gè)年份中天干相同的有10組(每組2個(gè))，地支相同的年份有8組(每組2個(gè))，從這20個(gè)年份中任取2個(gè)年份,

n10+89

則這2個(gè)年份的天干或地支相同的概率P=.

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查古典概型的計(jì)算，考查組合數(shù)的計(jì)算，考查學(xué)生分析問題的能力，難度較易.

8.A

【解析】

依題意可得C&PEF,=PE+PF2+EF2=PE+PF2+EF1>2PF}-2a=4b

即可得到2a+4〃>2(a+c),從而求出雙曲線的離心率的取值范圍；

【詳解】

解：依題意可得如下圖象，C&PEF2=PE+PF2+EF2=PE+PF2+EF]

-PE+PF}+ER-2a

>2PFi-2a=4b

2P4=2a+4/?>2（a+c）

所以28>c

貝！14c2-4a2>c2

所以3c2>4/

M4-

所以

【點(diǎn)睛】

本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，屬于中檔題.

9.B

【解析】

利用函數(shù)y=與函數(shù)>=l°g;X互為反函數(shù)，可得再利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)比較a,c進(jìn)而可得結(jié)論.

【詳解】

依題意，函數(shù)y=與函數(shù))'=l°g；x關(guān)于直線對(duì)稱，貝U0<(￡|<log|0.2,

/]\0.2xlog]0.2z]xlogjO.20,2z1x0.2z1\0.2

即0<avZ?<l,又c=2=2=0.2。。=a9

所以，c<a<b.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查對(duì)數(shù)、指數(shù)的大小比較，屬于基礎(chǔ)題.

10.A

【解析】

先求得空％=1=!一二二’再求得左邊的范圍'只需『-2,-221，利用單調(diào)性解得t的范圍.

n+n

【詳解】

.sin26>?_1_11

由題意知sin必?*------------------------------------————.

291

nn~+nnn+1

.sin'仇sin2asin2asin*,,,IIIII

??—+—+—^-+........+-7-^=1--+--------+--------+--——=1-——,隨n的增大而增大,

I22232n222334nn+1n+1

二產(chǎn)一2r—221，即/―2,一120,又f(t)=*-2”l在tNl上單增,f(2)=-KO,f(3)=2>0,

???正整數(shù)f的最小值為3.

【點(diǎn)睛】

本題考查了數(shù)列的通項(xiàng)及求和問題，考查了數(shù)列的單調(diào)性及不等式的解法，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

11.B

【解析】

由等比數(shù)列的性質(zhì)求得4%。，再由對(duì)數(shù)運(yùn)算法則可得結(jié)論.

【詳解】

???數(shù)列僅”｝是等比數(shù)列，...+a4a彳——18,=9,

5

Alog3ax+log3?,+???+log3am=\og^axa2■--?l0)=log3(a,a10)=51og39=10.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，掌握等比數(shù)列的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

12.C

【解析】

先求出五個(gè)“完全數(shù)”隨機(jī)分為兩組，一組2個(gè)，另一組3個(gè)的基本事件總數(shù)為點(diǎn)=10,再求出6和28恰好在同一組

包含的基本事件個(gè)數(shù)，根據(jù)即可求出6和28不在同一組的概率.

【詳解】

解：根據(jù)題意，將五個(gè)“完全數(shù)”隨機(jī)分為兩組，一組2個(gè)，另一組3個(gè)，

則基本事件總數(shù)為C；=1(),

則6和28恰好在同一組包含的基本事件個(gè)數(shù)C；+G=4,

10-43

.?.6和28不在同一組的概率P=-----

105

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查古典概型的概率的求法，涉及實(shí)際問題中組合數(shù)的應(yīng)用.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.-

9

【解析】

根據(jù)條件概率的求法，分別求得尸（B）,P（AB）,再代入條件概率公式求解.

【詳解】

根據(jù)題意得p⑻4=急,P（M=9=2

所以P⑷/0、=置尸（A3）2

故答案為：

【點(diǎn)睛】

本題主要考查條件概率的求法，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題.

1

14.-

2

【解析】

作出滿足約束條件的可行域，將目標(biāo)函數(shù)視為可行解（x,y）與（0,0）點(diǎn)的斜率，觀察圖形斜率最小在點(diǎn)B處，聯(lián)立

x+y=3

《:，解得點(diǎn)3坐標(biāo)，即可求得答案.

【詳解】

尤+”3

作出滿足約束條件y43x-l的可行域，該目標(biāo)函數(shù)z=2=T視為可行解（x,y）與（0,0）點(diǎn)的斜率，故

-xx-0

y=3x-l|x+y=3/、

由題可知，聯(lián)立x—2得4(2,5),聯(lián)立J?得8(2』)

所以％=；,故g?ZJ

【點(diǎn)睛】

本題考查分式型目標(biāo)函數(shù)的線性規(guī)劃問題，屬于簡(jiǎn)單題.

15.(1,+℃)

【解析】

當(dāng)x40時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)為常數(shù)，故需滿足/一4>—3x，且—3x<0,解得答案.

【詳解】

爐+2019x<0

fM=\'",當(dāng)x<0時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)工〉0時(shí)，函數(shù)為常數(shù)，

2020,x>0

/(/-4)>/(—3x)需滿足/一4>一3%，且一3x<0,解得x>l.

故答案為：(I,”).

【點(diǎn)睛】

本題考查了根據(jù)函數(shù)單調(diào)性解不等式，意在考查學(xué)生對(duì)于函數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用.

16.42

【解析】

根據(jù)分層抽樣的定義建立比例關(guān)系即可得到結(jié)論.

【詳解】

設(shè)抽取的樣本為“，

45+5+4

則由題意得一=~-------解得〃=42.

12n

故答案為：42

【點(diǎn)睛】

本題考查了分層抽樣的知識(shí)，算出抽樣比是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（1）證明見解析；（2）一之叵.

61

【解析】

（D要證明面皿'，面ABCD,只需證明24_1面43。。即可；

U

（2）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB,AD,AP分別為X,y,z軸建系，分別計(jì)算出面ANE法向量勺，面PBC的法

UU

向量〃2,再利用公式計(jì)算即可.

【詳解】

證明：（1）因?yàn)榈酌鍭BC。為正方形，所以AD=AB=8

又因?yàn)镻A=6,F>￡>=10,滿足p/+A￡>2=p02,

所以

又E4_LA8，A￡）u面ABC。，ABIfflABCD,

ABoAD-A>

所以PA，面ABCD

又因?yàn)镼4u面Q4尸，所以，面PFL面ABCO.

（2）由（1）知AB，AD,AP兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB，AD,AP分別為x,y,工軸建系如圖所示,

則A（0,0,0）,P（0,0,6）,B（8,0,0）,C（8,8,0）,￡）（0,8,0）則N（4,4,3）,F（8,4,0）.

所以赤=（8,4,0）,而=（4,4,3）,前=（0,8,0）,1=（8,8,-6）,

n,-AF=08X]+4y,=0

設(shè)面河尸法向量為—片式.冷乂烏、》則由已,c得，；rc,

v-AN=0[4X[+4x+3Z]=0

人?33叫一「33八

令4=1得玉=7，即〃?=|『—5,1〉

同理，設(shè)面PBC的法向量為后=（X2，%，Z2），

pT.PC=08X+8y2-6Z=0

則由，2—得22

n,-BC=08%=。

令z2=4得.q=3,%=°，即％=（3,0,4）,

3

-x3+0+lx4

45國

所以cos<A],%〉=

61

設(shè)二面角A-Nr一C的大小為e,則

5761

COS^=-COS<>=-

61

所以二面角A—八下一。余弦值為-2叵

61

【點(diǎn)睛】

本題考查面面垂直的證明以及利用向量法求二面角，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，此類問題關(guān)鍵是準(zhǔn)確寫出點(diǎn)的坐標(biāo),

是一道中檔題.

18.（1）見解析（2）

7

【解析】

(1)根據(jù)中位線證明平面MNQ||平面Q45,即可證明MH〃平面43P；(2)以QM,QC,QP為x,y,z軸建立

空間直角坐標(biāo)系，找到點(diǎn)的坐標(biāo)代入公式即可計(jì)算二面角的余弦值.

【詳解】

(1)證明：連接。例,

,:M,N,。分別為8C,CD,AC的中點(diǎn)，

AQM//AB,

又平面AB\平面叢6,

二QM〃平面Q46,

同理，QN〃平面

???QMu平面MNQ,QNu平面MNQ,QMQQN^Q,

二平面MNQ||平面BAB,

???MHu平面MNQ,

???9/〃平面ABP.

(2)連接P。，在AABC和AACD中，由余弦定理可得，

AC2=AB2+BC2-2ABBC-cosZABC

AC2=AD2+CD2-2ADCDcosZADC)

由NA3C與/ADC互補(bǔ)，AD=AB=CD=2,BC=4,可解得AC=26，

于是BC2=AB2+AC2，

AAB±AC,QMLAC,

71

?：QM//AB,直線AB與直線MN所成角為一，

4

TT

：?4QMN=—,又QM=QN=\,

4

jr

：.4MQN=a，即QMLQN,

.?.QM_L平面APC,

...平面ABC_L平面APC,

???Q為AC中點(diǎn)，PQ-i-AC,

：.PQJ?平面ABC,

如圖所示，分別以QM,QC,QP為x,y,二軸建立空間直角坐標(biāo)系，則3(2,-百,0),C(0,V3,0),TO0,1),

而=(2,-百,-1),定=((),8,-1).

設(shè)平面PBC的法向量為n=(x,y,z),

n-PB=Q{2x-y/3y-z=Q

二〈一，即〈L-

n-PC=0島-z=0

令y=l,則x=G，z=6,可得平面PBC的一個(gè)法向量為萬=(G,1,6).

又平面APC的一個(gè)法向量為m=(1,0,0),

.___mnV21

??cos<m,n>=--------=-----,

|沅|?|利7

...二面角A-PC-3的余弦值為叵.

7

【點(diǎn)睛】

此題考查線面平行，建系通過坐標(biāo)求二面角等知識(shí)點(diǎn)，屬于一般性題目.

,,+l

19.(1)a“=2+3x2”\(2)S?=3(/?-l)x2+6

【解析】

(1)根據(jù)遞推公式，用配湊法構(gòu)造等比數(shù)列｛02｝,求其通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出｛4｝的通項(xiàng)公式;

(2)求出數(shù)列仍/的通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列｛年｝的前〃項(xiàng)和S,,.

【詳解】

解：⑴a,,+2=2a“_|,

a”_22(a“_]_2),q-2=3

2｝是首項(xiàng)為3,公比為2的等比數(shù)列.

所以a,—2=3x2i,.?.a“=2+3x2"T.

(2)d=(4+3x2"-4)〃=3〃x2"

5?=3x(lx21+2x22+3x23+.--+nx2z,)

25?=3x(lx22+2x23+3x24+.--+nx2n+l)

-S=3x(2l+22+23+.-.+2,,-nx2n+1)=3x+l

n2*02)_3?x2?

S“=3(〃-l)x2"+'6.

【點(diǎn)睛】

本題考查了由數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)公式，錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前〃項(xiàng)和的問題，屬于中檔題.

20.(1)見解析；(2)叵

5

【解析】

(1)設(shè)。為BO中點(diǎn)，連結(jié)。4,OC,先證明可證得假設(shè)P不為線段8C的中點(diǎn)，可得

平面ABC,這與ND3C=6O°矛盾，即得證；

(2)以。為原點(diǎn)，以O(shè)B,OC,04分別為％，Vz軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求解平面ANP,平面MNP的法

向量的法向量，利用二面角的向量公式，即得解.

【詳解】

(1)設(shè)。為BO中點(diǎn)，連結(jié)。4,OC.

：.OA±BD,OCLBD,

又OAnOC=O

3￡>J_平面。4C,

ACu平面。4C,

BD±AC.

又M,N分別為ADAB中點(diǎn)，

MN//BD,又MNLNP,

：.BDLNP.

假設(shè)P不為線段BC的中點(diǎn)，

則NP與AC是平面內(nèi)ABC內(nèi)的相交直線，

從而BD_L平面ABC,

這與NDBC=60°矛盾，所以P為線段8c的中點(diǎn).

(2)以。為原點(diǎn)，由條件面面BCD,

：.AO10C,以QB,OC,Q4分別為％，V，z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)平面ANP的法向量為沅=(汨y,z)

1百

—x------z=0n

m-AN=0

所以《22

m-PN=Q百G八

------yH------z=0

22

取y=i,貝Uz=i,》=\/5=＞比=(6,1,1).

同法可求得平面MNP的法向量為n=(0,1,1)

/_八m-n2V10

gw〃"麗=南r號(hào)'

由圖知二面角A-NP-M為銳二面角，

二面角A-NP-M的余弦值為叵.

5

【點(diǎn)睛】

本題考查了立體幾何與空間向量綜合，考查了學(xué)生邏輯推理，空間想象，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.

21.(1)/=4x；(2)見解析

【解析】

(D根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)在直線x+y-1=0上，可求得〃的值，從而求得拋物線的方程；

(2)法一：設(shè)直線4，&的方程分別為丫=。和)，=人且bWO,a'b,可得A,B,D,E的坐標(biāo)，進(jìn)而

可得直線A3的方程，根據(jù)F在直線A8上，可得=再分別求得k”，kEF,即可得證；法二：設(shè)A(玉,y),

3(馬,%)，則。［-1，號(hào)&，根據(jù)直線AB的斜率不為0,設(shè)出直線AB的方程為％-1=團(tuán)，聯(lián)立直線AB和拋

物線C的方程，結(jié)合韋達(dá)定理，分別求出頷0，kEF,化簡(jiǎn)陽P-%EF，即可得證.

【詳解】

(1)拋物線C的焦點(diǎn)F坐標(biāo)為且該點(diǎn)在直線x+y-l=0上，

所以1=0,解得〃=2,故所求拋物線C的方程為>2=4%

(2)法一：由點(diǎn)尸在線段A3上，可設(shè)直線4,/,的方程分別為y=a和y且8刈，山。，則,

(4)

(b2}

B—,bf。(—l,a),E(—

、4>

h-a(/、

直線AB的方程為=/_a2］無一彳J,即4x-(a+b)y+a〃=0.

Z-Z

又點(diǎn)尸(1,0)在線段AB上，.??a匕=T.

???P是OE的中點(diǎn)，???2(―1,空2

a+b4/

a------ciH—04

_____2_=___Q_±,——

?nL=2

??AP/?2+4a'k=-=-^-

——+1-a----"EF-2-2KJ

42~

由于AP,￡/不重合，所以A尸〃。

法二：設(shè)A(/X),8(9,%)，則PT，14呈

當(dāng)直線A3的斜率為0時(shí)，不符合題意，故可設(shè)直線AB的方程為

聯(lián)立直線A8和拋物線C的方程〈2',得y2_4/〃y-4=0

[y=4x

又口，%為該方程兩根，所