幾何概型的類型及解法

幾何概型的類型及解法幾何概型是一種特殊的概率模型，下面結(jié)合例題介紹它的類型及其解題方法。一、與長度有關(guān)的幾何概型若一次試驗中所有可能結(jié)果和某個事件A包含的結(jié)果（基本事件）都對應(yīng)一個長度，如線段長、時間區(qū)間、距離、路程等，那么需要求出各自相應(yīng)的長度，然后運用幾何概型的計算公式即可求出事件A發(fā)生的概率。例1某人睡覺醒來，發(fā)現(xiàn)鐘表停了，他打開收音機(jī)，想聽電臺報時，求他等待的時間不多于10分鐘的概率。分析假設(shè)他在0?60分鐘之間任何一個時刻打開收音機(jī)是等可能的。因為電臺每隔1小時報時一次，他在哪個時間段打開收音機(jī)的概率只與這時間段的長度有關(guān)，因此，需要求出各自相應(yīng)的時間“長度”，然后用幾何概型公式求解。解設(shè)事件人=｛等待時間不超過10分鐘｝,我們關(guān)心的事件A恰好是打開收音機(jī)的時刻位于［50,60］之間，它的區(qū)間長度為10；電臺每隔1小時報時一次，它的區(qū)間長度為60,由幾何概型的計算公式得p（a）=60二50=1。606即“他等待的時間不多于10分鐘的概率”為1。6評注解決此類問題的關(guān)鍵是確定他在哪個時間段打開收音機(jī)的概率只與這時間段的長度有關(guān)，把它轉(zhuǎn)化為與“長度”有關(guān)的幾何概型。二、與角有關(guān)的幾何概型若一次試驗中所有可能結(jié)果和某個事件A包含的結(jié)果（基本事件）都

對應(yīng)一個角，那么需要求出各自相應(yīng)的角度，然后運用幾何概型的計算公式即可求出事件A發(fā)生的概率。T的概位置例如圖1所示，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，射線OT落在 60的T的概位置終邊上，任作一條射線OA，求射線OA落在厶0T內(nèi)率。分析過0作射線0A是隨機(jī)的，射線0A落在任何都是等可能的，落在厶0T內(nèi)的概率只與厶0T的大小有關(guān)，符合幾何概型的條件。解設(shè)事件A=｛射線0A落在厶0T內(nèi)｝，事件A的“幾何度量”是60，而坐標(biāo)平面的“幾何度量”為360，所以由幾何概率公式，得P（A）=竺=1。360 6評注解此題的關(guān)鍵是找到事件A=｛射線0A落在厶0T內(nèi)｝的“幾何度量”是60，以及坐標(biāo)平面的“幾何度量”為360。三、與面積有關(guān)的幾何概型如果每個基本事件可以理解為從某個特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點，某個隨機(jī)事件的發(fā)生理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某個指定區(qū)域內(nèi)的點，且該區(qū)域中每一個被取到的機(jī)會都一樣，這樣的概率模型就可以用幾何模型來解。并且，這里的區(qū)域可以用面積表示，然后利用幾何概型的公式求解。圖2相見，并果兩人時刻相例3兩人約定在20：00到21：00之間且先到者必須等遲到者40分鐘方可離去，如出發(fā)是各自獨立的，在20：00到21：00各

圖2相見，并果兩人時刻相分析設(shè)兩人分別在x時和y時到達(dá)約見地點，要使兩人能在約定時間范圍內(nèi)相見，當(dāng)且僅當(dāng)|x-y|W2。兩人到達(dá)約定地點的所有時刻（x，y）的可能結(jié)果可用圖2中的單位正方形內(nèi)（包括邊界）的點表示，而兩人能在約定的時間內(nèi)相見的所有可能結(jié)果可用圖2中的陰影部分（包括邊界）表示，因此可求出兩人在約定時間內(nèi)相見的概率。圍內(nèi)相見，當(dāng)且僅當(dāng)解設(shè)兩人分別在x時和y時到達(dá)約見地點，要使兩人在能在約定時間范圍內(nèi)相見，當(dāng)且僅當(dāng)x-y|W3。如圖2所示，根據(jù)題意，得兩人在約定時間（1、2c ］一一內(nèi)相見的概率為2丿S 12單位正方形評注解決此題的關(guān)鍵是將已知的兩個條件轉(zhuǎn)化為線性的約束條件，轉(zhuǎn)化成平面區(qū)域中的面積型幾何概率問題。四、與體積有關(guān)的幾何概型對于幾何概型，如果圖形與體積有關(guān)，只需把該試驗的所有結(jié)果對應(yīng)體積求出，就可以利用幾何概型概率公式進(jìn)行計算。例4在1L高產(chǎn)小麥種子中混入了一粒帶麥銹病的種子，從中隨機(jī)取出10mL，求含有麥銹病的種子的概率是多少分析病種子在這1L種子中的分布可以看做是隨機(jī)的，取得的10mL種子可看做構(gòu)成事件的區(qū)域，1L種子可看做試驗的所有結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域，因此，可用“體積比”公式計算其概率。解取出10mL種子，其中“含有病種子”這一事件記為A，則p（a）=取出種子的體積=竺=即含有麥銹病種子的概率為所有種子的體積1000評注解決此類實際問題，應(yīng)先根據(jù)題意確定試驗為與體積有關(guān)的幾何概型，然后求出事件對應(yīng)的“幾何體”的“體積”，借助幾何概型的計算公式求出概率。幾何概型是一種特