量子力學(xué)教程第二版周世勛課件徐援量子力學(xué)1,08年量子力學(xué)

量子力學(xué)編制徐援河海大學(xué)

參考書錢伯初《量子力學(xué)導(dǎo)論》

曾謹(jǐn)言《量子力學(xué)教程》

誰如果在量子面前不感到震驚，他就不懂得現(xiàn)代物理學(xué)；同樣如果誰不為此理論感到困惑，他也不是一個(gè)好的物理學(xué)家。

——玻爾前言19世紀(jì)的最后一天，歐洲著名的科學(xué)家歡聚一堂。會(huì)上，英國(guó)著名物理學(xué)家W．湯姆生（即開爾文男爵）發(fā)表了新年祝詞。他在回顧物理學(xué)所取得的偉大成就時(shí)說，物理大廈已經(jīng)落成，所剩只是一些修飾工作。但他在展望20世紀(jì)物理學(xué)前景時(shí)，卻憂心忡忡，他認(rèn)為物理學(xué)“美麗而晴朗的天空卻被兩朵烏云籠罩了”他所說的第一朵烏云，主要是指A．邁克爾孫實(shí)驗(yàn)結(jié)果和以太漂移說相矛盾；他所說的第二朵烏云，主要是指熱學(xué)中的能量均分定則在氣體比熱以及勢(shì)輻射能譜的理論解釋中得出與實(shí)驗(yàn)不等的結(jié)果，其中尤以黑體輻射理論出現(xiàn)的“紫外災(zāi)難”最為突出。歷史發(fā)展的事實(shí)是第一朵烏云導(dǎo)致了相對(duì)論的誕生，第二朵烏云導(dǎo)致了量子力學(xué)的誕生,近代物理發(fā)展是就是自然辯證法的發(fā)展史第一章緒論§1經(jīng)典物理學(xué)的困難§2光的波粒二象性§3原子結(jié)構(gòu)的玻爾理論§4微粒的波粒二象性§1經(jīng)典物理學(xué)的困難(2) 光的波動(dòng)性在1803年由楊氏的衍射實(shí)驗(yàn)有力揭示出來，麥克斯韋在1864年發(fā)現(xiàn)的光和電磁現(xiàn)象之間的聯(lián)系把光的波動(dòng)性置于更加堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)之上。(一）經(jīng)典物理學(xué)的成功19世紀(jì)末，物理學(xué)理論在當(dāng)時(shí)看來已經(jīng)發(fā)展到相當(dāng)完善的階段。主要表現(xiàn)在以下兩個(gè)方面(1)應(yīng)用牛頓方程成功的討論了從天體到地上各種尺度的力學(xué)客體的運(yùn)動(dòng)，將其用于分子運(yùn)動(dòng)上，氣體分子運(yùn)動(dòng)論，取得有益的結(jié)果。1897年湯姆森發(fā)現(xiàn)了電子，這個(gè)發(fā)現(xiàn)表明電子的行為類似于一個(gè)牛頓粒子。（二）經(jīng)典物理學(xué)的困難但是這些信念，在進(jìn)入20世紀(jì)以后，受到了沖擊。經(jīng)典理論在解釋一些新的試驗(yàn)結(jié)果上遇到了嚴(yán)重的困難。（1）黑體輻射問題（2）光電效應(yīng)（3）氫原子光譜§2光的波粒二象性在各種溫度下，任何物體都能輻射和吸收電磁波。黑體：能全部吸收輻射到其上的電磁波空腔小孔發(fā)出的輻射就稱為黑體輻射1、黑體輻射固體在溫度升高時(shí)顏色的變化1400K800K1000K1200K實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)：

熱平衡時(shí)，空腔輻射的能量密度，與輻射的波長(zhǎng)的分布曲線，其形狀和位置只與黑體的絕對(duì)溫度

T

有關(guān)而與黑體的形狀和材料無關(guān)能量密度(10－4cm)0510黑體輻射實(shí)驗(yàn)曲線在熱平衡條件下，黑體輻射的實(shí)驗(yàn)?zāi)茏V曲線：()/Wm-3一、黑體輻射實(shí)驗(yàn)定律1.斯忒藩--玻耳茲曼定律：斯忒藩常數(shù)：2、維恩位移定律維恩常數(shù):能譜分布曲線的峰值對(duì)應(yīng)的波長(zhǎng)m與溫度T的乘積為一常數(shù)。()/Wm-3二、對(duì)黑體輻射的理論探討

黑體輻射的實(shí)驗(yàn)定律引起當(dāng)時(shí)物理學(xué)界的極大興趣，吸引了許多學(xué)者對(duì)它進(jìn)行深入的理論探討

比較著名的有維恩(Wien)和瑞利－金斯（Rayleigh-Jeans）的研究

Wien線能量密度(10-4cm)0510Wien公式在短波部分與實(shí)驗(yàn)還相符合，長(zhǎng)波部分則明顯不一致。1.Wien公式

從熱力學(xué)出發(fā)加上一些特殊的假設(shè)，得到一個(gè)分布公式：

其中，C1和C2時(shí)兩個(gè)擬和參數(shù)，T為平衡時(shí)的溫度，是單位體積在頻率+d間隔內(nèi)的輻射能量該公式在長(zhǎng)波部分與實(shí)驗(yàn)符合較好，而在短波部分則完全不符，而趨于無窮大，歷史上稱之為紫外災(zāi)難Rayleigh-Jeans線能量密度(10-4cm)0510

根據(jù)經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)，人們認(rèn)為空腔腔壁是由電諧振子組成，它能輻射和吸收能量以保持熱平衡，從而得到理論公式：

2.Rayleigh-Jeans公式

其中，c是光速。k是Boltzmann常數(shù)4012356789維恩線瑞利-金斯線三.Planck黑體輻射定律

Planck綜合

Wien根據(jù)熱力學(xué)的研究方法和

Rayleigh-Jeans根據(jù)經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)的研究方法于1900年１２月１４日

Planck提出兩點(diǎn)假設(shè)：（1）原子的性能和諧振子一樣，以給定的頻率

v

振蕩；（2）黑體只能以

E=h

為能量單位不連續(xù)的發(fā)射和吸收輻射能量，而不是象經(jīng)典理論所要求的那樣可以連續(xù)的發(fā)射和吸收輻射能量。該式稱為Planck 輻射定律Planck線能量密度(10-4cm)0510Planck根據(jù)這兩點(diǎn)假設(shè)得出Planck公式的導(dǎo)出Planck認(rèn)為原子的性能和諧振子一樣，具有振動(dòng)的動(dòng)能和勢(shì)能，根據(jù)能量按自由度均分的原理，一個(gè)原子的平均總能量是kT。如果原子滿足古典統(tǒng)計(jì)的Boltzman分布，且E連續(xù)則平均能量為：與滿足古典熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)的結(jié)論一致，沒有體現(xiàn)黑體反射能量E與波長(zhǎng)有關(guān)Planck又假設(shè)黑體只能以

E=h

為能量單位不連續(xù)的發(fā)射和吸收，因?yàn)镋=h

不連續(xù)，計(jì)算平均能量由積分改為求和根據(jù)級(jí)數(shù)公式

根據(jù)公式

式中E=hPlanck認(rèn)為Rayleigh-Jeans公式經(jīng)修改是可以應(yīng)用的

可得Planck輻射定律1.普朗克的能量子假設(shè)：

對(duì)于頻率為的諧振子，其輻射能量是不連續(xù)的，只能取某一最小能量的整數(shù)倍。n稱為量子數(shù)

稱為能量子愛因斯坦評(píng)價(jià)：“這一發(fā)現(xiàn)成為20世紀(jì)整個(gè)物理研究的基礎(chǔ)，從那時(shí)起，幾乎完全決定了物理學(xué)的發(fā)展”。對(duì)Planck輻射定律的討論：（2）當(dāng)

很大（短波）時(shí)，因?yàn)閑xp(hv/kT)-1≈exp(hv/kT)， 于是 Planck定律化為Wien公式。（3）當(dāng)很?。ㄩL(zhǎng)波）時(shí)，因?yàn)?/p>

exp(hv/kT)-1≈1+(hv/kT)-1=(hv/kT)，則Planck定律變?yōu)镽ayleigh-Jeans公式。光具有波粒二象性

光在傳播過程中顯著地表現(xiàn)出它的波動(dòng)性；光在與物質(zhì)相互作用時(shí)，更多的表現(xiàn)為粒子性。光子能量：光子的質(zhì)量：光子的動(dòng)量：愛因斯坦在普朗克能量子假設(shè)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步提出了光子假設(shè)。當(dāng)一束光照射在金屬表面上時(shí)，金屬表面會(huì)有電子逸出的現(xiàn)象。逸出的電子稱為光電子。回路中形成電流稱為光電流。2.光電效應(yīng)：試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)光電效應(yīng)有兩個(gè)突出的特點(diǎn)：1.臨界頻率v0

只有當(dāng)光的頻率大于某一定值v0時(shí)，才有光電子發(fā)射出來。若光頻率小于該值時(shí)，則不論光強(qiáng)度多大，照射時(shí)間多長(zhǎng)，都沒有電子產(chǎn)生。光的這一頻率v0稱為臨界頻率。2.電子的能量只是與光的頻率有關(guān)，與光強(qiáng)無關(guān)，光強(qiáng)只決定電子數(shù)目的多少。光電效應(yīng)的這些規(guī)律是經(jīng)典理論無法解釋的。按照光的電磁理論，光的能量只決定于光的強(qiáng)度而與頻率無關(guān)。

愛因斯坦光量子理論

愛因斯坦在普朗克能量子假設(shè)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步提出了光子假設(shè)。光子：愛因斯坦光電效應(yīng)方程：逸出功（W）：電子用于克服金屬表面勢(shì)壘的束縛而做的功。愛因斯坦對(duì)光電效應(yīng)的實(shí)驗(yàn)解釋：1.入射光的強(qiáng)度I取決于單位時(shí)間內(nèi)垂直通過單位面積的光子數(shù)n。

入射光較強(qiáng)時(shí)，含有的光子數(shù)較多，所以獲得能量而逸出的電子數(shù)也多，飽和電流自然也就大。2.當(dāng)時(shí)，電子無法獲得足夠能量脫離金屬表面，因此存在紅限。雖然愛因斯坦對(duì)光電效應(yīng)的解釋是對(duì)Planck量子概念的極大支持，但是Planck不同意愛因斯坦的光子假設(shè)，這一點(diǎn)流露在Planck推薦愛因斯坦為普魯士科學(xué)院院士的推薦信中。

“

總而言之，我們可以說，在近代物理學(xué)結(jié)出碩果的那些重大問題中，很難找到一個(gè)問題是愛因斯坦沒有做過重要貢獻(xiàn)的，在他的各種推測(cè)中，他有時(shí)可能也曾經(jīng)沒有射中標(biāo)的，例如，他的光量子假設(shè)就是如此，但是這確實(shí)并不能成為過分責(zé)怪他的理由，因?yàn)榧词乖谧罹艿目茖W(xué)中，也不可能不偶爾冒點(diǎn)風(fēng)險(xiǎn)去引進(jìn)一個(gè)基本上全新的概念

”3、Compton效應(yīng)1散射光中，除了原來X光的波長(zhǎng)λ外，增加了一個(gè)新的波長(zhǎng)為λ'的X光，且λ'>λ；2波長(zhǎng)增量Δλ=λ’

–λ隨散射角增大而增大。這一現(xiàn)象稱為Compton效應(yīng)。X--射線被輕元素如白蠟、石墨中的電子散射后出現(xiàn)的效應(yīng)。該效應(yīng)有如下2個(gè)特點(diǎn)：

康普頓效應(yīng)的量子解釋X射線散射的簡(jiǎn)化模型：?jiǎn)蝹€(gè)光子與單個(gè)靜止的自由電子發(fā)生彈性碰撞。x-能量守恒：動(dòng)量守恒：x-y又康普頓散射公式：康普頓波長(zhǎng)：1.波長(zhǎng)的改變量與散射角θ有關(guān)，散射角θ

越大，也越大。2.波長(zhǎng)的改變量與入射光的波長(zhǎng)無關(guān)。結(jié)論：§3原子結(jié)構(gòu)的玻爾理論

氫原子光譜有許多分立譜線組成，這是很早就發(fā)現(xiàn)了的。1885年瑞士巴爾末（Balmer）發(fā)現(xiàn)紫外光附近的一個(gè)線系，并得出氫原子譜線的經(jīng)驗(yàn)公式是即巴爾末公式：656.3486.1434.0410.21.氫原子光譜以后又發(fā)現(xiàn)了一系列線系，氫原子光譜都可以用下面公式表示：

人們自然會(huì)提出如下三個(gè)問題：3.光譜線公式中能用整數(shù)作參數(shù)來表示這一事實(shí)啟發(fā)我們思考：怎樣的發(fā)光機(jī)制才能認(rèn)為原子的狀態(tài)可以用包含整數(shù)值的量來描寫

光譜公式雖然是經(jīng)驗(yàn)公式，但是精確度極高，為任何其他經(jīng)驗(yàn)公式所不及1.原子線狀光譜產(chǎn)生的機(jī)制是什么？2.光譜線的頻率為什么有這樣簡(jiǎn)單的規(guī)律？2.盧瑟福原子模型湯姆遜的原子模型

整個(gè)原子呈膠凍狀的球體，正電荷均勻分布于球體上，而電子鑲嵌在原子球內(nèi)，在各自的平衡位置附近作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，并發(fā)射同頻率的電磁波。------粒子散射實(shí)驗(yàn)盧瑟福的原子核式模型：盧瑟福的原子核式模型：原子由原子核和核外電子構(gòu)成，原子核帶正電荷，占據(jù)整個(gè)原子的極小一部分空間，而電子帶負(fù)電，繞著原子核轉(zhuǎn)動(dòng)，如同行星繞太陽轉(zhuǎn)動(dòng)一樣。3.玻爾的量子論1.原子中的電子只能在一些特定的軌道上運(yùn)行，在每一個(gè)軌道上運(yùn)動(dòng)電子處于穩(wěn)定的能量狀態(tài)。2.當(dāng)電子從一個(gè)能態(tài)軌道向另一個(gè)能態(tài)軌道躍遷時(shí)，要發(fā)射或吸收光子。玻爾的量子論的幾點(diǎn)假設(shè)3.電子在原子中的穩(wěn)定軌道滿足角動(dòng)量L等于的整數(shù)倍條件。+-設(shè)電子質(zhì)量：m，帶電量e。力學(xué)方程：量子化條件：電子軌道半徑：玻爾半徑：電子在第n個(gè)軌道上的能量：將“量子化條件”和“玻爾半徑”代入能量式，得：軌道能量：基態(tài)能量：各能級(jí)值：各能態(tài)：基態(tài)：n=1，第一激發(fā)態(tài)：n=2，第二激發(fā)態(tài)：n=3，……賴曼系巴爾末系帕邢系布喇開系普芳德系-13.58-3.39-1.51-0.85-0.540En(eV)12354氫原子能級(jí)圖與里德伯表達(dá)式比較：電子從高能級(jí)向低能級(jí)躍遷時(shí)放頻率：理論值與實(shí)驗(yàn)值符合得非常好！例.

如用能量為12.6eV的電子轟擊氫原子，將產(chǎn)生那些譜線？解取n=3可能的軌道躍遷：31，32，214.量子化條件的推廣由理論力學(xué)知，若將角動(dòng)量L

選為廣義動(dòng)量，則θ為廣義坐標(biāo)。考慮積分并利用Bohr提出的量子化條件，有索末菲將

Bohr

量子化條件推廣為推廣后的量子化條件可用于多自由度情況，這樣索末菲量子化條件不僅能解釋氫原子光譜，而且對(duì)于只有一個(gè)電子（Li，Na，K等）的一些原子光譜也能很好的解釋。5.波爾量子論的局限性1.不能證明較復(fù)雜的原子甚至比氫稍微復(fù)雜的氦原子的光譜；2.不能給出光譜的譜線強(qiáng)度（相對(duì)強(qiáng)度）；3.Bohr只能處理周期運(yùn)動(dòng)，不能處理非束縛態(tài)問題，如散射問題；4.從理論上講，能量量子化概念與經(jīng)典力學(xué)不相容。多少帶有人為的性質(zhì)，其物理本質(zhì)還不清楚。

波爾量子論首次打開了認(rèn)識(shí)原子結(jié)構(gòu)的大門，取得了很大的成功。但是它的局限性和存在的問題也逐漸為人們所認(rèn)識(shí)