拉普拉斯變換連續(xù)系統(tǒng)的域分析

拉普拉斯變換連續(xù)系統(tǒng)的域分析1第1頁，共82頁，2023年，2月20日，星期五4.5用拉普拉斯變換法分析電路、

S域元件模型連續(xù)系統(tǒng)的復(fù)頻域分析

拉普拉斯變換分析法是分析線性連續(xù)系統(tǒng)的有力工具，它將描述系統(tǒng)的時域微積分方程變換為s域的代數(shù)方程，便于運算和求解；變換自動包含初始狀態(tài)，既可分別求得零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)，也可同時求得系統(tǒng)的全響應(yīng)。

前面計算結(jié)果階躍函數(shù)可寫，也可不寫。但本節(jié)是應(yīng)用，有了物理意義一般要寫或。2第2頁，共82頁，2023年，2月20日，星期五一、微分方程的復(fù)頻域分析法以二階常系數(shù)線性微分方程為例：微分方程兩邊取拉氏變換，由時域微分性質(zhì)得：整理可得：3第3頁，共82頁，2023年，2月20日，星期五4第4頁，共82頁，2023年，2月20日，星期五復(fù)頻域分析法當(dāng)已知微分方程時：1.對方程兩邊取拉氏變換，得到復(fù)頻域中的代數(shù)方程；2.計算；3.求其反變換，得。5第5頁，共82頁，2023年，2月20日，星期五解：對微分方程取拉氏變換，得例：已知起始條件為：求

y(t)6第6頁，共82頁，2023年，2月20日，星期五7第7頁，共82頁，2023年，2月20日，星期五拉氏變換分析的優(yōu)點：1.把微分方程轉(zhuǎn)化成代數(shù)方程;3.不僅可以求穩(wěn)定系統(tǒng)，而且可求不穩(wěn)定系統(tǒng)；4.已知電路也可以直接求解。2.到作單邊拉氏變換，狀態(tài)自動包含其中，無需計算狀態(tài)；8第8頁，共82頁，2023年，2月20日，星期五二、電路的復(fù)頻域模型+-(1)、電阻元件的s域模型1、s域元件模型

已知電路時，可根據(jù)復(fù)頻域電路模型，直接列寫求解復(fù)頻域響應(yīng)的代數(shù)方程。9第9頁，共82頁，2023年，2月20日，星期五(2)、電感元件的s域模型+-

內(nèi)電壓源極性與電感電流極性不一致；內(nèi)電流源極性與電感電流極性一致;串聯(lián)模型中，元件上的電壓為復(fù)頻阻抗上的電壓與內(nèi)電壓源的電壓之和。10第10頁，共82頁，2023年，2月20日，星期五(3)、電容元件的s域模型電流源形式：+-內(nèi)電源極性與電容兩端極性一致11第11頁，共82頁，2023年，2月20日，星期五1.內(nèi)電壓源極性只與電容兩端電壓有關(guān)；內(nèi)電流源方向只與電感電流有關(guān)；2.“等效”概念(端子)；注意：12第12頁，共82頁，2023年，2月20日，星期五復(fù)頻域電路模型:將原電路中已知電壓源和電流源都變換為相應(yīng)的拉氏變換；未知電壓、電流也用其拉氏變換表示；各電路元件都用其復(fù)頻域模型代替（初始狀態(tài)變換為相應(yīng)的電源）。

對該電路模型而言，用以分析計算正弦穩(wěn)態(tài)電路的各種方法（如無源支路的串、并聯(lián)、電壓源與電流源的等效變換等等）都適用。無需列寫電路的微分方程。13第13頁，共82頁，2023年，2月20日，星期五用電路的復(fù)頻域模型求解響應(yīng)的步驟1.電路中的每個元件都用其復(fù)頻域模型代替（初始狀態(tài)轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的內(nèi)電源）；

2.信號源及各變量用其拉氏變換式代替；

3.畫出電路的復(fù)頻域模型；

4.

應(yīng)用電路分析的各種方法和定理求解響應(yīng)的變換式。

5.反變換得響應(yīng)的時域表達(dá)式。14第14頁，共82頁，2023年，2月20日，星期五解：畫出復(fù)頻域模型如圖所示由KVL得例：15第15頁，共82頁，2023年，2月20日，星期五零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)全響應(yīng)16第16頁，共82頁，2023年，2月20日，星期五4.6系統(tǒng)函數(shù)H(S)1、定義：系統(tǒng)函數(shù)H(s)是系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)的拉氏變換與激勵的拉氏變換之比。2、系統(tǒng)函數(shù)的求取由系統(tǒng)沖激響應(yīng)沖激響應(yīng)和系統(tǒng)函數(shù)是一對拉氏變換對。即17第17頁，共82頁，2023年，2月20日，星期五由電路零狀態(tài)下的復(fù)頻域電路模型首先將網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換成s域模型，然后根據(jù)網(wǎng)絡(luò)的s域模型，直接求出系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移函數(shù)。網(wǎng)絡(luò)的s域模型：RRLsLC1/sC已知零狀態(tài)響應(yīng)及其輸入由系統(tǒng)模擬圖一個總系統(tǒng)由一些子系統(tǒng)按照一定的方式連接而成，當(dāng)各子系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)已知時，可以通過框圖化簡求得總系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)。18第18頁，共82頁，2023年，2月20日，星期五從系統(tǒng)的微分方程直接列寫系統(tǒng)函數(shù)

將系統(tǒng)函數(shù)的表達(dá)式與系統(tǒng)的微分方程比較，兩者存在著明顯的關(guān)系。由此可見，可直接從微分方程列寫系統(tǒng)函數(shù)。反之，已知系統(tǒng)函數(shù)同樣能寫出微分方程。19第19頁，共82頁，2023年，2月20日，星期五3、系統(tǒng)函數(shù)與零狀態(tài)響應(yīng)的關(guān)系無時限復(fù)指數(shù)函數(shù)當(dāng)激勵為上式表明，激勵為時，響應(yīng)(零狀態(tài)響應(yīng)或強(qiáng)制響應(yīng))為，被加權(quán)了?；蛘哒f，只要將指數(shù)激勵乘以系統(tǒng)函數(shù)即可。條件：s1位于H(s)的收斂域內(nèi)。20第20頁，共82頁，2023年，2月20日，星期五在激勵下的響應(yīng)所以系統(tǒng)函數(shù)也可作如下定義：用框圖表示，為系統(tǒng)21第21頁，共82頁，2023年，2月20日，星期五22第22頁，共82頁，2023年，2月20日，星期五我們下面進(jìn)一步理解拉氏變換的物理意義：

實質(zhì)上，在時域中，把信號分解為無窮多個沖激信號分量的和；而在復(fù)頻域中，把信號分解為無窮多個復(fù)指信號分量的和。如果把積分號看成求和號，則的每一個則響應(yīng)的分量為指數(shù)分量為23第23頁，共82頁，2023年，2月20日，星期五則響應(yīng)的分量為把無窮多個響應(yīng)分量疊加起來，得即指數(shù)分量為24第24頁，共82頁，2023年，2月20日，星期五

H(s)名稱的含義25第25頁，共82頁，2023年，2月20日，星期五4.7由系統(tǒng)函數(shù)零、極點分布決定時域特性一、系統(tǒng)函數(shù)的零點與極點zj稱為系統(tǒng)函數(shù)的零點pk

稱為系統(tǒng)函數(shù)的極點

系統(tǒng)函數(shù)的零、極點圖：是系統(tǒng)函數(shù)的另一種表示方法。零點用“°

”表示，極點用“×”表示，若為l

重零點或極點，則注以(l)。

實際系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)是復(fù)變量s

的實有理函數(shù)，其零、極點一定是實數(shù)或成對出現(xiàn)的共軛復(fù)數(shù)。26第26頁，共82頁，2023年，2月20日，星期五二、H(s)零極點分布與h(t)波形特征的對應(yīng)1、H(s)的所有極點都為單極點（1）極點位于s平面坐標(biāo)原點27第27頁，共82頁，2023年，2月20日，星期五(2)若極點位于s平面實軸上在負(fù)半實軸上的單極點對應(yīng)于衰減模式，正半實軸上的單極點對應(yīng)于發(fā)散模式，原點的單極點對應(yīng)于常數(shù)。28第28頁，共82頁，2023年，2月20日，星期五(3)虛軸上的共軛極點給出等幅振蕩原點的單極點對應(yīng)于常數(shù)，虛軸上的單極點對應(yīng)于等幅振蕩。29第29頁，共82頁，2023年，2月20日，星期五（4）左半s平面內(nèi)共軛極點對30第30頁，共82頁，2023年，2月20日，星期五2、若H(s)具有n

重極點，則沖激響應(yīng)的模式中將含有tn-1因子。31第31頁，共82頁，2023年，2月20日，星期五負(fù)實軸上的二階極點32第32頁，共82頁，2023年，2月20日，星期五結(jié)論：極點：左半s平面→h(t)衰減右半s平面→h(t)增長虛軸上一階極點→h(t)等幅振蕩或階躍二階極點→h(t)呈增長形式h(t)衰減穩(wěn)定系統(tǒng)（極點在左半s平面）h(t)增長非穩(wěn)定系統(tǒng)（極點在右半s平面）如果在虛軸上→一階：階躍或等幅振蕩（臨界穩(wěn)定）二階：以上不穩(wěn)定系統(tǒng)33第33頁，共82頁，2023年，2月20日，星期五3、

H(s)零點分布的情況只影響沖激響應(yīng)的幅度和相位，而對沖激響應(yīng)的模式?jīng)]有影響。4、當(dāng)

H(s)

為假分式時，應(yīng)先化成多項式與真分式之和。多項式部分表示沖激響應(yīng)中含有沖激函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)，再分析真分式部分所對應(yīng)的響應(yīng)模式。34第34頁，共82頁，2023年，2月20日，星期五三、由系統(tǒng)函數(shù)的極點分布與自由相應(yīng)、強(qiáng)迫響應(yīng)特征的對應(yīng)H(s)

與系統(tǒng)的響應(yīng)模式之間的關(guān)系：35第35頁，共82頁，2023年，2月20日，星期五來自H(s)的極點來自E(s)的極點自由響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng)36第36頁，共82頁，2023年，2月20日，星期五（1）零狀態(tài)響應(yīng)rzs(t)H(s)

的極點確定零狀態(tài)響應(yīng)中自由響應(yīng)的模式E(s)

的極點確定零狀態(tài)響應(yīng)中強(qiáng)制響應(yīng)的模式

若H(s)

的極點與E(s)

的零點相同，自然響應(yīng)會減少一項；

若H(s)

的零點與E(s)

的極點相同,響應(yīng)減少一項。例如37第37頁，共82頁，2023年，2月20日，星期五例如

若H(s)

與E(s)的極點相同，會增加一個新的分量，這兩個相同極點所對應(yīng)的分量是自然響應(yīng)和強(qiáng)制響應(yīng)合成的結(jié)果。38第38頁，共82頁，2023年，2月20日，星期五（2）零輸入響應(yīng)rzi(t)零輸入響應(yīng)的模式由系統(tǒng)特征方程的根確定。

如果H(s)

沒有零、極點相消，則特征方程的根就是H(s)

的極點，則零輸入響應(yīng)的模式由H(s)的極點確定。

如果H(s)的零、極點相消時，系統(tǒng)的某些固有頻率在H(s)

的極點中將不再出現(xiàn)，這時零輸入響應(yīng)的模式不再由H(s)的極點確定。39第39頁，共82頁，2023年，2月20日，星期五（3）穩(wěn)定系統(tǒng)各種響應(yīng)之間的關(guān)系全響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)強(qiáng)制響應(yīng)自由響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)瞬態(tài)響應(yīng)等幅減幅暫態(tài)響應(yīng)：激勵信號接入以后一段時間內(nèi)，全響應(yīng)中暫時出現(xiàn)的分量，隨著時間t的增大，它將逐漸消失。穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：全響應(yīng)中減去暫態(tài)響應(yīng)。40第40頁，共82頁，2023年，2月20日，星期五H(s)的極點左半s平面→自由響應(yīng)屬于暫態(tài)響應(yīng)右半s平面虛軸→自由響應(yīng)屬于穩(wěn)態(tài)響應(yīng)E(s)的極點左半s平面→強(qiáng)迫響應(yīng)屬于暫態(tài)響應(yīng)右半s平面虛軸→強(qiáng)迫響應(yīng)屬于穩(wěn)態(tài)響應(yīng)41第41頁，共82頁，2023年，2月20日，星期五

4.8由系統(tǒng)函數(shù)零、極點分布決定

頻響特性1、什么是系統(tǒng)頻響特性？系統(tǒng)在正弦信號激勵之下穩(wěn)態(tài)響應(yīng)隨信號頻率的變化而變化的特性，稱為系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性（frequencyresponse）簡稱頻響特性。令穩(wěn)定系統(tǒng)H(s)中s=jw

，則得系統(tǒng)頻響特性。42第42頁，共82頁，2023年，2月20日，星期五對于穩(wěn)定系統(tǒng)而言,此項將隨時間的增長而趨于零.43第43頁，共82頁，2023年，2月20日，星期五幅度和相位發(fā)生變化44第44頁，共82頁，2023年，2月20日，星期五45第45頁，共82頁，2023年，2月20日，星期五2、用幾何法求系統(tǒng)頻率特性復(fù)數(shù)a和b及a-b的向量表示46第46頁，共82頁，2023年，2月20日，星期五jωσpi0jω-zj和jω-pi矢量系統(tǒng)函數(shù)的向量表示:47第47頁，共82頁，2023年，2月20日，星期五（4-117）（4-118）48第48頁，共82頁，2023年，2月20日，星期五一階高通（例4-20）幅頻特性相頻特性3.一階系統(tǒng)的s平面的分析(p220-p224)Rc1-49第49頁，共82頁，2023年，2月20日，星期五Rc1-50第50頁，共82頁，2023年，2月20日，星期五51第51頁，共82頁，2023年，2月20日，星期五一階低通（例4-21）52第52頁，共82頁，2023年，2月20日，星期五一階低通濾波器的幅頻和相頻特性53第53頁，共82頁，2023年，2月20日，星期五§4.10全通網(wǎng)絡(luò)和最小相移函數(shù)的零極點分布1、定義：系統(tǒng)極點位于左半平面，零點位于右半平面,且零、極點對于虛軸互為鏡象對稱則，這種系統(tǒng)函數(shù)成為全通函數(shù)，此系統(tǒng)成為全通系統(tǒng)(全通網(wǎng)絡(luò))。

全通，即幅頻特性為常數(shù)，相移肯定不是零，它本身是非最小相移網(wǎng)絡(luò)。一.全通函數(shù)54第54頁，共82頁，2023年，2月20日，星期五2、全通網(wǎng)絡(luò)的零極點分布55第55頁，共82頁，2023年，2月20日，星期五56第56頁，共82頁，2023年，2月20日，星期五3、應(yīng)用用來對系統(tǒng)進(jìn)行相位校正一些對稱性強(qiáng)的網(wǎng)絡(luò)可能是全通網(wǎng)絡(luò)零極點鏡相對稱4、電路結(jié)構(gòu)57第57頁，共82頁，2023年，2月20日，星期五二.最小相移網(wǎng)絡(luò)定義：零點僅位于左半平面或虛軸上的轉(zhuǎn)移函數(shù)?？梢宰C明：非最小相位函數(shù)可以表示為最小相位函數(shù)與全通函數(shù)的乘積。58第58頁，共82頁，2023年，2月20日，星期五59第59頁，共82頁，2023年，2月20日，星期五4.11線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性一、由系統(tǒng)函數(shù)的極點判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性1.穩(wěn)定系統(tǒng)對于有界的激勵產(chǎn)生有界的響應(yīng)的系統(tǒng)。設(shè)連續(xù)時間系統(tǒng)的輸入信號x(t)有界，即：則：60第60頁，共82頁，2023年，2月20日，星期五欲使y(t)為有界輸出，即，則系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)必須滿足絕對可積的條件線性時不變因果系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：61第61頁，共82頁，2023年，2月20日，星期五2.系統(tǒng)穩(wěn)定性分類(1)穩(wěn)定系統(tǒng)：H(s)的極點均位于s左半平面。(2)臨界穩(wěn)定系統(tǒng)：H(s)在虛軸上(包括原點)有一階極點，其余的所有極點均位于s

左半平面。(3)不穩(wěn)定系統(tǒng)：H(s)有位于s

右半平面的極點，或在虛軸上(包括原點)有二階以上的極點。62第62頁，共82頁，2023年，2月20日，星期五63第63頁，共82頁，2023年，2月20日，星期五例如圖所示反饋系統(tǒng)，已知其子系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)試問常數(shù)K

滿足什么條件時，系統(tǒng)是穩(wěn)定的？解：由圖可得該正反饋系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為R(s)E(s)H(s)的極點為:64第64頁，共82頁，2023年，2月20日，星期五例如圖所示反饋系統(tǒng)，已知其子系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)試問常數(shù)K

滿足什么條件時，系統(tǒng)是穩(wěn)定的？解：R(s)E(s)要使極點都在左半平面，須:解得K<2，所以當(dāng)K<2時系統(tǒng)是穩(wěn)定的。H(s)的極點為65第65頁，共82頁，2023年，2月20日，星期五4.12雙邊拉普拉斯變換

在某些情況下，有時還要考慮雙邊時間函數(shù)，如周期信號、平穩(wěn)隨機(jī)過程等，或是不符合因果律的理想系統(tǒng)，這時就需用雙邊拉普拉斯變換來分析。一、雙邊拉普拉斯變換1、雙邊拉普拉斯變換的定義

是一個雙邊函數(shù)，可將其分解為右邊函數(shù)和左邊函數(shù)之和，即66第66頁，共82頁，2023年，2月20日，星期五

若Fa(s)、Fb(s)同時存在，且二者有公共收斂域，則f(t)的雙邊拉氏變換為右邊函數(shù)fa(t)的拉氏變換Fa(t)和左邊函數(shù)fb(t)拉氏變換Fb(t)之和。

如與沒有公共收斂域，則的雙邊拉氏變換就不存在。將f(t)代入雙邊拉普拉斯變換的定義式，則有67第67頁，共82頁，2023年，2月20日，星期五2、如何求左邊函數(shù)的拉氏變換令，則上式成為再令，則上式成為綜上所述，求取左邊函數(shù)的拉氏變換可按下列三個步驟進(jìn)行：

（1）令，構(gòu)成右邊函數(shù)；（2）對求單邊拉氏變換得；（3）對復(fù)變量取反，即，就求得。68第68頁，共82頁，2023年，2月20日，星期五例求雙邊指數(shù)函數(shù)的雙邊拉普拉斯變換。，解：首先求右邊函數(shù)的拉氏變換左邊函數(shù)的拉氏變換求取如下：（1）（2）（3）69第69頁，共82頁，2023年，2月20日，星期五因為，所以和有公共收斂域。

故存在并為70第70頁，共82頁，2023年，2月20日，星期五二.雙邊拉普拉斯反變換例求，的時間原函數(shù)。收斂域分別為（1）（2）（3）解：（1）由極點分布和給定收斂域作下圖?？梢姡髠?cè)極點為，右側(cè)極點為。左側(cè)的極點對應(yīng)于的右邊函數(shù)將展開成部分分式有右側(cè)的極點對應(yīng)于的左邊函數(shù)71第71頁，共82頁，2023年，2月20日，星期五

對應(yīng)于的是左邊函數(shù)，的求取如下①令，得；②對求單邊拉氏反變換，得③令，即最后得其解為72第72頁，共82頁，2023年，2月20日，星期五三.雙邊信號作用下線性系統(tǒng)的響應(yīng)例:已知激勵信號