描述統(tǒng)計(jì)中的測(cè)度

描述統(tǒng)計(jì)中的測(cè)度第1頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期五數(shù)據(jù)的特征和度量數(shù)據(jù)的特征和度量集中趨勢(shì)算術(shù)平均數(shù)調(diào)和平均數(shù)幾何平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)百分位數(shù)四分位數(shù)集中趨勢(shì)極差四分位距平均差方差與標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)離散系數(shù)分布形狀偏態(tài)測(cè)度峰態(tài)測(cè)度第2頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期五數(shù)據(jù)的特征和度量對(duì)于描述統(tǒng)計(jì)中的測(cè)度，主要可以分為三個(gè)方面來(lái)描述：一是數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)，反映各數(shù)據(jù)向其中心值靠攏或聚焦的程度；二是分布的離散程度，反映各數(shù)據(jù)遠(yuǎn)離其中心值的趨勢(shì)；三是數(shù)據(jù)分布的形狀，即數(shù)據(jù)分布的偏態(tài)和峰度。第3頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期五4.1數(shù)據(jù)分布的集中趨勢(shì)測(cè)度集中趨勢(shì)（Generaltendency）是指分布的定位，它是指一組數(shù)據(jù)向某一中心值靠攏的傾向，或是表明一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)所具有的一般水平。對(duì)集中趨勢(shì)進(jìn)行測(cè)度也就是尋找數(shù)據(jù)一般水平的代表值或中心值。對(duì)集中趨勢(shì)的度量有數(shù)值平均數(shù)和位置平均數(shù)之分。第4頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期五4.1數(shù)據(jù)分布的集中趨勢(shì)測(cè)度數(shù)據(jù)的特征和度量集中趨勢(shì)算術(shù)平均數(shù)調(diào)和平均數(shù)幾何平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)百分位數(shù)四分位數(shù)集中趨勢(shì)極差四分位距平均差方差與標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)離散系數(shù)分布形狀偏態(tài)測(cè)度峰態(tài)測(cè)度第5頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期五一、數(shù)值平均數(shù)

數(shù)值平均數(shù)又稱均值（Mean），是根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料的數(shù)值計(jì)算而得到，在統(tǒng)計(jì)學(xué)中具有重要的作用和地位，是度量集中趨勢(shì)的最主要的指標(biāo)之一。平均的對(duì)象可理解為變量，平均數(shù)可記為。第6頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期五（一）算術(shù)平均數(shù)

1．簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)是根據(jù)原始數(shù)據(jù)直接計(jì)算均值。一般地，設(shè)一組數(shù)據(jù)為，其簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)計(jì)算的一般公式可表達(dá)為:第7頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期五（一）算術(shù)平均數(shù)例如：為了研究目前大學(xué)中班級(jí)學(xué)生人數(shù)的情況，從北京某大學(xué)抽樣五個(gè)班級(jí)，其學(xué)生人數(shù)分別為：46，54，42，46，32。我們使用，…分別表示該五個(gè)數(shù)據(jù)，計(jì)算其均值，可以寫成：

第8頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期五（一）算術(shù)平均數(shù)2．加權(quán)算術(shù)平均數(shù)加權(quán)算術(shù)平均數(shù)計(jì)算的所依靠的數(shù)據(jù)是經(jīng)過一定整理的，即是根據(jù)一定規(guī)則分組的。可分為（1）由數(shù)列計(jì)算加權(quán)算術(shù)平均數(shù)（2）根據(jù)組距計(jì)算加權(quán)算術(shù)平均數(shù)第9頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期五（一）算術(shù)平均數(shù)（1）由數(shù)列計(jì)算加權(quán)算術(shù)平均數(shù)由單項(xiàng)變量數(shù)列計(jì)算加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的基礎(chǔ)是要先將數(shù)據(jù)進(jìn)行分組，即將n個(gè)數(shù)據(jù)按變量值（xi）進(jìn)行分組，并統(tǒng)計(jì)在各個(gè)變量取值出現(xiàn)的次數(shù)，或稱為頻數(shù)（fi

）。其加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算公式如下：第10頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期五（一）算術(shù)平均數(shù)設(shè)某班級(jí)10名同學(xué)的年齡分別為：18，19，17，18，17，18，19，18，18，19。則根據(jù)簡(jiǎn)單平均數(shù)的公式，我們可計(jì)算得到該班10名同學(xué)的平均年齡：第11頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期五（一）算術(shù)平均數(shù)年齡（歲）人數(shù)人數(shù)比重1722/10(0.2)1866/10(0.6)1922/10(0.2)合計(jì)101第12頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期五（一）算術(shù)平均數(shù)（2）根據(jù)組距計(jì)算加權(quán)算術(shù)平均數(shù)選擇適當(dāng)?shù)慕M距來(lái)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分組，再求加權(quán)平均數(shù)往往就簡(jiǎn)單、容易許多。根據(jù)組距計(jì)算加權(quán)平均數(shù)的方法與上面所述的數(shù)列加權(quán)平均數(shù)方法基本相同，只需以各組的組中值來(lái)代替相應(yīng)的x值即可第13頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期五（一）算術(shù)平均數(shù)①簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)適用于數(shù)據(jù)量較少的未分組數(shù)據(jù)；加權(quán)算術(shù)平均數(shù)則只適用于分組數(shù)據(jù)，且在進(jìn)行數(shù)據(jù)分組時(shí)，可以根據(jù)每個(gè)變量的取值來(lái)分組，亦或根據(jù)一定的區(qū)間來(lái)分組，這應(yīng)該根據(jù)所針對(duì)問題的具體數(shù)據(jù)來(lái)來(lái)選取。②簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)其數(shù)值的大小只與變量值的大小有關(guān)；對(duì)最終加權(quán)平均數(shù)大小的影響因素有兩個(gè)：一是各組變量值的影響；另一個(gè)是各組變量值的頻數(shù)的影響。第14頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期五（一）算術(shù)平均數(shù)③加權(quán)算術(shù)平均數(shù)計(jì)算公式中頻數(shù)的大小起著重要作用，當(dāng)變量值比較大的次數(shù)多時(shí)，平均數(shù)就接近于變量值大的一方；當(dāng)變量值比較小的次數(shù)多時(shí)，平均數(shù)就接近于變量值小的一方。可見，次數(shù)對(duì)變量值在平均數(shù)中的影響起著某種權(quán)衡輕重的作用，因此被稱為權(quán)數(shù)。④在加權(quán)算術(shù)平均數(shù)計(jì)算中當(dāng)各組變量的權(quán)重相等時(shí)，則權(quán)重的權(quán)衡輕重的作用也就消失了，此時(shí)加權(quán)算術(shù)平均數(shù)轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算形式。第15頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期五（二）調(diào)和平均數(shù)

調(diào)和平均數(shù)(Harmonicmean)是均值的另一種重要表示形式，由于它是根據(jù)變量值倒數(shù)計(jì)算的，也叫倒數(shù)平均數(shù)，一般用字母表示Hm。根據(jù)所給資料情況的不同，調(diào)和平均數(shù)可分為：簡(jiǎn)單調(diào)和平均數(shù)和加權(quán)調(diào)和平均數(shù)兩種。第16頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期五（二）調(diào)和平均數(shù)1．簡(jiǎn)單調(diào)和平均數(shù)事實(shí)上簡(jiǎn)單調(diào)和平均數(shù)是權(quán)數(shù)均相等條件下的加權(quán)調(diào)和平均數(shù)的特例。當(dāng)權(quán)數(shù)相等時(shí)，就產(chǎn)生了通常所說的加權(quán)調(diào)和平均數(shù)。

第17頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期五（二）調(diào)和平均數(shù)2．加權(quán)調(diào)和平均數(shù)用公式表示為：由此可以看出，當(dāng)權(quán)重mi相等時(shí)，則加權(quán)調(diào)和平均數(shù)則轉(zhuǎn)換為簡(jiǎn)單調(diào)和平均數(shù)。

第18頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期五（二）調(diào)和平均數(shù)3．調(diào)和平均數(shù)是算術(shù)平均數(shù)的變形在一定的條件下，加權(quán)調(diào)和平均數(shù)和加權(quán)算術(shù)平均數(shù)只是計(jì)算形式不同，在經(jīng)濟(jì)內(nèi)容上沒有實(shí)質(zhì)性的區(qū)別，調(diào)和平均數(shù)是算術(shù)平均數(shù)的變形，是在缺少總體單位的資料時(shí)才被迫使用的計(jì)算平均數(shù)的一種方法。即：第19頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期五（三）幾何平均數(shù)幾何平均數(shù)(Geometricmean)是個(gè)變量值連乘積的次方根，常用字母表示。它是平均指標(biāo)的另一種計(jì)算形式。幾何平均數(shù)是計(jì)算平均比率和平均速度最適用的一種方法。根據(jù)掌握的數(shù)據(jù)資料不同，幾何平均數(shù)可分為簡(jiǎn)單幾何平均數(shù)和加權(quán)幾何平均數(shù)兩種。第20頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期五（三）幾何平均數(shù)1．簡(jiǎn)單幾何平均數(shù)假定有n個(gè)變量值x1,x2,……xn，則簡(jiǎn)單幾何平均數(shù)的基本計(jì)算公式為：第21頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期五（三）幾何平均數(shù)2．加權(quán)幾何平均數(shù)當(dāng)掌握的數(shù)據(jù)資料為分組資料，且各個(gè)變量值出現(xiàn)的次數(shù)不相同時(shí)，應(yīng)用加權(quán)方法計(jì)算幾何平均數(shù)。加權(quán)幾何平均數(shù)的公式為：第22頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期五二、位置平均數(shù)數(shù)值平均數(shù)是根據(jù)所提供資料的具體數(shù)值計(jì)算而得到，和我們通常觀念中的平均含義比較接近，但結(jié)果受極端值的影響而不能真是地反應(yīng)改組資料的整體集中趨勢(shì)，在這種情況下，一般可以考慮用位置中位數(shù)取代算術(shù)中位數(shù)來(lái)對(duì)數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)進(jìn)行描述。常用的位置平均數(shù)有：平均數(shù)、眾數(shù)、分位數(shù)。第23頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期五（一）中位數(shù)

中位數(shù)（Median）是度量數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的另一重要測(cè)度，它是一組數(shù)據(jù)按數(shù)值的大小從小到大排序后，處于中點(diǎn)位置上的變量值。通常用表示Me。定義表明，中位數(shù)就是將某變量的全部數(shù)據(jù)均等地分為兩半的那個(gè)變量值。其中，一半數(shù)值小于中位數(shù)，另一半數(shù)值大于中位數(shù)。中位數(shù)是一個(gè)位置代表值，因此它不受極端變量值影響。第24頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期五（一）中位數(shù)1．根據(jù)未分組數(shù)據(jù)確定中位數(shù)對(duì)于未分組的數(shù)據(jù)，確定其中位數(shù)的具體步驟為：（1）將變量按變量值大小從小到大進(jìn)行排列。（2）確定中位數(shù)的位置，即中點(diǎn)位置。一般的，設(shè)一組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)為，則中點(diǎn)的位置為（n＋1）/2。（3）確定中位數(shù)。第25頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期五（一）中位數(shù)如果觀測(cè)值的數(shù)目n為奇數(shù)，則（n＋1）/2為整數(shù)，該位置上所對(duì)應(yīng)的變量即為所求的中位數(shù)如果觀測(cè)值的數(shù)目n為偶數(shù)，則（n＋1）/2為非整數(shù)，則取位于中間位置的兩個(gè)變量值的算術(shù)平均數(shù)作為中位數(shù)。第26頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期五（一）中位數(shù)2．根據(jù)單項(xiàng)數(shù)列確定中位數(shù)根據(jù)單項(xiàng)數(shù)列資料確定中位數(shù)與根據(jù)未分組資料確定中位數(shù)方法基本一致。具體步驟為：（1）計(jì)算各組的累計(jì)次數(shù)（或頻數(shù)）（2）確定中位數(shù)的位置，。（3）確定中位數(shù)。中位數(shù)所在組的變量值即為中位數(shù)。第27頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期五（一）中位數(shù)3．根據(jù)組距數(shù)列確定中位數(shù)如果我們掌握的資料是分組后得到的組距數(shù)列，則確定中位數(shù)的步驟為：（1）確定中位數(shù)的位置。（2）計(jì)算累計(jì)次數(shù)，據(jù)以找出中位數(shù)所在的組。（3）利用以下公式，確定中位數(shù)的近似值第28頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期五（一）中位數(shù)第29頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期五（二）眾數(shù)眾數(shù)(Mode)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)變量值，通常用MO表示。如果在一個(gè)總體當(dāng)中，各變量值皆不相同，或各個(gè)變量值出現(xiàn)的次數(shù)皆相同，則沒有眾數(shù)。如果在一個(gè)總體中，有兩個(gè)標(biāo)志值出現(xiàn)的次數(shù)都最多，稱為雙眾數(shù)。只有在總體單位比較多、變量值又有明顯集中趨勢(shì)的條件下確定的眾數(shù)，才能代表總體的一般水平；在總體單位較少，或雖多但無(wú)明顯集中趨勢(shì)的條件下，眾數(shù)的確定是沒有意義的。眾數(shù)的確定方法要根據(jù)給定資料的具體情況而定。第30頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期五（二）眾數(shù)1．未分組資料或單項(xiàng)數(shù)列資料眾數(shù)觀察給定的數(shù)據(jù)，某個(gè)變量出現(xiàn)次數(shù)最多，則該變量即為所求眾數(shù)。這樣的方法確定比較容易，不需要計(jì)算。第31頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期五（二）眾數(shù)2．根據(jù)組距變量數(shù)量確定眾數(shù)具體步驟為：第32頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期五（三）分位數(shù)中位數(shù)是從中間點(diǎn)將全部數(shù)據(jù)等分為兩部分。與中位數(shù)類似的還有四分位數(shù)、八分位數(shù)、十分位數(shù)和百分位數(shù)等。它們分別是用3個(gè)點(diǎn)、7個(gè)點(diǎn)、9個(gè)點(diǎn)和99個(gè)點(diǎn)將數(shù)據(jù)四等分、八等分、十等分和100等分后各分位點(diǎn)上的值。這里只介紹四分位數(shù)的計(jì)算，其他分位數(shù)與之類似。第33頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期五（三）分位數(shù)1．百分位數(shù)百分位數(shù)（Percentile）是用99個(gè)點(diǎn)將排列好的數(shù)據(jù)100等分后各能給出從最小值到最大值區(qū)間內(nèi)數(shù)據(jù)的信息分位點(diǎn)上的值。其中每個(gè)部分包含了1%的數(shù)據(jù)。百分位數(shù)的計(jì)算方法與中位數(shù)的類似第34頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期五（三）分位數(shù)升序或降序）進(jìn)行排列。（2）確定所求百分位數(shù)的位置。假設(shè)求第p百分位數(shù)，則該第p百分位數(shù)位置為：i=pn/100（3）確定百分位數(shù)。如果計(jì)算i的為整數(shù)，則直接在排列的數(shù)據(jù)列中找到第個(gè)變量即為所求。若i不為整數(shù)，則取位于兩側(cè)的變量的平均數(shù)作為所要求的百分位數(shù)。第35頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期五（三）分位數(shù)2．四分位數(shù)一組數(shù)據(jù)排序后處于25％和75％位置上的值，稱為四分位數(shù)（quartile），也稱四分位點(diǎn)。四分位數(shù)是通過三個(gè)點(diǎn)即將全部數(shù)據(jù)等分為四部分，其中每部分包含25％的數(shù)據(jù)。中間的分位數(shù)就是中位數(shù)。因此通常所說的四分位數(shù)是指處在25％位置上的數(shù)值（下四分位數(shù)）和處在75％位置上的數(shù)值（上四分位數(shù)）。第36頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期五（三）分位數(shù)設(shè)下四分位數(shù)為Q1，中間的四分位數(shù)為Q2，上四分位數(shù)為Q3，則這分三個(gè)四位數(shù)所在位置：Q1的位置為(n+1)/4Q2的位置為(n+1)/2,即中位數(shù)點(diǎn)的位置。Q3的位置為3(n+1)/4。第37頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期五（三）分位數(shù)第38頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期五三、眾數(shù)、中位數(shù)與均值的比較（一）正態(tài)分布時(shí)三者的關(guān)系正態(tài)分布是以算術(shù)平均數(shù)為對(duì)稱軸，兩邊頻數(shù)相等。其中頻數(shù)最大的標(biāo)志值就是數(shù)列居中位置的標(biāo)志值，也就是權(quán)數(shù)最大、最具有代表性的那個(gè)變量值。因此，正態(tài)分布時(shí)，算術(shù)平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)三者相等，即第39頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期五三、眾數(shù)、中位數(shù)與均值的比較第40頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期五三、眾數(shù)、中位數(shù)與均值的比較（二）偏態(tài)分布時(shí)三者的關(guān)系頻數(shù)分布呈偏態(tài)時(shí)，算術(shù)平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的計(jì)算結(jié)果不同。當(dāng)右偏時(shí)，算術(shù)平均數(shù)大于中位數(shù)，而中位數(shù)又大于眾數(shù)，左偏時(shí)眾數(shù)大于中位數(shù)，中位數(shù)大于算術(shù)平均數(shù)。在偏態(tài)分布情況下，算術(shù)平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的上述關(guān)系是容易理解的，由于算術(shù)平均數(shù)受極端值影響，在發(fā)生右偏出現(xiàn)較大極端值時(shí)，算術(shù)平均數(shù)將增加得更快，而中位數(shù)總是居于中間位置，。左偏同樣可作類似的解釋，從而有第41頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期五4.2數(shù)據(jù)分布的離散趨勢(shì)測(cè)度

變量的變異程度的度量則是將變量值的差異揭示出來(lái)，反映總體各變量值對(duì)其平均數(shù)這個(gè)中心的離中趨勢(shì)。變異指標(biāo)與平均指標(biāo)分別從不同的側(cè)面反映總體的數(shù)量特征。第42頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期五4.2數(shù)據(jù)分布的離散趨勢(shì)測(cè)度數(shù)據(jù)的特征和度量集中趨勢(shì)算術(shù)平均數(shù)調(diào)和平均數(shù)幾何平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)百分位數(shù)四分位數(shù)集中趨勢(shì)極差四分位距平均差方差與標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)離散系數(shù)分布形狀偏態(tài)測(cè)度峰態(tài)測(cè)度第43頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期五一、極差極差（Range）也叫全距，常用R表示，它是一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值之差，即：極差表明數(shù)列中各變量值變動(dòng)的范圍。R越大，表明數(shù)列中變量值變動(dòng)的范圍越大，即數(shù)列中各變量值差異大；反之，R越小，表明數(shù)列中變量值的變動(dòng)范圍越小，即數(shù)列中各變量值差異小。第44頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期五二、四分位距四分位距（quartiledeviation）是度量變異數(shù)的另一種方法，也稱為內(nèi)距或四分位差，是第一四分位數(shù)（下四分位數(shù)Q1）與第三四分位數(shù)（上四分位數(shù)Q3）的差，也就是75%百分位數(shù)與25%百分位數(shù)間的距離。它代表分布中間50%的距離。常用表示IQR，其計(jì)算公式為：第45頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期五三、平均差

平均差（meandeviation）是變量數(shù)列中各個(gè)變量值與算術(shù)平均數(shù)的絕對(duì)離差的平均數(shù)，常用MD表示。各變量值與平均數(shù)的離差的絕對(duì)值越大，平均差也越大，則說明變量值變動(dòng)大，數(shù)列離散趨勢(shì)越大；反之亦然。根據(jù)所給資料的形式不同，對(duì)平均差的計(jì)算可以劃分為簡(jiǎn)單和加權(quán)式平均差兩種形式。第46頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期五（一）簡(jiǎn)單平均差

對(duì)未經(jīng)分組的數(shù)據(jù)資料，采用簡(jiǎn)單平均差，公式如下：第47頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期五（二）加權(quán)式

根據(jù)分組整理的數(shù)據(jù)計(jì)算平均差，應(yīng)采用加權(quán)式，公式如下：第48頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期五四、方差與標(biāo)準(zhǔn)差

方差（variance）是變量數(shù)列中各變量值與其算術(shù)平均數(shù)差的平方。標(biāo)準(zhǔn)差（standarddeviation）是方差的平方根，故又稱均方差或均方差根，其計(jì)量單位與平均數(shù)的計(jì)量單位相同。根據(jù)給定資料的不同，對(duì)方差和標(biāo)準(zhǔn)差的求解也可以分為兩種形式。第49頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期五（一）簡(jiǎn)單式

對(duì)未經(jīng)分組的數(shù)據(jù)資料，采用簡(jiǎn)單式，公式如下：方差的計(jì)算公式：標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式：第50頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期五（二）加權(quán)式

根據(jù)分組整理的數(shù)據(jù)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差，應(yīng)采用加權(quán)式，公式如下：方差：

標(biāo)準(zhǔn)差：第51頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期五五、相對(duì)位置和相對(duì)離散程度的度量前面介紹的極差、四分位差、平均差和標(biāo)準(zhǔn)差都是反映數(shù)據(jù)分散程度的絕對(duì)值，其數(shù)據(jù)的大小一方面取決于原變量值本身水平高低的影響，也就是與變量的平均數(shù)大小有關(guān)。因此，在對(duì)比分析中，不宜直接用上述各種標(biāo)志變異指標(biāo)來(lái)比較不同水平數(shù)列之間的離散程度，必須剔除數(shù)列水平的影響，必須用反映標(biāo)志變異程度的相對(duì)指標(biāo)來(lái)比較，用相對(duì)位置和離散系數(shù)來(lái)反映數(shù)列的離散趨勢(shì)。第52頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期五

（一）標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)標(biāo)準(zhǔn)分（standardscore）也稱標(biāo)準(zhǔn)化值或分?jǐn)?shù)，它是變量值與其平均數(shù)的離差除以標(biāo)準(zhǔn)差后的值，是對(duì)每個(gè)數(shù)據(jù)在該組數(shù)據(jù)中相對(duì)位置的測(cè)量。常用字母z表示，有

第53頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期五（一）標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)

實(shí)際上，分?jǐn)?shù)是將原始數(shù)據(jù)進(jìn)行了線性變換，它并沒有改變一個(gè)數(shù)據(jù)在該數(shù)據(jù)組中的位置，也沒有改變?cè)摻M數(shù)據(jù)的分布形狀，而只是將該組數(shù)據(jù)變?yōu)榫禐?，標(biāo)準(zhǔn)差為1。經(jīng)驗(yàn)表明，不管分布狀態(tài)如何，按照著名的“切貝舍夫定理”，至少有75%的數(shù)據(jù)位于，89％的數(shù)據(jù)位于；當(dāng)一組數(shù)據(jù)對(duì)稱分布時(shí)，大約有68％的數(shù)據(jù)在范圍內(nèi)；大約有95％的數(shù)據(jù)在的范圍內(nèi)；而在的范圍內(nèi)大約有98％的數(shù)據(jù)。第54頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期五（二）離散系數(shù)

離散系數(shù)（Coefficientofvariation）通常是就標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)計(jì)算的，因此，也稱為標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)，它反映數(shù)列離散趨勢(shì)的相對(duì)程度，是一組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差與其對(duì)應(yīng)的平均數(shù)之比，是測(cè)度數(shù)據(jù)離散程度的相對(duì)指標(biāo)，其計(jì)算公式如下：離散系數(shù)的作用主要用于比較不同總體或樣本數(shù)據(jù)的離散程度。離散系數(shù)大的說明數(shù)據(jù)的離散程度也就大，離散系數(shù)小的說明數(shù)據(jù)的離散程度也就小。第55頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期五4.3數(shù)據(jù)分布的形狀測(cè)度數(shù)據(jù)的特征和度量集中趨勢(shì)算術(shù)平均數(shù)調(diào)和平均數(shù)幾何平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)百分位數(shù)四分位數(shù)集中趨勢(shì)極差四分位距平均差方差與標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)離散系數(shù)分布形狀偏態(tài)測(cè)度峰態(tài)測(cè)度第56頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期五一、分布偏態(tài)測(cè)度

偏態(tài)（Skewness）是對(duì)分布偏斜方向和程度的測(cè)度，是次數(shù)分配的非對(duì)稱程度。它與平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差一樣，是反映次數(shù)分布特征的又一重要指標(biāo)。第57頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期五一、分布偏態(tài)測(cè)度

偏態(tài)通常分為兩種：右偏（或正偏）與左偏（或負(fù)偏）。它們是與對(duì)稱分配為標(biāo)準(zhǔn)相比較而言的。第58頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期五一、分布偏態(tài)測(cè)度統(tǒng)計(jì)分析中測(cè)定偏態(tài)系數(shù)的方法很多，一般采用動(dòng)差概念計(jì)算，其計(jì)算公式為三階中心動(dòng)差與標(biāo)準(zhǔn)差的三次方之比。具體公式如下：第59頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期五一、分布偏態(tài)測(cè)度從上式可以看到，它是離差三次方的平均數(shù)再除以標(biāo)準(zhǔn)差的三次方。當(dāng)分布對(duì)稱時(shí)，離差三次方后正負(fù)離差可以相互抵消，因而的分子等于0，則=0；當(dāng)分布不對(duì)稱時(shí)，正負(fù)離差不能抵消，就形成了正與負(fù)的偏態(tài)系數(shù)。當(dāng)為正值時(shí)，表示正偏離差值較大，可以判斷為正偏或右偏；反之，為負(fù)值時(shí)，表示負(fù)偏離差值較大，可以判斷為負(fù)偏或左偏。偏態(tài)系數(shù)的數(shù)值一般在0與±3之間，越接近0，分布的偏斜度越小；越接近±3，分布的偏斜度越大。第60頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期五二、分布峰態(tài)測(cè)度

峰度（Kurtosis）是分布集中趨勢(shì)高峰的形狀，指次數(shù)分配曲線頂端的尖峭程度。在變量數(shù)列的分布特征中，常常將數(shù)分配曲線與正態(tài)曲線相比較，判斷是尖頂還是平頂及其尖頂或平頂?shù)某潭?。峰度通常分為三種：正態(tài)峰度、尖頂峰度與平頂峰度。當(dāng)分配數(shù)列的次數(shù)比較集中于眾數(shù)的位置，使次數(shù)分配曲線較正態(tài)分配曲線更為隆起的，屬于尖頂峰度。當(dāng)分配數(shù)列的次數(shù)，對(duì)眾數(shù)來(lái)說比較分散，使次數(shù)分配曲線較正態(tài)分配曲線更為平滑的，屬于平頂峰度。第61頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期五二、分布峰態(tài)測(cè)度

測(cè)度峰度的方法一般運(yùn)用統(tǒng)計(jì)動(dòng)差法，即運(yùn)用四階中心動(dòng)差與標(biāo)準(zhǔn)差的四次方對(duì)比，以此來(lái)判斷各分布曲線峰度的尖平程度。公式如下：第62頁(yè)，共71頁(yè)，2023年，2月20日，星期五二、分布峰態(tài)測(cè)度

峰度系數(shù)是統(tǒng)計(jì)中描述次數(shù)分布狀態(tài)的又一個(gè)重要特征值，用以測(cè)定鄰近數(shù)值周圍變量值分布的集中或分散程度。它以四階中心動(dòng)差為測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)，除以好是為了消除單位量綱的影響，而得