線性多變量系統(tǒng)鄭大鐘第篇復頻域理論

例如上式即為G(s)的一個右MFD把G(s)按各行通分，可以寫出G(s)的左MFD2/4,2/16現(xiàn)在是1頁\一共有105頁\編輯于星期二MDF的特性結論：對傳遞函數(shù)矩陣G(s)的一個右MFD，規(guī)定對傳遞函數(shù)矩陣G(s)的一個左MFD，規(guī)定對給定一個G(s)，其右MFD和左MFD在次數(shù)上一般不相等。結論：對傳遞函數(shù)矩陣G(s)，其右MFD和左MFD為不唯一，且不同的MFD可能具有不同的次數(shù)。例如結論：對qp傳遞函數(shù)矩陣G(s)，設W(s)為pp非奇異多項式矩陣，令為其一個右MFD則也是G(s)的一個右MFD，且若W(s)為單模矩陣，則現(xiàn)在是2頁\一共有105頁\編輯于星期二結論：對qp傳遞函數(shù)矩陣G(s)，設為其一個右MFD和一個左MFD則有*最小階MFD也不是唯一的*稱最小階MFD為不可簡約MFD4/4,4/16結論：對qp傳遞函數(shù)矩陣G(s)，設WL(s)為任一qq非奇異多項式矩陣。為其一個左MFD，則也是G(s)的一個左MFD，且若WL(s)為單模矩陣，則現(xiàn)在是3頁\一共有105頁\編輯于星期二8.2矩陣分式描述的真性和嚴真性

設多輸入多輸出連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，傳遞函數(shù)矩陣G(s)為1/3,5/16結論：定義現(xiàn)在是4頁\一共有105頁\編輯于星期二真性和嚴真性的判別準則結論：對右MFDD(s)為pp陣且則例容易判斷D(s)為列既約，且可知為真2/3,6/16列既約現(xiàn)在是5頁\一共有105頁\編輯于星期二例給定12右MFDD(s)為非列既約，盡管但非真結論：對左MFD為qq陣且行既約,則*若D(s)或DL(s)為非列既約或行既約，則引入一個單模矩陣，化D(s)或DL(s)為列既約或行既約，進行判斷。3/3,7/16現(xiàn)在是6頁\一共有105頁\編輯于星期二8.3從非真矩陣分式描述導出嚴真矩陣分式描述

結論：對非真右MFDN(s)D-1(s)，D(s)為pp多項式矩陣，N(s)為qp多項式矩陣,唯一存在qp多項式矩陣Q(s)和R(s)，使且R(s)D-1(s)為非真N(s)D-1(s)導出的嚴真右MFD。確定嚴真MFD的算法Step1：計算給定N(s)D-1(s)的有理分式矩陣G(s)Step2：通過多項式除法，得Step3Step4其中R(s)D-1(s)為非真右MFDN(s)D-1(s)的嚴真部分，Q(s)為多項式矩陣部分。1/3,8/16現(xiàn)在是7頁\一共有105頁\編輯于星期二結論：對非真左MFD，DL-1(s)NL(s)，唯一存在兩個多項式矩陣使一類特殊情形的多項式矩陣除法問題在連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)中，除式矩陣通常為sI-A結論：對pp矩陣sI-A和多項式矩陣N(s)，唯一存在一個常陣Nr(A)和多項式矩陣Qr(s)滿足其中顯然Nr(A)(sI-A)-1為N(s)(sI-A)-1所導出的嚴真右MFD2/3,9/16現(xiàn)在是8頁\一共有105頁\編輯于星期二結論：對qq矩陣sI-A和多項式矩陣NL(s)，唯一存在一個常陣NL(A)和多項式矩陣QL(s)滿足其中顯然(sI-A)-1NL(A)為(sI-A)-1NL(s)所導出的嚴真左MFD3/3,10/16現(xiàn)在是9頁\一共有105頁\編輯于星期二8．4不可簡約矩陣分式描述不可簡約MFD實質上是系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣的一類最簡約MFD，通常也稱為最小階MFD。定義：右不可簡約<=>D(s)和N(s)為右互質<=>左不可簡約<=>DL(s)和NL(s)為左互質<=>不可簡約MFD的基本特性結論：對qp傳遞函數(shù)矩陣，其右不可簡約MFD和左不可簡約MFD均為不惟一結論：設為qp傳遞函數(shù)矩陣G(s)的任意兩個右不可簡約MFD，則必存在單模陣U(s)滿足：1/3,11/16證明過程分3步：U(s)存在U(s)為多項式矩陣U(s)為單模陣現(xiàn)在是10頁\一共有105頁\編輯于星期二結論：設為傳遞函數(shù)矩陣G(s)的任意兩個左不可簡約MFD則必存在單模陣V(s)，滿足結論：傳遞函數(shù)矩陣G(s)的右不可簡約MFD滿足廣義惟一性。傳遞函數(shù)矩陣G(s)的左不可簡約MFD滿足廣義惟一性。結論：對qp傳遞函數(shù)矩陣G(s)的任一右不可簡約MFDN(s)D-1(s)和任一右可簡約MFD，必存在非奇異多項式矩陣T(s)，滿足：2/3,12/16證明過程分2步：1）根據(jù)G(s)的某一右不可簡約MFDN1(s)D1-1(s)，利用單模陣導出的MFDN2(s)D2-1(s)也是G(s)的MFD2）N2(s)D2-1(s)是不可簡約MFD現(xiàn)在是11頁\一共有105頁\編輯于星期二例現(xiàn)在是12頁\一共有105頁\編輯于星期二結論：對qp傳遞函數(shù)矩陣G(s)的所有右不可簡約MFD必有：1，Ni(s)具有相同2，Di(s)具有相同不變多項式detD1(s)=c2detD2(s)=….結論：對qp傳遞函數(shù)矩陣G(s)的所有左不可簡約MFD必有：1，NLi(s)具有相同史密斯形2，DLi(s)具有相同不變多項式結論：對qp傳遞函數(shù)矩陣的任一左不可簡約MFD，和任一右不可簡約MFD必有3/3,13/16結論：對qp傳遞函數(shù)矩陣G(s)的任一左不可簡約MFDDL

-1(s)NL(s)和任一左可簡約MFD，必存在非奇異多項式矩陣TL(s)，滿足：史密斯形現(xiàn)在是13頁\一共有105頁\編輯于星期二8．5確定不可簡約矩陣分式描述的算法結論：對qp傳遞函數(shù)矩陣G(s)設為任一右可簡約MFDpp多項式矩陣R(s)為的一個最大右公因子且為非奇異，取為G(s)的一個右不可簡約MFD。結論：對qp傳遞函數(shù)矩陣G(s)設為任一左可簡約MFDRL(s)為的一個最大左公因子且為非奇異，取為G(s)的一個左不可簡約MFD。1/1,14/16現(xiàn)在是14頁\一共有105頁\編輯于星期二8．6規(guī)范矩陣分式描述傳遞函數(shù)矩陣的可簡約MFD和不可簡約MFD具有不惟一性。其惟一化的途徑是對MFD分母矩陣限定為規(guī)范形而得到規(guī)范MFD。埃爾米特形MFD稱qp的NH(s)DH-1(s)為傳遞函數(shù)矩陣G(s)的列埃爾米特形MFD，是指分母矩陣具有列埃爾米特形其中：1）為首1多項式2）若為含S多項式，則1/2,15/16例如即在該行中階次最高現(xiàn)在是15頁\一共有105頁\編輯于星期二稱qp的為傳遞函數(shù)矩陣G(s)的行埃爾米特形MFD，是指分母矩陣具有行埃爾米特形其中：1）為首1多項式2）若為含S多項式，則結論：對qp傳遞函數(shù)矩陣G(s)，其所有不可簡約右MFD具有相同列埃爾米特形MFD其所有不可簡約左MFD具有相同行埃爾米特形MFD2/2,16/16行埃爾米特形和列埃爾米特形是對稱（7.7)波波夫形MFD結論類似(7.13)即在該列中階次最高現(xiàn)在是16頁\一共有105頁\編輯于星期二第9章傳遞函數(shù)矩陣的結構特性9．1史密斯-------麥克米倫形稱秩為r的有理分式矩陣為史密斯-------麥克米倫形，當且僅當具有形式其中，1）為互質，i=1,2,…,r2）滿足整除性1/4,1/12例如現(xiàn)在是17頁\一共有105頁\編輯于星期二結論：對qp有理分式矩陣G(s)，設則必存在qq和pp單模矩陣U(s)和V(s)使變換后傳遞函數(shù)矩陣U(s)G(s)V(s)為史密斯-------麥克米倫形2/4,2/12證：容易驗算整除性，以上證明是史密斯-------麥克米倫形一個構造過程現(xiàn)在是18頁\一共有105頁\編輯于星期二史密斯-------麥克米倫形基本特性結論：有理分式矩陣G(s)的史密斯-------麥克米倫形M(s)為惟一結論：化有理分式矩陣G(s)為史密斯-------麥克米倫形M(s)的單模變換陣對{U(s),V(s)}不惟一。結論：嚴格有理分式矩陣G(s)的史密斯-------麥克米倫形M(s)不具有保持嚴真屬性，M(s)甚至可能為非真。結論：對qq非奇異有理分式矩陣G(s)其中a為非零常數(shù)例：導出G(s)的史密斯-------麥克米倫形M(s)解：取本例中G(s)是嚴真的，M(s)非嚴真?，F(xiàn)在是19頁\一共有105頁\編輯于星期二結論：由史密斯-------麥克米倫形寫出MFD對秩為r的qp傳遞函數(shù)矩陣G(s)，其史密斯-------麥克米倫形M(s)為令則M(s)表為右MFD令則M(s)表為左MFD3/4,3/12現(xiàn)在是20頁\一共有105頁\編輯于星期二結論：對qp傳遞函數(shù)矩陣G(s)，其史密斯-------麥克米倫形為M(s)。單模變換陣對為{U(s),V(s)}若取則為G(s)的不可簡約右MFD若取則為G(s)的不可簡約左MFD4/4,4/12證：考慮到由于為G(s)的不可簡約右MFD現(xiàn)在是21頁\一共有105頁\編輯于星期二9．2傳遞函數(shù)矩陣的有限零點和有限極點定義：對秩為r的qp傳遞函數(shù)矩陣G(s)，其史密斯-------麥克米倫形M(s)，則G(s)有限極點=M(s)中的根，i=1,2,…,rG(s)有限零點=M(s)中的根,i=1,2,…,r定義：對qp傳遞函數(shù)矩陣G(s)，設和為G(s)的任一不可簡約右MFD和任一不可簡約左MFD，則G(s)有限極點=det(D(s))=0根或的根G(s)有限零點=的s值或的s值1/2,5/12G(s)有限極點:s=-1(二重),s=-2(三重)G(s)有限零點:s=0(三重)例如:N(s)和D(s)為右互質,G(s)的有限零點是rankN(s)<2的s值:s=0,s=-1G(s)的有限極點是detD(s)=0的s值:s=0(三重),s=1現(xiàn)在是22頁\一共有105頁\編輯于星期二2/2,6/12定義：對qp傳遞函數(shù)矩陣G(s)，設其狀態(tài)空間描述為(A,B,C)，且(A,B)全能控，(A,C)完全能觀測，則有：G(s)有限極點=的根G(s)有限零點=使降秩的s值結論：對qp嚴真?zhèn)鬟f函數(shù)矩陣G(s)，其能控和能觀測狀態(tài)空間描述為(A,B,C)，z0為任一零點，則對滿足關系式的所有非零初始狀態(tài)x0和輸入系統(tǒng)輸出具有阻塞作用，即其能引起的系統(tǒng)輸出y(t)強制恒為零。表明系統(tǒng)輸出對與零點相關一類輸入向量函數(shù)具有阻塞作用?，F(xiàn)在是23頁\一共有105頁\編輯于星期二9．3傳遞函數(shù)矩陣的結構指數(shù)

對qp傳遞函數(shù)矩陣G(s)，有限零點和有限極點的集合。那么，若對任一導出對應的rr對角矩陣則稱為G(s)在的一組結構指數(shù)1/3,7/12可把G(s)的史密斯-麥克米倫形寫為上式表明，一旦定出G(s)各個極點零點及其結構指數(shù)組，便可構造出G(s)的史密斯---麥克米倫形M(s)。現(xiàn)在是24頁\一共有105頁\編輯于星期二例定出的結構指數(shù)史密斯----麥克米倫形為G(s)極點零點集合2/3,8/12現(xiàn)在是25頁\一共有105頁\編輯于星期二結論：G(s)在極點重數(shù)=中負指數(shù)之和絕對值結論：G(s)在零點重數(shù)=中正指數(shù)之和結論：傳遞函數(shù)矩陣在非極點零點處的結構指數(shù)必恒為零。3/3,9/12現(xiàn)在是26頁\一共有105頁\編輯于星期二9．4傳遞函數(shù)矩陣在無窮遠處的極點和零點

確定s=∞處極點零點的思路對qp傳遞函數(shù)矩陣G(s),則直接基于G(s)的史密斯---麥克米倫形M(s)不能定義G(s)在無窮遠處的極點和零點，若引入變換則有G（s）在s=∞處的極點/零點=H(λ)在λ=0處的極點/零點。結論：對qp傳遞函數(shù)矩陣G(s)，設再基于變換由G(λ-1)導出H(λ)引入單模變換陣。導出其史密斯----麥克米倫形G(s)在s=∞處的極點重數(shù)=中的根重數(shù)i=1,2,…,r則有G(s)在s=∞處的零點重數(shù)=中的根重數(shù)i=1,2,…,r1/3,10/12由G(s)導出M(s)的過程中，單模變換會改變G(s)的嚴真屬性，從而改變s=∞處的極點零點（重數(shù)），s=∞處的極點、零點不能由史密斯---麥克米倫形M(s)直接確定現(xiàn)在是27頁\一共有105頁\編輯于星期二例：設史密斯-------麥克米倫形基于此，可以定出G(s)在s=∞處極點重數(shù)=2G(s)在s=∞處零點重數(shù)=12/3,11/12現(xiàn)在是28頁\一共有105頁\編輯于星期二無窮遠處的結構指數(shù)對qp傳遞函數(shù)矩陣G(s)則G(s)在s=∞處結構指數(shù)在λ=0處結構指數(shù)3/3,12/12結論：G(s)在極點重數(shù)=中負指數(shù)之和絕對值結論：G(s)在零點重數(shù)=中正指數(shù)之和現(xiàn)在是29頁\一共有105頁\編輯于星期二第10章傳遞函數(shù)矩陣的狀態(tài)空間實現(xiàn)10．1實現(xiàn)的基本概念和基本屬性定義10．1[實現(xiàn)]對真或嚴真連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，稱一個狀態(tài)空間描述或簡寫為(A,B,C,E)是其傳遞函數(shù)矩陣G(s)的一個實現(xiàn)，如果兩者為外部等價即成立關系式：C(sI－A)-1B+E=G(s)結論10．1[實現(xiàn)維數(shù)]傳遞函數(shù)矩陣G(s)的實現(xiàn)(A,B,C,E)的結構復雜程度可由其維數(shù)表征。一個實現(xiàn)的維數(shù)規(guī)定為其系統(tǒng)矩陣A的維數(shù)，即有實現(xiàn)維數(shù)=dimA結論10．2[不惟一性]傳遞函數(shù)矩陣G(s)的實現(xiàn)(A,B,C,E)滿足強不惟一性。即對傳遞函數(shù)矩陣G(s)，不僅其實現(xiàn)結果為不惟一，而且其實現(xiàn)維數(shù)也為不惟一。結論10．3[最小實現(xiàn)]最小實現(xiàn)定義為傳遞函數(shù)矩陣G(s)的所有實現(xiàn)(A,B,C,E)中維數(shù)最小的一類實現(xiàn)。實質上，最小實現(xiàn)就是外部等價于G(s)的一個結構最簡狀態(tài)空間模型。1/5,1/39現(xiàn)在是30頁\一共有105頁\編輯于星期二結論10．4[實現(xiàn)間關系]對傳遞函數(shù)矩陣G(s)，其不同實現(xiàn)間一般不存在代數(shù)等價關系，但其所有最小實現(xiàn)間必有代數(shù)等價關系。結論10．5[實現(xiàn)物理本質]物理直觀上，傳遞函數(shù)矩陣G(s)的實現(xiàn)就是對具有“黑箱”形式的真實系統(tǒng)在狀態(tài)空間領域尋找一個外部等價的內部假想結構，內部假想結構對真實系統(tǒng)的可否完全表征性依賴于系統(tǒng)的是否能控和能觀測。結論10．6[實現(xiàn)形式]傳遞函數(shù)矩陣G(s)的實現(xiàn)形式取決于其真性或嚴真性屬性。當G(s)為嚴真，其實現(xiàn)對應地具有形式(A,B,C)即E=0；當G(s)為真，其實現(xiàn)對應地具有形式(A,B,C,E)即E≠0，且有結論10．7[其他實現(xiàn)構造]設狀態(tài)空間描述(A,B,C,E)為傳遞函數(shù)矩陣G(s)的一個實現(xiàn)，dimA=n，則對任一nn非奇異陣T，狀態(tài)空間描述(TAT-1，TB，CT-1，E)必也為G(s)的一個同維實現(xiàn)。2/5,2/39現(xiàn)在是31頁\一共有105頁\編輯于星期二能控類實現(xiàn)和能觀測類實現(xiàn)是兩類基本的典型實現(xiàn)定義10．2[能控類實現(xiàn)]稱狀態(tài)空間描述(A,B,C,E)為傳遞函數(shù)矩陣G(s)的一個能控類實現(xiàn)，當且僅當C(sI－A)-1B+E=G(s)(A,B)能控且有指定形式定義10．3[能觀測類實現(xiàn)]稱狀態(tài)空間描述(A,B,C,E)為傳遞函數(shù)矩陣G(s)的一個能觀測類實現(xiàn)，當且僅當C(sI－A)-1B+E=G(s)(A,C)能觀測且有指定形式最小實現(xiàn)是傳遞函數(shù)矩陣G(s)的一類最為重要的實現(xiàn)。最小實現(xiàn)是G(s)的所有實現(xiàn)中結構為最簡的實現(xiàn)，即從外部等價的角度實現(xiàn)中不包含任何多余的部分，因此通常也稱最小實現(xiàn)為不可簡約實現(xiàn)。結論10．8設(A,B,C)為嚴真?zhèn)鬟f函數(shù)矩陣G(s)的一個實現(xiàn)，則其為最小實現(xiàn)的充分必要條件是(A,B)完全能控，(A,C)完全能觀測[最小實現(xiàn)判據(jù)]3/5,3/39現(xiàn)在是32頁\一共有105頁\編輯于星期二結論10．10[實現(xiàn)最小維數(shù)]對嚴真?zhèn)鬟f函數(shù)矩陣G(s)，其冪級數(shù)表達式為：為馬爾柯夫(Markov)參數(shù)矩陣，并基此組成漢克爾(Hankel)矩陣則G(s)的狀態(tài)空間實現(xiàn)的最小維數(shù)為nmin=rankH結論10．9[最小實現(xiàn)廣義惟一性]嚴真?zhèn)鬟f函數(shù)矩陣G(s)的最小實現(xiàn)為不惟一但滿足廣義惟一性。即若(A,B,C)和為G(s)的任意兩個n維最小實現(xiàn)，則必可基此構造出一個nn非奇異常陣T使成立：4/5,4/39現(xiàn)在是33頁\一共有105頁\編輯于星期二結論10．11[實現(xiàn)最小維數(shù)]對qp傳遞函數(shù)矩陣G(s)，rankG(s)=r，其史密斯—麥克米倫形為其中，U(s)和V(s)為qq和pp單模陣。那么，G(s)的狀態(tài)空間實現(xiàn)的最小維數(shù)為5/5,5/39現(xiàn)在是34頁\一共有105頁\編輯于星期二10.2標量傳遞函數(shù)的典型實現(xiàn)不失一般性，考慮真標量傳遞函數(shù)g(s)，并通過嚴真化先將其表為常數(shù)e和嚴真有理分式n(s)/d(s)之和，即有那么，對g(s)的各類典型實現(xiàn)就歸結為對嚴真?zhèn)鬟f函數(shù)n(s)/d(s)導出相應的實現(xiàn)，而常數(shù)e為各類實現(xiàn)中的輸入輸出直接傳遞系數(shù)。1/5,6/39現(xiàn)在是35頁\一共有105頁\編輯于星期二幾點討論真標量傳遞函數(shù)g(s)的能控規(guī)范形實現(xiàn)實現(xiàn)形式惟一性維數(shù)非最小性(Ac，bc，cc)為最小實現(xiàn)條件：結論10．12[能控規(guī)范形實現(xiàn)]標量傳遞函數(shù)g(s)的嚴真部分n(s)/d(s)的能控規(guī)范形實現(xiàn)具有形式：2/5,7/39n(s)與d(s)互質現(xiàn)在是36頁\一共有105頁\編輯于星期二結論10．18[能觀測規(guī)范形實現(xiàn)]標量傳遞函數(shù)g(s)的嚴真部分n(s)/d(s)的能觀測規(guī)范形實現(xiàn)具有形式：幾點討論真標量傳遞函數(shù)g(s)的能觀測規(guī)范形實現(xiàn)實現(xiàn)形式惟一性維數(shù)非最小性(Ac，bc，cc)為最小實現(xiàn)條件：結論10.24[對偶性]嚴真標量傳遞函數(shù)n(s)/d(s)的能控規(guī)范形實現(xiàn)（Ac，bc，cc）和能觀測規(guī)范形實現(xiàn)（A0，b0，c0）滿足對偶關系，即有A0=AcT，b0=ccT，c0=bcT

3/5,8/39n(s)與d(s)互質現(xiàn)在是37頁\一共有105頁\編輯于星期二結論10.25[并聯(lián)形實現(xiàn)]設傳遞函數(shù)g(s)及其嚴真部分n(s)/d(s)，極點為λ1(μ1重)，λ2（μ2重），…λm(μm重)，表則嚴真?zhèn)鬟f函數(shù)n(s)/d(s)的并聯(lián)形實現(xiàn)為4/5,9/39現(xiàn)在是38頁\一共有105頁\編輯于星期二幾點解釋并聯(lián)形實現(xiàn)為約當型規(guī)范形實現(xiàn)并聯(lián)形實現(xiàn)在構成上的難點：對極點中包含共軛復數(shù)情形的處理：非奇異復變換實數(shù)化求留數(shù)fik，i=1…m,k=1,…,μi

現(xiàn)在是39頁\一共有105頁\編輯于星期二表n(s)/d(s)為則嚴真?zhèn)鬟f函數(shù)n(s)/d(s)的串聯(lián)形實現(xiàn)為幾點解釋(1)串聯(lián)形實現(xiàn)的優(yōu)點：簡單直觀，便于分析(2)串聯(lián)形實現(xiàn)在構成上的難點：確定極點與零點(3)對極零點中包含共軛復數(shù)情形的處理：非奇異復變換實數(shù)化5/5,10/39[串聯(lián)形實現(xiàn)]現(xiàn)在是40頁\一共有105頁\編輯于星期二10.3基于有理分式矩陣描述的典型實現(xiàn)：能控形實現(xiàn)和能觀測形實現(xiàn)考慮以有理分式矩陣描述給出的真qp傳遞函數(shù)矩陣G(s)G(s)=(gij(s))，i=1,…,qj=1,…,q進而，表G(s)為“嚴真qp傳遞函數(shù)矩陣”和“qp常陣E”之和，即G(s)=(gij(s))=(eij)+(gijsp(s))=E+Gsp(s)且有E=G(∞)。再表Gsp(s)諸元即G(s)諸元的最小公分母d(s)為d(s)=sl+αl-1sl-1+…+α1s+α0基此，嚴真qp傳遞函數(shù)矩陣Gsp(s)可進而表為其中，Pk(k=0,1,…,l-1)為qp常陣1/3,11/39現(xiàn)在是41頁\一共有105頁\編輯于星期二結論10.35[能控形實現(xiàn)]對以有理分式矩陣描述給出的嚴真?zhèn)鬟f函數(shù)矩陣Gsp(s)，其能控形實現(xiàn)具有形式而真?zhèn)鬟f函數(shù)矩陣G(s)的能控形實現(xiàn)為2/3,12/39第一步應證明第二步證明系統(tǒng)能控其中，Pk(k=0,1,…,l-1)為qp常陣現(xiàn)在是42頁\一共有105頁\編輯于星期二結論10.36[能觀測形實現(xiàn)]對以有理分式矩陣描述給出的嚴真?zhèn)鬟f函數(shù)矩陣Gsp(s)，其能觀測形實現(xiàn)具有形式而真?zhèn)鬟f函數(shù)矩陣G(s)的能觀測形實現(xiàn)為3/3,13/39現(xiàn)在是43頁\一共有105頁\編輯于星期二10.4基于矩陣分式描述的典型實現(xiàn)：控制器形實現(xiàn)和觀測器形實現(xiàn)右MFD的控制器形實現(xiàn)不失一般性，考慮qp右MFD和D(s)為qp和pp的多項式矩陣，設D(s)為列既約首先，對真導出其嚴真右MFD。其中，qp常陣E為“商陣”，qp多項式矩陣N(s)為“余式陣”。下面的問題就是，對qp嚴真右MFDN(s)D-1(s),D(s)列既約構造其控制器形實現(xiàn)。1/22,14/39現(xiàn)在是44頁\一共有105頁\編輯于星期二(1)控制器形實現(xiàn)的定義定義10.4[控制器形實現(xiàn)]對qp嚴真右MFDN(s)D-1(s)，D(s)列既約，表列次數(shù)δciD(s)=kci,i=1,2,…,p，稱一個狀態(tài)空間描述為其控制器形實現(xiàn)，其中如果滿足：Cc(sI－Ac)-1Bc=N(s)D-1(s)(AC,BC)為完全能控且具有特定形式2/22,15/39現(xiàn)在是45頁\一共有105頁\編輯于星期二Dhc為D(s)的列次系數(shù)，且detDhc≠0DLc為D(s)的低次系數(shù)陣NLc為N(s)的低次系數(shù)陣結論10.37[構造(AC,BC,CC)的結構圖]對qp嚴真右MFDN(s)D-1(s)，D(s)列既約，表列次數(shù)δciD(s)=kci,i=1,2,…,p，再引入列次表達式：D(s)=DhcSc(s)+DLcΨC(s)

N(s)=NLcΨC(s)其中3/22,16/39現(xiàn)在是46頁\一共有105頁\編輯于星期二那么，基此可導出構造(AC,BC,CC)的結構圖稱Ψc(s)Sc-1(s)為核心右MFD-uyu0y0圖10.5結論10.38[構造(AC,BC,CC)的思路]給定qp嚴真右MFDN(s)D-1(s)，D(s)列既約，則在圖10.5所示構造(AC,BC,CC)的結構圖基礎上，對(AC,BC,CC)的構造可分為兩步進行：首先，對核心右MFD之Ψc(s)Sc-1(s)構造實現(xiàn)(Ac0,Bc0,Cc0),稱其為N(s)D-1(s)的核實現(xiàn)。進而，用核實現(xiàn)置換圖10.5所示結構圖中的核心右MFD，再通過結構圖化簡導出N(s)D-1(s)的控制器形實現(xiàn)。4/22,17/39(p×1)(p×p)(q×n)(q×1)(p×p)(p×n)(n×p)(p×p)現(xiàn)在是47頁\一共有105頁\編輯于星期二(3)核實現(xiàn)(Ac0,Bc0,Cc0)的構造先來引入積分鏈組模型。相對于qp右MFDN(s)D-1(s)，D(s)列既約，列次數(shù)δciD(s)=kci,i=1,2,…,p，其積分鏈組的組成如圖所示。圖中，為使組成表達整齊起見，已經非實質性地假定列次數(shù)滿足非降性，即成立kc1≤kc2≤…≤kcp。積分鏈組的輸入uch取為積分鏈組的輸出ych取為各個積分鏈的輸出構成的向量5/22,18/39現(xiàn)在是48頁\一共有105頁\編輯于星期二6/22,19/39現(xiàn)在是49頁\一共有105頁\編輯于星期二結論10.40[積分鏈組的狀態(tài)空間描述]相對于qp右MFDN(s)D-1(s)的積分鏈組模型，取狀態(tài)Xch﹑輸出Ych和輸入uch為7/22,20/39現(xiàn)在是50頁\一共有105頁\編輯于星期二8/22,21/39現(xiàn)在是51頁\一共有105頁\編輯于星期二（4）控制器形實現(xiàn)的構造結論10.42[控制器形實現(xiàn)]對真qp右MFD，其嚴真右MFD為N(s)D-1(s)，D(s)列既約，列次數(shù)δciD(s)=kci,i=1,2,…,p，再引入列次表達式：D(s)=DhcSC(s)+DLcΨc(s)N(s)=NLcΨc(s)且知核MFDΨc(s)Sc-1(s)的實現(xiàn)為(Ac0,Bc0,Cc0)，則嚴真N(s)D-1(s)的控制器形實現(xiàn)(AC,BC,CC)的系數(shù)矩陣為Ac=Ac0－Bc0Dhc-1DLc，Bc=Bc0Dhc-1，Cc=NLc

而真右MFD的控制器形實現(xiàn)為(AC,BC,CC,E)Bc0∫Cc0NLcD-1hcD-1hcDLcAc09/22,22/39現(xiàn)在是52頁\一共有105頁\編輯于星期二例10．1

定出給定2×2右MFDN(s)D-1(s)的控制器形實現(xiàn)(Ac,Bc,Cc)，其中容易判斷，D(s)為列既約，且N(s)D-1(s)為嚴真，進而，定出列次數(shù)kc1=δc1D(s)=2，kc2=δc2D(s)=3基此，又可定出10/22,23/39現(xiàn)在是53頁\一共有105頁\編輯于星期二核實現(xiàn)可導出控制器形實現(xiàn)11/22,24/39現(xiàn)在是54頁\一共有105頁\編輯于星期二控制器形實現(xiàn)的性質結論10.43[控制器形實現(xiàn)]對嚴真右MFDN(s)D-1(s)，D(s)列既約，由核實現(xiàn)(Ac0,Bc0,Cc0)的結構所決定，其控制器形實現(xiàn)(AC,BC,CC)具有形式：12/22,25/39現(xiàn)在是55頁\一共有105頁\編輯于星期二(2)控制器形實現(xiàn)和列次表達式在系數(shù)陣間的對應關系結論10.44[對應關系]對嚴真右MFDN(s)D-1(s)，D(s)列既約，控制器形實現(xiàn)系數(shù)矩陣(AC,BC,CC)和D(s)列次表達式系數(shù)陣之間具有直觀關系Ac的第i個*行＝－Dhc-1DLc的第i行Bc的第i個*行＝Dhc-1的第i行其中，i=1,2,…,p。例10．2

定出給定2×2右MFDN(s)D-1(s)的控制器形實現(xiàn)(Ac,Bc,Cc)，其中容易判斷，D(s)為列既約，且N(s)D-1(s)為嚴真，進而，定出列次數(shù)kc1=δc1D(s)=2，kc2=δc2D(s)=313/22,26/39現(xiàn)在是56頁\一共有105頁\編輯于星期二基此，又可定出結論10.45[不完全能觀測屬性]對嚴真右MFDN(s)D-1(s)，D(s)列既約的控制器形實現(xiàn)(AC,BC,CC)，(AC,BC)為完全能控，但(AC,CC)一般為不完全能觀測。14/22,27/39現(xiàn)在是57頁\一共有105頁\編輯于星期二結論10.46[系數(shù)矩陣間關系]對嚴真右MFDN(s)D-1(s)，D(s)列既約，其控制器形實現(xiàn)(AC,BC,CC)和N(s)D-1(s)在系數(shù)矩陣之間具有關系：15/22,28/39證明：容易看出，需證明的關系式中對應項相等結論10.47[系數(shù)矩陣行列式間關系]對嚴真右MFDN(s)D-1(s)，D(s)列既約，其控制器形實現(xiàn)(AC,BC,CC)和N(s)D-1(s)在系數(shù)矩陣行列式之間具有關系：det(sI-Ac)=(detDhc)-1detD(s)dim(Ac)=deg(detD(s))結論10.48[實現(xiàn)和N(s)關系]對嚴真右MFDN(s)D-1(s)，D(s)列既約，其控制器形實現(xiàn)(AC,BC,CC)和MFD分子矩陣N(s)之間具有關系結論10.49[聯(lián)合能控能觀測條件]對嚴真右MFDN(s)D-1(s)，D(s)列既約，其控制器形實現(xiàn)(AC,BC,CC)聯(lián)合能控和能觀測的一個充分條件為，對所有s∈ξ，qp矩陣N(s)為列滿秩即rankN(s)=p現(xiàn)在是58頁\一共有105頁\編輯于星期二左MFD的觀測形實現(xiàn)考慮真qp左MFD為多項式矩陣，為行既約。為對真導出嚴真左MFD，引入矩陣左除法可以得到其中，DL-1

(s)NL(s)為嚴真左MFD。下面的問題就是，對qp嚴真左MFDDL-1

(s)NL(s)，DL(s)行既約，構造觀測器形實現(xiàn)定義10.5[觀測器形實現(xiàn)]對qp嚴真左MFDDL-1(s)NL(s)，DL(s)行既約，表行次數(shù)δrjDL(s)=krj，j=1，2…，q，則稱一個狀態(tài)空間描述16/22,29/39現(xiàn)在是59頁\一共有105頁\編輯于星期二(2)核實現(xiàn)(A00B00C00)對嚴真DL-1(s)NL(s),行次數(shù)δrjDL(s)=krj，j=1，2…，q,引入行次數(shù)表達式DL(s)=Sr(s)Dhr+Ψr(s)DLrNL(s)=Ψr(s)NLr其中Dhr為DL(s)的行次系數(shù)矩陣，且detDhr≠0DLr為DL(s)的低次系數(shù)陣NLr為N(s)的低次系數(shù)陣17/22,30/39現(xiàn)在是60頁\一共有105頁\編輯于星期二結論10.51[核實現(xiàn)]對qp左MFDDL-1

(s)NL(s)，其核心MFDSr-1(s)Ψr(s)的實現(xiàn)即DL-1(s)NL(s)的核實現(xiàn)為嚴真DL－1(s)NL(s)的觀測器形實現(xiàn)(A0,B0,C0)的系數(shù)矩陣關系式為A0=A00－DLr(s)Dhr-1C00

B0=NL,C0=Dhr-1C00

18/22,31/39現(xiàn)在是61頁\一共有105頁\編輯于星期二觀測器形實現(xiàn)的性質結論10.53[觀測器形實現(xiàn)]對嚴真左MFDDL－1(s)NL(s)，DL(s)行既約，其觀測器形實現(xiàn)(A0,B0,C0)具有形式：19/22,32/39現(xiàn)在是62頁\一共有105頁\編輯于星期二結論10.54[對應關系]對嚴真左MFDDL－1(s)NL(s)，DL(s)行既約，觀測器形實現(xiàn)(A0,B0,C0)系數(shù)矩陣和DL(s)列次表達式系數(shù)矩陣之間具有直觀關系：A0的第j個*列=－DLrDhr-1的第j列C0的第j個*列=Dhr-1的第j列j=1，2，…，q。結論10.55[不完全能控屬性]對嚴真左MFDDL－1(s)NL(s)，DL(s)行既約，則其觀測器形實現(xiàn)(A0,B0,C0)中，(A0，C0)為完全能觀測，但(A0，B0)一般為不完全能控。20/22,33/39現(xiàn)在是63頁\一共有105頁\編輯于星期二結論10.56[系數(shù)矩陣間關系]對嚴真左MFDDL－1(s)NL(s)，DL(s)行既約，其觀測器形實現(xiàn)(A0,B0,C0)和DL－1(s)NL(s)在系數(shù)矩陣之間具有直觀關系：結論10.57[系數(shù)矩陣行列式間關系]對嚴真左MFDDL－1(s)NL(s)，DL(s)行既約，其觀測器形實現(xiàn)(A0,B0,C0)和DL－1(s)NL(s)在系數(shù)矩陣的行列式之間具有直觀關系：det(sI-A0)=(detDhr)-1detDL(s)dim(A0)=degdetDL(s)結論10.58[實現(xiàn)和NL(s)關系]對嚴真左MFDDL－1(s)NL(s)，DL(s)行既約，其觀測器形實現(xiàn)(A0,B0,C0)和MFD的分子矩陣NL(s)之間具有關系：21/22,34/39現(xiàn)在是64頁\一共有105頁\編輯于星期二結論10.59[聯(lián)合能控能觀測條件]對嚴真左MFDDL－1(s)NL(s)，DL(s)行既約，其觀測器形實現(xiàn)(A0,B0,C0)聯(lián)合能控和能觀測的一個充分條件為，對所有s∈ξ，qp矩陣NL(s)為行滿秩即rankNL(s)=q。結論10.60[對偶性]設(A0,B0,C0)為“嚴真左MFDDL－1(s)NL(s)，DL(s)行既約”的觀測器形實現(xiàn)，(Ac,Bc,Cc)為“嚴真右MFDN(s)D－1(s)，D(s)列既約”的控制器形實現(xiàn)，則(A0,B0,C0)和(Ac,Bc,Cc)形式為對偶，即A0(=)AcT，C0(=)BcT

22/22,35/39現(xiàn)在是65頁\一共有105頁\編輯于星期二10.5基于矩陣分式描述的典型實現(xiàn)：能控性形實現(xiàn)和能觀測性形實現(xiàn)基于矩陣分式描述的實現(xiàn)按“右或左MFD”和“分母矩陣列既約或行既約”共有四種可能的組合。上節(jié)已就“右MFDN(s)D－1(s)，D(s)列既約”和“左MFDDL－1(s)NL(s)，DL(s)行既約”構造“控制器形實現(xiàn)”和“觀測器形實現(xiàn)”。本節(jié)討論“右MFDN(s)D－1(s)，D(s)行既約”和“左MFDDL－1(s)NL(s)，DL(s)列既約”構造對應的“能控性形實現(xiàn)”和“能觀測性形實現(xiàn)”。1/1,36/39現(xiàn)在是66頁\一共有105頁\編輯于星期二10.6不可簡約矩陣分式描述的最小實現(xiàn)最小實現(xiàn)也稱為不可簡約實現(xiàn)。最小實現(xiàn)是傳遞函數(shù)矩陣的維數(shù)最小即結構最簡約的一類實現(xiàn)。結論10.78[不可簡約右MFD最小實現(xiàn)]對qp嚴真右MFDN(s)D－1(s)，設n=degdetD(s)表(Ac,Bc,Cc)為“N(s)D－1(s)，D(s)列既約”的n維控制器形實現(xiàn)，則有(Ac,Bc,Cc)為最小實現(xiàn)<=>N(s)D－1(s)不可簡約表(Aco,Bco,Cco)為“N(s)D－1(s)，D(s)行既約”的n維能控性形實現(xiàn)，則有(Ac0,Bc0,Cc0)為最小實現(xiàn)<=>N(s)D－1(s)不可簡約結論10.79[不可簡約右MFD最小實現(xiàn)]對qp嚴真右MFDN(s)D－1(s)，D(s)列或行既約，表(A，B，C)為其任意形式的n維實現(xiàn)，n=degdetD(s)，則有(A，B，C)為最小實現(xiàn)<=>N(s)D－1(s)不可簡約1/3,37/39需要指出，盡管上述結論為由右MFD確定最小實現(xiàn)提供了一條易于計算的途徑，但這并不意味著由右MFD的最小實現(xiàn)只可能有控制器形或能控形的形式。下面，給出右MFD的最小實現(xiàn)的更具普遍性的結論。現(xiàn)在是67頁\一共有105頁\編輯于星期二結論10.80[不可簡約左MFD最小實現(xiàn)]對qp嚴真左MFDDL－1(s)NL(s)，設n=degdetDL(s),表(A0,B0,C0)為“DL－1(s)NL(s)，DL(s)行既約”的n維觀測器形實現(xiàn)，表(A0b,B0b,C0b)為“DL－1(s)NL(s)，DL(s)列既約”的n維能觀測性形實現(xiàn)，則(A0,B0,C0)為最小實現(xiàn)<=>DL－1(s)NL(s)不可簡約(A0b,B0b,C0b)為最小實現(xiàn)<=>DL－1(s)NL(s)不可簡約結論10.81[不可簡約左MFD最小實現(xiàn)]對qp嚴真左MFDDL－1(s)NL(s)，DL(s)行或列既約，表其任意形式的n維實現(xiàn)，n=degdetDL(s)，則有為最小實現(xiàn)<=>DL－1(s)NL(s)不可簡約結論10.82[狹義惟一性]盡管嚴真不可簡約右MFD或嚴真不可簡約左MFD的最小實現(xiàn)為不惟一，但其特定形式最小實現(xiàn)則為惟一，如控制器形最小實現(xiàn)、觀測器形最小實現(xiàn)、能控性形最小實現(xiàn)和能觀測性形最小實現(xiàn)等。結論10.83[不惟一性]對嚴真?zhèn)鬟f函數(shù)矩陣G(s)，由不可簡約MFD的不惟一性所決定，上述基于MFD的特定形式最小實現(xiàn)也為不惟一。結論10.84[維數(shù)惟一性]對嚴真?zhèn)鬟f函數(shù)矩陣G(s)，不管表為哪種類型的不可簡約MFD，也不管導出的為哪種類型的最小實現(xiàn)，最小實現(xiàn)的維數(shù)均為相同，且有最小實現(xiàn)維數(shù)＝MFD分母矩陣行列式的次數(shù)2/3,38/39現(xiàn)在是68頁\一共有105頁\編輯于星期二結論10.85[代數(shù)等價性]對嚴真?zhèn)鬟f函數(shù)矩陣G(s)或矩陣分式描述MFD，其各種形式的最小實現(xiàn)之間為代數(shù)等價。結論10.86[確定最小實現(xiàn)途徑]對嚴真可簡約MFD，確定最小實現(xiàn)的途徑可有頻率方法和時間域方法兩類。頻率途徑為：嚴真可簡約MFD，分母矩陣為列既約或行既約=>導出不可簡約MFD，分母矩陣列既約或行既約=>導出“控制器形實現(xiàn)/能控性形實現(xiàn)”或“觀測器形實現(xiàn)/能觀測器性形實現(xiàn)”=>所得實現(xiàn)為最小實現(xiàn)，且維數(shù)等于分母矩陣行列式的次數(shù)時間域途徑為：嚴真可簡約MFD，分母矩陣為列既約或行既約=>導出能控能觀測部分(Aco，Bco，Cco)=>導出能觀測能控部分(Aoc，Boc，Coc)=>最小實現(xiàn)即為(Aco，Bco，Cco) 3/3,39/39現(xiàn)在是69頁\一共有105頁\編輯于星期二第11章線性時不變系統(tǒng)的多項式矩陣描述

11.1多項式矩陣描述多項式矩陣描述(polynomialmatrixdescriptions)簡稱為PMD，是對線性時不變系統(tǒng)引入的具有更廣普遍性的一類內部描述多項式矩陣描述的形式現(xiàn)在，推廣討論一般形式的多輸入多輸出線性時不變系統(tǒng)，定義那么，可以導出系統(tǒng)的多項式矩陣描述為PMD和其他描述的關系結論11.1[PMD的傳遞函數(shù)矩陣]對線性時不變系統(tǒng)，由給出的PMD的傳遞函數(shù)矩陣G(s)為G(s)=R(s)P-1(s)Q(s)+W(s)1/6,1/22結論11.2[狀態(tài)空間描述的PMD]給定線性時不變系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述：其中，E(p)為多項式矩陣，p=d/dt為微分算子，x(0)=0，且E(p)的存在反映系統(tǒng)的非真性。那么，狀態(tài)空間描述的等價的PMD為其中，為n×1廣義狀態(tài)，PMD的各個系數(shù)矩陣為P(s)=(sI-A),Q(s)=B,R(s)=C,W(s)=E(s)現(xiàn)在是70頁\一共有105頁\編輯于星期二結論11.2[狀態(tài)空間描述的PMD]給定線性時不變系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述：其中，E(p)為多項式矩陣，p=d/dt為微分算子，x(0)=0，且E(p)的存在反映系統(tǒng)的非真性。那么，狀態(tài)空間描述的等價的PMD為其中，為n×1廣義狀態(tài)，PMD的各個系數(shù)矩陣為P(s)=(sI-A),Q(s)=B,R(s)=C,W(s)=E(s)結論11.3[MFD的PMD]給定q×p線性時不變系統(tǒng)的右MFDN(s)D-1(s)+E(s)和左MFDDL-1(s)NL(s)+E(s)，其中N(s)D-1(s)和DL-1(s)NL(s)為嚴真MFD，E(s)為多項式矩陣。那么，等價于N(s)D-1(s)+E(s)的PMD為其中，為p×1廣義狀態(tài)，PMD的各個系數(shù)矩陣為P(s)=D(s),Q(s)=I,R(s)=N(s),W(s)=E(s)2/6,2/22現(xiàn)在是71頁\一共有105頁\編輯于星期二等價于DL-1(s)NL(s)+E(s)的PMD為其中，為q×1廣義狀態(tài)，PMD的各個系數(shù)矩陣為P(s)=DL(s),Q(s)=NL(s),R(s)=I,W(s)=E(s)不可簡約PMD不可簡約PMD是線性時不變系統(tǒng)的最為基本和應用最廣的一類PMD。定義11.1[不可簡約PMD]稱(P(s),Q(s),R(s),W(s))為不可簡約PMD,當且僅當{P(s),Q(s)}左互質，{P(s),R(s)}右互質把可簡約PMD化為不可簡約PMD是復頻率域方法中經常面臨的一個問題。3/6,3/22現(xiàn)在是72頁\一共有105頁\編輯于星期二情形Ⅰ{P(s),R(s)}右互質，{P(s),Q(s)}非左互質結論11.5[構造不可簡約PMD]對“{P(s),R(s)}右互質，{P(s),Q(s)}非左互質”型可簡約PMD，表m×m多項式矩陣H(s)為非左互質{P(s),Q(s)}的任一最大左公因子，再取則可簡約PMD的一個不可簡約PMD為情形Ⅱ{P(s),R(s)}非右互質，{P(s),Q(s)}左互質結論11.6[構造不可簡約PMD]對“{P(s),R(s)}非右互質，{P(s),Q(s)}左互質”型可簡約PMD，表m×m多項式矩陣F(s)為右互質{P(s),R(s)}的任一最大右公因子，再取即有則可簡約PMD的一個不可簡約PMD為4/6,4/22現(xiàn)在是73頁\一共有105頁\編輯于星期二情形Ⅲ{P(s),R(s)}非右互質，{P(s),Q(s)}非左互質結論11.7[構造不可簡約PMD]對“{P(s),R(s)}非右互質，{P(s),Q(s)}非左互質”型可簡約PMD，表m×m多項式矩陣H(s)為非左互質{P(s),Q(s)}的任一最大左公因子，取m×m多項式矩陣為的任一最大右公因子，取則可簡約PMD的一個不可簡約PMD為5/6,5/22現(xiàn)在是74頁\一共有105頁\編輯于星期二結論11.8[不可簡約PMD不唯一性]設(P(s),Q(s),R(s),W(s))為線性時不變系統(tǒng)的一個不可簡約PMD,P(s)為m×m多項式矩陣，Q(s)、R(s)和W(s)為m×p、q×m和q×p多項式矩陣。表U(s)和V(s)為任意兩個m×m單模陣，取則也為系統(tǒng)的一個不可簡約PMD6/6,6/22現(xiàn)在是75頁\一共有105頁\編輯于星期二11.2多項式矩陣描述的狀態(tài)空間實現(xiàn)

PMD的實現(xiàn)考慮線性時不變系統(tǒng)，其多項式矩陣描述即PMD為其中，P(s)為m×m多項式矩陣；Q(s)、R(s)和W(s)為m×p、q×m和q×p多項式矩陣。定義11.2[PMD的實現(xiàn)]稱狀態(tài)空間描述為PMD（P(s),Q(s),R(s),W(s)）的一個實現(xiàn)，如果兩者的傳遞函數(shù)矩陣為相等，即成立：R(s)P-1(s)Q(s)+W(s)=C(sI-A)-1B+E(s)其中，E(s)=E(p)︱p=s

注PMD的實現(xiàn)具有強不唯一性，即不僅實現(xiàn)的結果不唯一，且實現(xiàn)的維數(shù)也不唯一。1/1,7/22現(xiàn)在是76頁\一共有105頁\編輯于星期二11.3多項式矩陣描述的互質性和狀態(tài)空間描述的能控性與能觀測性

左互質性與能控性考慮線性時不變系統(tǒng)，其多項式矩陣描述為其中，P(s)為m×m多項式矩陣，Q(s)、R(s)和W(s)為m×p、q×m和q×p多項式矩陣。系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述即PMD的一個實現(xiàn)為其中，A為n×n常陣，B和C為n×p和q×n常陣，E（p）為q×p多項式矩陣。下面，給出能控性和左互質性間關系的結論結論11.16[左互質性和能控性]對線性時不變系統(tǒng)的PMD及其狀態(tài)空間實現(xiàn)，有（P(s),Q(s)）左互質〈==〉(A,B)完全能控結論11.17[右互質性和能觀測性]對線性時不變系統(tǒng)的PMD及其狀態(tài)空間實現(xiàn)有（P(s),R(s)）右互質〈==〉(A,C)完全能觀測1/4,8/22現(xiàn)在是77頁\一共有105頁\編輯于星期二結論11.18[不可簡約PMD的最小描述性]對線性時不變系統(tǒng)，如同稱（A,B）完全能控和（A,C）完全能觀測的狀態(tài)空間描述（A,B,C,E(p)）為最小描述一樣，也稱(P(s),Q(s))左互質和(P(s),R(s))右互質的不可簡約PMD(P(s),Q(s),R(s),W(s))為最小描述。結論11.19[MFD右互質性和能觀測性]考慮線性時不變系統(tǒng)的右MFD為嚴真，其能控類實現(xiàn)為其中，dim(Ac)=degdetD(s)。則有{D(s),N(s)}右互質〈==〉(Ac,Cc)完全能觀測2/4,9/22現(xiàn)在是78頁\一共有105頁\編輯于星期二結論11.20[MFD左互質性和能控性]考慮線性時不變系統(tǒng)的左MFD為嚴真，其能觀測類實現(xiàn)為其中，dim(A0)=degdetDL(s)。則有{DL-1(s),NL(s)}左互質〈==〉(A0,B0)完全能控結論11.21[狀態(tài)空間描述的互質性]考慮線性時不變系統(tǒng)，其狀態(tài)空間描述為（A,B,C,E(p)），傳遞函數(shù)矩陣G(s)的關系式為G(s)=C(sI-A)-1B+E(s)=R(s)P-1(s)Q(s)+W(s)則由PMD左右互質性和狀態(tài)空間描述能控性能觀測性的等價關系，可知{sI-A,B}左互質〈==〉(A,B)完全能控{sI-A,C}右互質〈==〉(A,C)完全能觀測3/4,10/22現(xiàn)在是79頁\一共有105頁\編輯于星期二結論11.22[SISO系統(tǒng)互質性]考慮單輸入單輸出即SISO線性時不變系統(tǒng)，表其傳遞函數(shù)g(s)為其中，P(s)為m×m多項式矩陣，r(s)和q(s)為1×m和m×1多項式項量， W(s)為多項式，φ(s)為P(s)的最小多項式。則有{P(s),r(s)}右互質〈==〉φ(s)和r(s)H(s)不含相消因子{P(s),q(s)}左互質〈==〉φ(s)和H(s)q(s)不含相消因子{P(s),r(s)}和{P(s),q(s)}均互質〈==〉g(s)嚴真部分不含零點－極點對消4/4,11/22現(xiàn)在是80頁\一共有105頁\編輯于星期二11.4傳輸零點和解耦零點

PMD的極點考慮線性時不變系統(tǒng)的PMD(P(s),Q(s),R(s),W(s))，其傳遞函數(shù)矩陣為G(s)=R(s)P-1(s)Q(s)+W(s)定義11.3[PMD的極點]對PMD(P(s),Q(s),R(s),W(s))，定義：PMD的極點＝“R(s)P-1(s)Q(s)+W(s)”的極點結論11.23[PMD的極點]表（A,B,C,E(p)）為PMD(P(s),Q(s),R(s),W(s))的一個最小實現(xiàn)，則有PMD的極點＝“det(sI-A)=0”的根結論11.24[PMD的極點]若PMD(P(s),Q(s),R(s),W(s))為不可簡約，則有PMD的極點＝“detP(s)=0的根”定義11.4[PMD的傳輸零點]對PMD(P(s),Q(s),R(s),W(s))，其傳遞函數(shù)矩陣為G(s)=R(s)P-1(s)Q(s)+W(s)，則定義：PMD的傳輸零點＝“R(s)P-1(s)Q(s)+W(s)”的零點1/2,12/22現(xiàn)在是81頁\一共有105頁\編輯于星期二結論11.25[PMD的傳輸零點]表（A,B,C,E(p)）為PMD(P(s),Q(s),R(s)，W(s))的任一最小實現(xiàn)，則有PMD的傳輸零點＝使降秩的s值結論11.26[PMD的傳輸零點]若PMD(P(s),Q(s),R(s),W(s))為不可簡約，則有PMD的傳輸零點＝使降秩的s值2/2,13/22現(xiàn)在是82頁\一共有105頁\編輯于星期二11.5系統(tǒng)矩陣

考慮線性時不變系統(tǒng)，其多項式矩陣描述為其中，P(s)為m×m非奇異多項式矩陣；Q(s)、R(s)和W(s)為m×p、q×m和q×p多項式矩陣。進而，表上式為增廣變量方程形式，有定義11.8[PMD系統(tǒng)矩陣]線性時不變系統(tǒng)PMD的系統(tǒng)矩陣定義為其增廣變量方程（11.143）的系數(shù)矩陣，即結論11.35[狀態(tài)空間描述系統(tǒng)矩陣]線性時不變系統(tǒng)狀態(tài)空間描述的系統(tǒng)矩陣為1/4,14/22現(xiàn)在是83頁\一共有105頁\編輯于星期二結論11.36[MFD系統(tǒng)矩陣]對q×p線性時不變系統(tǒng)的 MFD，右N(s)D-1(s)的系統(tǒng)矩陣為左DL-1(s)NL(s)的系統(tǒng)矩陣為結論11.37[判斷不可簡約性]線性時不變系統(tǒng)PMD的系統(tǒng)矩陣為S(s)，有PMD不可簡約〈==〉S(s)的前m行和前m列分別滿秩，結論11.38[PMD的極點零點]線性時不變系統(tǒng)PMD的系統(tǒng)矩陣為S(s)，若PMD為不可簡約，則有PMD的極點＝使S(s)左上方m×m塊矩陣降秩s值PMD的傳輸零點＝使S(s)降秩s值2/4,15/22現(xiàn)在是84頁\一共有105頁\編輯于星期二增廣系統(tǒng)矩陣通常，一個線性時不變系統(tǒng)的不同類型描述的系統(tǒng)矩陣在維數(shù)上為不同。進而，同一類型不同描述的系統(tǒng)矩陣在維數(shù)上也常為不同。增廣系統(tǒng)矩陣正是為克服由此而引起的不便而在系統(tǒng)矩陣基礎上導出的一類廣義系統(tǒng)矩陣。定義11.9[PMD增廣系統(tǒng)矩陣]線性時不變系統(tǒng)PMD的增廣系統(tǒng)矩陣定義為其中，β為正整數(shù)且可按需要任取結論11.42[不可簡約性相同]對線性時不變系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣S(s)及其增廣系統(tǒng)矩陣Se(s)，有Se(s)不可簡約〈==〉S(s)不可簡約結論11.43[互質性相同]對線性時不變系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣S(s)及其增廣系統(tǒng)矩陣Se(s)，有{Pe(s),Qe(s)}左互質〈==〉{P(s),Q(s)}左互質{Pe(s),Re(s)}右互質〈==〉{P(s),R(s)}右互質3/4,16/22現(xiàn)在是85頁\一共有105頁\編輯于星期二結論11.44[極點和傳輸零點相同]對線性時不變系統(tǒng)的不可簡約系統(tǒng)矩陣S(s)及其增廣系統(tǒng)矩陣Se(s)，有Se(s)的極點＝S(s)的極點Se(s)的傳輸零點＝S(s)的傳輸零點結論11.45[解偶零點相同]對線性時不變系統(tǒng)的可簡約系統(tǒng)矩陣S(s)及其增廣系統(tǒng)矩陣Se(s)，有Se(s)的輸入解偶零點＝S(s)的輸入解偶零點Se(s)的輸出解偶零點＝S(s)的輸出解偶零點結論11.46[傳遞函數(shù)矩陣相同]線性時不變系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣S(s)及其增廣系統(tǒng)矩陣Se(s)具有相同的傳遞函數(shù)矩陣，即有Re(s)Pe-1(s)Qe(s)+W(s)=R(s)P-1(s)Q(s)+W(s)結論11.47[分母矩陣行列式相同]線性時不變系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣S(s)及其增廣系統(tǒng)矩陣Se(s)具有相同的分母矩陣行列式，即有detPe(s)=detP(s)結論11.48[特性關系屬性相同]對線性時不變系統(tǒng)，引入增廣系統(tǒng)矩陣Se(s)代替系統(tǒng)矩陣S(s)以討論不同描述間關系，不會損失不同描述在特性上的關系屬性，如互質性、能控性能觀測性、穩(wěn)定性等。4/4,17/22現(xiàn)在是86頁\一共有105頁\編輯于星期二11.6嚴格系統(tǒng)等價

對線性時不變系統(tǒng)，考慮相同輸入和相同輸出的兩個PMD的系統(tǒng)矩陣S1(s)和S2(s)，它們既可屬于同一系統(tǒng)也可屬于不同系統(tǒng)，并表S1(s)和S2(s)分別為其中，Pi(s)為mi×mi非奇異多項式矩陣，Ri(s)、Qi(s)和Wi(s)為mi×p、q×mi和q×p多項式矩陣，i=1,2。進而，不妨設m1＝m2＝m。定義11.10[嚴格系統(tǒng)等價]稱兩個PMD型系統(tǒng)矩陣S1(s)和S2(s)為嚴格系統(tǒng)等價，當且僅當存在m×m單模陣U(s)和V(s)，以及q×m和m×p多項式矩陣X(s)和Y(s)，使成立：并且，記為S1(s)～S2(s)1/5,18/22現(xiàn)在是87頁\一共有105頁\編輯于星期二三點說明:1:嚴格系統(tǒng)等價是一種變換關系2:嚴格系統(tǒng)等價變換是一類特定的左右單模變換3:嚴格系統(tǒng)等價變換滿足對稱性、自反性和傳遞性對稱性：若S1(s)～S2(s)，則S2(s)～S1(s)。自反性：S1(s)～S1(s)。傳遞性：若S1(s)～S2(s)，S2(s)～S3(s)，則S1(s)～S3(s)。嚴格系統(tǒng)等價變換的性質線性時不變系統(tǒng)的兩個PMD型系統(tǒng)矩陣S1(s)和S2(s)，若S1(s)～S2(s)即嚴格系統(tǒng)等價，則兩者分母矩陣P2(s)和P1(s)具有等同的不變多項式，即有detP2(s)=β0detP1(s)其中，β0為非零常數(shù)嚴格系統(tǒng)等價變換下傳遞函數(shù)矩陣保持不變2/5,19/22現(xiàn)在是88頁\一共有105頁\編輯于星期二對線性時不變系統(tǒng)，表兩個多項式矩陣描述其系統(tǒng)矩陣為S1(s)和S2(s)，再令（A1,B1,C1,E1(p)）＝PMD1的任一能控類或能觀測類實現(xiàn)（A2,B2,C2,E2(p)）＝PMD2的任一能控類或能觀測類實現(xiàn)若S1(s)～S2(s)即嚴格系統(tǒng)等價，則兩個同類實現(xiàn)具有相同維數(shù)和相同特征多項式，即有dim(A1)=dim(A2)det(sI-A1)=det(sI-A2)嚴格系統(tǒng)等價變換下系統(tǒng)同類實現(xiàn)在維數(shù)和特征多項式上的等同性3/5,20/22現(xiàn)在是89頁\一共有105頁\編輯于星期二左互質性和右互質性在嚴格系統(tǒng)等價變換下的不變性對線性時不變系統(tǒng)，PMD的互質性在嚴格等價變換下保持不變若S1(s)～S2(s)即嚴格系統(tǒng)等價，則有{P2(s),Q2(s)}左互質〈==〉{P1(s),Q1(s)}左互質{P2(s),R2(s)}右互質〈==〉{P1(s),R1(s)}右互質能控性和能觀測性在嚴格系統(tǒng)等價變換下的不變性“狀態(tài)空間描述代數(shù)等價”和“系統(tǒng)矩陣嚴格系統(tǒng)等價”的等價性對線性時不變系統(tǒng)，表兩個狀態(tài)空間描述為（A1,B1,C1,E1(p)）和（A2,B2,C2,E2(p)）系統(tǒng)矩陣為則有（A2,B2,C2,E2(p)）代數(shù)等價（A1,B1,C1,E1(p)）〈==〉S2(s)～S1(s)4/5,21/22現(xiàn)在是90頁\一共有105頁\編輯于星期二傳遞函數(shù)矩陣的所有不可簡約MFD的嚴格系統(tǒng)等價對線性時不變系統(tǒng)的q×p傳遞函數(shù)矩陣G（s），且不要求為嚴真，則G(s)的所有不可簡約MFD必都為嚴格系統(tǒng)等價結論11.57[不可簡約PMD的嚴格系統(tǒng)等價]對線性時不變系統(tǒng)的q×p傳遞函數(shù)矩陣G（s），G(s)的所有不可簡約PMD為嚴格系統(tǒng)等價嚴格系統(tǒng)等價描述在結構性質和運動行為上的等同性由嚴格系統(tǒng)等價性保證，在不可簡約的前提下，線性時不變系統(tǒng)的三類描述即狀態(tài)空間描述、右或左MFD以及PMD在用于系統(tǒng)的分析和綜合時的結果為完全等價，不會出現(xiàn)丟失系統(tǒng)結構信息的情況。5/5,22/22現(xiàn)在是91頁\一共有105頁\編輯于星期二第12章線性時不變系統(tǒng)的復頻率域分析12.1并聯(lián)系統(tǒng)的能控性和能觀測性

并聯(lián)系統(tǒng)并聯(lián)系統(tǒng)是以“輸入相同”和“輸出相加”為特征的一類組合系統(tǒng)首先，給出對子系統(tǒng)的兩個基本假定。一是，S1和S2可由其傳遞函數(shù)矩陣G1(s)和G2(s)完全表征，即其相應的狀態(tài)空間描述為完全能控和完全能觀測。二是，子系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣Gi(s)，i=1,2為qi×pi有理分式矩陣。且表為不可簡約右和左MFD：Gi(s)=Ni(s)Di-1(s)=DLi-1(s)NLi(s)，i=1,2S1S2u=u1=u2，y=y1+y2

p1=p2=p，q1=q2=q結論12.1[能控性條件]由線性時不變子系統(tǒng)S1和S2組成的并聯(lián)系統(tǒng)Sp，若取G1(s)=不可簡約右MFDN1(s)D1-1(s)G2(s)=不可簡約右MFDN2(s)D2-1(s)則有Sp完全能控<=>{D1(s)，D2(s)}左互質1/2,1/15現(xiàn)在是92頁\一共有105頁\編輯于星期二結論12.2[能觀測性條件]線性時不變子系統(tǒng)S1和S2組成的并聯(lián)系統(tǒng)Sp，若取G1(s)=不可簡約左MFDDL1-1(s)NL1(s)G2(s)=不可簡約左MFDDL2-1(s)NL2(s)則有Sp完全能觀測<=>{DL1(s)，DL2(s)}右互質結論12.3[不可簡約性條件]由線性時不變子系統(tǒng)S1和S2組成的并聯(lián)系統(tǒng)Sp，若取G1(s)和G2(s)為“不可簡約右MFDN1(s)D1-1(s)與N2(s)D2-1(s)”和“不可簡約左MFDDL1-1(s)NL1(s)與DL2-1(s)NL2(s)”，則有Sp不可簡約，即可用G1(s)+G2(s)完全表征<=>{D1(s)，D2(s)}左互質，{DL1(s)，DL2(s)}右互質結論12.4[能控性和能觀測性條件]由線性時不變子系統(tǒng)S1和S2組成的多輸入多輸出并聯(lián)系統(tǒng)Sp，則Sp保持完全能控和完全能觀測的一個充分條件是，q×p傳遞函數(shù)矩陣G1(s)和G2(s)不包含公共極點。結論12.6[能控性和能觀測性條件]由線性時不變子系統(tǒng)S1和S2組成的單輸入單輸出并聯(lián)系統(tǒng)Sp，則Sp保持為完全能控和完全能觀測的充分必要條件是，標量傳遞函數(shù)g1(s)和g2(s)不包含公共極點。2/2,2/15現(xiàn)在是93頁\一共有105頁\編輯于星期二12.2串聯(lián)系統(tǒng)的能控性和能觀測性串聯(lián)系統(tǒng)是由子系統(tǒng)按串聯(lián)方式順序聯(lián)接的組合系統(tǒng)首先，對子系統(tǒng)引入兩個基本假定。一是，S1和S2可由其傳遞函數(shù)矩陣G1(s)和G2(s)所完全表征，即其狀態(tài)空間描述為完全能控和完全能觀測。二是，Gi(s)，i=1,2,為qi×pi有理分式矩陣，且表為不可簡約右和左MFD：Gi(s)=Ni(s)Di-1(s)=DLi-1NLi(s)，i=1,2S1S2uu1y1u2y2y進而，由子系統(tǒng)的S1－S2串聯(lián)特征，可以給出系統(tǒng)組成上的相應約束條件為u=u1，y1=u2，y=y2

p1=p，q1=p2，q2=q結論12.7[能控性條件]由線性時不變子系統(tǒng)S1和S2組成的串聯(lián)系統(tǒng)ST，若取G1(s)=不可簡約右MFDN1(s)D1-1(s)G2(s)=不可簡約右MFDN2(s)D2-1(s)則有ST完全能控<=>{D2(s)，N1(s)}左互質1/4,3/15現(xiàn)在是94頁\一共有105頁\編輯于星期二結論12.8[能控性條件]由線性時不變子系統(tǒng)按S1－S2順序組成的串聯(lián)系統(tǒng)ST，若取G1(s)=不可簡約右MFDN1(s)D1-1(s)G2(s)=不可簡約左MFDDL2-1(s)NL2(s)則有ST完全能控<=>{DL2(s)，NL2(s)N1(s)}左互質結論12.9[能控性條件]由線性時不變子系統(tǒng)按S1－S2順序組成的串聯(lián)系統(tǒng)ST，若取G1(s)=不可簡約左MFDDL1-1(s)NL1(s)G2(s)=不可簡約右MFDN2(s)D2-1(s)則有ST完全能控<=>{DL1(s)D2(s)，NL1(s)}左互質結論12.10[能觀測性條件]由線性時不變子系統(tǒng)按S1－S2順序組成的串聯(lián)系統(tǒng)ST，若取G1(s)=不可簡約左MFDDL1-1(s)NL1(s)G2(s)=不可簡約左MFDDL2-1(s)NL2(s)則有ST完全能觀測<=>{DL1(s)，NL2(s)}右互質2/4,4/15現(xiàn)在是95頁\一共有105頁\編輯于星期