教學(xué)設(shè)計(jì) 綜合法與分析法

綜合法與分析法（第1課時）綜合法教案●教學(xué)目標(biāo)(一)教學(xué)知識點(diǎn)綜合法證明不等式.(二)能力訓(xùn)練要求1.理解綜合法證明不等式的意義.2.熟練掌握過去學(xué)過的重要不等式,并用這些不等式來證明新的不等式.(三)德育滲透目標(biāo)掌握綜合法、分析法證明不等式,培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)周密的邏輯思維習(xí)慣,加強(qiáng)學(xué)生實(shí)踐能力的訓(xùn)練,由因?qū)Ч?進(jìn)一步鞏固學(xué)生辯證唯物主義思想觀念的教育,確實(shí)提高學(xué)生的思想道德品質(zhì).●教學(xué)重點(diǎn)1.掌握綜合法證明不等式的基本思路,即“由因?qū)Ч?從已知條件及已知不等式出發(fā),不斷用必要條件替換前面的不等式,直至推出要證的結(jié)論.2.理解掌握用綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系.即A(已知)B1B2…BnB(結(jié)論).運(yùn)用不等式的性質(zhì)和已證明過的不等式時,要注意它們各自成立的條件.這樣才能使推理正確,結(jié)論無誤.3.在綜合法證明不等式的過程中常用的關(guān)系有:(1)a2≥0或(a±b)2≥0.(2)a2+b2≥2ab,a2+b2≥-2ab即a2+b2≥2|ab|.(3),對a>0,b>0,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”號.(4)當(dāng)a,b同號時有≥2,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”號.(5)(a>0,b>0,c>0),當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取“=”號.(6)a3+b3+c3≥3abc(a>0,b>0,c>0),當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取“=”號.●教學(xué)難點(diǎn)“由因?qū)Ч睍r,從哪個不等式出發(fā)合適是綜合法證明不等式的難點(diǎn).●教學(xué)過程Ⅰ.課題導(dǎo)入［師］同學(xué)們,前面我們學(xué)習(xí)了兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的關(guān)系定理及其幾個重要的不等式.(打出投影片§6.3.3A,引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)“算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)”的關(guān)系定理，閱讀投影片§6.3.3A)我們要掌握下面重要的不等關(guān)系:(1)a2≥0,或(a±b)2≥0;(2)a2+b2≥2ab,a2+b2≥-2ab,即a2+b2≥2|ab|;(3),(a,b∈R+),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”號;(4)ab≤,(a,b∈R);ab≤()2,(a,b∈R+),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”號;(5)≥2,(ab>0),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取“=”號；（6）,(a,b,c∈R+),當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取“=”號；（7)a3+b3+c3≥3abc,(a,b,c∈R+),當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取“=”號.今天，我們在上一節(jié)課學(xué)習(xí)“公式法”證明不等式的基礎(chǔ)上，繼續(xù)學(xué)習(xí)證明不等式的一種常用的重要的方法——綜合法.Ⅱ.講授新課一般地，從已知條件出發(fā)，利用定義、定理、性質(zhì)等，經(jīng)過一系列的推理、論證而得出命題成立，這種證明方法叫做綜合法。綜合法有較順利推證法或有引導(dǎo)果法。下面，我們探索研究用“綜合法”證明不等式.［例1］已知a,b,c是不全相等的正數(shù)，求證：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc.分析：觀察題目，不等式左邊含有“a2+b2”的形式，我們可以創(chuàng)設(shè)運(yùn)用基本不等式：a2+b2≥2ab;還可以這樣思考：不等式左邊出現(xiàn)有三次因式：a2b,b2c,c2a,ab2,bc2,ca2的“和”，右邊有三正數(shù)a,b,c的“積”，我們可以創(chuàng)設(shè)運(yùn)用重要不等式：a3+b3+c3≥3abc.(教師引導(dǎo)學(xué)生，完成證明）證法一：∵a>0,b2+c2≥2bc∴由不等式的性質(zhì)定理4，得a(b2+c2)≥2abc.①同理b(c2+a2)≥2abc,②c(a2+b2)≥2abc.③因?yàn)閍,b,c為不全相等的正數(shù)，所以b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,a2+b2≥2ab三式不能全取“=”號，從而①,②,③三式也不能全取“=”號.由不等式的性質(zhì)定理3的推論，①,②,③三式相加得：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc.證法二：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)=ab2+ac2+bc2+ba2+ca2+cb2=(a2b+b2c+c2a)+(ab2+bc2+ca2)∵a,b,c為不全相等的正數(shù).∴a2b+b2c+c2a>3=3abcab2+bc2+ca2>3=3abc由不等式的性質(zhì)定理3的推論，得a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc.總結(jié)：1.“綜合法”證明不等式就是從已知（或已經(jīng)成立）的不等式或定理出發(fā)，結(jié)合不等式性質(zhì)，逐步推出（由因?qū)Ч┧C的不等式成立.2.在利用綜合法進(jìn)行不等式證明時，要善于直接運(yùn)用或創(chuàng)設(shè)條件運(yùn)用基本不等式，其中拆項(xiàng)、并項(xiàng)、分解、組合是變形的重要技巧.Ⅲ.課堂練習(xí)：p26習(xí)題2.2的1題Ⅳ.課時小結(jié)本節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了“綜合法”證明不等式，其核心是引導(dǎo)我們運(yùn)用已有知識（已知或已知成立的不等式或定理），進(jìn)行符合邏輯的思考和推理，啟發(fā)大家從不同角度去思考問題，去主動獲取新的知識，鼓勵我們敢于創(chuàng)造獨(dú)特、新穎的思想方法和見解.同時也注意培養(yǎng)了我們堅(jiān)持實(shí)事求是的良好思維品質(zhì).Ⅴ.課后作業(yè)：p26習(xí)題2.2的2題綜合法與分析法（第2課時）分析法教案●教學(xué)目標(biāo)(一)教學(xué)知識點(diǎn)分析法證明不等式.(二)能力訓(xùn)練要求1.理解分析法證明不等式的原理和思路.2.理解分析法的實(shí)質(zhì)——執(zhí)果索因,熟練掌握分析法證明不等式.(三)德育滲透目標(biāo)分析法證明不等式意在提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì),培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識,加強(qiáng)學(xué)生分析問題和解決問題的邏輯思維及推理能力,進(jìn)一步使學(xué)生認(rèn)識到事物間是有聯(lián)系的辯證唯物主義觀念.●教學(xué)重點(diǎn)分析法證明不等式,就是“執(zhí)果索因”,從所證的不等式出發(fā),不斷用充分條件代替前面的不等式,直至使不等式成立的條件已具備,就斷定原不等式成立.當(dāng)證題不知從何入手時,有時可以運(yùn)用分析法而獲得解決,特別對于條件簡單而結(jié)論復(fù)雜的題目往往是行之有效的方法.用分析法論證“若A則B”這個命題的模式是:欲證命題B為真,只需證明命題B1為真,從而又只需證明命題B2為真,從而又……只需證明命題A為真,今已知A真,故B必真.簡寫為:BB1B2…BnA.●教學(xué)難點(diǎn)1.理解分析法的本質(zhì)是從結(jié)論分析出使結(jié)論成立的“充分”條件.2.正確使用連接有關(guān)(分析推理)步驟的關(guān)鍵詞.如“為了證明”“只需證明”“即”以及“假定……成立”等.●教學(xué)過程Ⅰ.課題導(dǎo)入［師］隨著我們對不等式證明學(xué)習(xí)的逐步深入,我們還會遇到這樣的問題:面對一個不等式的證明而一籌莫展,無計(jì)可施,由題設(shè)不易“切入”展開推理.在此情況下,我們可以嘗試從目標(biāo)不等式“倒推”分析,往往在“倒推”的過程中,逐漸發(fā)現(xiàn)解題思路,從而達(dá)到證明不等式的目的.今天,我們根據(jù)這種基本思路,繼續(xù)探討學(xué)習(xí)證明不等式的又一種重要方法——分析法.Ⅱ.講授新課證明不等式時,有時可以從求證的結(jié)論出發(fā),逐步尋求使它成立的充分條件,直至所需條件為已知條件或一個明顯成立的事實(shí)（定義、定理或以證明的定理、性質(zhì)等）從而得出要證的命題成立，.這種證明方法通常叫做分析法.這是一種執(zhí)果索因的思考和證明方法下面,我們探索分析用“分析法”證明不等式.說明：證明某些含有根式的不等式時,用綜合法比較困難.例如,在本例中,我們很難想到從“14<18”入手.因此,在不等式的證明中,分析法占有重要的位置.我們常用分析法探索證明的途徑,然后用綜合法的形式寫出證明過程,這是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法.Ⅲ.課堂練習(xí)：p26的3題Ⅳ.課時小結(jié)這節(jié)課,我們學(xué)習(xí)了“分析法”證明不等式.用“分析法”證明不等式時,其敘述方式很重要,必須突出分析法的語言“特色”,如:“欲證……成立,只需證……”或采用符號“”或“”.還要注意,用“分析法”證明不等式的一大優(yōu)點(diǎn)是,當(dāng)我們面對一個不等式的證明而一籌莫展,無法下手時,它給我