課改區(qū)高考試題分類-數(shù)列

2009年課改區(qū)高考數(shù)學(xué)試題分類匯編一一

數(shù)列

一、選擇題

1.(2009年廣東卷文)已知等比數(shù)列｛%｝的公比為正數(shù)，且的?每二？%?，。2=1，則%=

1亞

A.—B.---C.*\/2D.2

22

【答案】B

【解析】設(shè)公比為q,由已知得a/.*=2(%/)2,即“2=2,又因?yàn)榈缺葦?shù)列｛%｝的公

比為正數(shù)，所以4=血，故％=%=4=在，選B

2,,

2.(2009廣東卷理)已知等比數(shù)列｛”,｝滿足4>0,〃=1,2,…，且?！??2?-5~2(?>3),

則當(dāng)"N1時(shí)，k)g24+k)g2a3+…+log2a2“T=

A.”(2〃—1)B.(/z+1)~C.n~D.(〃—1)"

2n2n

【解析】由生?=2(n>3)得a：=2,an>0,則an=2",log,a,+log2a3+???+

log,a,“_］-1+3+11,+(2〃—1)-/2~,選C.

3.(2009安徽卷文)已知⑷為等差數(shù)列，用+%+叼=g\+，+，=修，則?等

于

A.-1B.1C.3D.7

【解析】?；%+%+%=105即3a3=105:.%=35同理可得知=33；?公差d=a4—a3=—2

=a

。204+(20-4)xd=1.選B。

【答案】B

4.(2009福建卷理)等差數(shù)列｛〃〃｝的前n項(xiàng)和為S“，且S3=6,。尸4,則公差d等于

A.1B-C.-2D3

3

【答案】：C

3

［解析］:S3=6=,(。］+%)且％=。1+2da\=4?二d=2.故選C

5.(2009遼寧卷文)已知｛氏｝為等差數(shù)列，且的—24=-1，的=°，則公差d=

(A)-2(B)--(C)-(D)2

22

【解析】a7—2a4=a3+4d—2(aa+d)=2d=—1=>d=——

2

【答案】B

6.(2009遼寧卷理)設(shè)等比數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和為，若&=3,則邑=

"〃S3Sb

78

(A)2(B)-(C)-(D)3

33

【解析】設(shè)公比為q,則與="JU*=l+/=3nq3=2

S3S3

T曰Sq1+/+/1+2+47

］“L=-------------=-----------=—

S,1+/1+23

【答案】B

7.(2009寧夏海南卷理)等比數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和為s“，且4%,2々，%成等差數(shù)列。

若％=1,則.=

(A)7(B)8(3)15(4)16

解析：4at2a2四成等差數(shù)列

4q+“3=4a2,即4q-4qq,；.q2一4q+4=0,/.q-2,=15,選C.

8.(2009寧夏海南卷文)等差數(shù)列應(yīng)｝的前n項(xiàng)和為S,，已知。偌+4川一個(gè)=0，

Sa=38,則加=

(A)38(B)20(C)10(D)9

【答案】C

【解析】因?yàn)椋啊埃堑炔顢?shù)列，所以，a,i+a,用=2冊(cè)，由。愕+%+「屋=0,得:

2%,一%：=0,所以，。,“=2，又5,,一=38，即(2〃-1)(%+%,,-)=38,即(2m-l)

2

X2=38,解得m=10,故選.C。

9.(2009安徽卷理)已知｛《,｝為等差數(shù)列，aI+/+%=105,4+%+&=99,以S“表示｛?｝

的前〃項(xiàng)和，則使得S,,達(dá)到最大值的〃是

(A)21(B)20(C)19(D)18

［解析］:由+。3+。5=1°5得3。3=105,即。3=35,由。2+。4+。6=99得3%=99即

[a>0

aA—33,:.d=—2,〃〃=%+（〃-4）x（—2）=41—2〃，由<得〃=20,選B

??+1<0

二、填空題

1.（2009浙江理）設(shè)等比數(shù)列｛6｝的公比q=L,前〃項(xiàng)和為S“，則區(qū)=__________.

2a4

答案：15

【解析】對(duì)于S4=—>,4=%/，；?—=I=15

"q%0（1-9）

2.（2009浙江文）設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比q=L,前〃項(xiàng)和為S,，則與=__________.

2a4

【命題意圖】此題主要考查了數(shù)列中的等比數(shù)列的通項(xiàng)和求和公式，通過對(duì)數(shù)列知識(shí)點(diǎn)的考

查充分體現(xiàn)了通項(xiàng)公式和前〃項(xiàng)和的知識(shí)聯(lián)系.

【解析】對(duì)于S4=%a—q）,%=%/,.?.區(qū)=]一?=15

i-q%

3.（2009浙江文）設(shè)等差數(shù)列｛a,,｝的前〃項(xiàng)和為S“，則S4,58-54,512-58,516-512

成等差數(shù)列.類比以上結(jié)論有：設(shè)等比數(shù)列｛2｝的前〃項(xiàng)積為7；，則,，，

曳成等比數(shù)列.

T

1\2

5【命題意圖】此題是?個(gè)數(shù)列與類比推理結(jié)合的問題，既考查了數(shù)列中等差

答案:

數(shù)列和等比數(shù)列的知識(shí)，也考查了通過已知條件進(jìn)行類比推理的方法和能力

【解析】對(duì)于等比數(shù)列，通過類比，有等比數(shù)列｛2｝的前〃項(xiàng)積為7；,則乙，區(qū),工艮，工

T4T8工2

成等比數(shù)列.

4.（2009江蘇卷）設(shè)｛6｝是公比為q的等比數(shù)列，⑷>1,令"=""+1（〃=1,2,…），若

數(shù)列也｝有連續(xù)四項(xiàng)在集合｛-53,-23,19,37,82｝中，則6q=.

【解析】考查等價(jià)轉(zhuǎn)化能力和分析問題的能力。等比數(shù)列的通項(xiàng)。

｛凡｝有連續(xù)四項(xiàng)在集合｛-54,-24,18,36,81｝,四項(xiàng)-24,36,-54,81成等比數(shù)列，公比為

5.（2009山東卷文）在等差數(shù)列｛a“｝中，。3=7,%=。2+6,則勺

%+2d=7\a,=3

【解析】：設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,則由已知得!,,,解得1?，所

%+4d=%+d+6[d=2

以'=%+5d=13.

答案：13.

【命題立意】：本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及基本計(jì)算.

6.（2009遼寧卷理）等差數(shù)列｛可｝的前〃項(xiàng)和為S〃，且6s5-5$3=5,則。4=

【解析】VS=nai+-n（n—l）d

n2

/.S5=5ai+10d,S3=3ai+3d

/.6S5—5Sj=30ai+60d—（15ai+15d）=15ai+45d=15（ai+3d）=15ai

【答案】j

7.（2009寧夏海南卷理）等差數(shù)列｛%｝前n項(xiàng)和為S,,。已知冊(cè)_1+冊(cè)+「。2M=0,

則m=_______

解析：由5+冊(cè)+1-心=°得到

24-或=0,%,=0,2乂52g=3T）（；+）=Q…1）4=38,一=10。

答案10

8.（2009寧夏海南卷文）等比數(shù)列｛%｝的公比q〉0,已知。2=1，。〃+2+。〃川-6〃“，則｛〃〃｝

的前4項(xiàng)和工二______________

【答案】—

2

【解析】由4+2+。,川=6%得：qN+q"=6qi,即q2+q—6=0,g>0,解得：

-1I62"15

q=2,又2=1,所以，4=—，S=------------=一o

21241-22

三、解答題

1.（2009年廣東卷文）（本小題滿分14分）

已知點(diǎn)（1,g）是函數(shù)/（x）=a'（a>0,且awl）的圖象上一點(diǎn)，等比數(shù)列｛6,｝的前〃項(xiàng)

和為/（〃）—c,數(shù)列也」代>0）的首項(xiàng)為c,月一前〃項(xiàng)和S“滿足S“一5“_尸叵+瘋；

Cn>2).

（1）求數(shù)列數(shù),｝和｛bn｝的通項(xiàng)公式;

（2）若數(shù)列｛」一｝前〃項(xiàng)和為7；,問7；＞儂°的最小正整數(shù)〃是多少？

2009

【解析】(1)Q/(l)=a=g,;./(x)=(gJ

12

=/(l)-c=--c,a2=[/(2)-c]-[/(l)-c]

?3=[/(3)-C]-[/(2)-C]=-^-

4

2---Q1

又?jǐn)?shù)列｛4｝成等比數(shù)列，a｝=^-=-^-=--=--c,所以c=l；

-27

又公比g=X所以翡)=-20〃GN*

QS「S,i=(底-匹)(后+卮卜后+歷(n>2)

又切>0,后>0,???厄-瓦=1；

數(shù)列｛、區(qū)｝構(gòu)成一個(gè)首相為1公差為1的等差數(shù)列，6=l+("T)xl=〃，S“=〃2

當(dāng)〃N2,=S“一S"T=2"-1；

bn-1n—\(neN")；

T---------1----------1----------FLH----------------------1-----------1-----------FKH-------------------............-

b四b2b3b3b&b“b“+i1x33x55x7(2n-l)x(2?+1)

1n

1-

22n+l2n+l

n1000,,1000、"口,1000

>-----得〃>——，滿足-----的最小正整數(shù)為112.

由12〃+l20099”2009

2.（2009浙江文）（本題滿分14分）設(shè)5“為數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，5?=kn2+n,nwN*,

其中人是常數(shù).

（I）求4及%;

（II）若對(duì)于任意的加EN*,am,a2m,%,〃成等比數(shù)列，求女的值.

解析：（I）當(dāng)〃=I,/=S]=%+1,

22

n>2,*=Sn-S〃_]=kn+〃一伙（〃-I）+（n-1）]=2kn-Zr+1（*）

經(jīng)驗(yàn)，n=1,（*）式成立，an=2kn-+1

（II）.?.%,,%,”，包〃,成等比數(shù)列，，a2?,2=見“?包,”，

即（4A?n-Z+1）?=（24，〃一k+1）（84，/一%+1）,整理得：mk（k—1）=0,

對(duì)任意的meN*成立，:.k=0或％=1

3.（2009江蘇卷）（本小題滿分14分）

設(shè)｛4｝是公差不為零的等差數(shù)列，S.為其前〃項(xiàng)和，滿足的2+/2=&2+%2,57=7。

（1）求數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和S?；

（2）試求所有的正整數(shù)機(jī)，使得也比為數(shù)列｛4｝中的項(xiàng)。

“m+2

【解析】本小題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)、求和的有關(guān)知識(shí)，考查運(yùn)算和求解的能力。滿

分14分。

（1）設(shè)公差為d，則Q：—=〃：一,由性質(zhì)得—3d（〃4+。3）=d（〃4+。3），因

7x6

為dwO,所以。4+。3=0，即2。]+5d=0,又由S:=7得7/+—=7,

解得=-5

d=2所以也」.的通項(xiàng)公式為%=2八一7,前冏項(xiàng)和用=/一6冏.

⑵?=（2，"7）⑵”5），設(shè)2~3=f,

（方法一）a"'+z201-3

則峻』（"4）（"2）=/+§_6,所以『為8的約數(shù)

%+2tt

因?yàn)閠是奇數(shù),所以方可取的值為±1,

當(dāng)才=1,/=2時(shí)，f+三一6=3,2x5-7=3,是數(shù)列｛aj?中的項(xiàng)；

t

當(dāng)。=-1,0=1時(shí)，￡+；—6=-15，數(shù)列1a｝中的最小項(xiàng)是一5,不符合.

所以滿足條件的正整數(shù)館=2.

（方法二）因?yàn)榻M"="二二型也=2）=-6+a為數(shù)列｛4｝中的項(xiàng)，

am+2am+2%+2

Q

故——為整數(shù)，又由（1）知：。,“+2為奇數(shù)，所以冊(cè)+2=2機(jī)一3=±1,即機(jī)=1,2

am+2

經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意的正整數(shù)只有m=2。

4.（2009江蘇卷）（本題滿分10分）

對(duì)于正整數(shù)〃22,用7；表示關(guān)于x的一元二次方程x2+2ax+b^Q有實(shí)數(shù)根的有序數(shù)組

5⑼的組數(shù)，其中a,0e｛l,2,和匕可以相等）；對(duì)于隨機(jī)選取的a,be｛l,2,｝

2

（a和b可以相等），記PH為關(guān)于x的一元二次方程x+2ax+b=0有實(shí)數(shù)根的概率。

⑴求口和匕；

（2）求證：對(duì)任意正整數(shù)”22,有乙>1—7T

【解析】[必做題]本小題主要考查概率的基本知識(shí)和記數(shù)原理，考查探究能力。滿分10

分。

(1)解:因?yàn)榉匠?+2ax+b=0有實(shí)數(shù)根.所以A=4/-45NO.即BW.a'.

(i)當(dāng)nWaW時(shí).有Wa',又6e{1.2,n”，故總有6Va?.此時(shí),a

有/-n+1種取法,6行M種取法,所以共有(M-n+I)/組有序數(shù)組

(a,6)滿足條件；

(ii)當(dāng)IWaWn-1時(shí)，滿足IW6MJ的B有a‘個(gè).故共有

I2+2J+T+…+(n-1尸組有序數(shù)組(0力)滿足

o

條件.

+HTZHT/尸.?x2.幾(一?1)⑵-1)_n(6n3-4n?3n?I)

由(i)(“)可再=(n-nn*l)n+-----------%??-13-S

從而Pj二妄=6n'_4f：3“7!

non

（2）證明：我們只需證明：對(duì)于加機(jī)選取的。,6€[1,2」一,4，方程/+2<?+6=0無

實(shí)數(shù)根的概率1-匕?若方程?+2ax+4=0無實(shí)數(shù)根，則

A=4a'-46<0,即a，<6.由6Wn知a<瓜因此.滿足a?<B的有序數(shù)

組（%6）的組數(shù)小于“石，從而.方程￡+2ax+6=0無實(shí)數(shù)根的概率

I-p.<呼=所以匕>[

5.（2009山東卷理）（本小題滿分12分）

等比數(shù)列｛4“｝的前n項(xiàng)和為S“，已知對(duì)任意的〃eN+，點(diǎn)（〃,S“），均在函數(shù)

y=N+”6>0且6Hl,b,r均為常數(shù))的圖像上.

(1)求r的值；

+

(11)當(dāng)b=2時(shí)，記bn=2(log2an+l)(n&N)

證明：對(duì)任意的〃GN+,不等式blL—i……上里〉而I成立

ab2h?

解:因?yàn)閷?duì)任意的“eN+,點(diǎn)(〃,S,)，均在函數(shù)丁=//+「仍>0且6*1,6/均為常數(shù)的圖

像上.所以得S“=b"+r，當(dāng)〃=1時(shí)，%=S=b+r,當(dāng)n>2

時(shí)，a“=S“—S,i=b"+r-(h'-'+r)=b"_/yi=仍―1"T,又因?yàn)椋?｝為等比數(shù)列,所

以，=—1,公比為b,a,=(b—l)//i

,1

(2)當(dāng)b=2時(shí)，%=(b—l)b"T=2"Lbn=2(log2an+1)=2(log22-+1)=2n

Ijlij",+1=2'+',所以4+1.1...",+1=3工)...2〃+1

bn2nb｝b2bn2462n

-r-HEMU、、/?j,上j、十rrtFA^-IXbl+1A+1k+13572〃+1/~q、

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式」-----二一……——=---------------->V/7+1成立.

bxb2bn246In

①當(dāng)〃=1時(shí)，左邊=9,右邊=及，因?yàn)?＞夜，所以不等式成立.

22

b+1%+14+1_3572攵+1

②假設(shè)當(dāng)〃=%時(shí)不等式成立，即^—------>y/k+1成立.

4b2bk2462k

則當(dāng)〃=女+1時(shí),左邊=叱、^^4+14+1+13572k+12k+3

仇瓦4bk+i~2462k2k+2

—2Z+3l(2k+3)21(k+l)2+4(&+l)+l

%+1)+"舟T*+D+I

>+?2k+2~\4()1+1)―\4(%+1)

所以當(dāng)”=女+1時(shí),不等式也成立.

由①、②可得不等式恒成立.

［命題立意］：本題主要考查了等比數(shù)列的定義,通項(xiàng)公式,以及已知S,求見的基本題型,并

運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的命題，以及放縮法證明不等式.

6.（2009山東卷文）（本小題滿分12分）

等比數(shù)列｛2｝的前n項(xiàng)和為S,,已知對(duì)任意的〃eN+，點(diǎn)（〃,S,）,均在函數(shù)

y=6+rS〉0且。均為常數(shù)）的圖像上.

（1）求r的值;

＞7+I

(11)當(dāng)b=2時(shí)，記b?=——(〃eN+)求數(shù)列也』的前〃項(xiàng)和7；

4%

解:因?yàn)閷?duì)任意的〃eN+,點(diǎn)(〃,S,)，均在函數(shù)＞="+廠仍＞0且6片1力,「均為常數(shù))的圖

像上.所以得S“=6"+r,

當(dāng)〃=1時(shí)，/=S]=b+r,

當(dāng)〃22時(shí)，?！?S〃一S,-=bn+r^(bn-l+r)=bn-hn-x=(b-l)bn-[,

又因?yàn)閧a,J為等比數(shù)列，所以廠=—1,公比為b,所以a“=3—l)b"T

7n+1n+1〃+1

(2)當(dāng)b=2時(shí)，氏=(6—l)b"T=2"T,b—___—______—____

n—4a?_4x2'-'~2n+,

234〃+l

則(=齊+尹+夢(mèng)+…+——r

234n〃+1

+…H-----+

I2"+|2“+2

相減，得;7；=靠+5+盤■+*+.?1〃+1

,+----------

2“+i2”+2

123X2"-1)n+1_31n+1

2-~i2"+2-4尹~T^

1----

2

31n+13n+3

所以7；

222n+1

【命題立意】：本題主要考查了等比數(shù)列的定義,通項(xiàng)公式,以及已知5“求凡的基本題型,并

運(yùn)用錯(cuò)位相減法求出一等比數(shù)列與一等差數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)乘積所得新數(shù)列的前n項(xiàng)和7；.

7.(2009廣東卷理)(本小題滿分14分)

已知曲線C“：x2—2〃x+y2=o(”=i,2”..).從點(diǎn)P(-1,O)向曲線C,引斜率為

匕，(女“〉0)的切線切點(diǎn)為乙(x,,y“).

(1)求數(shù)列｛x.｝與｛X,｝的通項(xiàng)公式；

<V2sin—.

(2)證明：x{-x3-x5...x2n_x<

%

22

解：(1)設(shè)直線/“：y=kn(x+l),聯(lián)立x-2nx+y=0得

（1+片）/+（2片一2刀）x+左：=0,則A=（2尤”2〃）2-4（1+4）片=0

k=n

（i-72^717!常舍去)

2

1=k；nn.,,,,“J2"+1

-----7，即

"、+片5+1）2X"=Q'7L+D=^F

(2)證明：

由于土1一行COSX,

/y

令/'(x)=0,得cosx=J,給定區(qū)間(0,工)，則有了'(x)<0,則函數(shù)/(x)在(0,工)上

244

單調(diào)遞減，/(x)</(0)=0,即x<&sinx在(0,三)恒成立，又

貝U有J-----<V2sin.------>即----<V2sin—

V2n+1V2n+1\1+x“y?

8.(2009安徽卷理)(本小題滿分13分)

首項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列｛4｝滿足a“+[+3),neN..

(I)證明：若％為奇數(shù)，則對(duì)一切nN2,a,都是奇數(shù)；

(II)若對(duì)一切〃wN,都有凡+1〉為，求生的取值范圍.

解：本小題主要考查數(shù)列、數(shù)學(xué)歸納法和不等式的有關(guān)知識(shí)，考查推理論證、抽象概括、運(yùn)

算求解和探究能力，考查學(xué)生是否具有審慎思維的習(xí)慣和一定的數(shù)學(xué)視野。本小題滿分13

分。

解：（I）已知為是奇數(shù)，假設(shè)%=2機(jī)-1是奇數(shù)，其中機(jī)為正整數(shù)，

則由遞推關(guān)系得ak+｝=幺/=機(jī)（加—1）+1是奇數(shù)。

根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，對(duì)任何〃eN+，。“都是奇數(shù)。

（II）（方法一）山4“+|-%=；（”“一1）（4.一3）知，%+]>4“當(dāng)且僅當(dāng)4“<1或4“>3。

另一方面，若0<%<1,則0<%+i<上/=1；若如〉3,則。*+1〉3：3=3.

根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，0<q<1,=0<?！?lt;l,V〃wN+；q>3=a.>3,V?e/V+.

綜合所述，對(duì)一切〃eN+都有為+|>a“的充要條件是0<%<1或％〉3。

Q2+3

（方法二）由的=%；>%,得〃；一4〃1+3>0,于是0<a1<1或〃]>3o

_a,,2+3a?_12+3

a-'-a"--~4，

2Q

因?yàn)閝>0,an+l=-——，所以所有的a,均大于0，因此a“+i-a”與a“一%T同號(hào)。

根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，VneN+,%M—%與電一4同號(hào)。

因此，對(duì)一切”eN+都有怎+[>4的充要條件是0<4]<1或4>3。

9.（2009安徽卷文）（本小題滿分12分）

已知數(shù)列產(chǎn)｝的前n項(xiàng)和4=0+?*,數(shù)列｛、的前n項(xiàng)和工=2f

（I）求數(shù)列｛f｝與｛%｝的通項(xiàng)公式；

（H）設(shè)?=4.4,證明：當(dāng)且僅當(dāng)n23時(shí)，

【思路】由〃=（W=1）可求出%和叫，這是數(shù)列中求通項(xiàng)的常用方法之一，在

（n>2）

求出明和2后，進(jìn)而得到c“，接下來用作差法來比較大小，這也是一常用方法。

【解析】（1）由于4=樂=4

22

當(dāng)〃22時(shí)，an=sn-5w_j=（2H+2n）-[2（n-l）+2（〃-1）]=4nam=4〃（〃GN*）

又當(dāng)x2〃時(shí)勿=7；-Zi—(2—6?,)-(2-2bn=bn_.

：.數(shù)列他,｝項(xiàng)與等比數(shù)列，其首項(xiàng)為1,公比為1bn=§嚴(yán)

1「16(〃+l)2.(3"+g

⑵由⑴知G=a；也,=16/2.(與1,3=---------1------=^-22-

2C"16n22〃-

由￡I±L<1得!Zl±lL<i即“2—2〃一1>。+8即“N3

C"2〃

又〃23時(shí)(〃+?2<1成立即C±L<1由于。>o恒成立.

2/G

因此，當(dāng)且僅當(dāng)"23時(shí)，C?+1<C?

10.(2009天津卷文)(本小題滿分12分)

已知等差數(shù)列｛明｝的公差d不為0,設(shè)S“=%+44+…+”,01

n

Tn-q-a2<7H----anq',qAO,n€N"

(I)若q=l,q=1,S3=15，求數(shù)列｛a“｝的通項(xiàng)公式：

(II)若.=d,且，,§2，邑成等比數(shù)列，求q的值。

(HI)若qw±l,證明(l—q)S,?-(1+q)T2n=\neN*

i-q

【答案】(1)an=4n-3(2)q=-2(3)略

【解析】⑴解:由題設(shè)，S3=勺+(%+4％+(%+2d)q2,將q=l,%=1,$3=15

代入解得4=4,所以?！?4〃—3〃cN*

(2)解:當(dāng)為=d,St=d,S2=d+2dq,S3=d+2dq+3dq2,...S[,S2，S3成等比數(shù)歹U，

所以S22=SE3，即(d+2dqy=d(d+2dq+3dq2),注意到dwO,整理得q=-2

(3)證明：由題設(shè)，可得a=/i,貝ij

$2"=%+。2。+。3[2+…。2"產(chǎn)①

12“=%_a?q+a?q------g""'②

①-②得，

52"一72"=+…+。2"/1)

①+②得，

2

S2n+丁2n=2(0,^+(?3^+…+%-14*2)③

③式兩邊同乘以q,得q(S2"+72“)=2(%4+。342+一+。2-岡2"-2)

所以(1一q)S,“一(1+/寫“=2d(q+/+…+42-')=理；”)

1-如

(3)證明：G-02=(以一%)仇+3%-氣泡+(4“_ajb“

n

=(左1T)db]+(^2-l2)dbxq+----F(kn—ln')dblq~'

因?yàn)閐wO,仇wO,所以

',2=(占一/1)+(&2-乙招+…+出”-/“)，’”

db]

若k,產(chǎn)1“,取i=n,

若幻=/“，取i滿足匕=/,，且的=小J+l<j<n

由(1)(2)及題設(shè)知，且

1,,2=(占一/1)+(女2-卜％+…+(k“-l")q”T

db}

①當(dāng)&v//?時(shí)，kj—ljW—T,由q2〃，%-/j?q—1,z=1,2…,z—1

即&T4、-1,僅2-4)”式4一1)，???(%-%)小2<q(q-iy-2

所以

Q_Q1_/一?

12,(g_1)+(g_l)g+???+(g―1)，一之一武=(^-1)—；----------彳一'=T

dbi1-q

因此G—。2。0

②當(dāng)匕>4時(shí)，同理可得幺二1,因此G—，2*0

db、

綜上，Gwc2

【考點(diǎn)定位】本小題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等比數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和

等基本知識(shí)，考查運(yùn)算能力和推理論證能力和綜合分析解決問題的能力。

11.(2009遼寧卷文)(本小題滿分10分)

等比數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和為s“，已知S1,S3,S2成等差數(shù)列

(1)求｛4｝的公比q；

(2)求q—%=3，求s“

解：(I)依題意有

2

ai+(%+/q)=2(%+atq+atq)

由于火70,故

2q2+q=0

又從而q=-g5分

(II)由已知可得為—4(-,)2=3

112

故％=4

4(1-(一、)

從而Sn=------------?—=10分

1-(-1)32

2

12.(2009天津卷理)(本小題滿分14分)

已知等差數(shù)列｛4｝的公差為d(dWO),等比數(shù)列｛%｝的公比為q(q>l)?設(shè)

-1

5"=4|仇+4%3..+anbn,Tn=a^-a2b2+-'..+(-1)"anbtl,nGN"

(I)若《=仇=1,d=2,q=3,求S3的值；

(ID若4=1,證明(1-q)S2n-(1+q)T，a=2dqQ-g),neN+；

l-q-

(III)若正數(shù)n滿足2WnWq,設(shè)占或和“是1,2,...,n的兩個(gè)不同的排列，

cwc

12

Q

c.=a,b.+a,/?.+...+a,hti,仇+刀力+…+證明o

iA1|iA?/人“??/>?iinn

本小題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考

查運(yùn)算能力，推理論證能力及綜合分析和解決問題的能力的能力，滿分14分。

（I）解：由題設(shè),可得%=2幾一1也=3"L〃eN*

所以,S3=岫+a2b2+%4=1x1+3x3+5x9=55

(II)證明：由題設(shè)可得勿=q"T則

§2〃=+。2夕+%q+....+。2〃夕~〃'，①

T，32/J-1

T2n=a}-a2q+a3q-a.q+..…-a2nq，②

32

§2"一耳=2(a2q+a4q+...-a2nq"^')

①式減去②式，得

①式加上②式，得

52"+丁2"=2(6+%/+....+。2,1/"2)③

②式兩邊同乘q,得

[(S?”+￡”)=2("|<7+%/+…?+”2"-14)

所以，

(1-1+q)T2n=(S「耳)-q(S2n+耳)

=2d(q+4、+K+q2"'')

=wi-p.

I"

(HD證明：q-c,=(縱一線)仇+(%,-4,泡+K+-%,)b.

=的一/Jd仇+(右一4)仍⑼+K+d.)d3一

因?yàn)?*0,4N0,所以

號(hào)=（“）+（D”K+d）產(chǎn)

（1）若女“*/“，取i=n

（2）若％“=/“，取i滿足匕且勺=/j,i+lW/4〃

由（1）,⑵及題設(shè)知，1＜三〃且

。一02

=（勺一/1）+氏—4M+K化T一/時(shí)-2+（KT）/T

db,

①當(dāng)時(shí)，得.一4?—1,由q2九，^ki-li<q-\,i=1,2,3…i-1

即U-i,(ki)qwq(q-i)…，伏尸gf

又(勺一/,)*?_/,所以

=(q-1)+(q-1為+K①-1)/2一,"=(q_1)Izll

dbi1一q

因此q-。2。0,即GWc2

②當(dāng)勺＞/,.同理可得上2＜一1,因此q*C2

db[

綜上，C[HC]

13.（2009福建卷文）（本小題滿分）2分）

等比數(shù)列｛%｝中，已知4=2,%=16

（I）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

（II）若%，％分別為等差數(shù)列｝的第3項(xiàng)和第5項(xiàng)，試求數(shù)列｛〃,｝的通項(xiàng)公式及前〃

項(xiàng)和5?o

解：（I）設(shè)｛4｝的公比為q

由已知得16=2/,解得q=2

(II)由(I)得e=8,a5=32,貝ij4=8,h5=32

乂4+2d=84=一16

設(shè)也J的公差為d，則有《?解得《?

"也+4d=32[d=12

從而勿=—16+12（〃—1）=12〃-28

所以數(shù)列｛bn｝的前n項(xiàng)和Sn="㈠6+；”28）=6/一22〃

14.（2009年上海卷理）（本題滿分18分）本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分5分，第2小

題滿分5分，第3小題滿分8分。

已知｛q｝是公差為d的等差數(shù)列，｛"｝是公比為q的等比數(shù)列。

（1）若a“=3〃+1,是否存在加、keN",有a,"+”,“+]=%?說明理由;

(2)找出所有數(shù)列｛叫和也｝,使對(duì)物〃eN*,&包=么，并說明理由；

an

(3)若％=5,4=4,4=(7=3,試確定所有的0，使數(shù)列｛4｝中存在某個(gè)連續(xù)p項(xiàng)的和

是數(shù)列也｝中的一項(xiàng)，請(qǐng)證明。

[解法-1(1)由”,"+冊(cè)+1=%.，得6"z+5=3Z+l,.....2分

4

整理后，可得后一2m=一，?.?，”、kGN*,:.k—2m為整數(shù),

3

不存在m、keN*,使等式成立。.....5分

(2)若也=2，即,(*)

n]

(i)若d=0,則1=b]q~=bn。

當(dāng)｛%｝為非零常數(shù)列，｛2｝為恒等于1的常數(shù)列，滿足要求?！?分

(ii)若(*)式等號(hào)左邊取極限得lim%*〃"=1,(*)式等號(hào)右邊的極限只

“f8%+(〃_i)d

有當(dāng)g=l忖，才能等于1。此時(shí)等號(hào)左邊是常數(shù)，.?.1=(),矛盾。

綜上所述，只有當(dāng)｛%｝為非零常數(shù)列，｛〃｝為恒等于1的常數(shù)列，滿足要求。.....10分

【解法二】設(shè)4=〃d+c,若乎=",且也｝為等比數(shù)列

則%1/3L=%對(duì)〃eN*都成立，即凡%+2=加工

a

?,1+in

(dn+c\dn+2J+c)-q(dn+d+c)2對(duì)〃GN"都成立，z.a1=qd，/分

(i)若