課件數(shù)學(xué)物理方程方法

數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)☆課程的內(nèi)容三種方程、四種求解方法、二個(gè)特殊函數(shù)分離變量法、行波法、積分變換法、格林函數(shù)法波動(dòng)方程、熱傳導(dǎo)、拉普拉斯方程貝賽爾函數(shù)、勒讓德函數(shù)☆數(shù)學(xué)物理方程定義描述某種物理現(xiàn)象的數(shù)學(xué)微分方程。一、基本方程的建立第一章一些典型方程和定解條件的推導(dǎo)二、定解條件的推導(dǎo)三、定解問(wèn)題的概念一、基本方程的建立條件：均勻柔軟的細(xì)弦，在平衡位置附近產(chǎn)生振幅極小的橫振動(dòng)。不受外力影響。例1、弦的振動(dòng)研究對(duì)象：線上某點(diǎn)在t時(shí)刻沿縱向的位移。簡(jiǎn)化假設(shè)：(2)振幅極小，張力與水平方向的夾角很小。(1)弦是柔軟的，弦上的任意一點(diǎn)的張力沿弦的切線方向。牛頓運(yùn)動(dòng)定律：橫向：縱向：其中：其中：其中：………一維波動(dòng)方程令：------非齊次方程自由項(xiàng)------齊次方程忽略重力作用：從麥克斯韋方程出發(fā)：在自由空間：例2、時(shí)變電磁場(chǎng)對(duì)第一方程兩邊取旋度，根據(jù)矢量運(yùn)算：由此得：得：拉普拉斯算子：同理可得：——電場(chǎng)的三維波動(dòng)方程——磁場(chǎng)的三維波動(dòng)方程例3、靜電場(chǎng)電勢(shì)u

確定所要研究的物理量：根據(jù)物理規(guī)律建立微分方程：對(duì)方程進(jìn)行化簡(jiǎn)：拉普拉斯方程(無(wú)源場(chǎng))

泊松方程例4、熱傳導(dǎo)所要研究的物理量：溫度根據(jù)熱學(xué)中的傅里葉實(shí)驗(yàn)定律在dt時(shí)間內(nèi)從dS流入V的熱量為：從時(shí)刻t1到t2通過(guò)S流入V的熱量為高斯公式（矢量散度的體積分等于該矢量的沿著該體積的面積分）熱傳導(dǎo)現(xiàn)象：當(dāng)導(dǎo)熱介質(zhì)中各點(diǎn)的溫度分布不均勻時(shí)，有熱量從高溫處流向低溫處。熱場(chǎng)流入的熱量導(dǎo)致V內(nèi)的溫度發(fā)生變化流入的熱量：溫度發(fā)生變化需要的熱量為：熱傳導(dǎo)方程熱場(chǎng)穩(wěn)恒溫度場(chǎng)：有熱源：有界桿上的熱傳導(dǎo)（桿的兩端絕熱）同一類物理現(xiàn)象中，各個(gè)具體問(wèn)題又各有其特殊性。邊界條件和初始條件反映了具體問(wèn)題的特殊環(huán)境和歷史，即個(gè)性。初始條件：能夠用來(lái)說(shuō)明某一具體物理現(xiàn)象初始狀態(tài)的條件。邊界條件：能夠用來(lái)說(shuō)明某一具體物理現(xiàn)象邊界上的約束情況的條件。二、定解條件的推導(dǎo)其他條件：能夠用來(lái)說(shuō)明某一具體物理現(xiàn)象情況的條件。初始時(shí)刻的溫度分布：B、熱傳導(dǎo)方程的初始條件C、泊松方程和拉普拉斯方程的初始條件

描述穩(wěn)恒狀態(tài)，與初始狀態(tài)無(wú)關(guān)，不含初始條件A、波動(dòng)方程的初始條件1、初始條件——描述系統(tǒng)的初始狀態(tài)系統(tǒng)各點(diǎn)的初位移系統(tǒng)各點(diǎn)的初速度(2)自由端：x=a端既不固定，又不受位移方向力的作用。2、邊界條件——描述系統(tǒng)在邊界上的狀況A、波動(dòng)方程的邊界條件(1)固定端：對(duì)于兩端固定的弦的橫振動(dòng)，其為：或：(3)彈性支承端：在x=a端受到彈性系數(shù)為k的彈簧支承?；駼、熱傳導(dǎo)方程的邊界條件(1)給定溫度在邊界上的值S——給定區(qū)域v的邊界(2)絕熱狀態(tài)(3)熱交換狀態(tài)牛頓冷卻定律：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)從物體通過(guò)邊界上單位面積流到周圍介質(zhì)的熱量跟物體表面和外面的溫差成正比。熱交換系數(shù)；周圍介質(zhì)的溫度第一類邊界條件第二類邊界條件第三類邊界條件1、定解問(wèn)題三、定解問(wèn)題的概念(1)初始問(wèn)題：只有初始條件，沒(méi)有邊界條件的定解問(wèn)題；(2)邊值問(wèn)題：沒(méi)有初始條件，只有邊界條件的定解問(wèn)題；(3)混合問(wèn)題：既有初始條件，也有邊界條件的定解問(wèn)題。

把某種物理現(xiàn)象滿足的偏微分方程和其相應(yīng)的定解條件結(jié)合在一起，就構(gòu)成了一個(gè)定解問(wèn)題。定解問(wèn)題的檢驗(yàn)

解的存在性：定解問(wèn)題是否有解；解的唯一性：是否只有一解；解的穩(wěn)定性：定解條件有微小變動(dòng)時(shí)，解是否有相應(yīng)的微小變動(dòng)。3、線性偏微分方程的分類按未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的系數(shù)是否變化分為常系數(shù)和變系數(shù)微分方程按自由項(xiàng)是否為零分為齊次方程和非齊次方程2、微分方程一般分類

(1)按自變量的個(gè)數(shù)，分為二元和多元方程；(2)按未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)是否線性，分為線性微分方程和非線性微分方程；(3)按方程中未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)，分為一階、二階和高階微分方程。線性方程的解具有疊加特性4、疊加原理

幾種不同的原因的綜合所產(chǎn)生的效果等于這些不同原因單獨(dú)產(chǎn)生的效果的累加。(物理上)判斷下列方程的類型思考5、微分方程的解

古典解：如果將某個(gè)函數(shù)u代入偏微分方程中，能使方程成為恒等式，則這個(gè)函數(shù)就是該偏微分方程的解。形式解：未經(jīng)過(guò)驗(yàn)證的解為形式解。6、求解方法分離變量法、行波法、積分變換法、格林函數(shù)法第二章分離變量法一、有界弦的自由振動(dòng)二、有限長(zhǎng)桿上的熱傳導(dǎo)三、拉普拉斯方程的定解問(wèn)題四、非齊次方程的解法五、非齊次邊界條件的處理六、關(guān)于二階常微分方程特征值問(wèn)題的一些結(jié)論基本思想：首先求出具有變量分離形式且滿足邊界條件的特解，然后由疊加原理作出這些解的線性組合，最后由其余的定解條件確定疊加系數(shù)。適用范圍：波動(dòng)問(wèn)題、熱傳導(dǎo)問(wèn)題、穩(wěn)定場(chǎng)問(wèn)題等特點(diǎn)：a.物理上由疊加原理作保證，數(shù)學(xué)上由解的唯一性作保證；b.把偏微分方程化為常微分方程來(lái)處理，使問(wèn)題簡(jiǎn)單化。令帶入方程：令帶入邊界條件1求兩端固定的弦自由振動(dòng)的規(guī)律一有界弦的自由振動(dòng)特征（固有）值問(wèn)題：含有待定常數(shù)常微分方程在一定條件下的求解問(wèn)題特征（固有）值：使方程有非零解的常數(shù)值特征（固有）函數(shù)：和特征值相對(duì)應(yīng)的非零解分情況討論：1）2）3）令，為非零實(shí)數(shù)?分離變量?求特征值和特征函數(shù)?求另一個(gè)函數(shù)?求通解?確定常數(shù)分離變量法可以求解具有齊次邊界條件的齊次偏微分方程。2解的性質(zhì)

x=x0時(shí)：其中：駐波法t=t0時(shí)：例1：設(shè)有一根長(zhǎng)為10個(gè)單位的弦，兩端固定，初速為零，初位移為，求弦作微小橫向振動(dòng)時(shí)的位移。解：弦的振動(dòng)振幅放大100倍，紅色、藍(lán)色、綠色分別為n=1,2,3時(shí)的駐波。解：例2求下列定解問(wèn)題初始條件若l=1,a=10時(shí)的震動(dòng)。例3

求下列定解問(wèn)題解：例4

求下列定解問(wèn)題令帶入方程：解：二有限長(zhǎng)桿上的熱傳導(dǎo)令帶入方程：解：令令帶入方程：令例5

求下列定解問(wèn)題解：例6

求下列定解問(wèn)題解：若則u為多少？為什么會(huì)出現(xiàn)這樣的現(xiàn)象？思考若有界桿上的熱傳導(dǎo)（桿的兩端絕熱）分離變量流程圖三拉普拉斯方程的定解問(wèn)題1直角坐標(biāo)系下的拉普拉斯問(wèn)題解：例7

求下列定解問(wèn)題解：例8

求下列定解問(wèn)題解：2圓域內(nèi)的拉普拉斯問(wèn)題歐拉方程例9

求下列定解問(wèn)題解：歐拉方程令例10

求下列定解問(wèn)題解：歐拉方程令其它為零例12

求下列定解問(wèn)題解：歐拉方程其他為零例13

求下列定解問(wèn)題解：例13

求下列定解問(wèn)題解：例14

求下列定解問(wèn)題解法一：令解法二：令常用本征方程齊次邊界條件四非齊次方程的解法求下列定解問(wèn)題方程是非齊次的，是否可以用分離變量法？非齊次方程的求解思路用分解原理得出對(duì)應(yīng)的齊次問(wèn)題解出齊次問(wèn)題求出任意非齊次特解疊加成非齊次解思考令：令：為什么？例15

求下列定解問(wèn)題解：先解對(duì)應(yīng)的齊次問(wèn)題例16

求下列定解問(wèn)題解：令當(dāng)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)時(shí)例17

求定解問(wèn)題解：將原問(wèn)題變換到極坐標(biāo)系下：例18

求定解問(wèn)題五非齊次邊界條件的處理解：令設(shè)：f

和W與t無(wú)關(guān)例19

求下列定解問(wèn)題解：令例20

求定解問(wèn)題解：令例21

求定解問(wèn)題解：令例22

求定解問(wèn)題解：令定解問(wèn)題選擇合適的坐標(biāo)系邊界條件非齊次，轉(zhuǎn)換為齊次邊界條件非齊次方程，齊次邊界條件齊次方程，齊次邊界條件直接用駐波法非齊次方程，齊次定解條件固有函數(shù)法應(yīng)用分離變量法求解定解問(wèn)題的步驟六關(guān)于二階常微分方程特征值問(wèn)題的一些結(jié)論1.存在無(wú)窮多個(gè)實(shí)的特征值，適當(dāng)調(diào)換這些特征值的順序，可使他們構(gòu)成一個(gè)非遞減序列。2.所有特征值均不為負(fù)。3.任意兩個(gè)不同的特征值，對(duì)應(yīng)的兩個(gè)特征函數(shù)在定義域上以權(quán)函數(shù)互相正交。4.特征函數(shù)系具有完備正交性，故滿足一定條件的函數(shù)可以按特征函數(shù)系展成絕對(duì)且一致收斂的級(jí)數(shù)。第三章行波法與積分變換法一行波法適用范圍：無(wú)界域內(nèi)波動(dòng)方程，等…1基本思想：先求出偏微分方程的通解，然后用定解條件確定特解。這一思想與常微分方程的解法是一樣的。關(guān)鍵步驟：通過(guò)變量變換，將波動(dòng)方程化為便于積分的齊次二階偏微分方程。一維波動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾公式

行波法

結(jié)論：達(dá)朗貝爾解表示沿x

軸正、反向傳播的兩列波速為a波的疊加，故稱為行波法。a.只有初始位移時(shí)，代表以速度a

沿x

軸正向傳播的波代表以速度a

沿x

軸負(fù)向傳播的波4解的物理意義b.只有初始速度時(shí)：假使初始速度在區(qū)間上是常數(shù)，而在此區(qū)間外恒等于0解：將初始條件代入達(dá)朗貝爾公式5達(dá)朗貝爾公式的應(yīng)用影響區(qū)域決定區(qū)域依賴區(qū)間特征線特征變換行波法又叫特征線法6相關(guān)概念7非齊次問(wèn)題的處理利用疊加原理將問(wèn)題進(jìn)行分解：利用齊次化原理，若滿足：則：令：從而原問(wèn)題的解為雙曲型方程橢圓型方程拋物型方程特征方程例1

解定解問(wèn)題解例2

求解解：特征方程為令：例3

求解Goursat問(wèn)題解：令

補(bǔ)充作業(yè)：解定解問(wèn)題二積分變換法1傅立葉變換法傅立葉變換的性質(zhì)微分性位移性積分性相似性傅立葉變換的定義偏微分方程變常微分方程例1

解定解問(wèn)題解：利用傅立葉變換的性質(zhì)例2

解定解問(wèn)題解：利用傅立葉變換的性質(zhì)2拉氏變換法拉普拉斯變換的性質(zhì)微分性相似性拉普拉斯變換的定義偏微分方程變常微分方程例3

解定解問(wèn)題解：對(duì)t求拉氏變換例4

解定解問(wèn)題解：對(duì)x求傅氏變換對(duì)t求拉氏變換例5

解定解問(wèn)題解：對(duì)t求拉氏變換對(duì)x求傅氏變換例6

求方程

滿足邊界條件，的解。解法一：解法二：對(duì)y求拉氏變換例7

解定解問(wèn)題解：對(duì)t取拉氏變換x取傅立葉變換其中3積分變換法求解問(wèn)題的步驟對(duì)方程的兩邊做積分變換將偏微分方程變?yōu)槌Ｎ⒎址匠虒?duì)定解條件做相應(yīng)的積分變換，導(dǎo)出新方程變的為定解條件對(duì)常微分方程，求原定解條件解的變換式對(duì)解的變換式取相應(yīng)的逆變換，得到原定解問(wèn)題的解4積分變換法求解問(wèn)題的注意事項(xiàng)如何選取適當(dāng)?shù)姆e分變換定解條件中那些需要積分變換，那些不需取如何取逆變換思考利用積分變換方法求解問(wèn)題的好處是什么？第四章拉普拉斯方程的格林函數(shù)法一拉普拉斯方程邊值問(wèn)題的提法1第一邊值問(wèn)題（狄氏問(wèn)題）2第二邊值問(wèn)題（牛曼問(wèn)題）3內(nèi)問(wèn)題與外問(wèn)題4調(diào)和函數(shù)：具有二階偏導(dǎo)數(shù)并且滿足拉普拉斯方程的連續(xù)函數(shù)。二格林公式及其結(jié)論格林公式的結(jié)論：1調(diào)和函數(shù)的積分表達(dá)式拉普拉斯方程的基本解2牛曼內(nèi)問(wèn)題有解的必要條件3平均值公式4拉普拉斯方程解的唯一性問(wèn)題調(diào)和函數(shù)在區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)的值可以通過(guò)積分表達(dá)式用這個(gè)函數(shù)在區(qū)域邊界上的值和邊界上的法向?qū)?shù)來(lái)表示。取狄氏問(wèn)題的解唯一確定，牛曼問(wèn)題的解除了相差一常數(shù)外也是唯一確定的。三格林函數(shù)原點(diǎn)處點(diǎn)電荷電量，點(diǎn)電荷密度處點(diǎn)電位即處點(diǎn)電荷電量點(diǎn)電荷密度處點(diǎn)電位純點(diǎn)源產(chǎn)生的場(chǎng)（不計(jì)初始條件和邊界條件的影響）自由空間的格林函數(shù)線性系統(tǒng)線性系統(tǒng)1格林函數(shù)定義對(duì)泊松問(wèn)題對(duì)拉普拉斯問(wèn)題2拉普拉斯方程的格林函u，v均為調(diào)和函數(shù)v為調(diào)和函數(shù)，且滿足3區(qū)域的格林函數(shù)和狄氏問(wèn)題的解電象法求格林函數(shù)

在區(qū)域外找出區(qū)域內(nèi)一點(diǎn)關(guān)于邊界的象點(diǎn)，在這兩個(gè)點(diǎn)放置適當(dāng)?shù)碾姾桑@兩個(gè)電荷產(chǎn)生的電位在曲面邊界上相互抵消。這兩個(gè)電荷在區(qū)域中形成的電位就是所要求的格林函數(shù)。半空間的格林函數(shù)v為調(diào)和函數(shù)，且滿足例1

求解下列定解問(wèn)題解：例2求解下列定解問(wèn)題解：四分之一空間的格林函數(shù)

球內(nèi)的格林函數(shù)

M0點(diǎn)處點(diǎn)電荷電量，M1點(diǎn)處點(diǎn)電荷電量第五章貝塞爾函數(shù)一貝塞爾函數(shù)的引出令：令：n階貝塞爾方程

n階貝塞爾方程

令：二貝塞爾方程的求解n任意實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)當(dāng)p為正整數(shù)時(shí)當(dāng)p為負(fù)整數(shù)或零時(shí)n階第一類貝塞爾函數(shù)

令：當(dāng)n為正整數(shù)時(shí)時(shí)n階第一類貝塞爾函數(shù)

1n不為整數(shù)時(shí)，貝塞爾方程的通解和線性無(wú)關(guān)n階第二類貝塞爾函數(shù)（牛曼函數(shù)）

n為整數(shù)時(shí)2n為整數(shù)時(shí)，貝塞爾方程的通解A、B為任意常數(shù)，n為任意實(shí)數(shù)性質(zhì)1有界性

性質(zhì)2奇偶性

三貝塞爾函數(shù)的性質(zhì)當(dāng)n為正整數(shù)時(shí)性質(zhì)3遞推性

例1求下列微積分性質(zhì)4初值

性質(zhì)5零點(diǎn)

有無(wú)窮多個(gè)對(duì)稱分布的零點(diǎn)和的零點(diǎn)相間分布的零點(diǎn)趨于周期分布，性質(zhì)6半奇數(shù)階的貝塞爾函數(shù)

性質(zhì)7大宗量近似

性質(zhì)8正交性

貝塞爾函數(shù)的模例2：證明的解為例3：將1在區(qū)間內(nèi)展成的級(jí)數(shù)形式例4：將x在0<x<2區(qū)間內(nèi)展成的級(jí)數(shù)形式例5：將在0<x<1區(qū)間內(nèi)展成的級(jí)數(shù)形式例5:解下列定解問(wèn)題例6:解下列定解問(wèn)題第六章勒讓德多項(xiàng)式一勒讓德方程引出n為實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)連帶的勒讓德方程

n次的勒讓德方程n次的勒讓德方程二勒讓德方程求解令：通解y