精選浙江數(shù)學(xué)競(jìng)賽(微積分)試題

浙江數(shù)學(xué)競(jìng)賽(微積分)試題浙江省首屆高等數(shù)學(xué)〔微積分〕競(jìng)賽試題(2023.12.7)一、計(jì)算題〔每題5分，共30分〕1.求極限.2.求積分.3.設(shè)是方程的一個(gè)解，求常數(shù).4.設(shè)連續(xù)，且當(dāng)時(shí)，，求.5.設(shè)，求.6.求積分.二、〔總分值15分〕求平面含在橢圓柱體內(nèi)的面積.三、〔總分值20分〕證明：.四、〔總分值20分〕設(shè)二元函數(shù)有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且.證明：?jiǎn)挝粓A周上至少存在兩點(diǎn)滿(mǎn)足方程.五、〔總分值15分〕〔非數(shù)學(xué)類(lèi)做〕設(shè)為滿(mǎn)足的兩個(gè)實(shí)數(shù)列，，且收斂.證明：也收斂.六、〔總分值15分〕〔數(shù)學(xué)類(lèi)做〕設(shè)，，，，求的收斂半徑、收斂域及和函數(shù).2023年浙江省大學(xué)生高等數(shù)學(xué)〔微積分〕競(jìng)賽試題〔工科類(lèi)〕一、計(jì)算題〔每題15分，總分值60分〕1、求。2、設(shè)，求。3、求。4、求。二、〔總分值20分〕求滿(mǎn)足以下性質(zhì)的曲線：設(shè)為曲線上任一點(diǎn)，那么由曲線，，所圍成區(qū)域的面積與曲線，和所圍成區(qū)域的面積相等。三、〔總分值20分〕求，其中：的上半平面內(nèi)局部，從點(diǎn)到。四、〔總分值20分〕證明：五、〔總分值15分〕設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，。證明：存在內(nèi)兩個(gè)數(shù)，使。六、〔總分值15分〕從正方形四個(gè)頂點(diǎn)，，，開(kāi)始構(gòu)造，，…，使得為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，…，這樣，我們得到點(diǎn)列收斂于正方形內(nèi)一點(diǎn)，試求的從標(biāo)。2023年浙江省大學(xué)生高等數(shù)學(xué)〔微積分〕競(jìng)賽試題一、計(jì)算題〔每題12分，總分值60分〕1、求極限。2、計(jì)算不定積分。3、設(shè)，求。4、設(shè)二階可導(dǎo)，有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，，求。5、設(shè)為連續(xù)函數(shù)，，求。二、〔總分值20分〕極限，求常數(shù)的值。三、〔總分值20分〕設(shè)為由拋物面與平面圍成的立體，其邊界的平面局部為，曲面局部為，為上的一個(gè)點(diǎn)。〔1〕求以為頂點(diǎn)，為底面的錐體體積；〔2〕求，使到達(dá)最大值。四、〔總分值20分〕設(shè)導(dǎo)函數(shù)連續(xù)，，曲面為被所截的下面局部，內(nèi)側(cè)，為的正向邊界，求：。五、〔總分值15分〕設(shè)，其中，〔1〕證明：在內(nèi)有唯一的零點(diǎn)；〔2〕問(wèn)為何值時(shí)，級(jí)數(shù)收斂？發(fā)散？六、〔總分值15分〕設(shè)在上可導(dǎo)，且，，證明：。2023年浙江省大學(xué)生高等數(shù)學(xué)〔微積分〕競(jìng)賽試題〔工科類(lèi)〕一、計(jì)算題〔每題14分，總分值70分〕1、求極限。2、計(jì)算。3、設(shè)為銳角三角形，求的最大值和最小值。4、分段光滑的簡(jiǎn)單閉曲線〔約當(dāng)曲線〕落在平面：上，設(shè)在上圍成的面積為，求。5、設(shè)連續(xù)，滿(mǎn)足，求的值。二、〔總分值20分〕定義數(shù)列如下：，，，求。三、〔總分值20分〕設(shè)有圓盤(pán)隨著時(shí)間的變化，圓盤(pán)中心沿曲線：，，〔〕向空間移動(dòng)，且圓盤(pán)面的法向與的切向一致。假設(shè)圓盤(pán)半徑隨時(shí)間改變，有，求在時(shí)間內(nèi)圓盤(pán)所掃過(guò)的空間體積。四、〔總分值20分〕證明：當(dāng)，。五、〔總分值20分〕證明：，。2023年浙江省大學(xué)生高等數(shù)學(xué)〔微積分〕競(jìng)賽試題〔工科類(lèi)〕一、計(jì)算題〔每題14分，總分值70分〕1、求極限。2、求。3、計(jì)算，其中表示不大于的最大整數(shù)。4、計(jì)算。5、設(shè)球面上曲線在平面上的投影曲線為：，且的密度與該點(diǎn)到軸的距離成正比，比例常數(shù)為，求的質(zhì)量。二、〔總分值20分〕設(shè)，求方程組的解。三、〔總分值20分〕有三塊相同的密度均勻的正方形磚塊〔邊長(zhǎng)為16cm，厚度為1cm〕，兩側(cè)對(duì)齊疊放于一臺(tái)面上〔如圖〕，從一側(cè)伸出臺(tái)面，問(wèn)如何疊放在確保所有磚塊不落下的前提下使磚塊伸出臺(tái)面總長(zhǎng)度最大？并求此最大值。四、〔總