寧夏2020屆高三數(shù)學(xué)第五次模擬考試試題理含解析

寧夏石嘴山市第三中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)第五次模擬考試試題理(含

解析)

一.選擇題

1.已知集合A={—l,0,l,2},8={x|/，l,xeR},則AB=()

A.{0,1,2}B.{1,2}C.{-1}D.{2}

【答案】A

【解析】

【分析】

首先解不等式/21，得到8={x|x?O},再求A5即可.

【詳解】因?yàn)樗?={X|XNO}.

Ac8={0,1,2}.

故選：A

【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的交集運(yùn)算，同時(shí)考查了指數(shù)不等式的解法，屬于簡(jiǎn)單題.

2.已知(1—2i)z=l+i,其中i是虛數(shù)單位，則|z|=()

A,四B..

yC.V10D.y[5

5

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算計(jì)算得到z,根據(jù)模長(zhǎng)定義可求得結(jié)果.

,__1+j_(l+i)(l+2i)+13.

【詳解】(l-2i)z=l+i,.一1一2「。一2。(1+2。-5~551,

叱啟M步當(dāng)

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)模長(zhǎng)的求解，關(guān)鍵是利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算計(jì)算得到復(fù)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.

3.下列四個(gè)命題中真命題的個(gè)數(shù)是()

(1)“x=l”是“X2—3X+2=0”的充分不必要條件

(2)命題“VxeR,sinxW1”的否定是"HreR,sin尤>1"

⑶“若a病<b后,則a<6”的逆命題為真命題

(4)命題P：Vxe[l,+oo),IgxNO,命題4：mxwR,%2+x+1<0,則，"4為真命題

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【解析】

【詳解】試題分析：當(dāng)x=l時(shí)，d—3x+2=0成立，

當(dāng)尤2-3X+2=0，%=1或％=2，

“x=l”是3x+2=0”的充分不必要條件，故①正確：

命題“VxeR,sinxVl”的否定是“IceR,sinx〉l"②正確；

“若族<bnr，則a<6”的逆命題為“若a<b,則am2<bm2”錯(cuò)誤,

當(dāng)TH=0時(shí)，不成立，故③錯(cuò)；

當(dāng)xNl時(shí)，lgx>0,命題P是真命題，故夕vq是真命題，

故真命題的個(gè)數(shù)是3個(gè)，

故選：D.

考點(diǎn)：命題的真假性的判斷.

4.2020年春節(jié)突如其來的新型冠狀病毒肺炎在湖北爆發(fā)，一方有難八方支援，全國(guó)各地的

白衣天使走上戰(zhàn)場(chǎng)的第一線，某醫(yī)院抽調(diào)甲、乙兩名醫(yī)生，抽調(diào)A、8、C三名護(hù)士支援

武漢第一醫(yī)院與第二醫(yī)院，參加武漢疫情狙擊戰(zhàn)其中選一名護(hù)士與一名醫(yī)生去第一醫(yī)院，其

它都在第二醫(yī)院工作，則醫(yī)生甲和護(hù)士A被選在第一醫(yī)院工作的概率為()

1111

A.—B.-C.一D.-

12659

【答案】B

【解析】

【分析】

由題可知，基本事件總數(shù)〃=GG=6,醫(yī)生甲和護(hù)士A被選為第一醫(yī)院工作包含的基本

事件只有1種，由此能求出醫(yī)生甲和護(hù)士A被選為第一醫(yī)院工作的概率.

【詳解】解：某醫(yī)院抽調(diào)甲乙兩名醫(yī)生，

抽調(diào)A,B,C三名護(hù)士支援武漢第一醫(yī)院與第二醫(yī)院，參加武漢疫情狙擊戰(zhàn)，

其中選一名護(hù)士與一名醫(yī)生去第一醫(yī)院，其它都在第二醫(yī)院工作，

基本事件總數(shù)〃=&C=6,

醫(yī)生甲和護(hù)士A被選為第一醫(yī)院工作包含的基本事件只有1種，

則醫(yī)生甲和護(hù)士A被選為第一醫(yī)院工作的概率為〃=工.

6

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查古典概型的概率的求法，以及組合的應(yīng)用和組合數(shù)的運(yùn)算，考查運(yùn)算求解

能力，是基礎(chǔ)題.

5.設(shè)力是兩個(gè)不同的平面，m,〃是兩條不同的直線，下列說法正確的是（）

A.若〃〃/〃，mHa,則〃〃a

B.若mLa,n///3,則a〃/?

C.若mua,〃u￡,mlln,則all/3

D.若〃ua,mlln,mV/3,則a_L￡

【答案】D

【解析】

【分析】

選項(xiàng)A可考慮直線〃是否在平面。內(nèi)作出判斷；選項(xiàng)B找到滿足條件的a,￡的所有情況即

可作出判斷；選項(xiàng)C中滿足條件的a,夕的所有情況都考慮到即可判斷；選項(xiàng)D根據(jù)面面垂

直的判定定理判斷即可.

【詳解】選項(xiàng)4直線〃可能在平面a內(nèi)，錯(cuò)誤；

選項(xiàng)8,如果加_L〃，mla,〃//￡,那么a與僅平行或相交，錯(cuò)誤；

選項(xiàng)C,a與戶相交或平行，錯(cuò)誤；

選項(xiàng)〃，nua,nllrn,且加_L￡,則必有〃_L￡,根據(jù)面面垂直的判定定理知，aV（3,

正確.

故選：D

【點(diǎn)睛】本題主要考查了面面平行的判定，面面垂直的判定，考查了空間想象力，屬于中檔

題.

6.《九章算術(shù)》中有一題：今有牛、馬、羊食人苗，苗主責(zé)之粟五斗，羊主曰：“我羊食半

馬”，馬主日：“我馬食半?！?，今欲衰償之，問各處兒何？其意思是：今有牛、馬、羊吃

了別人的禾苗，禾苗主人要求賠償五斗粟，羊主人說：“我羊所吃的禾苗只有馬的一半”馬

主人說：“我馬所吃的禾苗只有牛一半”.若按此比例償還，牛、馬、羊的主人各應(yīng)賠償多

少粟？在這個(gè)問題中，牛主人比羊主人多賠償（）

50…10—20“寸15“

A.—斗粟B.—斗粟C.—斗粟D.—斗

7777

粟

【答案】D

【解析】

分析】

先確定羊、馬、牛的主人應(yīng)賠償?shù)谋壤俑鶕?jù)比例分別計(jì)算各個(gè)主人應(yīng)賠償?shù)亩窋?shù)即可求

解.

【詳解】羊、馬、牛的主任所應(yīng)賠償?shù)谋壤?:2:4,故牛主人比羊主人多賠償了

<4I。15,

---|x5二一斗.

（71）7

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題為一道數(shù)學(xué)文化題，考查閱讀理解能力，考查劃歸于轉(zhuǎn)化思想，此類題型在近

幾年中經(jīng)常出現(xiàn)..

7.在三角形ABC中，a,b,c分別為角A,B,。的對(duì)邊，且滿足〃+，=a2+qoc,

則sin/；。卜（）

A.正B.亞C.—D.空

2555

【答案】D

【解析】

【分析】

3B+C、A

根據(jù)余弦定理結(jié)合題意得cosA=g,而sin=cos-,再根據(jù)半角公式求解即可.

2

【詳解】解：..“2+C2=a2+—bc,a2=b2+c2--be,

55

由余弦定理可得/-h2+c2-2bccosA>

2bccosA=-hc,

5

371

cosA=—,則0<A<—,

2

*.*/4+8+C=乃，

3+C、A1+cosA_25/5

sin=cos—=

25

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理的應(yīng)用，考查半角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

8.若/(x)=Asin(a)x+°)(其中A>0,[同<])的圖象如圖，為了得

、

g(x)=sinl2x-y的圖象，則需將/(x)的圖象(

)

7

向右平移!■個(gè)單位

C.向左平移g個(gè)單位D.向左平移!■個(gè)單位

6

【答案】B

【解析】

【分析】

由已知中函數(shù)/(x)=Asin(④x+°)的圖象，我們易分析出函數(shù)的周期、最值，進(jìn)而求出

函數(shù)/(%)=Asin(ox+。)的解析式，利用三角函數(shù)圖象的平移變換法則可得結(jié)果.

【詳解】由已知中函數(shù)/(x)=Asin(@x+°)(其中A>0,[同<])的圖象,

可得：A=1,T=41——=兀、即0-2.

W，T)點(diǎn)代入得:

即F(x)=sin(2x+。)，將

737r..._.I?7t

——+0=--+2k/r,keZ又由\(p\<—

622

71

(p=—

3

/./(%)=sinf2x+^-\,

即/(x)=sin^2x+yj=sin2^x+—

71(71\71,\71\

所以將函數(shù)f(x)的圖象向右平移三一一二=彳個(gè)單位得到函數(shù)g(x)=sin2工一彳的

圖象，

故選：B

【點(diǎn)睛】本題主要通過已知三角函數(shù)的圖象求解析式考查三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.利

用最值求出A，利用圖象先求出周期，用周期公式求出力，利用特殊點(diǎn)求出夕，正確求

3,。是解題的關(guān)鍵.

3

9.己知a=log43,/?=In3.c=log3-,則a,4c的大小關(guān)系為()

A.a>c>bB.a>b>cC.b>c>aD.

h>a>c

【答案】D

【解析】

【分析】

引入中間變量1，再利用對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化，對(duì)。，c的大小進(jìn)行比較，即可得答案;

1

【詳解】t=ln3>l,a=log43<l,c=log3-<>

b最大,

3

4"=3,3'=5,4"=2?3'n22fl-1=3C，

b>a>c,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的大小比較，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)

形結(jié)合思想，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力.

10.如圖，在正方體ABC?！?4GA中，M,N,p分別是的中點(diǎn)，有下列

四個(gè)結(jié)論:

①AP與CM是異面直線；

②AP,CM,相交于一點(diǎn);

③MN//BD\；

④MN//平面BBiRD.

其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是（）

A.①④B.②④C.①④D.②③④

【答案】B

【解析】

【分析】

利用異面直線的概念，以及線面平行的判定定理，逐項(xiàng)判定，即可求解.

【詳解】

//AC,"PHAC,CN是相交直線，設(shè)APcCM=G,

則G@平面4且Ge平面C.CDZ）,,又平面ADD^c平面QCDDt=DDt,

所以AP,CM,相交于一點(diǎn)，故①不正確，②正確；

設(shè)ACBD=O,連ON?？?則有ON//D】MQN="M,所以四邊形OMVg為平

行四邊形，則MN//O。，所以③不正確；

又MNU平面BBQP，OD]U平面BBiRD,所以MN//平面8耳，則④正確.

故選：B

【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間中的點(diǎn)，線，面的位置關(guān)系的判定，考查了學(xué)生的空間想象能

力與邏輯推理能力.

22

11.設(shè)耳、鳥是雙曲線=一==1（。>0,6>0）左、右焦點(diǎn)，P是雙曲線右支上一點(diǎn)，滿

ab“

足（0P+。切?也=0（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），且3|尸川=4怛勾，則雙曲線的離心率為（）

A.2B.73C.72D.5

【答案】D

【解析】

【詳解】

【分析】

試題分析：設(shè)尸(如目),瑪則。尸=(%為一%一%),因

(c,0),=(C,0),PF2=(c

(0尸+06>尸4=0,故/一君一4=0,即君=1，故點(diǎn)尸在以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心

c為半徑的圓上，所以NF$F：=90°,設(shè)尸耳="產(chǎn)三=3r,由雙曲線的定義可得z=2a,

又1&、9產(chǎn)=41，即r=：c,所以2a=2c,即e=5,故應(yīng)選D.

55

考點(diǎn)：雙曲線及有關(guān)性質(zhì)和向量的數(shù)量積公式.

12.若函數(shù)“X)=a(x-2)ex+Inx+J在(0,2)上存在兩個(gè)極值點(diǎn)，則a的取值范圍是

()

A.(-8,---)B.(-00,)C.(-00,)(,一--y)D.

4e-eee4e

(-3-u(L+00)

【答案】c

【解析】

【詳解】由題意可知/'(x)=ae'(x-1)+'-二=0有兩個(gè)不等根.即

XX

X-]1

ae'(x-1)=「-,xw(0,2),有一根x=l.另一根在方程一=一尤2",xe(0,2)中，令

xa

x2

h(x)=xV,XG(0,2),/(X)=e(x+2x)>0所以/?(%)在xw(0,2)且xw1上單調(diào)遞增.

所以一~Lwh(-]e即h(x)e(0,e)(e,4e2)a^—.所以

a3e

?G(-4--)二(.選C.

【點(diǎn)睛】極值點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，一般是求導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)問題.所以主要對(duì)導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行分析，注意選

擇分離參數(shù)，還是帶參求導(dǎo)，還是兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)問題的方法.

二、填空題

13.已知sin2a=sina,貝ijtana=

【答案】也

【解析】

分析】

由二倍角求得a,則。可求.

【詳解】由sdz?2a=si力a,W2sinacosa=sina,

???ae同

17t

sinaWO,貝ijcosa=—，即a=一.

23

；?tana=>/3?

故答案為：5

【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值，考查公式的靈活應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

14.已知點(diǎn)4(-1,0),6(1,0),過A直線與拋物線V=4x相交于P,。兩點(diǎn).若P為AQ

中點(diǎn)，則西=

【答案】y

【解析】

【分析】

易知拋物線丁=4%的焦點(diǎn)8,準(zhǔn)線x=-l,分別作點(diǎn)尸、Q到準(zhǔn)線的垂線段，垂足分別為

回

點(diǎn)。、c,根據(jù)拋物線的定義，有1pBi=|~D|,|Q@=|QC，即可求得的值.

31

【詳解】易知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)B,準(zhǔn)線x=—l.

分別作點(diǎn)P、。到準(zhǔn)線的垂線段，垂足分別為點(diǎn)。、C.

根據(jù)拋物線的定義，有|P同=歸。|,|。w=|。。|,

因?yàn)镻D//QC,且尸為AQ中點(diǎn)，

所以PD是AQC的中位線，忙。|=：|℃|,

..1..|P3|1

即網(wǎng)=5網(wǎng)故扁方

故答案為：—?

2

【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系、拋物線的定義，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解

能力，求解時(shí)注意平面幾何知識(shí)的運(yùn)用.

15.若x—的展開式中常數(shù)項(xiàng)為10%,則直線x=0,x=a,x軸與曲線＞=??%圍

成的封閉圖形的面積為.

【答案】2—正

2

【解析】

【分析】

6

展開式的通項(xiàng)為(—6)'?爐-3"由條件算出。=子，表示出所求的

K2JT

封閉圖形面積為J02cos皿一1cosxdx,計(jì)算即可得結(jié)果.

2

【詳解】(X—名］展開式的通項(xiàng)為(+i=G

令6-3廠=0得r=2,所以容解得：a=T

it27r

由題得所求的封閉圖形面積為￡2cosxdx-pcosxdx,

~2

n2乃

2~3~￡

所以jcosxdr-jcosxtZr=sinx-sinx

o三

故答案為：2-里

2

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，定積分的運(yùn)算，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.

sin7cr,xe[0,2]

16.對(duì)于函數(shù)./'(%)=，1.、,、.現(xiàn)有下列結(jié)論：①任取玉，x,e[2,”),

-/(x-2),xe(2,+oo)

都有|/(玉)一/(々)歸1；②函數(shù)y=/(x)-ln(x—l)有3個(gè)零點(diǎn)；③函數(shù)y=.f(x)在

[4,5]上單調(diào)遞增；④若關(guān)于x的方程/3=m(加＜0)有且只有兩個(gè)不同的實(shí)根%,々，

則玉+%=3.其中正確結(jié)論的序號(hào)為______.(寫出所有正確命題的序號(hào))

【答案】①②④

【解析】

【分析】

sinTLX,xG[0,2]

作出函數(shù)=h/、/、的圖象，求出xe[2,+8)時(shí)的最大值和最小值,

-/(x-2),xe(2,+co)

、乙

可判斷①；由圖可直接判斷②③④，進(jìn)而可得答案.

sinn^,xe[0,2]

【詳解】〃x)=h,、/、的圖象如圖所示:

()*-2)”(2收)

①當(dāng)XG［2,+8)時(shí)，/(x)最大值為:，最小值為

...任取王，e［2,-+w),都有|/(%)-/(々)歸1恒成立，故①正確；

②如圖所示，函數(shù)＞=/(￡)和y=ln(x-l)的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，即丁=/(%)一111(*一1)有

3個(gè)零點(diǎn)，故②正確；

③函數(shù)在區(qū)間［4,5］上的單調(diào)性和［0,1］上的單調(diào)性相同，則函數(shù)y=/(x)在區(qū)間［4,5］上不

單調(diào)，故③錯(cuò)誤：

④當(dāng)14x42時(shí)，函數(shù)“X)關(guān)于A］對(duì)稱，若關(guān)于X的方程/(力=加(加＜0)有且只有

兩個(gè)不同實(shí)根％,x2,則1;=_|,則%+%=3成立，故④正確；

故答案為：①②④.

【點(diǎn)睛】本題考查命題的真假判斷，涉及函數(shù)的性質(zhì)，利用分段函數(shù)的表達(dá)式，作出函數(shù)的

圖象是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度.

三、解答題

17.已知數(shù)列｛%｝滿足：?3=-13,an=%+4(〃＞eN).

(1)求6及通項(xiàng)可；

(2)設(shè)S”是數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，則數(shù)列5,8，S3,…S,…中哪一項(xiàng)最?。坎⑶蟪?/p>

這個(gè)最小值.

(3)求數(shù)列｛,』｝的前10項(xiàng)和.

【答案】(1)q=-21,4=4〃-25；(2)為最小，56=-66；(3)前10項(xiàng)和為：102.

【解析】

【分析】

(1)先由遞推公式求出4,4,再判斷出數(shù)列為等差數(shù)列，寫出通項(xiàng)公式即可；

(2)判斷出等差數(shù)列｛%｝的正負(fù)項(xiàng)，即可求出S“的最小值；

(3)判斷各項(xiàng)的正負(fù)性，去掉絕對(duì)值，代入計(jì)算即可.

【詳解】(1)4=4_］+4("22),

???當(dāng)〃=3時(shí)，。3=%+4，a2=-17，%=4+4,q=-21,

由4=4知數(shù)列為首項(xiàng)是-21,公差為4的等差數(shù)列,

故%=4/1-25；

(2)%=4〃-25,故％=-1<0，?7=3>0，故§6最小，

6x5

S6=6x(-21)H-x4=—66；

(3)當(dāng)1W〃W6時(shí)，?<。；當(dāng)〃27時(shí)，an>0,

?口0=同+|%|+…+%|=-(4+生+…+%)+(%+4+%+40)

]0義9

=-S6+(5IO-S6)=S1O-2S6=1OX(-21)+—x4-2x(-66)=102.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的定義，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，前“項(xiàng)和公式，等差數(shù)列

的前幾項(xiàng)和的最值問題，考查了學(xué)生靈活運(yùn)用公式求解的能力.

27r

18.如圖，在直三棱柱ABC-ABC中，AB=AC=AA,,ZBAC=—,E,尸分別是

AB,4G中點(diǎn)，G為線段CG上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

(1)證明：族//平面AAGC；

(2)當(dāng)二面角/一AG-G的余弦值為叵時(shí)，證明：BFLA.G.

14

【答案】(1)證明見解析.(2)證明見解析

【解析】

【分析】

(1)取AG中點(diǎn)M，連可證四邊形g"為平行四邊形，得到EF//AM,

即可證明結(jié)論；

(2)不妨設(shè)AB=AC=A4=1,如下圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)—種，設(shè)￡G=〃，得

到3,4,0,EG坐標(biāo)，求出平面AGP的法向量坐標(biāo)，取平面AGG法向量為

n=(1,0,0).根據(jù)己知求出/?，證明=0即可.

【詳解】(1)如圖，取AG中點(diǎn)M，連

因?yàn)槭?G的中點(diǎn)，所以"P//44，"尸=(4與，

在直三棱柱ABC—中，AB//A4,48=44，

因?yàn)镋是AB中點(diǎn)，所以MF//AE,M/=AE,

所以四邊形的加為平行四邊形，EF//AM,

因?yàn)槠矫鍭AGC,AA/u平面AAGC,

所以EF//平面AAC。；

(2)不妨設(shè)48=AC=A&=1,如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-乎，

設(shè)G(0,l,/z),B]■^，―；,0,By,l,C}(0,1,0),

<22)122J

所以F(4，；,O)，AG=(O,L〃)，AE=(4，；,O)，

設(shè)平面\FG的一個(gè)法向量為機(jī)=(x,y,z)，

fy+/zz=0

AG-m=0

則〈八，即《仃1，令x=h,

AF-m=0—1yo

l14X+4。=

所以平面AFG一個(gè)法向量根=(/?,-G/z,G),

平面\GCX的一個(gè)法向量n=(1,0,0)，

mnh

所以cos<m,n)\=----'---=/「=-后---一=?〃i=—3

\m\-\n\，4/+3144

此時(shí)8尸=，中怖,_1],AG=j(),l,g],

(44J

所以3F-AG=0，即BE_L4G?

【點(diǎn)睛】本題考查空間線面位置關(guān)系，考查直線與平面平行、異面直線垂直的證明，利用空

間向量法求二面角的余弦，意在考查邏輯推理、數(shù)學(xué)計(jì)算能力，屬于中檔題.

19.2019年春節(jié)期間，某超市準(zhǔn)備舉辦一次有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，若顧客一次消費(fèi)達(dá)到400元?jiǎng)t可

參加一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)，超市設(shè)計(jì)了兩種抽獎(jiǎng)方案.

方案一：一個(gè)不透明的盒子中裝有30個(gè)質(zhì)地均勻且大小相同的小球，其中10個(gè)紅球，20

個(gè)白球，攪拌均勻后，顧客從中隨機(jī)抽取一個(gè)球，若抽到紅球則顧客獲得60元的返金券，

若抽到白球則獲得20元的返金券，且顧客有放回地抽取3次.

方案二：一個(gè)不透明的盒子中裝有30個(gè)質(zhì)地均勻且大小相同的小球，其中10個(gè)紅球，20

個(gè)白球，攪拌均勻后，顧客從中隨機(jī)抽取一個(gè)球，若抽到紅球則顧客獲得80元的返金券，

若抽到白球則未中獎(jiǎng)，且顧客有放回地抽取3次.

(1)現(xiàn)有兩位顧客均獲得抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，且都按方案一抽獎(jiǎng)，試求這兩位顧客均獲得180元返

金券的概率：

(2)若某顧客獲得抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì).

①試分別計(jì)算他選擇兩種抽獎(jiǎng)方案最終獲得返金券的數(shù)學(xué)期望；

②為了吸引顧客消費(fèi)，讓顧客獲得更多金額的返金券，該超市應(yīng)選擇哪一種抽獎(jiǎng)方案進(jìn)行促

銷活動(dòng)？

【答案】⑴短⑵①100元,80元②第一種抽獎(jiǎng)方案.

【解析】

【分析】

（1）方案一中每一次摸到紅球的概率為，每名顧客有放回的抽3次獲180元返金

—,根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率可知兩顧客都獲得180元返金券的概

27

率

（2）①分別計(jì)算方案一，方案二顧客獲返金卷的期望，方案一列出分布列計(jì)算即可，方案二

根據(jù)二項(xiàng)分布計(jì)算期望即可②根據(jù)①得出結(jié)論.

【詳解】（1）選擇方案一，則每一次摸到紅球的概率為P=g

設(shè)“每位顧客獲得18。元返金券”為事件力，則=—

所以兩位顧客均獲得180元返金券的概率P=P（A）?P（A）=^

1?

（2）①若選擇抽獎(jiǎng)方案一，則每一次摸到紅球的概率為；，每一次摸到白球的概率為彳.

33

設(shè)獲得返金券金額為X元，則X可能的取值為60,100,140,180.

28

則P（X=60）=C

27

24

P（X=1OO）=C]I-

39

22

39

P（X=180）=C?-

IJ

所以選擇抽獎(jiǎng)方案一，該顧客獲得返金券金額的數(shù)學(xué)期望為

oj21

￡（X）=60x—+100x-+140x-+180x—=100（元）

v,279927

若選擇抽獎(jiǎng)方案二，設(shè)三次摸球的過程中，摸到紅球的次數(shù)為Y,最終獲得返金券的金額

為Z元，則Y?故E（y）=3xg=l

所以選擇抽獎(jiǎng)方案二，該顧客獲得返金券金額的

數(shù)學(xué)期望為E（Z）=E（80Y）=80（元）.

②即E（X）＞E（Z）,所以該超市應(yīng)選擇第一種抽獎(jiǎng)方案

【點(diǎn)睛】本題主要考查了古典概型，相互獨(dú)立事件的概率，二項(xiàng)分布，期望，及概率知識(shí)在

實(shí)際問題中的應(yīng)用，屬于中檔題.

2

20.已知點(diǎn)尸是曲線。：亍+丁=1上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P在工軸上的射影是。，CQ=2CP-

（1）求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程；

（2）過點(diǎn)卜石,0）的直線交點(diǎn)P的軌跡于點(diǎn)A,8,交點(diǎn)。的軌跡于點(diǎn)求

I

9用的最大值.

【答案】（1）x2+/=4：（2）1.

【解析】

【分析】

（1）設(shè)點(diǎn)Q坐標(biāo)為（x,y）,由c/=2d得點(diǎn)2的坐標(biāo)為（X，；｝代入即可求解.

19

（2）若軸，求得@=0；若直線A8不與x軸垂直，設(shè)直線A8的方

程為y="+限，根據(jù)圓的弦長(zhǎng)公式，求得=4（：+：）,再聯(lián)立方程組，結(jié)合根

與系數(shù)的關(guān)系，求得|A目的表達(dá)式，代入化簡(jiǎn)，即可求解.

【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)。坐標(biāo)為（x,y）,

由C0=2C》得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（乂金），又點(diǎn)P是曲線C：亍+V=1上任意一點(diǎn)

則可得［?+1］）=1,

化簡(jiǎn)得點(diǎn)Q的軌跡方程為f+丁=4；

⑵若ABJ.X軸，貝i］|AB|=l,|MZV|=2,.?.；|陽「一|4卻=0,

若直線AB不與x軸垂直，設(shè)直線A8的方程為丁=依+由左，即丘—丁+6左=0,

則坐標(biāo)原點(diǎn)到直線AB的距離d

L=4(4—⑹丁+1

設(shè)4（%了）,3（W,%）.將丁="+/左代入土+丁=1,并化簡(jiǎn)得,

4

(1+4%2,2+8亞2%+12/-4=0,

8瘋212k2-4

xx

-1-+-4-/-7，\2=1+4/K

22

|AB|=\ll+k|xj—x2|=Jl+9?J(X]+x2)一4玉%

4+4公

E言1yl+4k2

1

99k2—[一，9

j|MN「一網(wǎng)=

4/+5/+1"+記+52M：+5

當(dāng)且僅當(dāng)4々2=3即4=±1,時(shí)，等號(hào)成立，

19

綜上所述，1|“葉-卜卻最大值為1.

【點(diǎn)睛】本題主要考查代入法求軌跡方程，圓的性質(zhì)，弦長(zhǎng)的計(jì)算，及直線與橢圓的位置關(guān)

系的綜合應(yīng)用.解答此類題目，通常聯(lián)立直線方程與橢圓方程，應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)

的關(guān)系進(jìn)行求解，考查了考生的邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力、分析問題解決問題的能力等.

21.已知函數(shù)/(x)=lnx-x+a(aeR).

（I）若函數(shù)/（x）的最大值為3,求實(shí)數(shù)。的值:

（II）若當(dāng)X€（l,+o。）時(shí)，/（力＞左（1一/卜獷^刈+^^傳會(huì)開亙成立，求實(shí)數(shù)&的

取值范圍;

（in）若X1,%是函數(shù)/（X）的兩個(gè)零點(diǎn)，且％＜尤2，求證：

【答案】(I)4；(H)?一；；證明見解析.

【解析】

【分析】

(I)求出函數(shù)/(X)的定義域，利用導(dǎo)函數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性，由單調(diào)性求解函數(shù)的

最大值，然后求出。即可；(II)化簡(jiǎn)恒成立的不等式為

Inx—x+6?>,k[1—)+1—x+a-2

得到x(l9^>1)k令

g(x)=x(lnx+i)-k(x-3),利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性，得到

g(x)>g(i)=i+2A,然后求解k的范圍；(m)%,々是函數(shù)/(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，可得

(1、

=/(工2)一—一21nx2----x?,構(gòu)造函

\X2)

(1、

數(shù)Mx)=2hu+'-x,利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性,推出/(X|)</—,

X\x27

1

得到玉<一,即可證明結(jié)論.

x2

11_x

【詳解】(I)函數(shù)/(X)的定義域?yàn)?0,+8).因?yàn)?")=7一1=一1，

所以在(0,1)內(nèi)，門工)>0,“X)單調(diào)遞增；

在(1,+8)內(nèi)，/(r)<0,/(x)單調(diào)遞減.

所以函數(shù)“X)在x=l處取得唯一的極大值，即/(X)的最大值/⑴=lnl-l+a.

因?yàn)楹瘮?shù)的最大值為3,

所以Ini—l+a=3,

解得a=4.

(II)因?yàn)楫?dāng)x€(l,+oo)時(shí)，/(x)>41-3)+礦(x)+a-2僅42)恒成立，

所以Inx—X+Q>攵[1—)+1-x-2,

所以x(lnx+l)>《(％—3),

即x(lnx+l)—左(4一3)>0.令g(x)=x(lnx+l)_%(x_3),

則g'")=Inx+2-k.

因?yàn)槿?2,

所以g'(』)>0.

所以g(x)在(1,欣)單調(diào)遞增。

所以g(x)>g(l)=l+2Z,

所以1+2ZN0,

所以即實(shí)數(shù)A的取值范圍是一人2；

22

（III）由（1）可知：G（O,1）,G（1,+OO）.

所以一e(O,l).

“2

因?yàn)閄],*2是函數(shù)/（X）的兩個(gè)零點(diǎn)，

所以/（毛）=/（與）=0.

因?yàn)?/p>

21nx2~l-----x2,

\A27kA2Jx2

令=21nx+—x,