2022年高考文數(shù)真題試卷（全國乙卷）附解析答案

2022

年高考文數(shù)真題試卷（全國乙卷）一、選擇題：本題共

12

小題，每小題

5

分，共

60

分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．集合，則（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】【解答】因為，，所以 .故選：A【分析】根據(jù)集合的交集運算即可求解.2．設(shè)，其中為實數(shù)，則（

）A．C．B．D．【答案】A【解析】【解答】易得，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件可得 ，解得：．故選：A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算法則以及復(fù)數(shù)相等的充要條件即可求解.3．已知向量，則（

）A．2【答案】DB．3C．4D．5【解析】【解答】因為，所以.故選：D【分析】先求得 的坐標(biāo)，然后根據(jù)求模公式求解 即可.4．分別統(tǒng)計了甲、乙兩位同學(xué)

16

周的各周課外體育運動時長（單位：h），得如下莖葉圖：則下列結(jié)論中錯誤的是（

）甲同學(xué)周課外體育運動時長的樣本中位數(shù)為

7.4乙同學(xué)周課外體育運動時長的樣本平均數(shù)大于

8甲同學(xué)周課外體育運動時長大于

8的概率的估計值大于

0.4乙同學(xué)周課外體育運動時長大于

8的概率的估計值大于

0.6【答案】C【解析】【解答】對于

A：甲同學(xué)周課外體育運動時長的樣本中位數(shù)為，故

A

正確；對于

B：乙同學(xué)課外體育運動時長的樣本平均數(shù)為：，故

B

正確；對于

C：甲同學(xué)周課外體育運動時長大于的概率的估計值，故

C

錯誤；對于

D：乙同學(xué)周課外體育運動時長大于的概率的估計值，故

D

正確.故選：C【分析】結(jié)合莖葉圖、中位數(shù)、平均數(shù)、古典概型等知識確定正確答案即可.5．若

x，y

滿足約束條件則的最大值是（

）A．B．4C．8D．12【答案】C【解析】【解答】由題意作出可行域（陰影部分所示），目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為，上下平移直線，可知當(dāng)直線過點時，直線截距最小，z

最大，所以.故選：C【分析】作出可行域，數(shù)形結(jié)合即可得解.6．設(shè)

F

為拋物線的焦點，點

A

在

C

上，點，若，則（

）A．2B． C．3D．【答案】B【解析】【解答】易知拋物線的焦點為 ，則即點

A

到準(zhǔn)線 的距離為

2，所以點

A

的橫坐標(biāo)為

1，不妨設(shè)點

A

在

x

軸上方，代入得， ，所以，故選：B【分析】根據(jù)拋物線上的點到焦點和準(zhǔn)線的距離相等，從而求得點

A

的橫坐標(biāo)，進而求得點

A

坐標(biāo)，即可得到答案.7．執(zhí)行下邊的程序框圖，輸出的（

）A．3B．4C．5D．6【答案】B【解析】【解答】第一次循環(huán)：，，；第二次循環(huán)，，，；第三次循環(huán)，，，，故輸出.故選：B【分析】根據(jù)程序框圖循環(huán)計算即可.8．如圖是下列四個函數(shù)中的某個函數(shù)在區(qū)間的大致圖像，則該函數(shù)是（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】【解答】設(shè)，則，故排除

B；設(shè)所以，當(dāng)時，，故排除

C；，設(shè)，則，故排除

D.故選：A【分析】由函數(shù)圖象的特征結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)逐項排除即可.在正方體 中，E，F(xiàn)

分別為A．平面 平面 B．平面C．平面 平面 D．平面【答案】A【解析】【解答】解：在正方體 中，可知，的中點，則（

）平面平面且平面又 平面 ，所以 ，由 分別為，所以 ，又 ，所以，所以平面 平面 ，故

A

正確；以點 為原點，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè) ，的中點，所以平面，又平面則，，得，，設(shè)平面 的法向量為則有 ，解得，，同理可得平面 的法向量為，平面的法向量為，平面的法向量為，則，所以平面與平面不垂直，故

B

錯誤；因為因為與與不平行，所以平面不平行，所以平面與平面與平面不平行，故

C

錯誤；不平行，故

D

錯誤，故選：A【分析】證明 平面，分別求出平面，即可判斷

A；以點， ，為原點，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)的法向量，根據(jù)法向量的位置關(guān)系，即可判斷

BCD.10．已知等比數(shù)列的前

3

項和為

168，，則（

）A．14B．12C．6D．3【答案】D【解析】【解答】解：設(shè)等比數(shù)列 的公比為若 ，則 ，與已知條件矛盾，，首項為，所以 ，由題意可得，解得，所以.故選：D.【分析】設(shè)等比數(shù)列 的公比為 ，首項為 ，易得n

項和公式列方程組，求出首項與公比，最后根據(jù)通項即可求解.，根據(jù)等比數(shù)列的通項以及前函數(shù) 在區(qū)間 的最小值、最大值分別為（

）B． C． D．【答案】D【解析】【解答】 ，由于在區(qū)間和上，即單調(diào)遞增；在區(qū)間上，即單調(diào)遞減，又，，，所以在區(qū)間上的最小值為，最大值為.故選：D【分析】利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間，從而判斷出在區(qū)間上的最小值和最大值.12．已知球

O

的半徑為

1，四棱錐的頂點為

O，底面的四個頂點均在球

O

的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時，其高為（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】【解答】假設(shè)底面是邊長為

a

的正方形，底面所在圓的半徑為

r，則所以該四棱錐的高，則當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以四棱錐的高為故選：C【分析】假設(shè)底面是邊長為

a

的正方形，底面所在圓的半徑為

r，則，所以該四棱錐的高，得到四棱錐體積表達式，再利用基本不等式去求四棱錐體積的最大值，從而得到當(dāng)該四棱錐的體積最大時其高的值.二、填空題：本題共

4

小題，每小題

5

分，共

20

分。13．記 為等差數(shù)列 的前

n

項和．若【答案】2【解析】【解答】由 可得，則公差

．，化簡得，即，解得.故答案為：2【分析】轉(zhuǎn)化條件為，即可得解.14．從甲、乙等

5名同學(xué)中隨機選

3名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙都入選的概率為

．【答案】【解析】【解答】從

5名同學(xué)中隨機選

3

名的方法數(shù)為甲、乙都入選的方法數(shù)為故答案為：【分析】根據(jù)古典概型計算即可.15．過四點，所以甲、乙都入選的概率 .中的三點的一個圓的方程為

．【答案】或 或或【解析】【解答】解：設(shè)圓的方程為，若過，，三點，則，解得，所以圓的方程為，即；若過，，三點，則，解得，所以圓的方程為，即；若過，，三點，則，解得，所以圓的方程為，即；若過，，三點，則，解得，所以圓的方程為，即；故答案為：或或或.【分析】設(shè)圓的方程為，根據(jù)所選點的坐標(biāo)，列方程組，求解即可.16．若是奇函數(shù)，則

，

．【答案】；【解析】【解答】因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以其定義域關(guān)于原點對稱．由可得，，所以，解得： ，即函數(shù)的定義域為故答案為：；，再由，在定義域內(nèi)滿足可得， ．即，符合題意．【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義即可求解．三、解答題：共

70

分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第

17~21

題為必考題，每個試題考生都必須作答。第

22、23

題為選考題，考生根據(jù)要求作答。17．記 的內(nèi)角

A，B，C的對邊分別為

a，b，c﹐已知．（1）若，求

C；（2）證明：.【答案】（1）解：∵且∴∵sinB＞0∴∴C=C-A（舍）或

C+（C-A）=π即：2C-A=π又∵A+B+C=π，A=2B∴C=（2）證明：由可得，，再由正弦定理可得，，然后根據(jù)余弦定理可知，，化簡得：，故原等式成立．【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可得，，再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可解出；（2）由題意利用兩角差的正弦公式展開得，再根據(jù)正弦定理，余弦定理化簡即可證出．18．如圖，四面體中，，E

為

AC

的中點．（1）證明：平面平面

ACD；（2）設(shè)，點

F

在

BD

上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時，求三棱錐的體積．【答案】（1）證明：由于，是的中點，所以.由于，所以，所以，故，由于，平面，所以平面，由于平面，所以平面平面.（2）解：依題意所以由于，，，所以三角形，三角形 是等邊三角形，是等腰直角三角形，所以 .，所以，由于，平面，所以 平面 .由于，所以，由于，所以，所以，所以，由于，所以當(dāng)最短時，三角形的面積最小值.過作，垂足為，在中，，解得，所以，所以過作，垂足為，則，所以平面，且，所以，所以.【解析】【分析】（1）通過證明平面來證得平面平面.（2）首先判斷出三角形的面積最小時點的位置，然后求得到平面的距離，從而求得三棱錐的體積.19．某地經(jīng)過多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山．為估計一林區(qū)某種樹木的總材積量，隨機選取了

10

棵這種樹木，測量每棵樹的根部橫截面積（單位： ）和材積量（單位：），得到如下數(shù)據(jù)：樣本號i12345678910總和根部橫截面積0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材積量0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并計算得．附：相關(guān)系數(shù)．估計該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到

0.01）；現(xiàn)測量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這種樹木的根部橫截面積總和為．已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比．利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計值．【答案】（1）解：樣本中

10

棵這種樹木的根部橫截面積的平均值樣本中

10

棵這種樹木的材積量的平均值據(jù)此可估計該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積為，平均一棵的材積量為（2）解：則（3）解：設(shè)該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計值為，又已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比，可得 ，解之得 ．則該林區(qū)這種樹木的總材積量估計為【解析】【分析】（1）計算出樣本中

10

棵這種樹木根部橫截面積的平均值及

10

棵這種樹木材積量平均值，即可估計該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；根據(jù)相關(guān)系數(shù)公式計算即可求得樣本的相關(guān)系數(shù)值；依據(jù)樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比，列方程即可求得該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計值．20．已知函數(shù)．時，求 的最大值；恰有一個零點，求

a

的取值范圍．（1）當(dāng)（2）若【答案】（1）解：當(dāng) 時，x（0，1）1（1，+∞）f’（x）+0-f（x）↗

↘∴ 的最大值=f（1）=-1-ln1=-1（2）解： 定義域為（0，+∞）根據(jù)（1）得：a=0

時，f（x）max=-1＜0，∴f（x）無零點當(dāng)

a＜0

時，?x＞0，ax-1＜0，又

x2＞0x（0，1）1（1，+∞）f’（x）+0-f（x）↗

↘∴?x＞0，f（x）≤f（1）=a-1＜0，∴f（x）無零點當(dāng)

a＞0

時，①當(dāng)

0＜a＜1

時，＞1x（0，1）1（1， ）（ ，+∞）f’（x）+0-0+f（x）↗

↘

↗∴?x∈（0， ]，f（x）≤f（1）=a-1＜0，又 f（x）=+∞，∴f（x）恰有一個零點②當(dāng)

a=1

時，，∴f（x）在（0，+∞）上遞增，由

f（1）=a-1=0

可得，f（x）恰有一個零點③當(dāng)

a＞1

時， ∈（0，1]x（0， ）（ ，1）1（1，+∞）f’（x）+0-0+f（x）↗

↘

↗∴?x∈[，+∞），f（x）≥f（1）=a-1＞0，又 f（x）=-∞，∴f（x）恰有一個零點綜上所得a

取值范圍為【解析】【分析】（1）將 代入，再對函數(shù)求導(dǎo)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求其最大值；（2）求導(dǎo)得，分

a=0、a＜0

及

a＞0

三種情況討論函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的極值，即可得解.21．已知橢圓

E

的中心為坐標(biāo)原點，對稱軸為

x

軸、y

軸，且過兩點．（1）求

E

的方程；（2）設(shè)過點的直線交E

于

M，N

兩點，過

M

且平行于x

軸的直線與線段

AB

交于點T，點

H

滿足．證明：直線

HN

過定點．【答案】（1）解：設(shè)橢圓

E

的方程為，過，則，解得，，所以橢圓

E

的方程為：（2）證明： ，所以，①若過點 的直線斜率不存在，直線可得 ， ，代入

AB

方程.代入，，可得，由得到.求得

HN

方程：，過點.②若過點的直線斜率存在，設(shè).聯(lián)立得，可得，，且聯(lián)立可得可求得此時，將，代入整理得，將 代入，得顯然成立，綜上，可得直線

HN過定點【解析】【分析】（1）設(shè)橢圓方程為 ，將所給點的坐標(biāo)代入方程求解即可；（2）分直線斜率是否存在進行討論，直線方程與橢圓

C

的方程聯(lián)立，利用韋達定理結(jié)合已知條件即可表示直線

HN，化簡即可得解.四、選考題：共

10

分。請考生在第

22、23

題中選定