數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)八幾何證明題

2017年數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)八：幾何證明題專題八：幾何證明題【問題分析】幾何證明題重在訓(xùn)練學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)語言合情推理能力，幾何證明題和計(jì)算題在xx中據(jù)有重要地位．依據(jù)新的課程標(biāo)準(zhǔn)，對幾何證明題證明的方法技巧上要降低，繁瑣性、難度方面要降低．可是著重考察學(xué)生的基礎(chǔ)掌握推理能力，因此幾何證明題是當(dāng)前?？嫉念}型．【熱門研究】種類一：對于三角形的綜合證明題【例題1（】2016·xxxx）已知△ABN和△ACM地點(diǎn)以下圖，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2．1）求證：BD=CE；2）求證：∠M=∠N．【剖析】（1）由SAS證明△ABD≌△ACE，得出對應(yīng)邊相等即可（2）證出∠BAN=∠CAM，由全等三角形的性質(zhì)得出∠B=∠C，由AAS證明△ACM≌△ABN，得出對應(yīng)角相等即可．2017年數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)八：幾何證明題【解答】（1）證明：在△ABD和△ACExx，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD=CE；2）證明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠DAE=∠2+∠DAE，即∠BAN=∠CAM，由（1）得：△ABD≌△ACE，∴∠B=∠C，在△ACM和△ABNxx，，∴△ACM≌△ABN（ASA），∴∠M=∠N．【評論】本題考察了全等三角形的判斷與性質(zhì)；證明三角形全等是解決問題的重點(diǎn)．【同步練】（2016·xxxx·3分）如圖，△ACB和△DCE均為等腰三角形，點(diǎn)A，D，E在同向來線上，連結(jié)BE．1）如圖1，若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°2017年數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)八：幾何證明題①求證：AD=BE；②求∠AEB的度數(shù)．2）如圖2，若∠ACB=∠DCE=120°，CM為△DCExxDE邊上的高，BN為△ABExxAE邊上的高，試證明：AE=2CM+BN．種類二：對于四邊形的綜合證明題【例題2】（2016·xxxx·10分）如圖，BD是△ABC的角均分線，它的垂直均分線分別交AB，BD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，連結(jié)ED，DG．1）請判斷四邊形EBGD的形狀，并說明原因；2）若∠ABC=30°，∠C=45°，ED=2，點(diǎn)H是BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求HG+HC的最小值．2017年數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)八：幾何證明題【考點(diǎn)】平行四邊形的判斷與性質(zhì)；角均分線的性質(zhì)．【剖析】（1）結(jié)論四邊形EBGD是菱形．只需證明BE=ED=DG=GB即可．2）作EM⊥BC于M，DN⊥BC于N，連結(jié)EC交BD于點(diǎn)H，此時(shí)HG+HC最小，在RT△EMCxx，求出EM、MC即可解決問題．【解答】解：（1）四邊形EBGD是菱形．原因：∵EG垂直均分BD，∴EB=ED，GB=GD，∴∠EBD=∠EDB，∵∠EBD=∠DBC，∴∠EDF=∠GBF，在△EFD和△GFBxx，，∴△EFD≌△GFB，2017年數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)八：幾何證明題∴ED=BG，∴BE=ED=DG=GB，∴四邊形EBGD是菱形．2）作EM⊥BC于M，DN⊥BC于N，連結(jié)EC交BD于點(diǎn)H，此時(shí)HG+HC最小，在RT△EBMxx，∵∠EMB=90°，∠EBM=30°，EB=ED=2，∴EM=BE=，∵DE∥BC，EM⊥BC，DN⊥BC，∴EM∥DN，EM=DN=，MN=DE=2，在RT△DNCxx，∵∠DNC=90°，∠DCN=45°，∴∠NDC=∠NCD=45°，∴DN=NC=，∴MC=3，在RT△EMCxx，∵∠EMC=90°，EM=．MC=3，∴EC===10．∵HG+HC=EH+HC=EC，2017年數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)八：幾何證明題∴HG+HC的最小值為10．【評論】本題考察平行四邊形的判斷和性質(zhì)、菱形的判斷和性質(zhì)、角均分線的性質(zhì)、垂直均分線的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的重點(diǎn)是利用對稱找到點(diǎn)H的地點(diǎn)，屬于xx常考題型．【同步練】（2016·xxxx·3分）如圖，正方形ABCD的對角線AC，BD訂交于點(diǎn)O，延伸CB至點(diǎn)F，使CF=CA，連結(jié)AF，∠ACF的均分線分別交AF，AB，BD于點(diǎn)E，N，M，連結(jié)EO．1）已知BD=，求正方形ABCD的邊長；2）猜想線段EM與CN的數(shù)目關(guān)系并加以證明．種類三：對于圓的綜合證明題2017年數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)八：幾何證明題【例題3】（2016·xxxx）正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，以下圖，在劣弧上取一點(diǎn)E，連結(jié)DE、BE，過點(diǎn)D作DF∥BE交⊙O于點(diǎn)F，連接BF、AF，且AF與DE訂交于點(diǎn)G，求證：1）四邊形EBFD是矩形；2）DG=BE．【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；矩形的判斷；圓周角定理．【剖析】（1）直接利用正方形的性質(zhì)、圓周角定理聯(lián)合平行線的性質(zhì)得出∠BED=∠BAD=90°，∠BFD=∠BCD=90°，∠EDF=90°，從而得出答案；2）直接利用正方形的性質(zhì)的度數(shù)是90°，從而得出BE=DF，則BE=DG．【解答】證明：（1）∵正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠BED=∠BAD=90°，∠BFD=∠BCD=90°，又∵DF∥BE，∴∠EDF+∠BED=180°，2017年數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)八：幾何證明題∴∠EDF=90°，∴四邊形EBFD是矩形；2））∵正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴的度數(shù)是90°，∴∠AFD=45°，又∵∠GDF=90°，∴∠DGF=∠DFC=45°，∴DG=DF，又∵在矩形EBFDxx，BE=D【同步練】xx2015xx考-24）如圖，在△ABCxx，∠ABC=90°，以AB的xx點(diǎn)O為圓心、OA為半徑的圓交AC于點(diǎn)D，E是BC的xx點(diǎn)，連結(jié)DE，OE．1）判斷DE與⊙O的地點(diǎn)關(guān)系，并說明原因；2）求證：BC2=CD?2OE；3）若cos∠BAD=，BE=6，求OE的長．2017年數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)八：幾何證明題種類四：對于相像三角形的證明問題【例題4（】2016·xx齊齊哈爾·8分）如圖，在△ABCxx，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分別為D，E，AD與BE訂交于點(diǎn)F．1）求證：△ACD∽△BFD；2）當(dāng)tan∠ABD=1，AC=3時(shí)，求BF的長．【考點(diǎn)】相像三角形的判斷與性質(zhì)．【剖析】（1）由∠C+∠DBF=90°，∠C+∠DAC=90°，推出∠DBF=∠DAC，由此即可證明．（2）先證明AD=BD，由△ACD∽△BFD，得==1，即可解決問題．【解答】（1）證明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，2017年數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)八：幾何證明題∴∠BDF=∠ADC=∠BEC=90°，∴∠C+∠DBF=90°，∠C+∠DAC=90°，∴∠DBF=∠DAC，∴△ACD∽△BFD．2）∵tan∠ABD=1，∠ADB=90°∴=1，∴AD=BD，∵△ACD∽△BFD，∴==1，∴BF=AC=3．【同步練】（2016·xxxx·10分）在△ABCxx，P為邊ABxx一點(diǎn)．如圖1，若∠ACP＝∠B，求證：AC2＝AP·AB；若M為CP的中點(diǎn)，AC＝2，2017年數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)八：幾何證明題①如圖2，若∠PBM＝∠ACP，AB＝3，求BP的長；②如圖3，若∠ABC＝45°，∠A＝∠BMP＝60°，直接寫出BP的長．【達(dá)標(biāo)檢測】（2016·xxxx·8分）已知：如圖，在正方形ABCDxx，點(diǎn)E在邊CDxx，AQ⊥BE于點(diǎn)Q，DP⊥AQ于點(diǎn)P．1）求證：AP=BQ；2017年數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)八：幾何證明題2）在不增添任何協(xié)助線的狀況下，請直接寫出圖中四對線段，使每對中較長線段與較短線xx的差等于PQ的長．（2016·xxxx）(9分)如圖6所示，△ABCxx，D是BC邊上一點(diǎn)，E是AD的xx點(diǎn)，過點(diǎn)A作BC的平行線交CE的xx于F，且AFBD，連結(jié)BF．求證：D是BC的中點(diǎn)；若AB＝AC，試判斷四邊形AFBD的形狀，并證明你的結(jié)論．FAEBDC圖6（xx2015xx-23）如圖，以△ABC的一邊AB為直徑的半圓與其余兩邊AC，BC的交點(diǎn)分別為D、E，且=．2017年數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)八：幾何證明題1）試判斷△ABC的形狀，并說明原因．2）已知半圓的半徑為5，BC=12，求sin∠ABD的值．（2015?xx呼倫貝爾xx，第22題7分）如圖，在平行四邊形ABCDxx，E、F分別為邊AB、CD的xx點(diǎn)，BD是對角線．1）求證：△ADE≌△CBF；2）若∠ADB是直角，則四邊形BEDF是什么四邊形？證明你的結(jié)論．2017年數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)八：幾何證明題5.（xx2014xx-24）如圖，AB是⊙O的直徑，延伸AB至P，使BP=OB，BD垂直于弦BC，垂足為點(diǎn)B，點(diǎn)D在PCxx．設(shè)∠PCB=α，∠POC=β．求證：tanα?tan=．6.（2015?xx,第25題12分）如圖，在正方形ABCDxx，點(diǎn)P在ADxx，且不與A、D重合，BP的垂直均分線分別交CD、AB于E、F兩點(diǎn)，垂足為Q，過E作EH⊥AB于H．1）求證：HF=AP；2）若正方形ABCD的邊長為12，AP=4，求線段EQ的長．2017年數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)八：幾何證明題（2015?xx,第25題12分）如圖，AB、CD為⊙O的直徑，弦AE∥CD，連結(jié)BE交CD于點(diǎn)F，過點(diǎn)E作直線EP與CD的xx交于點(diǎn)P，使∠PED=∠C．1）求證：PE是⊙O的切線；2）求證：ED均分∠BEP；3）若⊙O的半徑為5，CF=2EF，求PD的長．【參照答案】種類一：對于三角形的綜合證明題【同步練】2017年數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)八：幾何證明題（2016·xxxx·3分）如圖，△ACB和△DCE均為等腰三角形，點(diǎn)A，D，E在同向來線上，連結(jié)BE．1）如圖1，若∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°①求證：AD=BE；②求∠AEB的度數(shù)．2）如圖2，若∠ACB=∠DCE=120°，CM為△DCExxDE邊上的高，BN為△ABExxAE邊上的高，試證明：AE=2CM+BN．【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)．【剖析】（1）①經(jīng)過角的計(jì)算找出∠ACD=∠BCE，再聯(lián)合△ACB和△DCE均為等腰三角形可得出“AC=BC，DC=EC”，利用全等三角形的判斷（SAS）即可證出△ACD≌△BCE，由此即可得出結(jié)論AD=BE；②聯(lián)合①中的△ACD≌△BCE可得出∠ADC=∠BEC，再經(jīng)過角的計(jì)算即可算出∠AEB的度數(shù)；2）依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)聯(lián)合頂角的度數(shù)，即可得出底角的度數(shù)，利用（1）的結(jié)論，經(jīng)過解直角三角形即可求出線段AD、DE的xx，兩者相加即可證出結(jié)論．2017年數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)八：幾何證明題【解答】（1）①證明：∵∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°，∴∠ACB=∠DCE=180°﹣2×50°=80°．∵∠ACB=∠ACD+∠DCB，∠DCE=∠DCB+∠BCE，∴∠ACD=∠BCE．∵△ACB和△DCE均為等腰三角形，∴AC=BC，DC=EC．在△ACD和△BCExx，有，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE．②解：∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC=∠BEC．∵點(diǎn)A，D，E在同向來線上，且∠CDE=50°，∴∠ADC=180°﹣∠CDE=130°，∴∠BEC=130°．∵∠BEC=∠CED+∠AEB，且∠CED=50°，∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=130°﹣50°=80°．2017年數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)八：幾何證明題2）證明：∵△ACB和△DCE均為等腰三角形，且∠ACB=∠DCE=120°，∴∠CDM=∠CEM=×（180°﹣120°）=30°．∵CM⊥DE，∴∠CMD=90°，DM=EM．在Rt△CMDxx，∠CMD=90°，∠CDM=30°，∴DE=2DM=2×=2CM．∵∠BEC=∠ADC=180°﹣30°=150°，∠BEC=∠CEM+∠AEB，∴∠AEB=∠BEC﹣∠CEM=150°﹣30°=120°，∴∠BEN=180°﹣120°=60°．在Rt△BNExx，∠BNE=90°，∠BEN=60°，∴BE==BN．∵AD=BE，AE=AD+DE，∴AE=BE+DE=BN+2CM．【評論】本題考察了等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判斷及性質(zhì)、解直角三角形以及角的計(jì)算，解題的重點(diǎn)是：（1）經(jīng)過角的計(jì)算聯(lián)合等腰三角形的性質(zhì)證出△ACD≌△BCE；（2）找出線段AD、DE的2017年數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)八：幾何證明題長．本題屬于中檔題，難度不大，但稍顯繁瑣，解決該題型題目時(shí)，利用角的計(jì)算找出相等的角，再利用等腰三角形的性質(zhì)找出相等的邊或角，最后依據(jù)全等三角形的判斷定理證出三角形全部是重點(diǎn)．種類二：對于四邊形的綜合證明題【同步練】（2016·xxxx·3分）如圖，正方形ABCD的對角線AC，BD訂交于點(diǎn)O，延伸CB至點(diǎn)F，使CF=CA，連結(jié)AF，∠ACF的均分線分別交AF，AB，BD于點(diǎn)E，N，M，連結(jié)EO．1）已知BD=，求正方形ABCD的邊長；2）猜想線段EM與CN的數(shù)目關(guān)系并加以證明．【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)．【剖析】（1）依據(jù)正方形的性質(zhì)以及勾股定理即可求得；2）依據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)證得CE⊥AF，進(jìn)一步得出∠BAF=∠BCN，而后經(jīng)過證得△ABF≌△CBN得出AF=CN，從而證得△ABF∽△COM，依據(jù)相像三角形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)即可證得CN=CM．2017年數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)八：幾何證明題【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴△ABD是等腰直角三角形，∴2AB2=BD2，∵BD=，∴AB=1，∴正方形ABCD的邊長為1；2）CN=CM．證明：∵CF=CA，AF是∠ACF的均分線，∴CE⊥AF，∴∠AEN=∠CBN=90°，∵∠ANE=∠CNB，∴∠BAF=∠BCN，在△ABF和△CBNxx，，∴△ABF≌△CBN（AAS），∴AF=CN，2017年數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)八：幾何證明題∵∠BAF=∠BCN，∠ACN=∠BCN，∴∠BAF=∠OCM，∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∴∠ABF=∠COM=90°，∴△ABF∽△COM，∴=，∴==，即CN=CM．種類三：對于圓的綜合證明題【同步練】xx2015xx考-24）如圖，在△ABCxx，∠ABC=90°，以AB的xx點(diǎn)O為圓心、OA為半徑的圓交AC于點(diǎn)D，E是BC的xx點(diǎn)，連結(jié)DE，OE．1）判斷DE與⊙O的地點(diǎn)關(guān)系，并說明原因；2）求證：BC2=CD?2OE；3）若cos∠BAD=，BE=6，求OE的長．2017年數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)八：幾何證明題思路剖析：本題考察了切線的判斷，垂徑定理以及相像三角形的判斷與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．故對于題（1）能夠連結(jié)OD，BD，由AB為圓O的直徑，獲得∠ADB為直角，從而得出三角形BCD為直角三角形，E為斜邊BC的中點(diǎn)，利用斜邊上的中線等于斜邊的一半，獲得CE=DE，利用等邊平等角獲得一對角相等，再由OA=OD，利用等邊平等角獲得一對角相等，由直角三角形ABC中兩銳角互余，利用等角的余角相等獲得∠ADO與∠CDE互余，可得出∠ODE為直角，即DE垂直于半徑OD，可得出DE為圓O的切線；對于題（2）第一可證明OE是△ABC的中位線，則AC=2OE，而后證明△ABC∽△BDC，依據(jù)相像三角形的對應(yīng)邊的比相等，即可證得；對于題（3）在直角△ABCxx，利用勾股定理求得AC的長，以后依據(jù)三角形xx位線定理OE的長即可求得．解題過程：（1）證明：連結(jié)OD，BD，2017年數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)八：幾何證明題∵AB為圓O的直徑，∴∠ADB=90°，在Rt△BDCxx，E為斜邊BC的xx點(diǎn)，∴CE=DE=BE=BC，∴∠C=∠CDE，∵OA=OD，∴∠A=∠ADO，∵∠ABC=90°，即∠C+∠A=90°，∴∠ADO+∠CDE=90°，即∠ODE=90°，∴DE⊥OD，又OD為圓的半徑，∴DE為⊙O的切線；2）證明：∵E是BC的中點(diǎn)，O點(diǎn)是AB的中點(diǎn)，∴OE是△ABC的中位線，∴AC=2OE，∵∠C=∠C，∠ABC=∠BDC，∴△ABC∽△BDC，2017年數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)八：幾何證明題∴，即BC2=AC?CD．∴BC2=2CD?OE；3）解：∵cos∠BAD=，∴sin∠BAC=，又∵BE=6，E是BC的中點(diǎn)，即BC=12，∴AC=15．又∵AC=2OE，∴OE=AC=．規(guī)律總結(jié)：嫻熟掌握切線的判斷，垂徑定理以及相像三角形的判斷與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)是解決本題的重點(diǎn)．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連結(jié)圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．種類四：對于相像三角形的證明問題【同步練】2017年數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)八：幾何證明題（2016·xxxx·10分）在△ABCxx，P為邊ABxx一點(diǎn)．如圖1，若∠ACP＝∠B，求證：AC2＝AP·AB；若M為CP的中點(diǎn)，AC＝2，①如圖2，若∠PBM＝∠ACP，AB＝3，求BP的長；②如圖3，若∠ABC＝45°，∠A＝∠BMP＝60°，直接寫出BP的長．【考點(diǎn)】相像形綜合，考察相像三角形的判斷和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形中位線性質(zhì)，勾股定理?！敬鸢浮浚?）證△ACP∽△ABC即可；（2）①BP＝；②【分析】（1）證明：∵∠ACP＝∠B，∠BAC＝∠CAP，∴△ACP∽△ABC，∴AC：AB＝AP：AC，∴AC2＝AP·AB；2）①如圖，作CQ∥BM交ABxx于Q，設(shè)BP＝x，則PQ＝2x∵∠PBM＝∠ACP，∠PAC＝∠CAQ，∴△APC∽△ACQ，由AC2＝AP·AQ得：22＝（3－x）（3＋x），∴x＝2017年數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)八：幾何證明題即BP＝；②如圖：作CQ⊥AB于點(diǎn)Q，作CP0＝CP交AB于點(diǎn)P0，∵AC＝2，∴AQ＝1，CQ＝BQ＝，設(shè)P0Q＝PQ＝1－x，BP＝－1＋x，∵∠BPM＝∠CP，∠BMP＝∠CAP0，∴△AP∽△MPB，∴，∴MP?P＝AP0?BP＝x（－1＋x），解得x＝∴BP＝－1＋＝．【達(dá)標(biāo)檢測】2017年數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)八：幾何證明題（2016·xxxx·8分）已知：如圖，在正方形ABCDxx，點(diǎn)E在邊CDxx，AQ⊥BE于點(diǎn)Q，DP⊥AQ于點(diǎn)P．1）求證：AP=BQ；2）在不增添任何協(xié)助線的狀況下，請直接寫出圖中四對線段，使每對中較長線段與較短線xx的差等于PQ的長．【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；全等三角形的判斷與性質(zhì)．【剖析】（1）依據(jù)正方形的性質(zhì)得出AD=BA，∠BAQ=∠ADP，再依據(jù)已知條件獲得∠AQB=∠DPA，判斷△AQB≌△DPA并得出結(jié)論；（2）依據(jù)AQ﹣AP=PQ和全等三角形的對應(yīng)邊相等進(jìn)行判斷剖析．【解答】解：（1）∵正方形ABCD∴AD=BA，∠BAD=90°，即∠BAQ+∠DAP=90°∵DP⊥AQ∴∠ADP+∠DAP=90°∴∠BAQ=∠ADP∵AQ⊥BE于點(diǎn)Q，DP⊥AQ于點(diǎn)P2017年數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)八：幾何證明題∴∠AQB=∠DPA=90°∴△AQB≌△DPA（AAS）∴AP=BQ2）①AQ﹣AP=PQ②AQ﹣BQ=PQ③DP﹣AP=PQ④DP﹣BQ=PQ（2016·xxxx）(9分)如圖6所示，△ABCxx，D是BC邊上一點(diǎn)，E是AD的xx點(diǎn)，過點(diǎn)A作BC的平行線交CE的xx于F，且AFBD，連結(jié)BF．求證：D是BC的中點(diǎn)；若AB＝AC，試判斷四邊形AFBD的形狀，并證明你的結(jié)論．2017年數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)八：幾何證明題FAEBDC圖6[考點(diǎn)]三角形例行，特別四邊形的性質(zhì)與判斷。證明：∵點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，∴AE＝DE．∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE．∴△EAF≌△EDC．∴AF＝DC．∵AF＝BD，∴BD＝DC，即D是BC的中點(diǎn)．四邊形AFBD是矩形．證明以下：∵AF∥BD，AF＝BD，∴四邊形AFBD是平行四邊形．∵AB＝AC，又由(1)可知D是BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC．∴□AFBD是矩形．2017年數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)八：幾何證明題（xx2015xx-23）如圖，以△ABC的一邊AB為直徑的半圓與其余兩邊AC，BC的交點(diǎn)分別為D、E，且=．1）試判斷△ABC的形狀，并說明原因．2）已知半圓的半徑為5，BC=12，求sin∠ABD的值．思路剖析：（1）連結(jié)AE，如圖，依據(jù)圓周角定理，由=得∠DAE=∠BAE，由AB為直徑得∠AEB=90°，依據(jù)等腰三角形的判斷方法即可得△ABC為等腰三角形；2）由等腰三角形的性質(zhì)得BE=CE=BC=6，再在Rt△ABExx利用勾股定理計(jì)算出AE=8，接著由AB為直徑獲得∠ADB=90°，則可利用面積法計(jì)算出BD=，而后在Rt△ABDxx利用勾股定理計(jì)算出AD=，再依據(jù)正弦的定義求解．解題過程：解：（1）△ABC為等腰三角形．原因以下：連結(jié)AE，如圖，2017年數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)八：幾何證明題∵=，∴∠DAE=∠BAE，即AE均分∠BAC，∵AB為直徑，∴∠AEB=90°，∴AE⊥BC，∴△ABC為等腰三角形；2）∵△ABC為等腰三角形，AE⊥BC，∴BE=CE=BC=×12=6，在Rt△ABExx，∵AB=10，BE=6，∴AE==8，∵AB為直徑，∴∠ADB=90°，∴AE?BC=BD?AC，∴BD==，在Rt△ABDxx，∵AB=10，BD=，∴AD==，2017年數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)八：幾何證明題sin∠ABD===．規(guī)律總結(jié)：本題考察了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．也考察了等腰三角形的判斷與性質(zhì)和勾股定理．（2015?xx呼倫貝爾xx，第22題7分）如圖，在平行四邊形ABCDxx，E、F分別為邊AB、CD的xx點(diǎn)，BD是對角線．1）求證：△ADE≌△CBF；2）若∠ADB是直角，則四邊形BEDF是什么四邊形？證明你的結(jié)論．2017年數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)八：幾何證明題考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判斷與性質(zhì)；菱形的判斷．剖析：（1）由四邊形ABCD是平行四邊形，即可得AD=BC，AB=CD，∠A=∠C，又由E、F分別為邊AB、CD的中點(diǎn)，可證得AE=CF，而后由SAS，即可判斷△ADE≌△CBF；2）先證明BE與DF平行且相等，而后依據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，再連結(jié)EF，能夠證明四邊形AEFD是平行四邊形，因此AD∥EF，又AD⊥BD，因此BD⊥EF，依據(jù)菱形的判斷能夠獲得四邊形是菱形．解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC，AB=CD，∠A=∠C，∵E、F分別為邊AB、CD的中點(diǎn)，∴AE=AB，CF=CD，∴AE=CF，在△ADE和△CBFxx，∵，∴△ADE≌△CBF（SAS）；2017年數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)八：幾何證明題2）若∠ADB是直角，則四邊形BEDF是菱形，原因以下：解：由（1）可得BE=DF，又∵AB∥CD，∴BE∥DF，BE=DF，∴四邊形BEDF是平行四邊形，連結(jié)EF，在?ABCDxx，E、F分別為邊AB、CD的xx點(diǎn)，∴DF∥AE，DF=AE，∴四邊形AEFD是平行四邊形，∴EF∥AD，∵∠ADB是直角，∴AD⊥BD，∴EF⊥BD，又∵四邊形BFDE是平行四邊形，∴四邊形BFDE是菱形．2017年數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)八：幾何證明題評論：本題主要考察了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判斷以及菱形的判斷，利用好E、F是中點(diǎn)是解題的重點(diǎn)．5.（xx2014xx-24）如圖，AB是⊙O的直徑，延伸AB至P，使BP=OB，BD垂直于弦BC，垂足為點(diǎn)B，點(diǎn)D在PCxx．設(shè)∠PCB=α，∠POC=β．求證：tanα?tan=．【分析】：連結(jié)AC先求出△PBD∽△PAC，再求出=，最后獲得tanα?tan=．【解答】：證明：連結(jié)AC，則∠A=∠POC=，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，2017年數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)八：幾何證明題tanα=，BD∥AC，∴∠PBD=∠A，∵∠P=∠P，∴△PBD∽△PAC，=，∵PB=0B=OA，=，tana?tan=?==．【評論】：本題主要考察了相像三角形的判斷與性質(zhì)及圓周角的知識(shí)，本題解題的重點(diǎn)是求出△PBD∽△PAC，再求出tanα?tan=．6.（2015?xx,第25題12分）如圖，在正方形ABCDxx，點(diǎn)P在ADxx，且不與A、D重合，BP的垂直均分線分別交CD、AB于E、F兩點(diǎn)，垂足為Q，過E作EH⊥AB于H．1）求證：HF=AP；2）若正方形ABCD的邊長為12，AP=4，求線段EQ的長．2017年數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)八：幾何證明題考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判斷與性質(zhì)；勾股定理．所有剖析：（1）先依據(jù)EQ⊥BO，EH⊥AB得出∠EQN=∠BHM=90°．依據(jù)∠EMQ=∠BMH得出△EMQ∽△BMH，故∠QEM=∠HBM．由ASA定理得出△APB≌△HFE，故可得出結(jié)論；（2）由勾股定理求出BP的長，依據(jù)EF是BP的垂直均分線可知BQ=BP，再依據(jù)銳角三角函數(shù)的定義得出QF=BQ的長，由（1）知，△APB≌△HFE，故EF=BP=4，再依據(jù)EQ=EF﹣QF即可得出結(jié)論．解答：（1）證明：∵EQ⊥BO，EH⊥AB，∴∠EQN=∠BHM=90°．∵∠EMQ=∠BMH，∴△EMQ∽△BMH，∴∠QEM=∠HBM