九年級22題于精銳教育學(xué)科教師輔導(dǎo)講義

精銳教育學(xué)科教師輔導(dǎo)講學(xué)員編號 級 課時(shí)數(shù)學(xué)員 學(xué)科教師T（22題軸對稱和平T（22題旋轉(zhuǎn)T（22題新定義類比學(xué)授課日1（20111ABCD中，AD∥BCAC、BD相交于點(diǎn)OABCD1，ACBDADBC的長度為三邊長的三角形的面積．個(gè)問題．他的方法是過點(diǎn)D作AC的平行線交BC的延長線 E，得到的△BDEAC、BDADBC請你回答：圖2中△BDE的面積等 3，ABCADBE、CF3ADBE、CF； ⑵若△ABC1ADBE、CF 圖答案：△BDE的面積等 ADBE、CF的長度為三邊長的一個(gè)三角形是△CFP3

ADBE、CF42（2012遇到這樣一個(gè)1，△ABO和△CDO均為等腰直角三角形,AOB=COD=90．△BOC的面1，試求以AD、BC、OC+OD的長度為三邊長的三角形的面積 E 圖 圖COE,使得OE=CO,連接BE,可證△OBE≌△OAD,從而得到的△BCE即是以AD、BC、OC+OD的長度為三邊長的三角形（2請你回答：圖2中△BCE的面積等 如圖3，已知△ABC,分別以AB、AC、BC為邊向外作正方 ABDE、AGFC、BCHI,連接EG、FH、F在圖3中利用圖形變換畫出并指明以EG、FH、ID的

3答案：△BCE的面積等 A EG、FH、ID的長度為三邊長的一個(gè)三角形是△EGM.以EG、FH、ID的長度為三邊長的三角形的面積等于3． 5分3（2013豐臺二模22）一動點(diǎn)沿著數(shù)軸向右平移5個(gè)單位，再向左平移2單位，相當(dāng)于向右平移3個(gè)單位．用實(shí)數(shù)加法表示為5+（2）=3．若平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)作如下平移：沿x軸方向平移的數(shù)量為a（向右為正，向左加法運(yùn)算法則為{a，bc，dac，bd}．（2）若一動點(diǎn)從點(diǎn)A（1，1）出發(fā)，先按照“平移量”{2，1}平移到點(diǎn)B，再按照“平移量D的坐標(biāo)；將（2）中的四邊形ABCDA為中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90BEAE、若動點(diǎn)PA出發(fā)，沿△AEB的三邊AE、EB、BA平移一周．請用“平移量”加法算式1O1示動點(diǎn)P的平移過程1O1 （2）①畫

DBA 1（2012.遇到這樣一個(gè)問題：如圖1，在□ABCD中，AE⊥BC于點(diǎn)E，AF⊥CD于點(diǎn)F，連結(jié)EF，△AEFHAC=4，EF=3，AH的長．2)，可以解決這個(gè)問題．請你參 圖2中AH的長等 如果AC=a，EF=b，那么AH的長等 HF

FH H圖 圖7a2答案7a22（20121，AB、CDOAB=CD，AB、CD （簡要敘述畫法123123 （）圖OAEAE=AOOBF，BEF，則OEF3則 33:（201322）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)PO出發(fā)P只能每次向上2單位長度或向在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)，平移1次后可能到達(dá)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(0,2)，(1,0)；點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)，平移2次后可能到達(dá)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(0,4)，(1,2)，(2,0)；點(diǎn)P從原點(diǎn) 出發(fā)，平移 次后可能到達(dá)的點(diǎn)的坐標(biāo) 任一次平移，點(diǎn)P可能到達(dá)的點(diǎn)在我們學(xué)過的一種函數(shù)的圖象上，如：平移1次后在y2x2的圖象上；平移2次后在函數(shù)y2x4的圖象上，…．若點(diǎn)P平移5次后可能到達(dá)的點(diǎn)恰好在直線y3x上，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是 PO出發(fā)經(jīng)過nyxQ30，32Q的坐標(biāo)．（1（0，6（1，4（2，2（3，0（2（2，6）設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x，yx2n

y2x

解得

Q的坐標(biāo)為2n2ny

y

2n 3x+y，∴304n≤32．∴22.5n3QQ的坐標(biāo)為（16，16例 22題已知等邊三角形紙片ABC的邊長為8，D為AB邊上的點(diǎn)，過點(diǎn)D作DG∥BC交AC于點(diǎn)且互不重合，此時(shí)我們稱△ABC（即圖中陰影部分）為“ ．AA

若把三角形紙片ABC放在等邊三角形網(wǎng)格（圖中每個(gè) 角形都是邊長為1的等邊三角形點(diǎn)A，B，C，D恰好落在網(wǎng)格圖中的格點(diǎn)上．如圖2所示，請直接寫出此時(shí) 三角形ABC的面實(shí)驗(yàn)探究：設(shè)AD的長為m， 三角形ABC存在．試用含m的代數(shù)式表 三角ABC的面積，并寫出m的取值范圍（直接寫出結(jié)果，備用圖供實(shí)驗(yàn)，探究使用

解（1） 三角形ABC的面積 （2）用含m的代數(shù)式表 ；m的取值范圍 3【解析】 3⑵用含m的代數(shù)式表 8

3(4m

≤m32（20112，DC＝3AD的長請你 求出x的值 參 如圖2，在△ABC中，∠BAC＝30°，AD⊥BC于D，AD＝4.請你按照 邊形AEGF，求△BGC的周長.（畫圖所用字母與圖1中的字母對應(yīng)）解：Rt△BCG中，由勾股定理可得(x2)2x3)252x6A（2）EFAEF為等邊三角形∴ ∴∠FEG=∠EFG=BDFC∴G在△EFG中，可求，EG 334∴△EFG的周長 3383（2010中考）22AAB45°的方向作直線運(yùn)動，每45°的方向BC45PCD邊，再沿著CD451示，問P點(diǎn)第一次與D與邊相碰幾次，P第一次與D所經(jīng)過的路徑總長是多少2ABCDP2P3P2EP1AP1E.請你參 （1）P點(diǎn)第一次與D點(diǎn)與邊相碰 進(jìn)一步探究：改變矩形ABCDAD、AB的長，且滿足AD>AB，動點(diǎn)PA點(diǎn)出發(fā)，按照閱讀次與B點(diǎn)與邊相碰7次，則AB：AD的值為 2（1）5；2421（2013BC、ABABCDMNBE． 若點(diǎn)E在AD邊上 ，求AE的長 2（2）若點(diǎn)E在對角線AC上，請直接寫出AE的取值 圍 M M（1）7 2MMH⊥ADADH，ABMHMH=AB=3，AH=BM=72Rt△EHMEM2EM2HM7∴AE72

(7(7)22作直線lBCABCB落在直線lTMN．當(dāng)點(diǎn)TlM、NM、NAB、BC邊上移動(點(diǎn)M可以與點(diǎn)A合，點(diǎn)N以與點(diǎn)C，求AT長度的最大值與最小值的和(計(jì)算結(jié)果不MA重合時(shí)，AT取得最大值（如右上圖）NC，AT（如右下圖）.CCDlD，CT，∴Rt△CDT7∴由勾股定理，得DT= 77∴AT=AD-DT=8- 77∴線段AT長度的最大值與最小值的和為14 73:（2013）121（2013

已知：矩形ABCD12中，點(diǎn)E，F(xiàn)BC，CDABCDEFGH，并求出反EFGH的周長.1M 12F23F3H4N EFGH即為所求，且周長為8 1 3我們定義:如果一個(gè)圖形繞著某定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度(0<<360)后所得的圖形與原圖.120的旋轉(zhuǎn)對稱圖形.如1O是等邊三角形△ABC的中心D、E、FAB、BCCA的中點(diǎn),請你將△ABC分割并拼補(bǔ)成一個(gè)與△ABC面積相等的新的旋轉(zhuǎn)對稱圖形. O

O 圖 圖2中陰影部分所示的圖形即是與△ABC面積相等的新的請你參 如圖3，在等邊△ABC中,E1、E2、E3分別為AB、BC、CA的中點(diǎn)，P1、P2, M1、M2, N1、N2分別為AB、BC、CA的三等分點(diǎn).3中畫出一個(gè)和△ABC面積相等的新的旋轉(zhuǎn)；若△ABC的面積為a，則圖3中△FGH的面積 （1）

E1F

G M1 3中△FGHa72：2013ABCD中，AB=4cm，∠ABC=120°，按下列步驟進(jìn)行裁剪1，段AD上任意取一點(diǎn)EEB，ECEBC(余下部分第二步：如圖2，沿三角形EBC的中位線GH將紙片剪成兩部分， 段GH上任意取一MBCNMNGBCH第三步：如圖3MN左側(cè)紙片繞G點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)180°，使線段GBGE重合，將EBC面積相等的四邊形紙片． （1）（2）8 ；8 （注：通過操作，我們可以看到最后所得的四邊形紙片是一個(gè)平行四邊形，其上下兩條邊的長度等B4NNC

EAMGNCMN最長，等于27值為8 3：20131△ABC中，∠ACB=30o，BC=6，AC=5，在△ABCP，PA、PB、PC，PA+PB+PC的最小值．EA

AP 圖

P 圖 圖是這樣思考的：要解決這個(gè)問應(yīng)想辦法將這三條合于一點(diǎn)的線段分離，然這個(gè)問題．他的做法是，如圖2將△APC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60o，得到△EDC，連接PD、BE，則BE的長即為所求． 參 3ABCD中，∠ABC=60oABCDP3中畫出并；②若①中菱形解（1） (3)4334：2012西城一模閱讀下列材料：55

22

，PC=1，求∠BPC于是他將△BPCB90°，得到了△BP′A（2PP′．請你參 圖2中∠BPC的度數(shù) 如圖3，若在正六邊形ABCDEF內(nèi)有一點(diǎn)P，且PA=2 ，PB=4，PC=2，則∠BPC的度 ，正六邊形ABCDEF的邊長為 圖 圖 圖（1）135°；7 71ABCDE、FDC、BC 圖 圖先后嘗試了平移、翻折、旋轉(zhuǎn)的方法，發(fā)現(xiàn)通過旋轉(zhuǎn)可以解決此問題．他的方法是將△ADEA順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG（如圖2，此時(shí)GFDE+BF．請回答：在圖2中，∠GAF的度數(shù) 參 E中，AD∥BC（AD＞BC DE=4，則BE= 圖3 如圖4，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)B是x軸上 ABCDC（x，yxy，則 解：

A 圖7（2）yx1l1∥l2∥l3，l1l21，l2l3之間的距離2ABCl1、l2、l3上，并求出所畫等腰直角ABC的面積． D圖 圖21A，作AD⊥2DA=90HAADE作EB⊥E交3BB，請你回答：圖2中等腰直角三角形ABC的面積等 ．解：

A77.3檢測題 閱讀下列材料遇到一個(gè)問題：5個(gè)同樣大小的正方形紙片排列形式如圖1所示，將它們分割后拼接成一個(gè)新的正方形.2ABO旋轉(zhuǎn)至三角形紙DEFG.53所示.請將其分割后拼接成一個(gè)平行四邊形.3中畫出并指明拼接成的平行四邊形（畫出一個(gè)符合條件的平行四邊形即可；如圖4，在面2的平行四ABCDE、F、G、H分別AB、BC、CD、DA的AF、BG、CH、DEMNPQ4中探究平行四邊形MNPQ面積的大?。ó媹D并直接寫出結(jié)果）.2：201223小陽遇到這樣一個(gè)問題如（1O為等邊△ABC內(nèi)部一點(diǎn)且OA:OB:OC1: 求AOB的度數(shù).23 B 圖 圖（2，把△ACO繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，使點(diǎn)C與點(diǎn)B重合，得到ABO，連結(jié)OO.則AOO是等邊三角形，故OOOAOA、OB、OC轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形OOB請你回答：AOB （3ABCD的面積.MPBMPBC（1）150°(2)ADCA60°DB重合，ABO，連結(jié)COACO是等邊三角形，可知COCA5BO'DC4ABO'在四邊形ABCDADCABC360DABDCBO'BC360(ABCABO'36027090BC 5242S四邊形ABCDSACO' 3521342536DACB4243：2012順義二模閱讀下列材料將△BCPB90°得到△BAE（2，然后連結(jié)PE，問題得以解決．請你回答：圖2中∠APB的度數(shù)為 3，PABC（2）求出以PAPBPC的長度為三邊長的三角形的各內(nèi)角的度數(shù)分別等于．ADADAPC2中∠APB135°一個(gè)三角形是 （PA、PB、PC的長度為三邊長的AP圖 BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．他將△DAFA90°，得到△BAH，然后通過證明三角形全等可得出結(jié)論．請你參 ⑵如圖⑵，已知正ABCD邊長為5，E、F分別是BC、CD邊上的點(diǎn)，∠EAF＝45°，AG⊥EF于點(diǎn)G，則AG的長 ，△EFC的周長 ⑶如圖⑶，已知△AEF中，∠EAF＝45°，AG⊥EF于點(diǎn)G，且EG＝2，GF＝3，則△AEF的面積 解：⑴線段BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系是EF＝BE＋FD⑵AG的長為5，△EFC10⑶△AEF的面積 例1平面直角坐標(biāo)系xOyPx,y)經(jīng)過變換得到點(diǎn)Px,y)，該變換記作yax(xyxyxaxby(ab為常數(shù)．例如，當(dāng)a1，且b1時(shí)，yax當(dāng)a1，且b2時(shí)，(0,1) 若(1,2)(0,2)，則a ，b Px,yy2xP經(jīng)過變換Px,y)P與點(diǎn)重合，求a和b解：(1)(0,1(22)a=1，b=12Px,y經(jīng)過變換P(x,y)P∴(x,y)(x,y)Px,yy2x∴(x,2x)(x,2x)xax∴2xaxx

a3

(1a2b)x即(2a2b)x1a2b∴2a2b

解得1 b∴a3，

..2：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已

的坐標(biāo)為（1,0．將線段OM0繞原點(diǎn)O45，再將其延長到

，使得M1M0OM0，得到線段OM1OMO45，再將其延長到

，使得M2M

OM2，如此下去，得到線段OM3OM4OMnM5求△OM5M6

y5 我們規(guī)定：把點(diǎn)Mn(x

（n 新xnyn都取絕對值后得到的-新

O 5- xy

（1）M5（―4，―4）OM5

2,M5M6

，∴△M5OM6的周長是88

8x8MnMn的“絕對坐標(biāo)”可分三類情況：令旋轉(zhuǎn)次數(shù)為nMx

2)0,0，M4（

2)80，M12（

2)12,0n即：點(diǎn)Mn的“絕對坐標(biāo)”為（(2),0 9MyM2

2)2)，M6

2)6)，M10

2)10)，M14

2)14)n即：點(diǎn)Mn的“絕對坐標(biāo)”為(0,(2)) 10nM在各象限的分角線上時(shí)：M1n

2)0,(

2)0)，M3

2)2,(

2)2)，M5

2)4,(

2)4)，M7

2)6,(

2)6M

2)n1)OM08x8xy軸上，但各點(diǎn)“絕對坐標(biāo)”的橫、縱坐標(biāo)均為非負(fù)數(shù)，因此，各點(diǎn)的“絕①當(dāng)n2k時(shí)（其中k=0，1，2，3，…，點(diǎn)在x軸上，則 （2n,0②當(dāng)n2k1時(shí)（其中k=1，2，3，…，點(diǎn)在y軸上M2n（0,2n③當(dāng)n=1，2，3，…，時(shí)，點(diǎn)在各象限的分角線上，則點(diǎn)

（2n1,2n1問題：⊙O1，畫一個(gè)⊙O的關(guān)聯(lián)圖形．， 的關(guān)聯(lián)圖形，例如：⊙O本身和圖1中的△ABC（它們都是封閉的圖形以及圖2中以O(shè)為圓心，參 在下列幾何圖形中，⊙O的關(guān)聯(lián)圖形 （填序號OOO1若圖形G是⊙O的關(guān)聯(lián)圖形，并且它是封閉的，則圖形G的周長的最小值 2O的關(guān)聯(lián)圖形DmED，Ey=l的值（直接畫出圖形，不寫作法．1：DABA、B作CAABAEBABB，聯(lián)結(jié)CDDE.DCDDE

8，

4，BE2，設(shè)ADx.用含x的代數(shù) 表示CDDE的長（直接寫出結(jié)果44x2

Ex2x2

的最小值x28x2（1）x28x2

CDDE

2AB4AD2CDAD2

1BE2ADxBD4xBD2BD2x24x24x2D、CECDDEx2∴CEx2

的最小值44x2EAB的平行線交CAD∵CAAB于A，EBAB于B D∴AF∥∴四邊形AFEB是矩 4∴AFBE2,EFAB 在Rt△CFE中，F(xiàn)90,CF 5x24xx24x22：lA、B兩lPPA+PB的值最小.通過獨(dú)立思考，很快得出了解決這個(gè)問①作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A′連結(jié)A′B，交直線l于點(diǎn)P.則點(diǎn)P為所求.請你參考的作法解決下列問題：如圖1，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別是AB、AC邊的中點(diǎn)邊上的高為4，請你在BC邊上確定一點(diǎn)P，使得△PDE的周長最小 ①在圖1作出點(diǎn)P.（三角板、刻度尺作圖，保留作圖痕跡，不作法 ②請直接寫出△PDE周長的最小 （2）如圖2在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，G為邊AD的中點(diǎn)，若E、F為 AB上的兩個(gè)動點(diǎn)E在點(diǎn)F左側(cè)EF=1，當(dāng)四邊CGEF的周長最小四邊形CGEF周長的最小值

CPDE

H（2）如圖GAB的對稱點(diǎn)GCD上截取CH=1，然后連接HMAB接著在EB上截取那么E、F兩點(diǎn)即可滿足使四CGEF的周長最小

AE

1（1）92141，□ABCD上一點(diǎn)P作EF∥BC，HG∥AB，圖中哪兩個(gè)平行四邊形的面積相等？為什么？ 于點(diǎn)E、F、G、H.已知S□BHPE=3，S□PFDG=5，則SPAC 如圖3，若①②③④⑤五個(gè)平行四邊形拼成一個(gè)含30°內(nèi)角的菱形EFGH（不重復(fù)、無縫隙）.14ABCD11，則菱形EFGH的周長為．

① ① ② 圖 圖 圖解（1）□AEPH和□PGCF或□ABGH和□EBCF或□AEFD和 1：1ABCDACBD為它的對角線，EAB邊上一動點(diǎn)（E不與EF∥AC 圖 圖 圖 ）“3BD是⊙O的直徑，A是⊙OAD=3，AB4，點(diǎn)CABDAB沿CDCEF．當(dāng)點(diǎn)CA、B、C、D、EF中的任意四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的“四邊形”最多，最多 個(gè)2：P(xy)、P(x，yxxyy

P、P兩點(diǎn)間的直角距離，記作d(P，P y已知點(diǎn)P(3,4)、P(1，1)，那么P、P兩點(diǎn)間的直角距離d(P，P OP(x，yd(O，P)1xy

足的關(guān)系P(x，y是一定Q(x，yyax我們把d(P，QPyaxb(21)3:如圖1，在邊長為3的正方形ABCD內(nèi)（含邊）畫出使∠BPC=90°的一個(gè)點(diǎn)P，保留作圖痕跡如圖3，已知矩形ABCD，AB=3，BC=4，在矩形ABCD內(nèi)（含邊）畫出使∠BPC=60°的面積最大的所有點(diǎn)P，保留作圖痕 圖 1：（1）xy

d(M,Q)

x2

yx2x21x2x1∵xx2x1x2和1所對應(yīng)3.M(2,1yx23：如圖1，畫出對角線ACBD的交點(diǎn)即為點(diǎn)注：以BC為直徑作上半圓（不含點(diǎn)B、C，則該半圓上的任意一點(diǎn)即可MN即為點(diǎn)P的集合3BC為一邊作等邊△QBCQBC的外接圓⊙OADP1、P2P1、3、注意事項(xiàng)：平時(shí)學(xué)習(xí)的過程中注意一些特殊模型的整理總結(jié)，并對每塊知識點(diǎn)要深刻理解，22課后課后作1：2012 和縫隙1ABCDAD、AB、CDP、E、FPE、PF剪兩刀，所得的三部分可拼成等腰三角形△PMN(2)．ABCDB為原點(diǎn)，BCx軸建立平面直角坐標(biāo)系（ABCD剪拼后得到等腰三角形△PMNPAD上（A、D重合M、x軸上（MN的左邊D的坐標(biāo)為(5,8)PMy=kxbk D．AD EFEFBCBCBCyADyAD（1）M P（2）k

8或

或22：2012AC=4BCBC的下方作等邊△PBCAPB B 圖 圖B為旋轉(zhuǎn)中心將△ABP逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△A’BC,AA,當(dāng)點(diǎn)AA'C上時(shí),此題可解（如圖 參 3Rt△ABCAB=4,P為△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，則AP+BP+CP的最小值 PBCB圖（1）AP26 26