初中數(shù)學(xué)全等母子型和輔助線添加初步

模塊一K字型全等模塊一K字型全等全等母子型結(jié)構(gòu)和輔助線添加初步且AB=AC，貝|」有△ABD^△CAE.2.正方形（等腰直角三角形）K字型全等例題1（15—16年成華期末）在^ABC中，ZACB=90。,AC=BC,直線/經(jīng)過點。，且AD11于點D,BE11于點E.（1）當(dāng)直線l繞點C旋轉(zhuǎn)到圖1（1）當(dāng)直線l繞點C旋轉(zhuǎn)到圖1-1位置時，求證：①4ACD^△CBE,②AD+BE=DE；（2）當(dāng)直線l繞點C旋轉(zhuǎn)到圖1-2位置時，求證：BE+DE=AD；（3）當(dāng)直線l繞點C旋轉(zhuǎn)到圖1-3位置時，請直接寫出線段AD、BE、DE之間滿足的等圖1-1圖1-2圖1-3【解析】(1)①;AD11,BE11，二ZAD=ZCEB=90。..??ZBCE=ZCBE=90。.丁ZACB=90。,.ZACD+ZBCE=90。..ZACD=ZCBE.;AC=CB，.△ACD^△CBE.②:△ACD^△CBE,.AD=CE,CD=BE.;DE=CD+CE，,AD+BE=DE.(2)VAD1MN,BE1MN，.ZADC=ZCEB=90。..??ZBCE+ZCBE=90。.丁ZACB=90。,.ZACD+ZBCE=90。..ZACD+ZCBE.;AC=CB，.△ACD^△CBE..AD=CE,CD=BE.;DE=CE-CD,.BE+DE=AD.(3)AD+DE=BE.【教師備課提示】這道題主要讓孩子們熟悉模型并熟練過程.例題2（15—16年嘉祥期末）如圖，在正方形ABCD中，E為CD上一點，AE交BD于尸，過F作FH1AE交BC于H，連接AH.（1）過點F分別作AB、BC的垂線，垂足分別為M、N,求證：AF=FH；（2）過點H作HG1BD，垂足為G，試求FG和BD的數(shù)量關(guān)系.【解析】（1）證明△AFM^^HFN（ASA）,.AF=FH.（2）作AT1BD于點T，則△AFT^^HFG,?，?FG=AT=BT=DT=1BD.2例題3（嘉祥）在銳角三角形（嘉祥）在銳角三角形ABC中，AH是BC邊上的高，分別以AB、AC為一邊，向外作正【解析】過點E作EP±HA的延長線于尸，過點G作GQ1AM于Q,?；AH1BC,:.乙ABH+ZBAH=90。，ZBAE=90。，:?乙EAP+ZBAH。=90?！?/ABH=ZEAP,'?,在△ABH和△EAP中，2ABH=ZEAPvZAHB=ZP=90°,AB=AE△ABH"△EAP(AAS),,EP=AH,同理可得GQ=AH,?EP=GQ,■在△EPM和△GQM中，'ZP=ZMQG=90°vZEMP=ZGMQ,、EP=GQ△EPM^△GQM(AAS),EM=GM,：.AM是△AEG的中線.【教師備課提示】例題2和例題3主要講解構(gòu)造K字型全等，讓孩子們熟悉模型.如圖，CD是經(jīng)過ZBCA頂點C的一條直線，CA=CB,E、F分別是直線CD上兩點，且ZBEC=ZCFA=Za.(1)若直線CD經(jīng)過ZBCA的內(nèi)部，且E、F在直線CD上，請解決下面兩個問題：①如圖4-1，若ZBCA=90°，Za=90°，則BECF；EFIBE_AFI(填“〉”、“<"、"=")；②如圖4-2,若0°<BCA<180°，請?zhí)砑右粋€關(guān)于Za與ZBCA關(guān)系的條件，使①中的兩個結(jié)論仍然成立，并證明這兩個結(jié)論.(2)如圖4-3,若直線CD經(jīng)過ZBCA的外部，Za=ZBCA，請?zhí)岢鯡F、BE、AF三條線段數(shù)量關(guān)系的合理猜想(不要求證明).【解析】⑴①二；=;②Za+ZBCA=180°,先證明ZB=ZACF，再證明△BCE-△CAF.(2)EF=BE+AF.【教師備課提示】這道題主要講解K字型全等的變式題.

模塊二母子型模塊二母子型例題5如圖，點C為線段AB上一點，△ACM、ACBN是等邊三角形.請你證明:AN=MB；/MFA=60。；/AFC=ZBFC；△DEC為等邊三角形；DEII.AB.【解析】(1)?.△ACM、△CBN是等邊三角形，MC=AC,CN=CB,又/ACN=ZMCB,「.△ACN^△MCB, AN=BM.(2)由(1)得△ACN也△MCB,:./CAN=ZCMB,ZMFA=ZMCA=60。.(3)過點C作AF和BF的垂線，利用角平分線的判定，即可.(4)由△ACN^△MCB易推得△NDC^△BEC,所以CD=CE，又ZMCN=60。，進而可得△DEC為等邊三角形.(5)由(4)得，△DEC為等邊三角形，」.ZDEC=ZECB=60。，DEIIAB.【教師備課提示】這道題主要考查等邊三角形的母子型.(14—15年成外)已知，在△ADE中，AE=AD,ZEAD=90。.(1)如圖6-1,若EC,DB分別平分ZAED、ZADE,交AD,AE于點C、B,連接BC.請判斷AB、AC是否相等，并說明理由；(2)△ADE的位置保持不變，將(1)中的△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至圖6-2的位置，線段CD和BE相交于。，請判斷線段BE與CD的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)在(2)的條件下，若CD=6，試求四邊形CEDB的面積.ZCAE=ZBAD=90°【解析】（1）AB=AC，在△ABD和△ACE中<AD=AEZAEC=ZADB=22.5°

???△ABD^AACE(ASA),?，.AB=AC.BE=CD，且BE1CD.母子型，得到ACAD^ABAE,通過倒邊倒角得到BE=CD，且BE1CD.18(提示：對角線互相垂直的四邊形的面積可以為對角線乘積的一半).【教師備課提示】這道題主要考查等腰直角三角形的母子型.例題7如圖7-1,若四邊形ABCD、GFED都是正方形，顯然圖中有AG=CE,AG1CE.(1)當(dāng)正方形GFED繞D旋轉(zhuǎn)到如圖7-2的位置時，AG=CE,AG1CE是否成立？若成立，請給出證明，若不成立，請說明理由；(2)當(dāng)正方形GFED繞D旋轉(zhuǎn)到B、D、G在一條直線(如圖7-3)上時，連接CE，設(shè)CE分別交AG、AD于P、H,(1)中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由.圖圈1圖圈1【解析】（1【解析】（1）AG=CE,AG1CE成立.'?四邊形ABCD、四邊形DEFG是正方形，,GD=DE,AD=DC,ZGDE=ZADC=90。.:.乙GDA=90。—ZADE=ZEDC.??△AGD2ACED,AG=CE,ZAGD=ZCED延長CE交AG于點T，則ZTED+ZCED=180。，:.ZTED+ZAGD=180。，:.ZGTE+ZGDE=180。又?：ZGDE=90。，:.ZGTE=90。，即AG1CE.（2）同（1）可得，△AGD2ACED,.Z1=Z2,AG=CE,,.?Z3=Z4,Z4+Z2=90。，.Z3+Z1=90。.:.ZAPH=90。.AG1CH，即AG1CE.【教師備課提示】這道題主要考查正方形的母子型，在正方形母子型當(dāng)中最重要的就是垂直相等結(jié)論.（15年西川半期）（15年西川半期）如圖8-1,在4ABC和^ADE中，AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE且點B、A、D在一條直線上，連接BE、CD,點M,N分別為BE,CD的中點.（1）求證：BE=CD；（2）求證：△AMN是等腰三角形；（3）在圖8-1的基礎(chǔ)上，將△ADE繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)，使D點落在線段AB上，其他條件不變，得到圖8-2所示的圖形，（1）（2）中的兩個結(jié)論是否仍然成立？請你直接寫出你的結(jié)論.【解析】(1);ZBAC=ZDAE,??ZBAE=ZCAD,在△BAE和NCAD中，1AB=ACvZBAE=ZCAD、AE=AD：.△BAE^△CAD(SAS).??BE=CD.(2)由(1)得，△BAE^△CAD(SAS).??ZABE=ZACD，即ZABM=ZACN.又點M,N分別為BE,CD的中點，.BM=CN.在△BAM和MAN中，1AB=ACvZABM=ZACN、BM=CN??△BAM^△CAN(SAS).AM=AN.??△AMN是等腰三角形.(3)仍成立，有BE=CD,△AMN是等腰三角形(同理可得)【教師備課提示】這道題主要考查等腰三角形的母子型，看看孩子們是否理解母子型全等的本質(zhì).復(fù)習(xí)鞏固模塊一K字型全等模塊一K字型全等在^ABC中，AB=AC,直線l經(jīng)過點A.(1)如圖1-1,ZBAC=90。,BD11,CE11，垂足分別為D、￡.探究BD、CE、DE三者之間的數(shù)量關(guān)系，直接寫出你的結(jié)論.(2)如圖1-2,將(1)中“ZBAC=90。，BC11，CE1/”改為“ZBDA=ZAEC=ZBAC”，證明你的結(jié)論.1證明你的結(jié)論.1【解析】(1)(2【解析】(1)(2)DE=BD+CE;DE=BD+CE，證明△ADB^△CEA即可.如圖，在△ABC中，AB=AC,點D、E、F分別在邊AB、BC、AC上，且BD=CE,ZDEF=ZB.圖中是否存在和△BDE全等的三角形?說明理由.【解析】MEF^^BDE，理由如下：丁ZDEF=ZB,ZDEC=ZB+ZBDE=ZDEF+ZCEF,???ZBDE=ZCEF,又?:BD=CE,ZB=ZC,：.△CEF^^BDE.模塊二母子型如圖，B、C、E三點在一條直線上，△ABC模塊二母子型如圖，B、C、E三點在一條直線上，△ABC和^DCE都為等邊三角形，連接AE、DB.（1）試說出AE=BD的理由.（2）如果把△DCE繞C點順時針旋轉(zhuǎn)一個角度，使B、C、E不在一條直線上，（1）中的結(jié)論還成立嗎？（只回答，不說理由）（3）在（2）中若AE、BD相交于尸，求/APB的度數(shù).【解析】(1):△ABC、△DCE都為等邊三角形，???BC=AC,DC=CE,ZACB=ZDCE,：.ZACB+ZACD=ZACD+ZDCE,即ZBCD=ZACE,???在△BCD與△ACE中：產(chǎn)二ACvZBCD=ZACECD=CE???△BCDHACE(SAS),???BD=AE;(2)仍然成立；(3)V△BCD^^ACE,：.ZCAP=ZCBP,「△ABC是等邊三角形，.??ZCAB=ZCBA=60。，.??ZAPB=180。一(ZPAB+ZPBA=180。—(PAC+ZCAB+ZPBA)=180?！?ZPAB+ZCBA)=180。—(60。+60。)=60。，即ZAPB=60。.圖4-1圖圖4-1圖4-2演練4以點A為頂點作兩個等腰直角三角形(^ABC,△ADE)，如圖4-1所示放置，使得一直角邊重合，連接BD，CE.說明BD=CE；延長BD,交CE于點尸，求ZBFC的度數(shù)；若如圖4-2放置，上面的結(jié)論還成立嗎？請簡單說明理由.【解析】(1):△ABC、△ADE是等腰直角三角形，???AB=AC,ZBAD=ZEAC=90。，AD=AE,;在△ADB和△AEC中，'AD=AEvZDAB=ZEAC,AB=AC???△ADBHAEC(SAS)，,BD=CE;(2)V△ADB^^AEC,：.ZACE=ZABD,而在MDF中，ZBFC=180。—ZACE-ZCDF,又「ZCDF=ZBDA,.??ZBFC=180。一ZDBA-ZBDA=ZDAB=90。;(3)BD=CE成立，且兩線段所在直線互相垂直，即ZBFC=90。.理由如下:「△ABC、△ADE是等腰直角三角形.AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZEAD=90。，「ZBAC+ZCAD=ZEAD+ZCAD,.??ZBAD=ZCAE,'AD=AE???在△ADB和△AEC中，vZDAB=ZEAC,AB=AC???△ADBdAEC(SAS).BD=CE,ZACE=ZDBA,.ZBFC=ZCAB=90。.

如圖5-1,等邊△ABC中，D是A