數(shù)學(xué)前沿知識講座

數(shù)學(xué)前沿知識講座第1頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五了解數(shù)學(xué)研究數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)是什么？——維基百科數(shù)學(xué)是研究數(shù)量、結(jié)構(gòu)、變化以及空間模型等概念的一門學(xué)科。透過抽象化和邏輯推理的使用，由計(jì)數(shù)、計(jì)算、量度和對物體形狀及運(yùn)動的觀察中產(chǎn)生。數(shù)學(xué)家們拓展這些概念，為了公式化新的猜想以及從合適選定的公理及定義中建立起嚴(yán)謹(jǐn)推導(dǎo)出的定理。第2頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五經(jīng)典與現(xiàn)代數(shù)學(xué)高斯稱數(shù)學(xué)為“科學(xué)之母”。一些研究應(yīng)用數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)家覺得他們是科學(xué)家，而那些研究純數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)家則時常覺得他們是在一門較接近邏輯的領(lǐng)域內(nèi)工作，且因此基本上是個哲學(xué)家。許多數(shù)學(xué)家認(rèn)為稱他們的工作是一種科學(xué)，是低估了其美學(xué)方面的重要性。有人稱：數(shù)學(xué)是“最能守持古典精神”的科學(xué)。現(xiàn)代科學(xué)稱某些數(shù)學(xué)方法為“數(shù)學(xué)技術(shù)”，數(shù)學(xué)“屈尊”為之服務(wù)。第3頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五法國--德國--美國:世界數(shù)學(xué)中心的轉(zhuǎn)移

19世紀(jì)末，世界數(shù)學(xué)中心在法國，龐加萊是首屈一指的權(quán)威，是高斯和柯西之后無可爭辯的數(shù)學(xué)大師．龐加萊是一個數(shù)學(xué)的“萬能者”，可以說是能對數(shù)學(xué)的所有分支(純粹數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué))都作出貢獻(xiàn)的最后一個人．（戰(zhàn)爭和狹窄的研究領(lǐng)域）．從1900年到1933年，數(shù)學(xué)的中心是德國（哥廷根數(shù)學(xué)學(xué)派）。代表人物：克萊因、希爾伯特。此后，美國成為世界數(shù)學(xué)中心。(俄羅斯是當(dāng)今的又一數(shù)學(xué)大國。還有波蘭、日本等)21世紀(jì)中國和印度數(shù)學(xué)將稱雄世界。第4頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五

1933年希特勒上臺，使得一些主要數(shù)學(xué)家移居美國．列出一張從德國(包括奧地利、匈牙利)到美國避難的數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家的部分名單：愛因斯坦(1879～1955，偉大的物理學(xué)家)

弗蘭克(J．Franck，1882～1964．1925年獲諾貝爾物理學(xué)獎)

馮·諾依曼(1903～1957，20世紀(jì)杰出數(shù)學(xué)家之一)

柯朗(1888～1972，哥廷根數(shù)學(xué)研究所負(fù)責(zé)人)

哥德爾(1906～1976，數(shù)理邏輯學(xué)家)

諾特(1882～1935，抽象代數(shù)奠基人之一)

費(fèi)勒(W．Feller，1906～1970，隨機(jī)過程論的創(chuàng)始人之一)

阿廷(1896～1962，抽象代數(shù)奠基人之一)

費(fèi)里德里希(K．Friedrichs，1901～1983，應(yīng)用數(shù)學(xué)家)

外爾(1885～1955，20世紀(jì)杰出的數(shù)學(xué)家之一)

德恩(1878～1952，希爾伯特第3問題解決者)

此外還有波利亞、舍荀(Szegò)、海林格(Hellinger)、愛華德(Ewald)、諾爾德海姆(Nordheim)、德拜(Debye)、威格納(Wigner)．法國--德國--美國:世界數(shù)學(xué)中心的轉(zhuǎn)移

第5頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五數(shù)學(xué)分類情況

1980s

中國數(shù)學(xué):五個二級學(xué)科基礎(chǔ)數(shù)學(xué)，應(yīng)用數(shù)學(xué)，計(jì)算數(shù)學(xué)，概率統(tǒng)計(jì)，運(yùn)籌控制

國外數(shù)學(xué):

純粹數(shù)學(xué)(pure)，應(yīng)用數(shù)學(xué)(applied)，統(tǒng)計(jì)(statistics)

第6頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五1990s

本科分三類:數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，統(tǒng)計(jì)學(xué)，信息與計(jì)算科學(xué)數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)（新）研究生:同上五個二級學(xué)科

應(yīng)用數(shù)學(xué)主要是數(shù)學(xué)模型(model)計(jì)算數(shù)學(xué)主要是算法(algorithm)第7頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五第三種科學(xué)研究方法和手段

著名計(jì)算物理學(xué)家，諾貝爾獎獲得者Wilson教授在20世紀(jì)80年代就指出：“當(dāng)今，科學(xué)活動可分為三種：理論、實(shí)驗(yàn)和計(jì)算。

計(jì)算科學(xué)家構(gòu)造科學(xué)問題的計(jì)算方法，把這些方法軟件化，設(shè)計(jì)和進(jìn)行試驗(yàn)，分析這些數(shù)值試驗(yàn)的誤差。他們研究計(jì)算方法的數(shù)學(xué)特征，通過計(jì)算揭露所求科學(xué)問題的基本性質(zhì)和規(guī)律?！?/p>

第8頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五

科學(xué)工程計(jì)算應(yīng)用問題數(shù)學(xué)模型計(jì)算方法建模計(jì)算ValidationVerification算法軟件??第9頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五高性能科學(xué)計(jì)算研究并行自適應(yīng)方法保結(jié)構(gòu)算法并行自適應(yīng)支撐軟件框架及核心應(yīng)用程序千萬自由度三維多介質(zhì)大變形流體力學(xué)數(shù)值模擬千萬自由度完整氣候系統(tǒng)模式的算法處理幾百上千個原子的實(shí)空間第一原理計(jì)算方法材料多物理多尺度耦合模型及其計(jì)算方法共性問題第10頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五應(yīng)用數(shù)學(xué)小分支——圖像處理圖像(Image)：用各種觀測系統(tǒng)以不同形式和手段觀測客觀世界而獲得的，可以直接或間接作用人眼并進(jìn)而產(chǎn)生視知覺的實(shí)體。（清華大學(xué)章毓晉）第11頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五一維信號電壓流量txy二維圖像第12頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五常用的圖像之一是灰度圖，這時f表示灰度值。對可見光，灰度值對應(yīng)于觀測的亮度。日常所見圖像是連續(xù)的，即f,x,y的值可以是任意實(shí)數(shù)。為了能用計(jì)算機(jī)對圖像進(jìn)行加工，需要把連續(xù)的圖像在坐標(biāo)空間XY和性質(zhì)空間F都離散化。這種離散化了的圖像就是數(shù)字圖像。第13頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五第14頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五RGB模型HIS模型

H:hue色相

S:saturation飽和度

I:intensity強(qiáng)度，明度常用彩色模型第15頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五RGB模型連續(xù)觀點(diǎn)：灰度圖像f(x,y)，彩色圖像第16頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五圖像處理（ImageProcessing）Noiseanddenoise（去噪）Defocusandblur,anddeblurring（去模糊）Missingdataandinpaiting(interpolation)（修復(fù)或修補(bǔ)）Segmentation（分割）Registration,datacompression,motiondetection,etc.（配準(zhǔn)、數(shù)據(jù)壓縮、運(yùn)動檢測）ContrastEnhancement（對比增強(qiáng)）第17頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五DenoisingDeblur第18頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五MissingdataAutomaticinpaintingMissingDataandInpainting第19頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五Segmentation（分割）InitialcontourTargetobjectissegmented第20頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五

應(yīng)用廣泛(I)

BroadapplicationsinavarietyofimportantfieldsAstronomicalObservationandSpaceExploration（天文觀察/空間探測）ImagesfromtheHubbleTelescopeImagesfromthesurfaceofMarsMedicalandHealthCare（醫(yī)療與健康服務(wù)）Imagingtechnologies:CT,PET,NMR(2003NobelPrizeinMedicine)Automaticsurgeries,design&manufacturingofartificialtissuesAbnormalitydetectionandmonitoring(suchastumorsandbadtissues)BrainimagingandfunctionalmappingAcquisitionandanalysisofgenemicroarrays.Security,Identity,andIdentification（安檢保衛(wèi)與鑒別）FBIfingerprintstorageandprocessing(Wavelets)[retinaimagenext?]Airportsecuritycheckpoints:Arehumanobserversreliableandefficient?Surveillancecameras&videos第21頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五應(yīng)用廣泛(II)HumanandMachineVision（人機(jī)視頻）ModelandinterprethowWE(human)see(visionpsychology)UnderstandthepsychophysicsofthehumanvisionsystemDesignandmanufacturevisionrecoverydevices(forpartiallyblindpeople)(Andultimately)createTHErobotthatcanSEElikeus,orbetterthanusMilitary（軍事）Automaticpilotingandgroundimagereadingforterrainmapping.Targetidentification,anddynamictrackingRobustnightvisionInternetandTelecommunication（網(wǎng)絡(luò)與通訊）Nextgenerationofsearchengines:ImageSearching(notGooooooogle’s)Efficientandhigh-qualitywirelessimage/videotransmissionJPEG2000(wavelets)andimageanddatacompression第22頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五使用大量的數(shù)學(xué)工具DifferentialGeometry(2,3-D,curvatures,geodesicflows…)ComputationalTopologyInverseProblems

&RegularizationTheory.LinearandNonlinearOptimizationProblemsStatisticalMechanics(Isingmodel,Gibbs’law,renormalization…)AppliedandComputationalHarmonicAnalysis(wavelets+Fourier)BayesianandStatisticalMethods(decisiontheory,Monte-Carlo…)InvariantTheory(whatdowemeanbyfeaturesandpatterns?)LearningTheory(newinmathematics)GeometricMeasureTheory(minimumsurfacesandBV)FunctionalAnalysisandCalculusofVariationFreeBoundaryProblems(e.g.,theMumford-Shahmodel)PartialDiffEquations(geometric,nonlinear,viscosity,etc)

ComputationalMathematics第23頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五數(shù)學(xué)在其中所起到的橋梁作用MathematicalModeling（數(shù)學(xué)建模）Visionphenomena(hundreds’ofyearsofpsychologicalresults)Applicationmotivatedmodeling(medical,astronomical,etc)Static(ornearequilibrium)vs.dynamicmodelsDeterministicvs.stochasticmodelsContinuousvs.discrete(orcombinatorial)modelsMathematicalAnalysis（數(shù)學(xué)分析）ExistenceanduniquenessRegularorsingularperturbationsParameterandstabilityanalysisTime-frequencyorspectra-spaceorscale-spaceanalysisComputationandAlgorithms（算法設(shè)計(jì)與計(jì)算）Deterministic:CFD,PDE,numericalLinAlg,multigrid,gram.Stochastic:Monte-Carlo,simulatedannealing,EMalgorithm…第24頁，共40頁，2023年，2月20日，星期五圖像恢復(fù)模型示意圖退化模型示意圖f(x,y)h+g(x,y)n(x,y)退化過程h{f}→g恢復(fù)過程