數(shù)控技術(shù)數(shù)控插補原理

數(shù)控技術(shù)數(shù)控插補原理1第1頁，共43頁，2023年，2月20日，星期五3.1概述3.1.1插補的基本概念

數(shù)控設(shè)備中，刀具的移動軌跡是折線，因此刀具不能嚴格沿著要求的曲線運動，只能用折線軌跡逼近所要求的運動軌跡曲線。數(shù)控系統(tǒng)根據(jù)一定方法確定刀具實時運動軌跡的過程稱為插補。數(shù)控系統(tǒng)中完成插補工作的裝置稱為插補器，可以分為硬件插補器和軟件插補器兩類。2第2頁，共43頁，2023年，2月20日，星期五3.1概述3.1.2插補方法的分類

從產(chǎn)生的數(shù)學模型來分，有一次插補器，二次插補器，高次曲線插補器等。也可以從插補器的基本原理來分類。從插補的計算方法來分，可以主要分為兩類：脈沖增量插補數(shù)據(jù)采樣插補3第3頁，共43頁，2023年，2月20日，星期五脈沖增量插補脈沖增量插補又稱為基準脈沖插補或行程標量插補，這類插補算法是以脈沖形式輸出，每插補運算一次，最多給每一軸一個進給脈沖。把每次插補運算產(chǎn)生的指令脈沖輸出到伺服系統(tǒng)，以驅(qū)動工作臺運動，每發(fā)出一個脈沖，工作臺移動一個基本長度單位，即脈沖當量，脈沖當量是脈沖分配的基本單位。這種插補算法的特點是每次插補結(jié)束，數(shù)控裝置向每個運動坐標輸出基準脈沖序列，每個脈沖插補的實現(xiàn)方法較簡單（只有加法和移位）可以用硬件實現(xiàn)。目前，隨著計算機技術(shù)的迅猛發(fā)展，多采用軟件完成這類算法。脈沖的累積值代表運動軸的位置，脈沖產(chǎn)生的速度與運動軸的速度成比例。由于脈沖增量插補的轉(zhuǎn)軸的最大速度受插補算法執(zhí)行時間限制，所以它僅適用于一些中等精度和中等速度要求的經(jīng)濟型計算機數(shù)控系統(tǒng)。4第4頁，共43頁，2023年，2月20日，星期五基準脈沖插補方法有以下幾種：

1、數(shù)字脈沖乘法器插補法；

2、逐點比較法；

3、數(shù)字積分法；

4、矢量判別法；

5、比較積分法；

6、最小偏差法；

7、目標點跟蹤法；

8、直接函數(shù)法；

9、單步跟蹤法；

10、加密判別和雙判別插補法；

11、Bresenham算法5第5頁，共43頁，2023年，2月20日，星期五

早期常用的脈沖增量式插補算法有逐點比較法、單步跟蹤法、DDA法等。插補精度常為一個脈沖當量，DDA法還伴有運算誤差。

80年代后期插補算法有改進逐點比較法、直接函數(shù)法、最小偏差法等，使插補精度提高到半個脈沖當量，但執(zhí)行速度不很理想，在插補精度和運動速度均高的CNC系統(tǒng)中應(yīng)用不廣。近年來的插補算法有改進的最小偏差法，映射法。兼有插補精度高和插補速度快的特點?？偟恼f來，最小偏差法插補精度較高，且有利于電機的連續(xù)運動。6第6頁，共43頁，2023年，2月20日，星期五數(shù)據(jù)采樣插補

數(shù)據(jù)采樣插補又稱為時間分割插補或數(shù)字增量插補，這類算法插補結(jié)果輸出的不是脈沖，而是標準二進制數(shù)。根據(jù)程編進給速度，把輪廓曲線按插補周期將其分割為一系列微小的直線段，然后將這些微小直線段對應(yīng)的位置增量數(shù)據(jù)進行輸出，以控制伺服系統(tǒng)實現(xiàn)坐標軸的進給。插補計算是計算機數(shù)控系統(tǒng)中實時性很強的一項工作，為了提高計算速度，縮短計算時間，按以下三種結(jié)構(gòu)方式進行改進。

1.采用軟/硬件結(jié)合的兩級插補方案。

2.

采用多CPU的分布式處理方案。

3.采用單臺高性能微型計算機方案。7第7頁，共43頁，2023年，2月20日，星期五數(shù)據(jù)采樣插補方法很多，常用方法如下：1、直接函數(shù)法；2、擴展數(shù)字積分法；3、二階遞歸擴展數(shù)字積分圓弧插補法；4、圓弧雙數(shù)字積分插補法；5、角度逼近圓弧插補法；6、“改進吐斯丁”（ImprovedTustinMethod，ITM）法。近年來，眾多學者又研究了更多的插補類型及改進方法。改進DDA圓弧插補算法，空間圓弧的插補時間分割法，拋物線的時間分割插補方法，橢圓弧插補法，Bezier、B樣條等參數(shù)曲線的插補方法，任意空間參數(shù)曲線的插補方法。

8第8頁，共43頁，2023年，2月20日，星期五3.2逐點比較法3.2.1概述

逐點比較法又稱代數(shù)演算法，是經(jīng)濟型數(shù)控系統(tǒng)應(yīng)用較多的一種插補算法。所謂逐點比較法，就是每走一步都要和給定軌跡比較一次，根據(jù)比較結(jié)果來決定下一步的進給方向，使刀具向減小偏差的方向并趨向終點移動，刀具所走的軌跡應(yīng)該和給定軌跡非常相“象”，并且最大偏差不超過一個脈沖當量。

9第9頁，共43頁，2023年，2月20日，星期五

逐點比較法的四個工作節(jié)拍：（1）偏差判別：判別加工點對規(guī)定幾何軌跡的偏離位置；（2）進給控制：根據(jù)判別結(jié)果控制某坐標工作臺進給一步；（3）偏差計算：計算新的加工點對規(guī)定軌跡的偏差；（4）終點判別：判別是否到達規(guī)定軌跡的終點，到達則停止插補，否則返回第一步。10第10頁，共43頁，2023年，2月20日，星期五3.2.2逐點比較法第一象限的直線插補計算方法

1偏差判別：

Fi=YiXe-XiYe

（Fi為偏差函數(shù)）

Fi=0，插補點P1在直線上；（見圖3-1）

Fi>0，插補點P2在直線上方；

Fi<0，插補點P3在直線下方；2進給控制：

Fi>=0，向X正向進給一步；Fi<0,向Y正向進給一步；3偏差計算：若向X正向進給一步，則：Fi+1=YiXe-(Xi+1)Ye=Fi-Ye

若向Y正向進給一步，則：Fi+1=（Yi+1）Xe-XiYe=Fi+Xe4終點判別：

N=|Xe-Xs|+|Ye-Xs|11第11頁，共43頁，2023年，2月20日，星期五P1P2P3XY圖3－1插補點與直線的位置關(guān)系（Xe，Ye）12第12頁，共43頁，2023年，2月20日，星期五例：脈沖當量為1，起點（0，0），終點（5，3）序號偏差判別進給控制偏差計算終點判別1F0=0+△xF1=F0-Ye=0-3=-3N=8-1=72F1<0+△YF2=F1+Xe=-3+5=263F2>0+△XF3=F2-Ye=2-3=-154F3<0+△YF4=F3+Xe=-1+5=445F4>0+△XF5=F4-Ye=4-3=136F5>0+△XF6=F5-Ye=1-3=-227F6<0+△YF7=F6+Xe=-2+5=318F7>0+△XF8=F-Ye=3-3=00YX(5,3)O13第13頁，共43頁，2023年，2月20日，星期五

例3-1加工第一象限直線OE，如圖3-5所示，起點為坐標原點，終點坐標為E（4，3）。試用逐點比較法對該段直線進行插補，并畫出插補軌跡。

圖3-2直線插補軌跡過程實例

Y

X

2

E(4,3)

O

1

3

4

1

2

3

14第14頁，共43頁，2023年，2月20日，星期五

表3-1直線插補運算過程序號

偏差判別

坐標進給

偏差計算

終點判別

起點

00=F

∑=7

1

F0=0

+X

301-=-=eYFF

∑=6

2

F1<0

+Y

112=+=eXFF

∑=5

3

F2>0

+X

223-=-=eYFF

∑=4

4

F3<0

+Y

234=+=eXFF

∑=3

5

F3>0

+X

145-=-=eYFF

∑=2

6

F5<0

+Y

356=+=eXFF

∑=1

7

F6>0

+X

067=-=eYFF

∑=0

15第15頁，共43頁，2023年，2月20日，星期五圖3-3四象限直線偏差符號和進給方向16第16頁，共43頁，2023年，2月20日，星期五

在圓弧加工過程中，可用動點到圓心的距離來描述刀具位置與被加工圓弧之間關(guān)系。設(shè)圓弧圓心在坐標原點，已知圓弧起點A（Xs，Ys），終點B（Xe，Ye），圓弧半徑為R，加工點可能在三種情況出現(xiàn)，即圓弧上、圓弧外、圓弧內(nèi)。當動點P（Xi，Yi）位于圓弧上時有

Xi2＋Yi2－R2=0

當P點在圓弧外側(cè)時，則OP大于圓弧半徑R，即

Xi2＋Yi2－R2>0

當P點在圓弧內(nèi)側(cè)時，則OP小于圓弧半徑R，即

Xi2＋Yi2－R2<0用Fi表示P點的偏差值，定義圓弧偏差函數(shù)判別式為:3.2.3逐點比較法第一象限的逆圓弧插補算法

17第17頁，共43頁，2023年，2月20日，星期五1偏差判別：

Fi=Xi2＋Yi2－R2Fi=0，插補點P1恰在圓弧上（on）；（如圖3－4所示）

Fi>0，插補點P2在圓弧上方（up）；

Fi=0，插補點P3在圓弧下方（down）；2進給控制：當Fi>＝0時，向X負向進給一步；當Fi<0時，向Y正向進給一步；3新偏差計算：如果向Y正向進給一步，則

Fi＋1=（Xi＋1）2

＋（Yi＋1）2－R2=Xi2＋（Yi＋1）2－R2＝Fi＋2Yi＋1同理，如果向X負向進給一步，則

Fi＋1=（Xi＋1）2

＋（Yi＋1）2－R2=（Xi-1）2＋Yi2－R2＝Fi-2Xi＋14終點判別：

N=|Xe-Xs|+|Ye-Ys|四個工作節(jié)拍18第18頁，共43頁，2023年，2月20日，星期五圖3-4第一象限逆圓弧插補PP19第19頁，共43頁，2023年，2月20日，星期五例3-2設(shè)第一象限有一逆圓弧AB，起點A的坐標（6，0），終點B的坐標（0，6）。試用逐點比較法插補。圖3-5逆圓弧插補20第20頁，共43頁，2023年，2月20日，星期五序號偏差判別坐標進給偏差及坐標計算終點判別偏差計算坐標計算1F0=0-XF1=0-12+1=-11X1=6-1=5Y1=0N=112F1<0+YF2=-11+1=-10X2=5Y2=0+1=1N=103F2<0+YF3=-10+2+1=-7X3=5Y3=1+1=2N=94F3<0+YF4=-7+4+1=-2X4=5Y4=2+1=3N=85F4<0+YF5=-2+6+1=5X5=5Y5=3+1=4N=76F5>0-XF6=5-10+1=-4X6=5-1=4Y6=4N=621第21頁，共43頁，2023年，2月20日，星期五序號偏差判別坐標進給偏差及坐標計算終點判別偏差計算坐標計算7F6<0+YF7=-4+8+1=5X7=4Y7=4+1=5N=58F7>0-XF8=5-8+1=-2X8=4-1=3Y8=5N=49F8<0+YF9=-2+10+1=9X9=3Y9=5+1=6N=310F9>0-XF10=9-6+1=4X10=3-1=2Y10=6N=211F10>0-XF11=-4-4+1=1X11=2-1=1Y11=6N=112F11>0-XF12=1-2+1=-0X12=1-1=0Y12=6N=022第22頁，共43頁，2023年，2月20日，星期五圓弧插補進給方向和偏差計算23第23頁，共43頁，2023年，2月20日，星期五例3-3現(xiàn)欲加工第一象限順圓弧AB，如圖3-6所示，起點A（0，4），終點B（4，0），試用逐點比較法進行插補。

圖3-6圓弧插補實例24第24頁，共43頁，2023年，2月20日，星期五

圓弧插補過程25第25頁，共43頁，2023年，2月20日，星期五3.3數(shù)字積分法插補

數(shù)字積分法又稱數(shù)字微分分析器（DigitalDifferentialAnalyzer,簡稱DDA)。采用該方法進行插補，具有運算速度快，邏輯功能強，脈沖分配均勻等特點，且只輸入很少的數(shù)據(jù)，就能加工出直線、圓弧等較復雜的曲線軌跡，精度也能滿足要求，而且易于實現(xiàn)多軸聯(lián)動。因此，該方法在數(shù)控系統(tǒng)中得到廣泛的應(yīng)用。3.3.1概述26第26頁，共43頁，2023年，2月20日，星期五數(shù)字積分的基本原理如圖：從時刻t=0到t，函數(shù)Y=f(t)曲線所包圍的面積可表示為：S=∫f(t)dt若將0～t的時間劃分成時間間隔為Δt的有限區(qū)間，當Δt足夠小時，可得公式：S=∫f(t)dt=∑YiΔt即積分運算可用一系列微小矩形面積累加求和來近似。TOYY=f(t)ΔtYott00ti=0n-127第27頁，共43頁，2023年，2月20日，星期五若Δt取最小基本單位“1”，則上式可簡化為：

S=∑Yi(累加求和公式或矩形公式）這種累加求和運算，即積分運算可用數(shù)字積分器來實現(xiàn)。n-1i=0被積函數(shù)寄存器+

累加器（余數(shù)寄存器）ΔtΔY存放Y值28第28頁，共43頁，2023年，2月20日，星期五若取的脈沖當量足夠小，求和運算代替積分運算所引起的誤差可以不超過允許的數(shù)值。數(shù)字積分器具有兩個寄存器和一個全加器Σ構(gòu)成。被積函數(shù)寄存器JV，和累加寄存器或稱余數(shù)寄存器

JR如取寄存器的容量為一個單位面積值，則累加過程中JR的溢出一個脈沖就表示獲得一個單位的面積值。JR總溢出脈沖數(shù)即為所求得積分值。29第29頁，共43頁，2023年，2月20日，星期五被積函數(shù)寄存器與累加器相加的計算方法：例：被積函數(shù)寄存器與累加器均為3位寄存器，被積函數(shù)為5，求累加過程。

101101101101+）000

+）101

+）010

+）111101010111100101101101101+）100

+）001

+）110

+）011001110011000經(jīng)過2=8次累加完成積分運算，因為有5次溢出，所以積分值等于5。①①①①①330第30頁，共43頁，2023年，2月20日，星期五3.3.2數(shù)字積分直線插補定義：可得直線參數(shù)方程：在O～A點區(qū)間內(nèi)積分：積分值為從當前點經(jīng)過（tn-t0）時間后的坐標增量，因為起點是原點，這里積分值即為終點坐標。31第31頁，共43頁，2023年，2月20日，星期五3.3.2數(shù)字積分直線插補用累加代替積分得：若取Δt為1，得：由上式可知，k×n=1，或者k=1/n令：則在X，Y方向分別經(jīng)過n步后，可移動到終點。32第32頁，共43頁，2023年，2月20日，星期五3.3.2數(shù)字積分直線插補

選擇k時，應(yīng)使每次的增量ΔX、ΔY不大于1，這樣保證各坐標軸每次分配進給脈沖是不會超過一個。

其中Xe、Ye的最大允許值受被積函數(shù)寄存器容量的限制。假定寄存器有n位，則Xe、Ye的最大允許值為：若?。哼@樣可以選定k值滿足要求，且累加次數(shù)為：取Δt為1時的累加為：（*）將（*）式代入上式：33第33頁，共43頁，2023年，2月20日，星期五

例：插補第一象限直線OA，起點為O(0,0)，終點為

A(5,3)。取被積函數(shù)寄存器分別為JVx，JVy，余數(shù)寄存器分別為JRx、JRy，終點計數(shù)器為

JE，且都是三位二進制寄存器。試寫出插補計算過程并繪制軌跡。XOY12345123A(5,3)34第34頁，共43頁，2023年，2月20日，星期五插補計算過程如下累加次數(shù)(Δt）X積分器JVxJRx溢出ΔXY積分器JVyJRy溢出ΔY終點計數(shù)器

JE備注012345678101000011000初始狀態(tài)101101000101101101101101101101011011011011011011011011011111第一次累加0101110JRx有進位，ΔX溢出1101110011101JRy有進位，ΔY溢出1001100100ΔX溢出0011111011ΔX溢出1100101010ΔY溢出0111101001ΔX溢出00010001000ΔX,ΔY同時溢出JE=0，插補結(jié)束35第35頁，共43頁，2023年，2月20日，星期五加工軌跡如下：XOY12345123A(5,3)36第36頁，共43頁，2023年，2月20日，星期五3.3.3數(shù)字積分圓弧插補如圖所示，設(shè)加工半徑為R的第一象限逆時針圓弧AB，坐標原點定在圓心上，A(Xo,Yo)為圓弧起點，B(Xe,Ye)為圓弧終點，Pi(Xi,Yi)為加工動點。XOYA(Xo,Yo)B(Xe,Ye)Pi(Xi,Yi)37第37頁，共43頁，2023年，2月20日，星期五

如圖所示，可以得到：V

Vx

VyRYiXi即Vx=KYi，Vy=KXi因而可以得到坐標微小位移增量為：

ΔX=VxΔt=KYiΔtΔY=VyΔt=KXiΔt

設(shè)Δt=1，K=1/2則有：

XOYA(Xo,Yo)B(Xe,Ye)Pi(Xi,Yi)RVVxVy===KnX=1/2i=1m∑YiY=1/2i=1m∑Xinn38第38頁，共43頁，2023年，2月20日，星期五由

可看出，用DDA法進行圓弧插補時，是對加工動點的坐標Xi和Yi的值分別進行累加，若積分累加器有溢出，則相應(yīng)坐標軸進給一步，則圓弧積分插補器如圖所示：X=1/2i=1m∑YiY=1/2