數(shù)字圖像處理的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

數(shù)字圖像處理的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)第1頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五第三章數(shù)字圖像處理的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)線性系統(tǒng)調(diào)諧信號分析卷積與濾波相關(guān)函數(shù)二維系統(tǒng)灰度直方圖第2頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五3.1線性系統(tǒng)一、線性系統(tǒng)實際應(yīng)用系統(tǒng)(線性系統(tǒng))f[*]u(t)y(t)當(dāng)且僅當(dāng)該系統(tǒng)具有如下性質(zhì)時：該系統(tǒng)是線性的。第3頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五3.1線性系統(tǒng)二、移不變系統(tǒng)輸入信號自變量t沿坐標(biāo)軸平移T時刻，若滿足F(u(t-T))=y(t-T)則稱該系統(tǒng)具有移不變性。

對于移不變系統(tǒng)，平移輸入信號僅使輸出信號移動同樣長度，輸出信號的性質(zhì)不變。若輸入圖像相對于其遠(yuǎn)點有一平移，則輸出圖像除了相同的平移，其他不變。第4頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五3.2調(diào)諧信號分析一、調(diào)諧信號

調(diào)諧信號可視為一個在復(fù)平面內(nèi)以角速度ω旋轉(zhuǎn)的單位向量，且有ω=2πf第5頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五知識回顧——泰勒級數(shù)第6頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五3.2調(diào)諧信號分析二、對調(diào)諧信號的響應(yīng)對于線性移不變系統(tǒng)，若輸入調(diào)諧信號即則系統(tǒng)響應(yīng)為若輸入調(diào)諧信號即則系統(tǒng)響應(yīng)為第7頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五3.2調(diào)諧信號分析輸入信號和輸出信號存在以下關(guān)系因此有從而有即所以有第8頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五3.2調(diào)諧信號分析三、系統(tǒng)傳遞函數(shù)1.傳遞函數(shù)的形式(極坐標(biāo)形式)2.線性移不變系統(tǒng)對余弦函數(shù)的輸出若輸入一余弦信號，且令其為某調(diào)諧信號的實部，即則由于系統(tǒng)對調(diào)諧輸入信號的響應(yīng)為第9頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五3.2調(diào)諧信號分析因此，系統(tǒng)的實際輸出為綜上所述，線性移不變系統(tǒng)具有以下性質(zhì)：（1）調(diào)諧輸入產(chǎn)生同頻率的調(diào)諧輸出；（2）系統(tǒng)的傳遞函數(shù)是一個僅依賴于頻率的復(fù)函數(shù)，它包含了系統(tǒng)的全部特征信息；（3）傳遞函數(shù)對調(diào)諧輸入信號僅產(chǎn)生幅值的縮放和相位的平移。

第10頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五3.3卷積與濾波一、連續(xù)卷積

根據(jù)數(shù)字信號處理理論，卷積的定義為其性質(zhì)如下：交換率u*h=h*u

結(jié)合率(u*h)*y=u*(h*y)

分配率u*(h+y)=u*h+u*y交換率第11頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五3.3卷積與濾波卷積積分的圖解法步驟：（1）變量替換：將函數(shù)、的自由變量由t變換成τ；（2）反折：將函數(shù)以縱軸為軸線反折，得到對于縱軸的鏡像;（3）平移：將函數(shù)沿正向τ軸平移時間t，得到函數(shù)；（4）相乘求積分：將反折并平移后的函數(shù)乘以，并求積分值;（5）重復(fù)步驟（3）、（4），直到平移時間t覆蓋了整個時間軸-∞<t<∞.第12頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五3.3卷積與濾波例：求下圖所示的f1(t)與f2(t)的卷積積分F(t)2-2)(1tft10)(2tf021t(a)(b)步驟1第13頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五3.3卷積與濾波步驟2步驟3、4兩波形沒有公共處，二者乘積為0，即積分為0即第14頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五3.3卷積與濾波步驟5第15頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五3.3卷積與濾波步驟5續(xù)第16頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五3.3卷積與濾波步驟5續(xù)第17頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五3.3卷積與濾波兩波形沒有公共處，二者乘積為0，即積分為0即步驟5續(xù)第18頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五3.3卷積與濾波最終結(jié)果第19頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五單位沖激信號的狄拉克(Dirac)定義從下面三點來理解沖激信號(1)除了之外取值處處為零；3.3卷積與濾波

知識拓展——沖激信號(3)在包含出現(xiàn)的位置的任意區(qū)間范圍內(nèi)面積為1。(2)在處為無窮大；第20頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五沖激函數(shù)的性質(zhì)（1）抽樣性（2）奇偶性（3）卷積性質(zhì)3.3卷積與濾波

知識拓展——沖激信號第21頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五3.3卷積與濾波卷積運算的性質(zhì)——與沖激信號的卷積

第22頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五3.3卷積與濾波二、離散卷積卷積和序列y(i)的長度為第23頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五3.3卷積與濾波三、卷積與濾波數(shù)學(xué)上的卷積運算在信號處理和圖像處理學(xué)科上通常又稱為濾波。線性移不變系統(tǒng)輸入和輸出之間的關(guān)系，除了可以用傳遞函數(shù)來描述之外，還可以采用卷積的方法來表示。即線性移不變系統(tǒng)的輸出可通過輸入信號與代表了系統(tǒng)特性的沖激響應(yīng)函數(shù)h(t)的卷積得到,即第24頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五

其中h(t)與系統(tǒng)的沖激響應(yīng)一致，因此稱為沖激響應(yīng)函數(shù)，即當(dāng)輸入為單位沖激函數(shù)時3.3卷積與濾波第25頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五一、相關(guān)函數(shù)的定義

任意兩個信號的相關(guān)函數(shù)定義：

相關(guān)函數(shù)是信號之間相似性的一種量度。1.自相關(guān)函數(shù)若f(t)=h(t),則2.互相關(guān)函數(shù)若f(t)≠h(t),則而3.4相關(guān)函數(shù)第26頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五二、相關(guān)與卷積的關(guān)系數(shù)學(xué)上可以證明，相關(guān)本質(zhì)上是一個信號反折后的卷積3.4相關(guān)函數(shù)第27頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五3.5二維系統(tǒng)及矩陣運算一、二維線性系統(tǒng)

若該系統(tǒng)輸入輸出滿足以下特性

則稱該二維系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。第28頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五3.5二維系統(tǒng)及矩陣運算

二、二維位置不變線性系統(tǒng)對于任意一個二維系統(tǒng)，若給定輸入f(x，y)，產(chǎn)生輸出g(x，y)

即：將輸入信號自變量x和y分別平移x0和y0，若滿足以下條件則稱為二維位置不變線性系統(tǒng)第29頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五3.5二維系統(tǒng)及矩陣運算二維位置不變線性系統(tǒng)的輸出對于二維連續(xù)系統(tǒng)對于二維離散系統(tǒng)第30頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五3.5二維系統(tǒng)及矩陣運算

復(fù)習(xí)——方向?qū)?shù)與梯度第31頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五一、方向?qū)?shù)定義:若函數(shù)則稱為函數(shù)在點

P處沿方向l

的方向?qū)?shù).在點處沿方向l(方向角為)

存在下列極限:記作

3.5二維系統(tǒng)及矩陣運算

復(fù)習(xí)——方向?qū)?shù)與梯度第32頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五定理:則函數(shù)在該點沿任意方向

l

的方向?qū)?shù)存在,且有機動目錄上頁下頁返回結(jié)束即x軸和y軸到方向l的轉(zhuǎn)角3.5二維系統(tǒng)及矩陣運算

復(fù)習(xí)——方向?qū)?shù)與梯度第33頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五3.5二維系統(tǒng)及矩陣運算三、二維系統(tǒng)的梯度算子1.連續(xù)系統(tǒng)梯度算子對于連續(xù)系統(tǒng)，在坐標(biāo)位置(x,y)處的梯度向量為：

可寫為：由于梯度是向量，因此其幅值為梯度的方向為：

梯度的方向是f（x，y）變化最快的方向第34頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五2.離散系統(tǒng)梯度算子在數(shù)字圖像處理中，羅伯特算子、索貝爾算子、普瑞維特等各種梯度算子均以差分形式表示。3.5二維系統(tǒng)及矩陣運算第35頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五3.5二維系統(tǒng)及矩陣運算梯度的幅值為：為避免平方根運算，可以采用梯度近似值：①②離散系統(tǒng)梯度幅值與近似值關(guān)系第36頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五3.5二維系統(tǒng)及矩陣運算矩陣基礎(chǔ)知識回顧1.逆矩陣Aˉ：AB=BA=E注：只有方陣才具有逆矩陣計算方法：其中為矩陣A的伴隨陣示例：求逆矩陣第37頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五3.5二維系統(tǒng)及矩陣運算矩陣基礎(chǔ)知識回顧2.矩陣的轉(zhuǎn)置：定義：將矩陣的行列互換所得到的矩陣。示例：第38頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五3.5二維系統(tǒng)及矩陣運算3.特征向量：

定義：設(shè)A是n階方陣，若存在數(shù)λ和n維非零列向量x，使Ax=λx成立，則稱λ為方陣A的特征值，非零列向量x稱為方陣A的對應(yīng)于特征值λ的特征向量。Ax=λx特征向量方程：（A-λE）x=0特征方程：F（λ）=|A-λE|=0第39頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五3.5二維系統(tǒng)及矩陣運算4.矩陣的跡：定義：設(shè)有n階矩陣A，那么矩陣的跡就等于A的特征值的總和，也即A矩陣的主對角線元素的總和。示例：求特征值和特征向量特征值：-1，2，2；矩陣的跡為3第40頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五3.5二維系統(tǒng)及矩陣運算續(xù)上例當(dāng)特征值為-1時，解方程（A+E）x=0，由得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系當(dāng)特征值為2時，解方程（A-2E）x=0，由特征向量kp1特征向量k1p2+k2p3第41頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五3.5二維系統(tǒng)及矩陣運算MATLAB中的矩陣運算1.定義矩陣?yán)?gt;>A=[123;456;789]2.矩陣A的逆：inv（A）3.矩陣的轉(zhuǎn)置：（A’）4.矩陣的跡：trace(A)5.矩陣的特征值與特征向量：eig（A）①.E=eig(A)：求矩陣A的全部特征值，構(gòu)成向量E；②.[V,D]=eig(A)：求矩陣A的全部特征值，構(gòu)成對角陣D，并求A的特征向量構(gòu)成V的列向量；6.方陣的行列式det（A）第42頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五3.6灰度直方圖一、直方圖的定義與性質(zhì)1.直方圖的定義灰度直方圖是灰度級的函數(shù)，描述的是圖像中該灰度級的像素個數(shù)。即：橫坐標(biāo)表示灰度級，縱坐標(biāo)表示圖像中該灰度級出現(xiàn)的個數(shù)。1234565456214123456643221166466345666146623136466灰度直方圖第43頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五另一種定義方式圖示中，有一條灰度級為D1的輪廓線，在更高的灰度級D2處還畫有第二條輪廓線。

A1表示第一條輪廓線所包圍區(qū)域的面積，同樣，A2表示第二條輪廓線所包圍的區(qū)域的面積。3.6灰度直方圖第44頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五

在一幅連續(xù)圖像中，將具有灰度級D的所有輪廓線所包圍的面積，稱為灰度級D的閾值面積函數(shù)，用A(D)表示，則直方圖可定義為：對于離散函數(shù)，固定△D為1，則上述定義變?yōu)椋?/p>

H(D)=A(D)-A(D+1)

3.6灰度直方圖)()()()(lim0DAdDdDDDADADHD-=DD+-=?D第45頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五

設(shè)r代表圖像中像素灰度級，作歸一化處理后，r將被限定在［0,1］之內(nèi)。在灰度級中，r=0代表黑，r=1代表白。對于一幅給定的圖像來說，每一個像素取得［0,1］區(qū)間內(nèi)的灰度級是隨機的，即r是隨機變量。假定對每一瞬間，它們是連續(xù)的隨機變量，則可以用概率密度函數(shù)pr(r)來表示原始圖像的灰度分布。若橫軸代表灰度級r，縱軸代表灰度級的概率密度函數(shù)pr(r)，這樣就可以針對一幅圖像在該坐標(biāo)系中作出一條曲線。這條曲線在概率論中就是概率密度曲線，如圖所示。

圖像灰度分布概率密度函數(shù)第46頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五直方圖表明每一個灰度有多少個象素3.6灰度直方圖第47頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五第48頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五3.6灰度直方圖四種基本圖像類型圖像及其灰度直方圖(暗、亮、低對比度、高對比度)第49頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五3.6灰度直方圖四種基本圖像類型圖像及其灰度直方圖(暗、亮、低對比度、高對比度)第50頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五2.直方圖的性質(zhì)性質(zhì)一直方圖是一幅圖像中各像素灰度值出現(xiàn)次數(shù)（或頻數(shù)）的統(tǒng)計結(jié)果，它只反映該圖像中不同灰度值出現(xiàn)的次數(shù)（或頻數(shù)），而未反映某一灰度值像素所在位置。3.6灰度直方圖第51頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五空間信息丟失3.6灰度直方圖第52頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五性質(zhì)二任一幅圖像，都能唯一地確定出一幅與它對應(yīng)的直方圖，但不同的圖像，可能有相同的直方圖。也就是說，圖像與直方圖之間是多對一的映射關(guān)系。3.6灰度直方圖第53頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五3.6灰度直方圖性質(zhì)三若某一幅圖像由若干子圖像區(qū)域構(gòu)成，那么各子區(qū)域直方圖之和就等于原圖像的直方圖。第54頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五3.6灰度直方圖3.直方圖的作用1）用于判斷圖像量化是否恰當(dāng)直方圖給出了一個簡單可見的指示，用來判斷一幅圖象是否合理的利用了全部被允許的灰度級范圍。若圖像亮度具有超出數(shù)字化器所能量化的范圍，則這些灰度級將被置為0或255.。第55頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五3.6灰度直方圖第56頁，共65頁，2023年，2月20日，星期五較暗圖象的直方圖

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