時(shí)間序列的預(yù)測

時(shí)間序列的預(yù)測第1頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五☆時(shí)間序列的預(yù)測：根據(jù)現(xiàn)在與過去的隨機(jī)序列的樣本取值，對未來某一時(shí)刻的隨機(jī)變量進(jìn)行估計(jì).☆已知條件：設(shè)當(dāng)前時(shí)刻為t，已知序列{Xt}在時(shí)刻t及以前的觀察值Xt，Xt-1，Xt-2，…欲對t時(shí)刻以后的觀察值Xt+l(l>0)進(jìn)行預(yù)測，稱為以t為原點(diǎn)，向前步長為l的預(yù)測，記為(預(yù)測值).第2頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五☆預(yù)測效果的衡量標(biāo)準(zhǔn)：預(yù)測誤差(隨機(jī)變量)的方差最小——最小均方誤差預(yù)測.預(yù)測誤差方差第3頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五線性預(yù)測函數(shù)預(yù)測方差最小原則即使最小.第4頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五☆預(yù)測內(nèi)容：點(diǎn)預(yù)測、區(qū)間預(yù)測.☆預(yù)測原理：最小方差預(yù)測值由Xt+l的條件期望得出，即第5頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五第一節(jié)

平穩(wěn)時(shí)間序列的預(yù)測一、

條件期望預(yù)測二、適時(shí)修正預(yù)測第6頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五一、條件期望預(yù)測（一）{Xt}的條件期望及性質(zhì)因?yàn)閧Xt}具有相關(guān)性，所以Xt+l的概率分布為在Xt，Xt-1，…給定條件下的條件分布，從而期望亦為條件期望第7頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五性質(zhì)1、現(xiàn)在或過去觀察值的條件期望即為其本身（已知的）2、現(xiàn)在或過去擾動(dòng)的條件期望即為其本身（可計(jì)算出）第8頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五3、未來觀察值的條件期望即為其預(yù)測值4、未來擾動(dòng)的條件期望為零第9頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五（二）平穩(wěn)時(shí)間序列的條件期望預(yù)測——格林函數(shù)形式：1、

模型的傳遞形式：第10頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五2、預(yù)測公式：推導(dǎo)第11頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五(4)

Xt+l的置信區(qū)間：Xt+l的95%的置信區(qū)間為：3、預(yù)測誤差：第12頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五序列分解預(yù)測誤差預(yù)測值第13頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五特點(diǎn)(1)預(yù)測步數(shù)l越大，則置信區(qū)間的寬度越大；(2)與預(yù)測原點(diǎn)t無關(guān).注①實(shí)際中，可估計(jì)出；②一般，近似截取有限項(xiàng).結(jié)論：（1）在X1,X2…Xn條件下預(yù)測Xn+l，Xn+l的條件期望與最小均方誤預(yù)測的結(jié)論是一樣的；（2）最小均方誤預(yù)測就是基于現(xiàn)有值的條件期望值.第14頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五（三）平穩(wěn)時(shí)間序列的逆轉(zhuǎn)形式預(yù)測：1、

模型的逆轉(zhuǎn)形式：第15頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五2、預(yù)測公式：推導(dǎo)第16頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五（四）直接從模型入手的預(yù)測：第17頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五1、AR(p)模型AR(1)模型的條件期望預(yù)測設(shè)適合如下AR(1)模型：以t為原點(diǎn)，向前一步預(yù)測公式為：第18頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五向前兩步預(yù)測公式為：向前L步預(yù)測公式為：第19頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五AR(2)模型的條件期望預(yù)測設(shè)適合如下AR(2)模型：以t為原點(diǎn)，向前一步預(yù)測公式為：第20頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五向前兩步預(yù)測公式為：向前L步預(yù)測公式為：第21頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五AR(p)序列的預(yù)測預(yù)測值預(yù)測方差95％置信區(qū)間第22頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五2、MA(q)模型MA(1)模型的條件期望預(yù)測設(shè)以t為原點(diǎn)，向前一步預(yù)測公式為：第23頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五向前兩步預(yù)測公式為：向前L步預(yù)測公式為：第24頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五MA(q)序列的預(yù)測預(yù)測值預(yù)測方差第25頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五設(shè)：向前一步預(yù)測：對上式兩端求條件期望得到一步預(yù)測值：3、ARMA(p,q)序列預(yù)測第26頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五向前兩步預(yù)測：對上式兩端求條件期望得到兩步預(yù)測值：第27頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五預(yù)測值預(yù)測方差向前L步預(yù)測公式第28頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五（五）預(yù)測誤差與白噪聲的關(guān)系

時(shí)的預(yù)測誤差為：亦即：說明ARMA模型中白噪聲項(xiàng)其實(shí)就是以為原點(diǎn)，向前一步預(yù)測誤差。

由此可推得，向前一步預(yù)測誤差的方差其實(shí)就是白噪聲項(xiàng)的方差。第29頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五例1、已知某地區(qū)每年常駐人口數(shù)量近似服從MA(3)模型（單位：萬）：最近3年的常駐人口數(shù)量及一步預(yù)測數(shù)量如下預(yù)測未來5年該地區(qū)常住人口的95％置信區(qū)間年份統(tǒng)計(jì)人數(shù)預(yù)測人數(shù)200210411020031081002004105109第30頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五第31頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五第32頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五第33頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五第34頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五第35頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五第36頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五注(1)在預(yù)測時(shí)，往往給at序列一個(gè)初始值，之前的擾動(dòng)視為零，由此可遞推計(jì)算出at.(2)如果把預(yù)測值看作的函數(shù)，則預(yù)測函數(shù)的形式是由模型的自回歸部分決定的，滑動(dòng)平均部分用于確定預(yù)測函數(shù)中的待定系數(shù)，使得預(yù)測函數(shù)“適應(yīng)”于觀測數(shù)據(jù).第37頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五二、適時(shí)修正預(yù)測（一）問題的提出以時(shí)刻t為原點(diǎn)向前預(yù)測，得到

當(dāng)?shù)綍r(shí)刻t+1時(shí)，Xt+1已成為已知，對于t+2,t+3,…時(shí)刻的預(yù)測是否還用原來的

問題：當(dāng)有新息加入時(shí)，如何修正原有預(yù)測？第38頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五修正預(yù)測定義所謂的修正預(yù)測就是研究如何利用新的信息去獲得精度更高的預(yù)測值

方法在新的信息量比較大時(shí)——把新信息加入到舊的信息中，重新擬合模型

在新的信息量很小時(shí)——不重新擬合模型，只是將新的信息加入以修正預(yù)測值，提高預(yù)測精度第39頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五（二）適時(shí)修正預(yù)測第40頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五修正預(yù)測原理在舊信息的基礎(chǔ)上，的預(yù)測值為假設(shè)新獲得一個(gè)觀察值，則的修正預(yù)測值為修正預(yù)測誤差為預(yù)測方差為第41頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五（三）含義

當(dāng)有新息加入時(shí)，新的預(yù)測值可在舊預(yù)測值基礎(chǔ)上，適當(dāng)修正獲得，修正項(xiàng)為Glat+1，與舊的一步預(yù)測誤差有關(guān)，系數(shù)Gl隨預(yù)測超前步數(shù)而變化.第42頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五一般情況假設(shè)新獲得p個(gè)觀察值，則的修正預(yù)測值為修正預(yù)測誤差為預(yù)測方差為第43頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五第二節(jié)

非平穩(wěn)時(shí)間序列的預(yù)測一、最小均方誤差預(yù)測二、指數(shù)平滑預(yù)測三、預(yù)測效果評估四、預(yù)測的Eviews實(shí)現(xiàn)第44頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五一、最小均方誤差預(yù)測雖然均值和二階矩隨時(shí)間變化，但過程可由有限的參數(shù)完全確定.設(shè)模型可逆1、當(dāng)Xt,Xt-1,…已知時(shí)，Xt+l的最優(yōu)預(yù)測由其條件期望給出，即第45頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五2、ARIMA模型的預(yù)測公式與ARMA模型有完全相同的形式.第46頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五3、對于不同的模型，Gj的性質(zhì)各不相同，從而預(yù)測的穩(wěn)定性不同.(1)ARMA:①

系統(tǒng)的記憶性衰減為零，預(yù)測值隨著超前步數(shù)的增大，也將趨于零(過程的均值).②

預(yù)測的有效范圍可由兩條水平線表示.第47頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五第48頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五(2)ARIMA:①

系統(tǒng)的記憶性趨于恒定，預(yù)測值隨著超前步數(shù)的增大，也將趨于常數(shù).②

預(yù)測有效的范圍隨預(yù)測步長的增大而增大，預(yù)測結(jié)果隨時(shí)間推移越來越不確定，不再可信.第49頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五第50頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五4、實(shí)際預(yù)測中，可對SARIMA或ARIMA模型直接考察條件期望，即直接由模型表達(dá)式遞推出Xt+l的表達(dá)式，等式兩邊求條件期望可得.第51頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五考察如下模型已知ARIMA(1,1,1)模型為

且求的95％的置信區(qū)間.

第52頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五等價(jià)形式計(jì)算預(yù)測值第53頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五計(jì)算置信區(qū)間Green函數(shù)值方差95％置信區(qū)間第54頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五二、指數(shù)平滑預(yù)測（一）指數(shù)平滑預(yù)測1、簡單移動(dòng)平均法①選一個(gè)N，N的大小取決于我們想要研究多遠(yuǎn)的過去，并取最近N個(gè)觀察值的平均數(shù)作為下一個(gè)觀察值的預(yù)測值.②對Xt~Xt-N+1給定一個(gè)相等的權(quán)數(shù)1/N，對Xt-N及以前的觀察值給一個(gè)零權(quán)數(shù)的加權(quán)平均數(shù).第55頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五2、指數(shù)平滑法①由于系統(tǒng)對過去記憶的衰減，強(qiáng)調(diào)遞減權(quán)數(shù)，使時(shí)間越遠(yuǎn)的觀察值，其權(quán)數(shù)越小.②兩個(gè)重要公式③平滑常數(shù)的確定是關(guān)鍵，保證衰減.第56頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五3、指數(shù)平滑預(yù)測與ARIMA模型預(yù)測的關(guān)系①指數(shù)平滑預(yù)測是ARIMA預(yù)測的特例.②ARIMA模型提供非常自然和最優(yōu)方式預(yù)測所需的權(quán)數(shù)，而移動(dòng)平均或指數(shù)平滑需特別注意權(quán)數(shù)的個(gè)數(shù)和形式.③ARIMA預(yù)測是最小均方誤差預(yù)測，而移動(dòng)平均或指數(shù)平滑不具有這種最優(yōu)特性.第57頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五※預(yù)測精度的一般含義是指預(yù)測模型擬合的好壞程度，即由預(yù)測模型所產(chǎn)生的模擬值與歷史實(shí)際值擬合程度的優(yōu)劣.

如何提高預(yù)測精度是預(yù)測研究的一項(xiàng)重要任務(wù).不過，對預(yù)測用戶而言，過去的預(yù)測精度毫無價(jià)值，只有預(yù)測未來的精確度才是最重要的.

三、預(yù)測效果評估

第58頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五※測定預(yù)測精度的方法

平均誤差和平均絕對誤差

平均誤差的公式為：

平均絕對誤差的公式為：

第59頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五

平均相對誤差和平均相對誤差絕對值平均相對誤差的公式為：

平均相對誤差絕對值的公式為：

第60頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五預(yù)測誤差的方差和標(biāo)準(zhǔn)差

預(yù)測誤差的方差公式為：

預(yù)測誤差的標(biāo)準(zhǔn)差公式為：

預(yù)測誤差的方差比平均絕對誤差或平均相對誤差絕對值能更好地衡量預(yù)測的精確度.第61頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五

假設(shè)預(yù)測樣本為，T為實(shí)際值樣本長度，用和分別表示t期的實(shí)際值與預(yù)測值.計(jì)算出的預(yù)測誤差統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下所示：

第62頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五第63頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五RootMeanSquaredError

均方根誤差

MeanAbsoluteError

平均絕對誤差

MeanAbsolutePercentageError

平均相對誤差

TheilInequalityCoefficient

泰爾不等系數(shù)

第64頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五

前兩個(gè)預(yù)測誤差統(tǒng)計(jì)量由因變量規(guī)模決定.它們應(yīng)該被作為相對指標(biāo)來比較同樣的序列在不同模型中的預(yù)測結(jié)果，誤差越小，該模型的預(yù)測能力越強(qiáng).

后兩個(gè)統(tǒng)計(jì)值是相對量.泰爾(Theil)不等系數(shù)總是處于0和1之間，這里0表示與真實(shí)值完全擬合.第65頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五式中分別為和的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差，r為和的相關(guān)系數(shù).該比值被定義為：

預(yù)測均方差可以分解為：第66頁，共72頁，2023年，2月20日，星期五BiasProportion偏差比

VarianceProportion方差比

CovarianceProportion協(xié)方差比

偏差比表明預(yù)測均值與序列實(shí)際值的偏差程度；方差比表明預(yù)測方差與序列實(shí)際方差的偏離程度；協(xié)方差比衡量非系統(tǒng)誤差的大小.

注意：偏差比、方差比和協(xié)方差比之和為1.

如果預(yù)測結(jié)果好，那么偏差比和方差比應(yīng)該較小，協(xié)方