最小二乘法與組合測量

最小二乘法與組合測量1第1頁，共25頁，2023年，2月20日，星期五教學(xué)目標(biāo)最小二乘法是一種在數(shù)據(jù)處理和誤差估計(jì)等多學(xué)科領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用的數(shù)學(xué)工具。隨著現(xiàn)代數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，最小二乘法成為參數(shù)估計(jì)、數(shù)據(jù)處理、回歸分析和經(jīng)驗(yàn)公式擬合中必不可少的手段，并已形成統(tǒng)計(jì)推斷的一種準(zhǔn)則。通過本章的學(xué)習(xí)，用戶可以掌握最小二乘法的基本原理，以及在組合測量問題的數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用。2第2頁，共25頁，2023年，2月20日，星期五教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)最小二乘法原理線性參數(shù)的最小二乘法非線性參數(shù)的最小二乘法組合測量3第3頁，共25頁，2023年，2月20日，星期五第一節(jié)最小二乘法原理最小二乘法的產(chǎn)生是為了解決從一組測量值中尋找最可信賴值的問題。對某量進(jìn)行測量，得到一組數(shù)據(jù),不存在系統(tǒng)誤差和粗大誤差，相互獨(dú)立，且服從正態(tài)分布,其標(biāo)準(zhǔn)差為測得值落入的概率4第4頁，共25頁，2023年，2月20日，星期五測得值同時(shí)出現(xiàn)的概率為最可信賴值滿足

權(quán)因子最小二乘法原理

雖然是在正態(tài)分布下導(dǎo)出最小二乘法，實(shí)際上，按誤差或殘差平方和為最小進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷已形成一種準(zhǔn)則。5第5頁，共25頁，2023年，2月20日，星期五第二節(jié)

線性參數(shù)的最小二乘法6第6頁，共25頁，2023年，2月20日，星期五組合測量基本概念如為精密測定1號、2號和3號電容器的電容量測得值待解的數(shù)學(xué)模型待求量為了獲得更可靠的結(jié)果，測量次數(shù)總要多于未知參數(shù)的數(shù)目組合測量，指直接測量一組被測量的不同組合值，從它們相互所依賴的若干函數(shù)關(guān)系中，確定出各被測量的最佳估計(jì)值。7第7頁，共25頁，2023年，2月20日，星期五一、正規(guī)方程組8第8頁，共25頁，2023年，2月20日，星期五線性測量方程組線性測量方程組的一般形式為測量殘差方程組

含有隨機(jī)誤差矩陣形式9第9頁，共25頁，2023年，2月20日，星期五最小二乘法原理式求導(dǎo)正規(guī)方程組正規(guī)方程組解不等權(quán)正規(guī)方程組10第10頁，共25頁，2023年，2月20日，星期五三、標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)

1、直接測量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)

（加權(quán)）未知量個(gè)數(shù)方程個(gè)數(shù)殘差2、待求量的標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)

直接測量量的標(biāo)準(zhǔn)差對角元素誤差傳播系數(shù)

3、待求量與的相關(guān)系數(shù)

元素11第11頁，共25頁，2023年，2月20日，星期五【例8-１】為精密測定1號、2號和3號電容器的電容量，進(jìn)行了等權(quán)、獨(dú)立、無系統(tǒng)誤差的測量。測得1號電容值，2號電容值，1號和3號并聯(lián)電容值，2號和3號并聯(lián)電容值。試用最小二乘法求及其標(biāo)準(zhǔn)偏差?！窘狻苛谐鰷y量殘差方程組

矩陣形式12第12頁，共25頁，2023年，2月20日，星期五正規(guī)方程組13第13頁，共25頁，2023年，2月20日，星期五正規(guī)方程組解即14第14頁，共25頁，2023年，2月20日，星期五標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算代入殘差方程組，計(jì)算

15第15頁，共25頁，2023年，2月20日，星期五第三節(jié)非線性參數(shù)的最小二乘法測量殘差方程組

非線性函數(shù)取的初始似值泰勒展開按線性參數(shù)最小二乘法解得

迭代直至滿足精度為止16第16頁，共25頁，2023年，2月20日，星期五【例8-2】在例8-1的基礎(chǔ)上，再增加一次測量串聯(lián)電容，測得。試用最小二乘法求及其標(biāo)準(zhǔn)偏差?！窘狻苛谐龇蔷€性測量方程組

17第17頁，共25頁，2023年，2月20日，星期五

對前４個(gè)線性測量方程組，按例8-1求出解，作為初次近似解

在附近，取泰勒展開的一階近似

18第18頁，共25頁，2023年，2月20日，星期五寫出線性化殘差方程組

整理得正規(guī)方程組

解出

迭代19第19頁，共25頁，2023年，2月20日，星期五6次迭代結(jié)果

表8-2迭代次數(shù)00000.325-0.4250.1501-0.0473-0.03630.04180.278-0.4610.1922-0.0713-0.03730.05430.206-0.4990.2463-0.0472-0.05550.02640.159-0.5040.27340.001980.001050.006280.161-0.4940.2665-0.00113-0.00142-0.001270.160-0.4950.26860.0003150.0004190.0003670.160-0.4950.26720第20頁，共25頁，2023年，2月20日，星期五第四節(jié)

組合測量問題應(yīng)用舉例21第21頁，共25頁，2023年，2月20日，星期五【例8-3】

要求檢定絲紋尺0，1，2，3刻線間的距離。已知用組合測量法測得圖所示刻線間隙的各種組合量。試用最小二乘法求及其標(biāo)準(zhǔn)偏差。22第22頁，共25頁，2023年，2月20日，星期五計(jì)算步驟【解】列出測量殘差方程組

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