大學物理簡明教程答案

本文格式為Word版，下載可任意編輯——大學物理簡明教程答案習題5

5-1電量都是q的三個點電荷，分別放在正三角形的三個頂點.試問：(1)在這三角形的中心放一個什么樣的電荷，就可以使這四個電荷都達到平衡(即每個電荷受其他三個電荷的庫侖力之和都為零)？(2)這種平衡與三角形的邊長有無關系？解:如題5-1圖示

(1)以A處點電荷為研究對象，由力平衡知：q?為負電荷

1q212cos30??4π?0a24π?0?(32a)3

解得q???(2)與三角形邊長無關．

3q3題5-1圖題5-2圖

題5-2圖

5-2兩小球的質量都是m，都用長為l的細繩掛在同一點，它們帶有一致電量，靜止時兩線夾角為2θ，如題5--2圖所示.設小球的半徑和線的質量都可以忽略不計，求每個小球所帶的電量.解:如題5-2圖示

Tcos??mg??q2?Tsin??F?1e?4π?0(2lsin?)2?解得q?2lsin?4??0mgtan?

5-3在真空中有A，B兩平行板，相對距離為d，板面積為S，其帶電量分別為＋q和－q.則這兩板之間有相互作用力f，有人說

f?q24??0d2，又有人說，由于f＝qE，E?q，所以?0Sq2試問這兩種說法對嗎？為什么？f終究應等于多少？f??0S解:題中的兩種說法均不對．第一種說法中把兩帶電板視為點電荷是不對的，其次種說法把合場強E?q看成是一個帶電板在另一帶電板處的場強也是不對的．正確解允許為一個板的電?0S2場為E?，另一板受它的作用力f?q，這是兩板間相互作用的電場力．?2?0S2?0S2?0Sq

5-4長l＝15.0cm的直導線AB上均勻地分布著線密度??5.0?10線中點相距d2?5.0cm處Q點的場強.解：如題5-4圖所示

?9Cm的正電荷.試求：(1)

在導線的延長線上與導線B端相距a1?5.0cm處P點的場強；(2)在導線的垂直平分線上與導

題5-4圖

(1)在帶電直線上取線元dx，其上電量dq在P點產(chǎn)生場強為

dEP?1?dx

4π?0(a?x)2?EP??dEP?4π?0??l2l?2dx2(a?x)?11[?]

ll4π?0a?a?222?用l?lπ?0(4a?l)2

?15cm，??5.0?10?9C?m?1,a?12.5cm代入得

EP?6.74?102N?C?1方向水平向右

(2)

dEQ?1?dx方向如題5-4圖所示224π?0x?d2由于對稱性

?dE?0，即EQ只有y分量，?Qxl∵dEQy1?dx?4π?0x2?d22d2x?d222

l2l?2EQy??dEQyld??24π?2

?dx(x2?d22)32

?以??5.0?10?9?l2π?0l?4d222C?cm?1,l?15cm,d2?5cm代入得

EQ?EQy?14.96?102N?C?1，方向沿y軸正向

5-5(1)點電荷q位于一邊長為a的立方體中心，試求在該點電荷電場中穿過立方體的一個面的電通量；(2)假使該場源點電荷移動到該立方體的一個頂點上，這時穿過立方體各面的電通量是多少？

??q解:(1)由高斯定理?E?dS?

s?0立方體六個面，當q在立方體中心時，每個面上電通量相等∴各面電通量?e?q．6?0(2)電荷在頂點時，將立方體延伸為邊長2a的立方體，使q處于邊長2a的立方體中心，則邊

長2a的正方形上電通量?e?q6?0q，24?0對于邊長a的正方形，假使它不包含q所在的頂點，則?e?假使它包含q所在頂點則?e?0．

如題5-5(a)圖所示．題5-5(3)圖

題5-5(a)圖題5-5(b)圖題5-5(c)圖

5-6均勻帶電球殼內半徑6cm，外半徑10cm，電荷體密度為2?105cm,8cm及12cm的各點的場強.

?5Cm3.試求距球心

???q2解:高斯定理?E?dS?,E4πr?s?0?q

?0當r?5cm時，?q?0,E?0

4π33(r?r內)3?r?8cm時，?q?p?∴E?4π32r?r內3?3.48?104N?C?1，方向沿半徑向外．24π?0r??r?12cm時,?q??4π33(r外?r內）3?∴E?4π33r外?r內3?4.10?104N?C?1沿半徑向外.24π?0r??

5-7半徑為R1和R2(R2>R1)的兩無限長同軸圓柱面，單位長度上分別帶有電量λ和－λ，試求：(1)rR2處各點的場強.

???q解:高斯定理?E?dS?

s?0取同軸圓柱形高斯面，側面積SS?2πrl

??則?E?dS?E2πrl

對(1)r(2)R1∴E??R1?q?0,E?0?r?R2?q?l?

?沿徑向向外

2π?0r?R2?q?0

(3)r∴E

?0

5-8兩個無限大的平行平面都均勻帶電，電荷的面密度分別為?1和?2，試求空間各處場強.

題5-8圖

解:如題5-8圖示，兩帶電平面均勻帶電，電荷面密度分別為?1與?2，

?1?(?1??2)n兩面間，E?2?0?1??1面外，E??(?1??2)n

2?0?1??2面外，E?(?1??2)n

2?0?n：垂直于兩平面由?1面指為?2面．

5-9如題5-9圖所示，在A，B兩點處放有電量分別為＋q，－q的點電荷，AB間距離為2R，現(xiàn)將另一正試驗點電荷q0從O點經(jīng)過半圓弧移到C點，求移動過程中電場力做的功.解:如題5-9圖示

UO?1(?)?04π?0RRUO?1q(?)??4π?03RR6π?0Rqoq

6π?0R∴A?q0(UO?UC)?題5-9圖題5-10圖

5-10如題5-10圖所示的絕緣細線上均勻分布著線密度為λ的正電荷，兩段直導線的長度和半圓環(huán)的半徑都等于R.試求環(huán)中心O點處的場強和電勢.

解:(1)由于電荷均勻分布與對稱性，AB和CD段電荷在O點產(chǎn)生的場強相互抵消，取

dl?Rd?

則dq??Rd?產(chǎn)生O點dE如圖，由于對稱性，O點場強沿

?y軸負方向

題5-10圖

E??dEy??2???Rd?cos??4π?R202?

???［sin(?)?sin］

4π?0R22??

2π?0R?(2)AB電荷在O點產(chǎn)生電勢，以U??0

U1??AB2R?dx?dx????ln2R4π?0x4π?0x4π?0同理CD產(chǎn)生U2??ln24π?0半圓環(huán)產(chǎn)生U3?πR???

4π?0R4?0∴UO?U1?U2?U3?

??ln2?2π?04?0題5-11圖

5-11三個平行金屬板A，B和C的面積都是200cm2，A和B相距4.0mm，A與C相距2.0

－

mm，B，C都接地，如題5-11圖所示.假使使A板帶正電3.0×107C，略去邊緣效應，問B板和C板上的感應電荷各是多少？以地的電勢為零，則A板的電勢是多少？解:如題5-11圖示，令A板左側面電荷面密度為?1，右側面電荷面密度為?2

題5-11圖

(1)∵UAC?UAB，即∴EACdAC?EABdAB

∴

?1EACdAB???2?2EABdAC?qAS且?1+?2得?2?qA2q,?1?A3S3S2qA??2?10?7C3而qC???1S??qB???2S??1?10?7C(2)UA

?EACdAC??1dAC?2.3?103V?0

5-12兩個半徑分別為R1和R2(R1R1)，且l之間充有介電常數(shù)ε的均勻電介質.當兩圓柱面分別帶等量異號電荷Q和－Q時，求：

(1)在半徑r處(R1(1)通過abcd面積S1的磁通是

?1?B?S1?2.0?0.3?0.4?0.24Wb

(2)通過befc面積S2的磁通量

?????2?B?S2?0

(3)通過aefd面積S3的磁通量

??4?3?B?S3?2?0.3?0.5?cos??2?0.3?0.5??0.24Wb(或曰?0.24Wb)

5

題6-4圖

6-4如題6-4圖所示，AB、CD為長直導線，BC為圓心在O點的一段圓弧形導線，其半徑為R.若通以電流I，求O點的磁感應強度.

?解：如題6-4圖所示，O點磁場由AB、BC、CD三部分電流產(chǎn)生．其中

AB

產(chǎn)生B1?0產(chǎn)生B2?CD??0I12R，方向垂直向里

CD

段產(chǎn)生B3??0I?I3(sin90??sin60?)?0(1?)，方向?向里R2?R24?2∴B0?B1?B2?B3??0I3?(1??)，方向?向里．2?R26

6-5在真空中，有兩根相互平行的無限長直導線L1和L2，相距0.10m，通有方向相反的電流，I1?20A，I2?10A，如題6-5圖所示.A，B兩點與導線在同一平面內.這兩點與導線L2的距離均為5.0cm.試求A，B兩點處的磁感應強度，以及磁感應強度為零的點的位置.

題6-5圖

解：如題6-5圖所示,BA方向垂直紙面向里

?BA??0I12?(0.1?0.05)??0I2?1.2?10?4T

2??0.05(2)設B?0在L2外側距離L2為r處則

??0I2?(r?0.1)??I2?02?r解得r

?0.1m

題6-6圖

6-6如題6-6圖所示，兩根導線沿半徑方向引向鐵環(huán)上的A，B兩點，并在很遠處與電源相連.已知圓環(huán)的粗細均勻，求環(huán)中心O的磁感應強度.

解：如題6-6圖所示，圓心O點磁場由直電流A?和B?及兩段圓弧上電流I1與I2所產(chǎn)生，但A?和B?在O點產(chǎn)生的磁場為零。且

I1電阻R2???.I2電阻R12????I1產(chǎn)生B1方向?紙面向外

B1??I2產(chǎn)生B2方向?紙面向里

?0I1(2???)，

2R2?B2??0I2?2R2?

∴

B1I1(2???)??1B2I2????有B0?B1?B2?0

6-7設題6-7圖中兩導線中的電流均為8A，對圖示的三條閉合曲線a，b，c，分別寫出安培環(huán)路定理等式右邊電流的代數(shù)和.并探討：

(1)在各條閉合曲線上，各點的磁感應強度B的大小是否相等？(2)在閉合曲線c上各點的B是否為零？為什么？

??解：?B?dl?8?0

a題6-7圖

??ba??B?dl?8?0

c???B?dl?0

(1)在各條閉合曲線上，各點B的大小不相等．

???(2)在閉合曲線C上各點B不為零．只是B的環(huán)路積分為零而非每點B?0．

題6-8圖

6-8一根很長的同軸電纜，由一導體圓柱(半徑為a)和一同軸的導體圓管(內、外半徑分別為b，c)構成，如題6-8圖所示.使用時，電流I從一導體流去，從另一導體流回.設電流都是均勻地分布在導體的橫截面上，求：(1)導體圓柱內(r?a)，(2)兩導體之間(a?r?b)，(3)導體圓筒內(b?r?c)，(4)電纜外(r?c)各點處磁感應強度的大小.解：

?L??B?dl??0?I

Ir2(1)r?aB2?r??02

RB?(2)a?r?0Ir2?R2

?bB2?r??0I

B??0I2?r

r2?b2??0I(3)b?r?cB2?r???0I22c?b?0I(c2?r2)B?222?r(c?b)(4)r?cB2?r?0

B?0

6-9在磁感應強度為B的均勻磁場中，垂直于磁場方向的平面內有一段載流彎曲導線，電流為I，如題6-9圖所示.求其所受的安培力.

題6-9圖

?解：在曲線上取dl

???b則Fab??Idl?B

a??????∵dl與B夾角?dl，B??不變，B是均勻的．

2????bb?∴Fab??Idl?B?I(?dl)?B?Iab?B

aa方向⊥ab向上，大小Fab?BI

ab

題6-10圖

6-10如題6-10圖所示，在長直導線AB內通以電流I1?20A，在矩形線圈CDEF中通有電流

I2?10A，AB與線圈共面，且CD，EF都與AB平行.已知a＝9.0cm，b＝20.0cm，d＝1.0cm，

求：

(1)導線AB的磁場對矩形線圈每邊所作用的力；(2)矩形線圈所受合力和合力矩.

?解：(1)FCD方向垂直CD向左，大小

FCD?I2b?F同理FE方向垂直FE向右，大小

?0I1?8.0?10?4N2?dFFE?I2b?FCF方向垂直CF向上，大小為

?0I12?(d?a)?8.0?10?5N

FCF??d?ad?0I1I2?IId?adr?012ln?9.2?10?5N2?r2?d?FED方向垂直ED向下，大小為

FED?FCF?9.2?10?5?????(2)合力F?FCD?FFE?FCF?FED方向向左，大小為

N

F?7.2?10?4N

合力矩M?Pm?B∵線圈與導線共面

?????∴Pm//B

?M?0．

6-11一正方形線圈，由細導線做成，邊長為a，共有N匝，可以繞通過其相對兩邊中點的一個豎直軸自由轉動.現(xiàn)在線圈中通有電流I，并把線圈放在均勻的水平外磁場B中，求線圈磁矩與磁場B的夾角為θ時，線圈受的轉動力矩.

題6-11圖

??解：設微振動時線圈振動角度為?(???Pm,B?)，則

M?PmBsin??NIa2Bsin?

d2???NIa2Bsin???NIa2B?由轉動定律J2atd2?NIa2B???0即2Jdt∴振動角頻率??NIa2BJ

周期T

?2???2?J

Na2IB題6-12圖

6-12一長直導線通有電流I1?20A，旁邊放一導線ab，其中通有電流I2?10A，且兩者共面，如題6-12圖所示.求導線ab所受作用力對O點的力矩.解：在ab上取dr，它受力

?dF?ab向上，大小為

dF?I2dr?0I12?r????dF對O點力矩dM?r?F?dM方向垂直紙面向外，大小為

dM?rdF?M??dM?ab?0I1I2dr2??0I1I22??badr?3.6?10?6N?m

題6-13圖

?4

6-13電子在B?70?10T的勻強磁場中作圓周運動，圓周半徑r＝3.0cm.已知B垂直于紙面向外，某時刻電子在A點，速度v向上，如題6-13圖所示.

(1)試畫出這電子運動的軌道；(2)求這電子速度v的大??；(3)求這電子的動能Ek.解：(1)軌跡如圖

題6-13圖

v2(2)∵evB?m

reBr?3.7?107m?s?1m12?16(3)EK?mv?6.2?10J

2∴v?

6-14題6-14圖中的三條線表示三種不同磁介質的B-H關系曲線，虛線是B??0H關系的曲

線，試指出哪一條是表示順磁質？哪一條是表示抗磁質？哪一條是表示鐵磁質？

題6-14圖

答:曲線Ⅱ是順磁質，曲線Ⅲ是抗磁質，曲線Ⅰ是鐵磁質．

6-15螺繞環(huán)中心周長L＝10cm，環(huán)上線圈匝數(shù)N＝200匝，線圈中通有電流I＝100mA.(1)當管內是真空時，求管中心的磁場強度H和磁感應強度B0；

(2)若環(huán)內充滿相對磁導率?r＝4200的磁性物質，則管內的B和H各是多少？

??解:(1)?H?dl??I

lHL?NINIH??200A?m?1

LB0??0H?2.5?10?4T

(2)H習題7

7-1一半徑r＝10cm的圓形回路放在B＝0.8T的均勻磁場中，回路平面與B垂直.當回路半徑以恒定速率

?200A?m?1B??H??r?oH?1.05T

dr=80cm/s收縮時，求回路中感應電動勢的大小.dt2解:回路磁通?m?BS?Bπr感應電動勢大小

??d?mddr?(Bπr2)?B2πr?0.40Vdtdtdt

7-2如題7-2圖所示，載有電流I的長直導線附近，放一導體半圓環(huán)MeN與長直導線共面，且端點MN的連線與長直導線垂直.半圓環(huán)的半徑為b，環(huán)心O與導線相距a.設半圓環(huán)以速度v平

行導線平移.求半圓環(huán)內感應電動勢的大小和方向及MN兩端的電壓UM－UN.

題7-2

解:作輔助線MN，則在MeNM回路中，沿v方向運動時d?m?0∴?MeNM?0即?MeN??MN又∵?MN?所以?MeN沿NeM方向，

大小為

??a?ba?bvBcos?dl??0Iva?bln?02?a?b?0Iva?bln2?a?bM點電勢高于N點電勢，即

UM?UN?

?0Iva?bln2?a?b題7-3

7-3如題7-3圖所示，在兩平行載流的無限長直導線的平面內有一矩形線圈.兩導線中的電流方

dI

向相反、大小相等，且電流以的變化率增大，求：

dt

(1)任一時刻線圈內所通過的磁通量；(2)線圈中的感應電動勢.解:以向外磁通為正則

b?ad?a?ln]?b2πrd2πr2πbdd??0ld?ab?adI(2)????[ln?ln]

dt2πdbdt(1)?m?b?a?0Ildr??d?a?0Ildr??0Il[ln

題7-4

7-4如題7-4圖所示，長直導線通以電流I＝5A，在其右方放一長方形線圈，兩者共面.線圈長b＝0.06m，寬a＝0.04m，線圈以速度v＝0.03m/s垂直于直線平移遠離.求：d＝0.05m時線圈中感應電動勢的大小和方向.

?解:AB、CD運動速度v方向與磁力線平行，不產(chǎn)生感應電動勢．

DA產(chǎn)生電動勢

?I????1??(v?B)?dl?vBb?vb0

D2?dABC產(chǎn)生電動勢

?2??∴回路中總感應電動勢

CB???(v?B)?dl??vb?0I2π(a?d)

???1??2??0Ibv11(?)?1.6?10?8V2πdd?a方向沿順時針．

7-5長度為l的金屬桿ab以速率v在導電軌道abcd上平行移動.已知導軌處于均勻磁場B中，B的方向與回路的法線成60°角(如題7-5圖所示)，B的大小為B＝kt(k為正常數(shù)).設t＝0時桿位于cd處，求：任一時刻t導線回路中感應電動勢的大小和方向.

題7-5圖

解:?m?

??1122B?dS?Blvtcos60??ktlv?klvt?22∴?即沿abcd方向順時針方向．

??d?m??klvtdt題7-6圖

7-6一矩形導線框以恒定的加速度向右穿過一均勻磁場區(qū)，B的方向如題7-6圖所示.取逆時針方向為電流正方向，畫出線框中電流與時間的關系(設導線框剛進入磁場區(qū)時t＝0).解:如圖逆時針為矩形導線框正向，則進入時

d??0,??0；dt題7-6圖(a)在磁場中時出場時

7-7導線ab長為l，繞過O點的垂直軸以勻角速ω轉動.aO=如題7-7所示.試求：

(1)ab兩端的電勢差；

(2)a，b兩端哪一點電勢高？

題7-6圖(b)

d??0,??0；dtd??0，??0，故I?t曲線如題7-6圖(b)所示.dtl，磁感應強度B平行于轉軸，3題7-7圖

解:(1)在Ob上取r

?r?dr一小段

則?Ob??2l30?rBdr?2B?2l91B?l218同理?Oa??l30?rBdr?∴?ab??aO??Ob?(?121?)B?l2?B?l21896(2)∵?ab?0即Ua?Ub?0∴b點電勢高．

題7-8圖

7-8一無限長直導線和一正方形的線圈如題7-8圖所示放置(導線與線圈接觸處絕緣).求：線圈與導線間的互感系數(shù).

解：設長直電流為I，其磁場通過正方形線圈的互感磁通為

?12??∴M2a3a3?0Ia2πrdr??0Ia2πl(wèi)n2

??12I??0a2πl(wèi)n2

7-9兩根平行長直導線，橫截面的半徑都是a，中心相距為d，兩導線屬于同一回路.設兩導線內部的磁通可忽略不計，證明：這樣一對導線長度為l的一段自感為

L=?0ld?a.In?a

題7-9圖

解：如題7-9圖所示，取dS則???ldr

)ldr??d?aa(?0I2rπ??0I2π(d?r)?0Il2π?d?aa?Il11d?ad(?)dr?0(ln?ln)rr?d2πad?a??0Ilπl(wèi)nd?aa∴L??I??0lπl(wèi)nd?aa

7-10兩線圈順串聯(lián)后總自感為1.0H，在它們的形狀和位置都不變的狀況下，反串聯(lián)后總自感為0.4H.試求：它們之間的互感.解：∵順串時L反串聯(lián)時L???L1?L2?2M

L1?L2?2M

L?L??0.15H4∴L?L??4M

M?

題7-11圖

7-11一矩形截面的螺繞環(huán)如題7-11圖所示，共有N匝.試求：

(1)此螺繞環(huán)的自感系數(shù)；

(2)若導線內通有電流I，環(huán)內磁能為多少？解：如題7-11圖示(1)通過橫截面的磁通為??b

??0NI2rπahdr??0NIh2πl(wèi)nba磁鏈??N???0N2Ih2πl(wèi)nba∴L??I??0N2h2πl(wèi)nba(2)∵Wm?12LI2∴Wm??0N2I2h4πl(wèi)nba

7-12一無限長圓柱形直導線，其截面各處的電流密度相等，總電流為I.求：導線內部單位長度上所儲存的磁能.解：在r?R時B??0Ir2πR2

?0I2r2B2∴wm??242?08πR取dV則W??2πrdr(∵導線長l?1)

R?R0wm2?rdr???0I2r3dr4πR40??0I216π

7-13圓柱形電容器內、外導體截面半徑分別為R1和R2(R1＜R2)，中間充滿介電常數(shù)為ε的電介質.當兩極板間的電壓隨時間的變化為移電流密度.

dU=k時(k為常數(shù))，求介質內距圓柱軸線為r處的位dt解：圓柱形電容器電容C?2??lR2lnR1q?CU?2??lUR2lnR1D?q2??lU?U??S2?rlnR2rlnR2R1R1∴

j??D??t?kRrln2R1

7-14試證：平行板電容器的位移電流可寫成Id=CdU.式中C為電容器的電容，U是電容器dt兩極板的電勢差.假使不是平板電容器，以上關系還適用嗎？解：∵q?CU

D??0?∴?D

不是平板電容器時D??0仍成立∴ID?CCUS?DS?CU

ID?d?DdU?CdtdtdU還適用．dt

7-15半徑為R＝0.10m的兩塊圓板構成平行板電容器，放在真空中.今對電容器勻速充電，使兩極板間電場的變化率為

dEs).求兩極板間的位移電流，并計算電容器內離兩=1.0?1013V/(m·

dt?D?E??0?t?t圓板中心聯(lián)線r(r＜R)處的磁感應強度Br以及r＝R處的磁感應強度BR.解:(1)jD?ID?jDS?jD?R2?2.8A

????(2)∵?H?dl??I0??jD?dS

lS取平行于極板，以兩板中心聯(lián)線為圓心的圓周l?2?r，則

H2?r?jD?r2??0∴H?dE2?rdtrdE?02dt??rdEBr??0H?002dt當r

?R時，BR??0?0RdE2dt?5.6?10?6T

習題8

8-1質量為10×103kg的小球與輕彈簧組成的系統(tǒng)，按x?0.1cos(8?t?－

2?)(SI)的規(guī)律做諧3振動，求：

(1)振動的周期、振幅、初位相及速度與加速度的最大值；

(2)最大的回復力、振動能量、平均動能和平均勢能，在哪些位置上動能與勢能相等？(3)t2＝5s與t1＝1s兩個時刻的位相差.解：(1)設諧振動的標準方程為x?Acos(?t??0)，則知：

A?0.1m,??8?,?T?又

2?1?s,?0?2?/3?4vm??A?0.8?m?s?1?2.51m?s?1am??2A?63.2m?s?2

(2)

Fm?am?0.63N

12mvm?3.16?10?2J21Ep?Ek?E?1.58?10?2J

2E?當Ek?Ep時，有E?2Ep，即

12112kx??(kA)22222A??m220∴x??(3)????(t2?t1)?8?(5?1)?32?

8-2一個沿x軸做簡諧振動的彈簧振子，振幅為A，周期為T，其振動方程用余弦函數(shù)表出.假使t＝0時質點的狀態(tài)分別是：

(1)x0＝－A；

(2)過平衡位置向正向運動；

A處向負向運動；2A(4)過x??處向正向運動.

2(3)過x?試求出相應的初位相，并寫出振動方程.解：由于??x0?Acos?0

?v0???Asin?02?x?Acos(t??)

T2?3x?Acos(t??)

T22??x?Acos(t?)

T32?5x?Acos(t??)

T4將以上初值條件代入上式，使兩式同時成立之值即為該條件下的初位相．故有

?1???2???3??4?32?35?4

－

8-3一質量為10×103kg的物體做諧振動，振幅為24cm，周期為4.0s，當t＝0時位移為＋24cm.求：

(1)t＝0.5s時，物體所在的位置及此時所受力的大小和方向；(2)由起始位置運動到x＝12cm處所需的最短時間；(3)在x＝12cm處物體的總能量.解：由題已知A?24?10m,T?4.0s∴??又，t?22??0.5?Trad?s?1

?0時，x0??A,??0?0

故振動方程為

x?24?10?2cos(0.5?t)m

(1)將t?0.5s代入得

x0.5?24?10?2cos(0.5?t)m?0.17m

F??ma??m?2x??10?10?()?0.17??4.2?10N2方向指向坐標原點，即沿x軸負向．(2)由題知，t?3?2?3

?0時，?0?0，

A?,且v?0,故?t?23t?t時x0??

∴t????E????/2?s323(3)由于諧振動中能量守恒，故在任一位置處或任一時刻的系統(tǒng)的總能量均為

121kA?m?2A2221???10?10?3()2?(0.24)222?7.1?10?4J

8-4有一輕彈簧，下面懸掛質量為1.0g的物體時，伸長為4.9cm.用這個彈簧和一個質量為8.0g的小球構成彈簧振子，將小球由平衡位置向下拉開1.0cm后，給予向上的初速度v0＝5.0cm·s－1

，求振動周期和振動表達式.解：

m1g1.0?10?3?9.8?1k???0.2N?m?2x14.9?10而t?0時，x0??1.0?10?2m,v0?5.0?10?2m?s-1(設向上為正)

?k0.22???5,即T??1.26sm?8?10?3又??2A?x0?(v0?)2?225.0?10?22?(1.0?10)?()

5?2?10?2mv05.0?10?25?tan?0????1,即??0x0?1.0?10?2?54∴x?52?10?2cos(5t??)m

4

8-5題8-5圖為兩個諧振動的x－t曲線，試分別寫出其諧振動方程.

題8-5圖

解：由題8-5圖(a)，∵t

3?0時，x0?0,v0?0,??0??,又,A?10cm,T?2s

22?即????rad?s?1

T3?)m2A5?由題8-5圖(b)∵t?0時，x0?,v0?0,??0?

23故xa?0.1cos(?t?255又?1???1????

325∴???

655?故xb?0.1cos(?t?)m

63

8-6有兩個同方向、同頻率的簡諧振動，其合成振動的振幅為0.20m，位相與第一振動的位相差為差.

t1?0時，x1?0,v1?0,??1?2???

?，已知第一振動的振幅為60.173m，求其次個振動的振幅以及第一、其次兩振動的位相

題8-6圖

解：由題意可做出旋轉矢量圖如下．由圖知

2A2?A12?A2?2A1Acos30??(0.173)2?(0.2)2?2?0.173?0.2?3/2?0.01∴A2設角AA1O為?，則

2A2?A12?A2?2A1A2cos?

?0.1m

2A12?A2?A2(0.173)2?(0.1)2?(0.02)2cos???即2A1A22?0.173?0.1?0即???2，這說明，

A1與A2間夾角為

??，即二振動的位相差為.22

8-7試用最簡單的方法求出以下兩組諧振動合成后所得合振動的振幅：

????x?5cos(3t?)cm,x?5cos(3t?)cm,1???1?33(1)?(2)?

7?4??x?5cos(3t??x?5cos(3t?)cm;)cm.22??33??7??解：(1)∵????2??1???2?,

33∴合振幅A?(2)∵???A1?A2?10cm

4?????,33∴合振幅A?0

8-8一質點同時參與兩個在同一直線上的簡諧振動，振動方程為

??x?0.4cos(2t?)m,??16?5??x?0.3cos(2t?)m.2?6?試分別用旋轉矢量法和振動合成法求合振動的振幅和初相，并寫出諧振動方程.解：∵???∴

?5?(??)??66A合?A1?A2?0.1m0.4?sin5?Asin?1?A2sin?266?3

tan??1??5?A2cos?1?A2cos?230.4cos?0.3cos66?∴??

6?0.3sin其振動方程為

?x?0.1cos(2t?)m

6(作圖法略)

習題9機械波

9-1振動和波動有什么區(qū)別和聯(lián)系？平面簡諧波動方程和簡諧振動方程有什么不同？又有什么聯(lián)系？振動曲線和波形曲線有什么不同？

解:(1)振動是指一個孤立的系統(tǒng)(也可是介質中的一個質元)在某固定平衡位置附近所做的往復運動，系統(tǒng)離開平衡位置的位移是時間的周期性函數(shù)，即可表示為y?f(t)；波動是振動在連續(xù)介質中的傳播過程，此時介質中所有質元都在各自的平衡位置附近作振動，因此介質中任一質元離開平衡位置的位移既是坐標位置x，又是時間t的函數(shù)，即y?f(x,t)．

(2)在諧振動方程y?f(t)中只有一個獨立的變量時間t，它描述的是介質中一個質元偏離平

?衡位置的位移隨時間變化的規(guī)律；平面諧波方程y?f(x,t)中有兩個獨立變量，即坐標位置x和時間t，它描述的是介質中所有質元偏離平衡位置的位移隨坐標和時間變化的規(guī)律．當諧波方程y?Acos?(t?x)中的坐標位置給定后，即可得到該點的振動方程，而波源持續(xù)u不斷地振動又是產(chǎn)生波動的必要條件之一．

(3)振動曲線y?f(t)描述的是一個質點的位移隨時間變化的規(guī)律，因此，其縱軸為

y，橫軸

為t；波動曲線y?f(x,t)描述的是介質中所有質元的位移隨位置，隨時間變化的規(guī)律，其縱軸為y，橫軸為x．每一幅圖只能給出某一時刻質元的位移隨坐標位置x變化的規(guī)律，即只能給出某一時刻的波形圖，不同時刻的波動曲線就是不同時刻的波形圖．9-2

??x??x

y?Acos???t????0?中的u表示什么？假使改寫為

??u???x?x??y?Acos??t???0?，又是什么意思？假使t和x均增加，但相應的

uu??波動方程

??x???t?????u?0?的值不變，由此能從波動方程說明什么？

????解:波動方程中的x/u表示了介質中坐標位置為x的質元的振動落后于原點的時間；示x處質元比原點落后的振動位相；設t時刻的波動方程為yt?Acos(?t?則t??t時刻的波動方程為yt??t?Acos[?(t??t)??xu則表

?xu??0)

?(x??x)u??0]

其表示在時刻t，位置x處的振動狀態(tài)，經(jīng)過?t后傳播到x?u?t處．所以在(?t?當t，x均增加時，(?t??xu)中，

?xu)的值不會變化，而這正好說明白經(jīng)過時間?t，波形即向前傳播

了?x?u?t的距離，說明y?Acos(?t??xu??0)描述的是一列行進中的波，故謂之行波方

程．

9-3在駐波的兩相鄰波節(jié)間的同一半波長上，描述各質點振動的什么物理量不同，什么物理量一致？

解:取駐波方程為y?2Acos2??xcos??vt，則可知，在相鄰兩波節(jié)中的同一半波長上，描

述各質點的振幅是不一致的，各質點的振幅是隨位置按余弦規(guī)律變化的，即振幅變化規(guī)律可表示為2Acos2??x．而在這同一半波長上，各質點的振動位相則是一致的，即以相鄰兩波節(jié)的

介質為一段，同一段介質內各質點都有一致的振動位相，而相鄰兩段介質內的質點振動位相則相反．

9-4已知波源在原點的一列平面簡諧波，波動方程為y＝Acos(Bt－Cx)，其中A，B，C為正值恒量.求：

(1)波的振幅、波速、頻率、周期與波長；

(2)寫出傳播方向上距離波源為l處一點的振動方程；

(3)任一時刻，在波的傳播方向上相距為d的兩點的位相差.解:(1)已知平面簡諧波的波動方程

y?Acos(Bt?Cx)(x?0)

將上式與波動方程的標準形式

y?Acos(2??t?2?比較，可知：波振幅為波長??x?)

A，頻率??B，2?2?B，波速u????，CC12?波動周期T??．

?B(2)將x?l代入波動方程即可得到該點的振動方程

y?Acos(Bt?Cl)

(3)因任一時刻t同一波線上兩點之間的位相差為???將x22??(x2?x1)

?x1?d，及??2?代入上式，即得C???Cd．

9-5沿繩子傳播的平面簡諧波的波動方程為y＝0.05cos(10πt－4πx)，式中x，y以m計，t以s計.求：

(1)波的波速、頻率和波長；

(2)繩子上各質點振動時的最大速度和最大加速度；

(3)求x＝0.2m處質點在t＝1s時的位相，它是原點在哪一時刻的位相？這一位相所代表的運動狀態(tài)在t＝1.25s時刻到達哪一點？解:(1)將題給方程與標準式

y?Acos(2??t?相比，得振幅A?0.05m，頻率?2??x)

?5s?1，波長??0.5m，波速u????2.5m?s?1．

(2)繩上各點的最大振速，最大加速度分別為

vmax??A?10??0.05?0.5?m?s?1amax??2A?(10?)2?0.05?5?2m?s?2

(3)x?0.2m處的振動比原點落后的時間為

x0.2??0.08su2.5

故x?0.2m,t?1s時的位相就是原點(x?0)，在t0?1?0.08?0.92s時的位相，

即??9.2π．設這一位相所代表的運動狀態(tài)在t?1.25s時刻到達x點，則

x?x1?u(t?t1)?0.2?2.5(1.25?1.0)?0.825m

－－－

9-6一平面余弦波，沿直徑為14cm的圓柱形管傳播，波的強度為18.0×103J·m2·s1，頻率

－

為300Hz，波速為300m·s1，求：

(1)波的平均能量密度和最大能量密度？(2)兩個相鄰同相面之間有多少波的能量？解:(1)∵I?wu

I10?3?6?10?5J?m?3∴w??18.0?u300wmax?2w?1.2?10?4J?m?3

(2)W??V?w121u?d??w?d244?1300?6?10?5???(0.14)2??9.24?10?7J

4300

λπ

9-7如題9-7圖所示，S1和S2為兩相干波源，振幅均為A1，相距，S1較S2位相超前，求：

42

題9-7圖

(1)S1外側各點的合振幅和強度；

(2)S2外側各點的合振幅和強度.解：（1）在S1外側，距離S1為r1的點，S1

S2傳到該P點引起的位相差為

????2?2????r?(r?)???11???4?A?A1?A1?0,I?A2?0

（2）在S2外側.距離S2為r1的點，S1S2傳到該點引起的位相差.

?2?(r2??r2)?0

2?42A?A1?A1?2A1,I?A2?4A1

－

9-8如題9-8所示，設B點發(fā)出的平面橫波沿BP方向傳播，它在B點的振動方程為y1＝2×10

－3

cos2πt；C點發(fā)出的平面橫波沿CP方向傳播，它在C點的振動方程為y2＝2×103cos(2πt＋π)，

－

此題中y以m計，t以s計.設BP＝0.4m，CP＝0.5m，波速u＝0.2m·s1，求：

(1)兩波傳到P點時的位相差；

(2)當這兩列波的振動方向一致時，P處合振動的振幅；*

(3)當這兩列波的振動方向相互垂直時，P處合振動的振幅.

?????題9-8圖

解:(1)???(?2??1)?

2??(CP?BP)

????u2????(0.5?0.4)?0

0.2AP?A1?A2?4?10?3m

(CP?BP)

(2)P點是相長干擾，且振動方向一致，所以

(3)若兩振動方向垂直，又兩分振動位相差為0，這時合振動軌跡是通過Ⅱ，Ⅳ象限的直線，所以合振幅為

2A?A12?A2?2A1?22?10?3?2.83?10?3m

9-9一駐波方程為y＝0.02cos20xcos750t(SI)，求：

(1)形成此駐波的兩列行波的振幅和波速；(2)相鄰兩波節(jié)間距離.解:(1)取駐波方程為

y?2Acos故知A?2??xcos2??tu0.02?0.01m27502??，?202?u2??2??750/2?∴u???37.5m?s?1

2023u2??/20(2)∵????0.1??0.314m所以相鄰兩波節(jié)間距離

2???750，則?????x??2?0.157m

9-10在弦上傳播的橫波，它的波動方程y1＝0.1cos(13t＋0.0079x)(SI)，試寫出一個波動方程，使它表示的波能與這列已知的橫波疊加形成駐波，并在x＝0處為波節(jié).

解:為使合成駐波在x?0處形成波節(jié)，則要反射波在x?0處與入射波有?的位相差，故反射波的波動方程為

y2?0.1cos(13t?0.0079x??)

9-11汽車駛過車站時，車站上的觀測者測得汽笛聲頻率由1200Hz變到了1000Hz，設空氣中

－

聲速為330m·s1，求汽車的速率.解:設汽車的速度為vs，汽車在駛近車站時，車站收到的頻率為

?1?u?0u?vsu?0u?vs汽車駛離車站時，車站收到的頻率為?2?聯(lián)立以上兩式，得

?1?u?1??21200?1000?300??30m?s?1

?1??21200?100

－－

9-12兩列火車分別以72km·h1和54km·h1的速度相向而行，笫一列火車發(fā)出一個600Hz的汽笛聲，若聲速為340m·s1，求其次列火車上的觀測者聽見該聲音的頻率在相遇前和相遇后分

－

別是多少？

解:設鳴笛火車的車速為v1遇前收到的頻率為

?20m?s?1，接收鳴笛的火車車速為v2?15m?s?1，則兩者相

?1?u?v2340?15?0??600?665Hzu?v1340?20兩車相遇之后收到的頻率為

?1?

習題10波動光學

u?v2340?15?0??600?541Hzu?v1340?2023-1在楊氏雙縫試驗中，作如下調理時，屏幕上的干擾條紋將如何變化？試說明理由.

(1)使兩縫之間的距離變??；

(2)保持雙縫間距不變，使雙縫與屏幕間的距離變??；(3)整個裝置的結構不變，全部浸入水中；

(4)光源作平行于S1，S2聯(lián)線方向上下微小移動；解:由?x?D?知，(1)條紋變疏；(2)條紋變密；(3)條紋變密；(4)零級明紋在屏幕上作相d反方向的上下移動；

10-2什么是光程？在不同的均勻媒質中，若單色光通過的光程相等時，其幾何路程是否一致？其所需時間是否一致？在光程差與位相差的關系式為什么？解:???2??中，光波的波長要用真空中波長，

?nr．不同媒質若光程相等，則其幾何路程定不一致；其所需時間一致，為?t??．C由于?中已經(jīng)將光在介質中的路程折算為光在真空中所走的路程。

10-3用劈尖干擾來檢測工件表面的平整度，當波長為λ的單色光垂直入射時，觀測到的干擾條紋如題10-3圖所示，每一條紋的彎曲部分的頂點恰與左鄰的直線部分的連線相切.試說明工

件缺陷是凸還是凹？并估算該缺陷的程度.

題10-3圖

解:工件缺陷是凹的．故各級等厚線(在缺陷附近的)向棱邊方向彎曲．按題意，每一條紋彎曲部分的頂點恰與左鄰的直線部分連線相切，說明彎曲部分相當于條紋向棱邊移動了一條，故相應的空氣隙厚度差為?e?

?2，這也是工件缺陷的程度．

10-4在楊氏雙縫試驗中，雙縫間距d＝0.20mm，縫屏間距D＝1.0m.試求：

(1)若第2級明條紋離屏中心的距離為6.0mm，計算此單色光的波長；(2)求相鄰兩明條紋間的距離.

1?103D?2?，解:(1)由x明?k?知，6.0?0.2d∴??0.6?10?3mm?6000A

oD1?103???0.6?10?3?3mm(2)?x?d0.2

10-5在雙縫裝置中，用一很薄的云母片(n＝1.58)覆蓋其中的一條縫，結果使屏幕上的第7級明條紋恰好移到屏幕中央原零級明紋的位置.若入射光的波長為550nm，求此云母片的厚度.解:設云母片厚度為e，則由云母片引起的光程差為

??ne?e?(n?1)e

按題意??7?

7?7?5500?10?10??6.6?10?6m?6.6?m∴e?n?11.58?1

10-6白光垂直照射到空氣中一厚度為380nm的肥皂膜上，設肥皂膜的折射率為1.33，試問該膜的正面浮現(xiàn)什么顏色？后面浮現(xiàn)什么顏色？解:由反射干擾相長公式有

2ne??2?k?(k?1,2,???)

得??4ne4?1.33?380020236??2k?12k?12k?1ok?2,?2?6739A(紅色)

k?3,?3?4043A(紫色)

所以肥皂膜正面浮現(xiàn)紫紅色．

o由透射干擾相長公式2ne?k?(k?1,2,???)所以??當k2ne10108?kk?2時，?=5054A(綠色)

o故后面浮現(xiàn)綠色．

10-7在折射率n1＝1.52的鏡頭表面涂有一層折射率n2＝1.38的MgF2增透膜，假使此膜適用于波長λ＝550nm的光，問膜的厚度應取何值？

解:設光垂直入射增透膜，欲透射加強，則膜上、下兩表面反射光應滿足干擾相消條件，即

12n2e?(k?)?(k?0,1,2,???)

21(k?)?2?k???∴e?2n22n24n2o55005500?k??(1993k?996)A2?1.384?1.38令k?0，得膜的最薄厚度為996A．

o當k為其他整數(shù)倍時，也都滿足要求．

10-8當牛頓環(huán)裝置中的透鏡與玻璃之間的空間充以液體時，第10個亮環(huán)的直徑由d1＝

－－

1.40×102m變?yōu)閐2＝1.27×102m，求液體的折射率.解:由牛頓環(huán)明環(huán)公式

r空?D1?2D2?2(2k?1)R?

2(2k?1)R?

2nr液?D1D121.96?n，即n?2?兩式相除得?1.22D2D21.61

10-9利用邁克耳孫干擾儀可測量單色光的波長.當M1移動距離為0.322mm時，觀測到干擾條紋移動數(shù)為1024條，求所用單色光的波長.解:由?d??N?2

?d0.322