人教A版高中數(shù)學必修二同步學習講義：1.3空間幾何體的表面積與體積-第1課時-Word版含答案

第1課時柱體、錐體、臺體的表面積學習目標1.通過對柱體、錐體、臺體的研究，掌握柱體、錐體、臺體的表面積的求法.2.了解柱體、錐體、臺體的表面積計算公式，能運用柱體、錐體、臺體的表面積公式進行計算和解決有關(guān)實際問題．知識點一棱柱、棱錐、棱臺的表面積思考1正方體與長方體的展開圖如圖(1)(2)所示，則相應(yīng)幾何體的表面積與其展開圖的面積有何關(guān)系？答案相等．思考2棱柱、棱錐、棱臺的表面積與其展開圖的面積是否也都相等？答案是．梳理圖形表面積多面體多面體的表面積就是各個面的面積的和，也就是展開圖的面積知識點二圓柱、圓錐、圓臺的表面積思考1圓柱OO′及其側(cè)面展開圖如圖所示，則其側(cè)面積為多少？表面積為多少？答案S側(cè)＝2πrl，S表＝2πr(r＋l)．思考2圓錐SO及其側(cè)面展開圖如圖所示，則其側(cè)面積為多少？表面積為多少？答案底面周長是2πr，利用扇形面積公式得S側(cè)＝eq\f(1,2)×2πrl＝πrl，S表＝πr2＋πrl＝πr(r＋l)．思考3圓臺OO′及其側(cè)面展開圖如圖所示，則其側(cè)面積為多少？表面積為多少？答案如圖，圓臺的側(cè)面展開圖是扇環(huán)，內(nèi)弧長等于圓臺上底周長，外弧長等于圓臺下底周長，如圖，eq\f(x,x＋l)＝eq\f(r,R)，解得x＝eq\f(r,R－r)l.S扇環(huán)＝S大扇形－S小扇形＝eq\f(1,2)(x＋l)×2πR－eq\f(1,2)x·2πr＝π[(R－r)x＋Rl]＝π(r＋R)l，所以S圓臺側(cè)＝π(r＋R)l，S圓臺表＝π(r2＋rl＋Rl＋R2)．梳理圖形表面積公式旋轉(zhuǎn)體圓柱底面積：S底＝2πr2側(cè)面積：S側(cè)＝2πrl表面積：S＝2πr(r＋l)圓錐底面積：S底＝πr2側(cè)面積：S側(cè)＝πrl表面積：S＝πr(r＋l)圓臺上底面面積：S上底＝πr′2下底面面積：S下底＝πr2側(cè)面積：S側(cè)＝π(r′l＋rl)表面積：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)類型一棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積與表面積例1(1)如圖所示，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝a，∠AA1B1＝∠AA1C1＝60°，∠BB1C1＝90°.側(cè)棱長為b，則其側(cè)面積為()A.eq\f(3\r(3),4)abB.eq\f(\r(3)＋2,2)abC．(eq\r(3)＋eq\r(2))abD.eq\f(2\r(3)＋\r(2),2)ab答案C解析斜棱柱的側(cè)面積等于各個側(cè)面面積之和，斜棱柱的每個側(cè)面都是平行四邊形．由題意知斜三棱柱的底面是等腰直角三角形．∵AB＝AC＝a，∴BC＝eq\r(2)a.∵∠AA1B1＝∠AA1C1＝60°，AB＝AC＝a，AA1＝b，∴＝absin60°＝eq\f(\r(3),2)ab.又∵∠BB1C1＝90°，∴側(cè)面BB1C1C為矩形，∴＝eq\r(2)ab，∴S斜三棱柱側(cè)＝eq\f(\r(3),2)ab＋eq\f(\r(3),2)ab＋eq\r(2)ab＝(eq\r(3)＋eq\r(2))ab.故選C.(2)已知正四棱臺(上、下底是正方形，上底面的中心在下底面的投影是下底面中心)上底面邊長為6，高和下底面邊長都是12，求它的側(cè)面積．解如圖，E、E1分別是BC、B1C1的中點，O、O1分別是下、上底面正方形的中心，則O1O為正四棱臺的高，則O1O＝12.連接OE、O1E1，則OE＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)×12＝6，O1E1＝eq\f(1,2)A1B1＝3.過E1作E1H⊥OE，垂足為H，則E1H＝O1O＝12，OH＝O1E1＝3，HE＝OE－O1E1＝6－3＝3.在Rt△E1HE中，E1E2＝E1H2＋HE2＝122＋32＝153，所以E1E＝3eq\r(17).所以S側(cè)＝4×eq\f(1,2)×(B1C1＋BC)×E1E＝2×(6＋12)×3eq\r(17)＝108eq\r(17).引申探究本例(2)中，把棱臺還原成棱錐，你能利用棱錐的有關(guān)知識求出棱臺的側(cè)面積嗎？解如圖，將正四棱臺的側(cè)棱延長交于一點P.取B1C1、BC的中點E1、E，則EE1的延長線必過P點．O1、O分別是正方形A1B1C1D1與正方形ABCD的中心．由正棱錐的定義，CC1的延長線過P點，且有O1E1＝eq\f(1,2)A1B1＝3，OE＝eq\f(1,2)AB＝6，則有eq\f(PO1,PO)＝eq\f(O1E1,OE)＝eq\f(3,6)，即eq\f(PO1,PO1＋O1O)＝eq\f(1,2)，所以PO1＝O1O＝12.在Rt△PO1E1中，PEeq\o\al(2,1)＝POeq\o\al(2,1)＋O1Eeq\o\al(2,1)＝122＋32＝153，在Rt△POE中，PE2＝PO2＋OE2＝242＋62＝612，所以E1E＝PE－PE1＝6eq\r(17)－3eq\r(17)＝3eq\r(17).所以S側(cè)＝4×eq\f(1,2)×(BC＋B1C1)×E1E＝2×(12＋6)×3eq\r(17)＝108eq\r(17).反思與感悟棱錐及棱臺的表面積計算常借助斜高、側(cè)棱及其在底面的射影與高、底面邊長等構(gòu)成的直角三角形(或梯形)求解．跟蹤訓練1已知正三棱錐V－ABC的正視圖、俯視圖如圖所示，其中VA＝4，AC＝2eq\r(3)，求該三棱錐的表面積．解由正視圖與俯視圖可得正三棱錐的直觀圖，如圖所示，且VA＝VB＝VC＝4，AB＝BC＝AC＝2eq\r(3)，取BC的中點D，連接VD，則VD⊥BC，所以VD＝eq\r(VB2－BD2)＝eq\r(42－\r(3)2)＝eq\r(13)，則S△VBC＝eq\f(1,2)VD·BC＝eq\f(1,2)×eq\r(13)×2eq\r(3)＝eq\r(39)，S△ABC＝eq\f(1,2)×(2eq\r(3))2×eq\f(\r(3),2)＝3eq\r(3)，所以三棱錐V－ABC的表面積為3S△VBC＋S△ABC＝3eq\r(39)＋3eq\r(3)＝3(eq\r(39)＋eq\r(3))．類型二圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面積與表面積例2(1)已知圓柱與圓錐的高、底面半徑分別相等．若圓柱的底面半徑為r，圓柱的側(cè)面積為S，則圓錐的側(cè)面積為________．答案eq\f(\r(4π2r4＋S2),2)解析設(shè)圓柱的高為h，則2πrh＝S，∴h＝eq\f(S,2πr).設(shè)圓錐的母線為l，∴l(xiāng)＝eq\r(r2＋h2)＝eq\r(r2＋\f(S2,4π2r2)).∴圓錐的側(cè)面積為πrl＝πreq\r(r2＋\f(S2,4π2r2))＝eq\f(\r(4π2r4＋S2),2).(2)圓臺的上、下底面半徑分別為10cm和20cm.它的側(cè)面展開圖扇環(huán)的圓心角為180°，那么圓臺的表面積是________．(結(jié)果中保留π)答案1100πcm2解析如圖所示，設(shè)圓臺的上底面周長為c，因為扇環(huán)的圓心角是180°，故c＝π·SA＝2π×10，所以SA＝20，同理可得SB＝40，所以AB＝SB－SA＝20，所以S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下＝π(r1＋r2)·AB＋πreq\o\al(2,1)＋πreq\o\al(2,2)＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1100π(cm2)．故圓臺的表面積為1100πcm2.反思與感悟解決臺體的問題通常要還臺為錐，求面積時要注意側(cè)面展開圖的應(yīng)用，上、下底面圓的周長是展開圖的弧長．跟蹤訓練2(1)一個圓柱的側(cè)面展開圖是一個正方形，則這個圓柱的表面積與側(cè)面積的比是()A.eq\f(1＋2π,2π)B.eq\f(1＋2π,4π)C.eq\f(1＋2π,π)D.eq\f(1＋4π,2π)答案A解析設(shè)圓柱的母線長為l，∴l(xiāng)＝2πr，r＝eq\f(l,2π)，則圓柱的表面積為2πr2＋l2＝2πeq\f(l2,4π2)＋l2＝eq\f(2π＋1,2π)l2，側(cè)面積為l2，∴圓柱的表面積與側(cè)面積的比是eq\f(2π＋1,2π)l2∶l2＝eq\f(2π＋1,2π).故選A.(2)軸截面是正三角形的圓錐稱作等邊圓錐，則等邊圓錐的側(cè)面積是底面積的()A．4倍B．3倍C.eq\r(2)倍D．2倍答案D解析設(shè)圓錐底面半徑為r，由題意知母線長l＝2r，則S側(cè)＝πr×2r＝2πr2，∴eq\f(S側(cè),S底)＝eq\f(2πr2,πr2)＝2.類型三簡單組合體的表面積例3如圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為()A．20πB．24πC．28πD．32π答案C解析由三視圖可知，組合體的底面圓的面積和周長均為4π，圓錐的母線長l＝eq\r(2\r(3)2＋22)＝4，所以圓錐的側(cè)面積為S錐側(cè)＝eq\f(1,2)×4π×4＝8π，圓柱的側(cè)面積S柱側(cè)＝4π×4＝16π，所以組合體的表面積S＝8π＋16π＋4π＝28π，故選C.反思與感悟求組合體的表面積，首先弄清它的組成，其表面有哪些底面和側(cè)面，各個面應(yīng)怎樣求面積，然后根據(jù)公式求出各面的面積，最后再相加或相減．跟蹤訓練3某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則此幾何體的表面積是______cm2.答案7＋eq\r(2)解析其直觀圖如圖．由直觀圖可知，該幾何體為一個正方體和一個三棱柱的組合體，∴其表面積S＝6×(1×1)＋2×eq\f(1,2)×1×1＋1×eq\r(2)＝7＋eq\r(2).1．圓柱的軸截面是正方形，且軸截面面積是S，則它的側(cè)面積是()A.eq\f(S,π)B．πSC．2πSD．4πS答案B解析∵圓柱的軸截面是正方形，且軸截面面積是S，∴圓柱的母線長為eq\r(S)，底面圓的直徑為eq\r(S)，∴圓柱的側(cè)面積S＝π×eq\r(S)×eq\r(S)＝πS.故選B.2．如圖，已知ABCD－A1B1C1D1為正方體，則正四面體D－A1BC1的表面積與正方體的表面積之比是()A.eq\f(\r(2),2)B.eq\f(\r(3),3)C.eq\r(3)D.eq\r(2)答案B解析設(shè)正方體的棱長為1，則正方體的表面積為6，正四面體D－A1BC1的棱長為eq\r(2)，表面積為4×eq\f(1,2)×eq\r(2)sin60°×eq\r(2)＝2eq\r(3)，∴正四面體D－A1BC1的表面積與正方體的表面積之比是eq\f(\r(3),3)，故選B.3．圓臺的上、下底面半徑和高的比為1∶4∶4，母線長為10，則圓臺的側(cè)面積為()A．100πB．81πC．169πD．14π答案A解析∵圓臺的上、下底面半徑和高的比為1∶4∶4，母線長為10，設(shè)圓臺上底面的半徑為r，則下底面半徑和高分別為4r和4r，由100＝(4r)2＋(4r－r)2，得r＝2，故圓臺的側(cè)面積等于π(r＋4r)×l＝π(2＋8)×10＝100π，故選A.4．表面積為3π的圓錐，它的側(cè)面展開圖是一個半圓，則該圓錐的底面直徑為________．答案2解析設(shè)圓錐的母線為l，圓錐底面半徑為r，則eq\f(1,2)πl(wèi)2＋πr2＝3π，πl(wèi)＝2πr，∴r＝1，即圓錐的底面直徑為2.5．直角三角形的兩條直角邊長分別為15和20，以它的斜邊為軸旋轉(zhuǎn)生成的旋轉(zhuǎn)體，求旋轉(zhuǎn)體的表面積．解設(shè)此直角三角形為ABC，AC＝20，BC＝15，AC⊥BC，則AB＝25.過C作CO⊥AB于點O，直角三角形繞AB所在直線旋轉(zhuǎn)生成的旋轉(zhuǎn)體，它的上部是圓錐(1)，它的下部是圓錐(2)，兩圓錐底面圓相同，其半徑是OC，且OC＝eq\f(20×15,25)＝12，圓錐(1)的側(cè)面積S1＝π×12×20＝240π，圓錐(2)的側(cè)面積S2＝π×12×15＝180π.旋轉(zhuǎn)體的表面積應(yīng)為兩個圓錐側(cè)面積之和，即S＝S1＋S2＝420π.1．多面體的表面積為圍成多面體的各個面的面積之和．2．有關(guān)旋轉(zhuǎn)體的表面積的計算要充分利用其軸截面，就是說將已知條件盡量歸結(jié)到軸截面中求解．而對于圓臺有時需要將它還原成圓錐，再借助相似的相關(guān)知識求解．3．S圓柱表＝2πr(r＋l)；S圓錐表＝πr(r＋l)；S圓臺表＝π(r2＋rl＋Rl＋R2)．課時作業(yè)一、選擇題1．如圖所示，圓錐的底面半徑為1，高為eq\r(3)，則圓錐的表面積為()A．πB．2πC．3πD．4π答案C解析設(shè)圓錐的母線長為l，則l＝eq\r(3＋1)＝2，∴圓錐的表面積為S＝π×1×(1＋2)＝3π.2．一個圓臺的母線長等于上、下底面半徑和的一半，且側(cè)面積是32π，則母線長為()A．2B．2eq\r(2)C．4D．8答案C解析圓臺的軸截面如圖所示，由題意知，l＝eq\f(1,2)(r＋R)，S圓臺側(cè)＝π(r＋R)·l＝π·2l·l＝32π，∴l(xiāng)＝4.3．正四棱臺的兩底邊長分別為1cm,2cm，高是1cm，它的側(cè)面積為()A．6cm2B.eq\f(3\r(5),4)cm2C.eq\f(2\r(3),3)cm2D．3eq\r(5)cm2答案D解析∵四棱臺的兩底邊長分別為1cm,2cm，高是1cm，∴上底邊到上底中心的距離是eq\f(1,2)cm，下底邊到下底中心的距離是1cm，那么梯形的高，就是斜高為eq\r(12＋1－\f(1,2)2)＝eq\f(\r(5),2)(cm)，一個梯形的面積就是eq\f(1,2)(1＋2)×eq\f(\r(5),2)＝eq\f(3\r(5),4)(cm2)，∴棱臺的側(cè)面積S＝3eq\r(5)(cm2)．故選D.4．某幾何體的俯視圖是如圖所示的矩形，正視圖是一個底邊長為8、高為4的等腰三角形，側(cè)視圖是一個底邊長為6、高為4的等腰三角形，則該幾何體的表面積為()A．80B．24eq\r(2)＋88C．24eq\r(2)＋40D．118答案B解析根據(jù)題意，可得該幾何體是底面是邊長分別為6和8的矩形且側(cè)棱長均相等的四棱錐，高為SO＝4，如圖所示，因此，等腰三角形SAB的高SE＝eq\r(SO2＋OE2)＝eq\r(42＋32)＝5，等腰三角形SCB的高SF＝eq\r(SO2＋OF2)＝eq\r(42＋42)＝4eq\r(2)，∴S△SAB＝S△SCD＝eq\f(1,2)×AB×SE＝20，S△SCB＝S△SAD＝eq\f(1,2)×CB×SF＝12eq\r(2)，∵矩形ABCD的面積為6×8＝48，∴該幾何體的表面積為S表＝S△SAB＋S△SCD＋S△SCB＋S△SAD＋SABCD＝2×20＋2×12eq\r(2)＋48＝24eq\r(2)＋88.故選B.5．一個直角三角形的直角邊分別為3與4，以其直角邊為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)而成的圓錐的側(cè)面積為()A．15πB．20πC．12πD．15π或20π答案D解析以直角三角形的直角邊為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)而成的圓錐，有以下兩種情況：根據(jù)圓錐的側(cè)面積計算公式S側(cè)面積＝πr×l母線長．①以直角邊3為旋轉(zhuǎn)軸時，旋轉(zhuǎn)而成的圓錐的側(cè)面積S＝4π×5＝20π；②以直角邊4為旋轉(zhuǎn)軸時，旋轉(zhuǎn)而成的圓錐的側(cè)面積S＝3π×5＝15π.故選D.6．一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()A．372B．360C．292D．280答案B解析由三視圖可知該幾何體是由下面一個長方體，上面一個長方體組合而成的幾何體．∵下面長方體的表面積為8×10×2＋2×8×2＋10×2×2＝232，上面長方體的表面積為8×6×2＋2×8×2＋2×6×2＝152，又∵長方體表面積重疊一部分，∴幾何體的表面積為232＋152－2×6×2＝360.7．如圖是一個幾何體的三視圖，若該幾何體的表面積為9π，則該幾何體的正視圖中實數(shù)a的值為()A．1B．2C．3D．4答案C解析設(shè)幾何體是一個圓柱上面疊加一個圓錐，其表面積為S＝2π×1×a＋π×1×eq\r(\r(3)2＋12)＋π×12＝2πa＋3π＝9π，∴a＝3.二、填空題8．若一個圓錐的側(cè)面展開圖是半圓，則這個圓錐的底面面積與側(cè)面積的比是________．答案1∶2解析設(shè)該圓錐體的底面半徑為r，母線長為l，根據(jù)題意得2πr＝πl(wèi)，所以l＝2r，所以這個圓錐的底面面積與側(cè)面積的比是πr2∶eq\f(1,2)πl(wèi)2＝r2∶eq\f(1,2)(2r)2＝1∶2.故答案為1∶2.9．一個幾何體的三視圖如圖所示，其正視圖和側(cè)視圖都是底邊長分別為2和4，腰長為4的等腰梯形，則該幾何體的側(cè)面積是________．答案12π解析由三視圖知該幾何體是一個圓臺，其上、下底面的半徑分別為2,1，母線長為4，則該幾何體的側(cè)面積S＝π(2×4＋1×4)＝12π.10．如圖所示，一個正四棱錐(底面是正方形，從頂點向底面引垂線，垂足是底面中心的四棱錐)的正方形底面的邊長為4cm，高與斜高的夾角為30°，則正四棱錐的表面積為____cm2.答案48解析∵該四棱錐的側(cè)面是底邊長為4cm的全等的等腰三角形，∴要求側(cè)面積，只需求等腰三角形底邊上的高即可，可構(gòu)造直角三角形求解．如題圖所示，正四棱錐的高、斜高、底面邊心距組成Rt△POE.∵OE＝2cm，∠OPE＝30°，∴斜高PE＝eq\f(OE,sin30°)＝eq\f(2,\f(1,2))＝4(cm)．∴S棱錐側(cè)＝4·eq\f(1,2)·BC·PE＝4×eq\f(1,2)×4×4＝32(cm2)，∴S表＝S側(cè)＋S底＝32＋4×4＝48(cm2)．11．如圖所示，在棱長為4的正方體上底面中心位置打一個直徑為2、深為4的圓柱形孔，則打孔后的幾何體的表面積為________．答案96＋6π解析由題意知，所打圓柱形孔穿透正方體，因此打孔后所得幾何體的表面積等于正方體的表面積，再加上一個圓柱的側(cè)面積，同時減去兩個圓的面積，即S＝6×42＋4×2π－2π×12＝96＋6π.三、解答題12．如圖所示是某幾何體的三視圖，它的正視圖和側(cè)視圖均為矩形，俯視圖為正三角形．(長度單位：cm)(1)該幾何體是什么圖形？(2)畫出該幾何體的直觀圖(坐標軸如圖所示)，并求它的表面積.(只需作出圖形，不要求寫作法)解(1)由三視圖可知該幾何體是三棱柱．(2)直觀圖如圖所示．因為該幾何體的底面是邊長為4cm的等邊三角形，高為2cm，