西南交大線性代數(shù)習(xí)題參考答案解析

./行列式§1行列式的概念填空<1>排列6427531的逆序數(shù)為,該排列為排列。<2>=,=時(shí),排列1274569為偶排列。<3>階行列式由項(xiàng)的代數(shù)和組成,其中每一項(xiàng)為行列式中位于不同行不同列的個(gè)元素的乘積,若將每一項(xiàng)的各元素所在行標(biāo)按自然順序排列,那么列標(biāo)構(gòu)成一個(gè)元排列。若該排列為奇排列,則該項(xiàng)的符號(hào)為號(hào)；若為偶排列,該項(xiàng)的符號(hào)為號(hào)。<4>在6階行列式中,含的項(xiàng)的符號(hào)為,含的項(xiàng)的符號(hào)為。用行列式的定義計(jì)算下列行列式的值<1>解：該行列式的項(xiàng)展開(kāi)式中,有項(xiàng)不為零,它們分別為,所以行列式的值為。<2>解：該行列式展開(kāi)式中唯一不可能為0的項(xiàng)是,而它的逆序數(shù)是,故行列式值為。證明：在全部元排列中,奇排列數(shù)與偶排列數(shù)相等。證明：元排列共有個(gè),設(shè)其中奇排列數(shù)有個(gè),偶排列數(shù)為個(gè)。對(duì)于任意奇排列,交換其任意兩個(gè)元的位置,就變成偶排列,故一個(gè)奇排列與許多偶排列對(duì)應(yīng),所以有,同理得,所以。若一個(gè)階行列式中等于0的元素個(gè)數(shù)比多,則此行列式為0,為什么？階行列式中,若負(fù)項(xiàng)的個(gè)數(shù)為偶數(shù),則至少為多少？〔提示：利用3題的結(jié)果利用對(duì)角線法則計(jì)算下列三階行列式〔1〔2§2行列式的性質(zhì)利用行列式的性質(zhì)計(jì)算系列行列式。<1><2><3>證明下列恒等式<1>〔提示：將行列式按第一列分解為兩個(gè)行列式之和,再利用性質(zhì)證明<2><3><提示：從最后一列起,后列的倍加到前一列>已知四階行列式D的第三行元素分別為：；第四行元素的對(duì)應(yīng)的余子式依次是2,10,,4,求的值。已知1365,2743,4056,6695,5356能被13整除,證明：能被13整除。〔提示：注意觀察行列式中第2,3,4,5列元素的特點(diǎn)已知,求：<1>；<2>和?！蔡崾荆豪眯辛惺桨葱小擦姓归_(kāi)的性質(zhì)計(jì)算設(shè),求的根。解1：首先,行列式展開(kāi)式中含項(xiàng),所以有四個(gè)根。而通過(guò)觀察,將代入行列式,行列式中均有兩行元素相同,此時(shí)行列式值為0,即為根。然后,把所有列加到第一列上,可發(fā)現(xiàn)第四個(gè)根,計(jì)算如下：解2：〔注意各行元素之和相等,可計(jì)算的值后,求根?！?行列式的計(jì)算利用三角行列式的結(jié)果計(jì)算下列階行列式<1>〔提示：注意各行〔列元素之和相等<2>〔提示：可考慮按第一行〔列展開(kāi)<3>〔提示：可考慮第一行的倍加到各行,再化為三角行列式用迭代法計(jì)算下列行列式<1>解：按第一行〔列展開(kāi),得遞推公式：=+。于是==。由此得：+++。<2>。解：按第一行展開(kāi),有遞推公式+,得遞推公式：=1\*GB3①同理可得：=2\*GB3②聯(lián)立=1\*GB3①與=2\*GB3②,解方程組得：利用范德蒙行列式的結(jié)果計(jì)算下列行列式<1>,〔提示：利用行列式的性質(zhì),先化行列式為標(biāo)準(zhǔn)形式的范德蒙行列式,再利用范德蒙行列式的結(jié)果計(jì)算行列式<2>,解：在行中提出因子,4．構(gòu)造輔助行列式法計(jì)算下列行列式<1><缺行的范德蒙行列式>解：構(gòu)造輔助范德蒙行列式,為中元素的余子式,而<2>解：構(gòu)造輔助行列式,則,而用數(shù)學(xué)歸納法證明：證明：〔1時(shí),等式顯然成立；〔2假定等式對(duì)于小于階的行列式成立；〔3〔下證階行列式成立由于,+〔注：按最后一行〔列展開(kāi)==所以,6．,求<提示：將所有行加到最后一行>§3克來(lái)姆〔Cramer法則用克來(lái)姆法則解下列方程組<1><2>當(dāng)取何值時(shí),方程組有非零解？矩陣§1矩陣的概念及運(yùn)算判斷正誤〔1設(shè)為矩陣,為矩陣,若,則與必為同階方陣。〔〔2與為階方陣,為實(shí)數(shù),有?！病?與為階方陣,?！病?與為階方陣,?！病?為階方陣,?！病?與為階方陣,?！病?為階方陣,。〔〔8與為階方陣,。〔〔9與為階方陣,?！策x擇題<1>設(shè)均為階方陣,,則〔<A>〔B<C><D><2>若為實(shí)對(duì)稱矩陣,則的值〔<A>〔B<C><D>不能確定〔3設(shè)為方陣,,則為〔<A>〔B<C><D>不能確定設(shè),,計(jì)算：<1>；<2>；<3>。計(jì)算。<提示：先計(jì)算出,以此歸納出,然后用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論>設(shè)為階方陣,若對(duì)任意的維列向量,均有,證明：。<提示：由于維列向量的任意性,考察維列向量,證中各元素為0>設(shè)為實(shí)對(duì)稱矩陣,若,證明。<提示：證中各元素為0>若為階方陣,且滿足。若,求。<提示：先證明>試證：若為奇數(shù)階方陣,且滿足,,則。<提示：先證明>若為奇數(shù)階反對(duì)稱方陣,證明：。<提示：由反對(duì)稱陣的定義證明>設(shè)都是對(duì)稱矩陣,證明：為對(duì)稱矩陣的充要條件是。設(shè)階方陣,,且與的各行元素之和為1,是矩陣,且每個(gè)元素都為1,求證：<1>；<2>的各行元素之和都等于1；<3>若各行元素之和分別為,則的各行元素之和都等于什么？§2逆矩陣判斷正誤<均為階方陣><1>。<><2>。<><3>為階方陣。則或。<><4>。<><5>,。<><6>。<>填空<1>設(shè),則,,=。<2>設(shè)為3階方陣,且,則=,=,=,=。<3>已知,則=。<4>設(shè),則=。設(shè),證明：。<提示：證明>設(shè)方陣滿足,證明：及都可逆,并求其逆矩陣?！蔡崾荆豪每赡娴亩x證明設(shè)是階方陣,證明：<1>若,則；<2>；<3>?！蔡崾荆悍彩桥c伴隨矩陣有關(guān)的結(jié)論,可先考慮等式設(shè)階非零方陣的伴隨矩陣為,且=,求證：。<提示：可考慮用反證法證明>設(shè)是階方陣,如有非零矩陣使,則。設(shè)均為階可逆方陣,求?！?分塊矩陣設(shè),,利用分塊矩陣計(jì)算。設(shè),,<1>利用分塊矩陣求；<2>計(jì)算。設(shè)均為階方陣,令證明可逆的充要條件是均可逆；設(shè),使,求出；當(dāng)可逆時(shí),求出。設(shè),利用矩陣分塊求。設(shè)為階可逆方陣,為矩陣,為常數(shù),,計(jì)算；<2>證明：可逆的充要條件是。設(shè)為4階矩陣,且,把按列分塊為,其中是的第列,求。<提示：根據(jù)行列式的性質(zhì)計(jì)算>§4矩陣的初等變換把矩陣化為階梯形和簡(jiǎn)單階梯形。利用初等變換求逆矩陣,。利用初等變換求解下列矩陣方程〔1〔2已知,用初等變換求,并計(jì)算的所有代數(shù)余子式之和。<提示：利用,可求>§5矩陣的秩判斷正誤<1>若為矩陣,,則。<><2>若,則的所有的階子式都不為0,而所有的階子式都為0。<><3>若矩陣存在一個(gè)階子式都不為0,則。<><4>任何一個(gè)可逆矩陣都可分解為初等方陣的乘積,且分解唯一。<>〔5設(shè)為矩陣,為矩陣,且,則。<>設(shè),求。設(shè)矩陣,<1>為何值時(shí),最大？<2>為何值時(shí),最??？<提示：利用初等變換求秩>討論階方陣的秩。不全為零,不全為零,求矩陣的秩。<提示：利用秩的定義,考慮行列式的一階及二階子式>設(shè)均為階方陣,證明：若,則；若,則。<提示：利用可逆矩陣可分解為初等方陣的乘積,以及初等變換不改變矩陣的秩證明>向量組的線性相關(guān)性§1維向量設(shè),且,求向量?！?向量組的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)用定義判斷下列向量組的線性相關(guān)性〔1。解：設(shè)即有齊次線性方程組。線性方程組的系數(shù)行列式為,故由克拉姆法則方程組有非零解,即存在不全為零的數(shù)使得成立,故線性相關(guān)?！?。解：設(shè)即有齊次線性方程組。線性方程組的系數(shù)行列式為,故由克拉姆法則方程組只有零解,即只存在全為零的數(shù)使得成立,故線性無(wú)關(guān)。設(shè),,把表示成的線性組合,問(wèn)線性表示是否唯一？解：設(shè)即有非齊次線性方程組。線性方程組的系數(shù)行列式為,故由克拉姆法則方程組有唯一解,即能表示成的線性組合,且表示唯一。設(shè),問(wèn)：當(dāng)為何值時(shí),線性無(wú)關(guān)？當(dāng)為何值時(shí),線性相關(guān)？當(dāng)相關(guān)時(shí),將表示為的線性組合。解：<1>線性相關(guān),從而線性無(wú)關(guān)<2>當(dāng)時(shí)4．證明：若向量組中含有零向量,則此向量組一定線性相關(guān)?！蔡崾荆河枚x證明證明:不妨設(shè)法一：顯然,即存在不全為零的數(shù)使得線性組合為零,故向量組一定線性相關(guān)。法二：由可知向量組線性相關(guān),又,故向量組一定線性相關(guān)。注意：因?yàn)橄蛄拷M中含有零向量,故行列式,故向量組一定線性相關(guān)?！策@樣證明是錯(cuò)誤的,因?yàn)椴灰欢ㄊ欠疥嚒?．已知向量組線性無(wú)關(guān),,,用定義證明：向量組線性無(wú)關(guān)。解：設(shè),由題條件可得又線性無(wú)關(guān),故有方程組系數(shù)行列式為由克拉姆法則方程組有只有零解,故只有全為零才成立,故向量組線性無(wú)關(guān)。6．若向量可由線性表出,則表示法唯一的充要條件為線性無(wú)關(guān)?！蔡崾荆嚎煽紤]用反證法證明證明：充分性〔線性無(wú)關(guān)表示法唯一：若表示不唯一,設(shè)有兩個(gè)不同的表示為由〔1〔2得,由兩個(gè)表示不一樣有不全為零,這與線性無(wú)關(guān)矛盾。故當(dāng)線性無(wú)關(guān)時(shí)表示法唯一必要性：〔表示法唯一線性無(wú)關(guān)若線性相關(guān),則存在不全為零的數(shù)設(shè)為有又可由線性表出記為由〔3〔4可得由不全為零知道〔4〔5是兩個(gè)不同的表示,這與表示唯一矛盾。故表示法唯一線性無(wú)關(guān)若向量組線性無(wú)關(guān),問(wèn)常數(shù)需滿足什么條件時(shí),向量組線性無(wú)關(guān)？〔提示：用定義判定解：設(shè)即有由向量組線性無(wú)關(guān)得方程組的系數(shù)行列式為,由克拉姆法則得時(shí)方程組只有零解。當(dāng)時(shí)線性無(wú)關(guān)。8．判斷題〔1若向量組線性相關(guān),則任一向量可由其余向量線性表出?！舱_為：若向量組線性相關(guān),則至少有一個(gè)向量可由其余向線性表出。反例：〔2對(duì)任意一組不全為零的數(shù),有,則向量組線性相關(guān)?！菜伎家幌逻@在什么情況下發(fā)生〔3若線性相關(guān),亦線性相關(guān),則有不全為零的數(shù),使,同時(shí)成立?！病?若有不全為0的數(shù),使成立,則線性相關(guān),亦線性相關(guān)。〔〔5對(duì)于三維向量,若兩向量線性相關(guān),則這兩向量平行；若三向量線性相關(guān),則這三向量共面?！?．選擇題〔1維向量組線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是〔D〔A存在不全為零的數(shù),使；反例線性相關(guān)但正確應(yīng)為：維向量組線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是對(duì)任意的不全為零的數(shù),使〔B中任意兩個(gè)向量線性無(wú)關(guān)；〔C中存在一個(gè)向量,它不能用其余向量線性表出；〔D中任意一個(gè)向量都不能用其余向量線性表出。〔2設(shè)均為維向量,那么下列結(jié)論正確的是〔B〔A若,則線性相關(guān)；注意：無(wú)論是否無(wú)關(guān),當(dāng)時(shí)均有〔B對(duì)任意一組不全為零的數(shù),有,則向量組線性無(wú)關(guān)；注意：〔B意味著只有?！睠若線性相關(guān),則對(duì)任意一組不全為零的數(shù),有；注意：線性相關(guān)只是至少存在不全為零的數(shù),有未必是對(duì)任意一組不全為零的數(shù)有〔D因?yàn)?所以線性無(wú)關(guān)。<3>設(shè)有任意兩個(gè)維向量組和,若存在兩組不全為零的數(shù)和,使,則〔D?！睞和都線性相關(guān)；〔B和都線性無(wú)關(guān)；〔C線性無(wú)關(guān)；〔D線性相關(guān)。注意：〔4向量組線性無(wú)關(guān),則下列向量組線性相關(guān)的是〔B?！睞；〔B；〔C；〔D。注意：向量組與向量組等價(jià)。線性無(wú)關(guān)故秩為3,故秩也為3?！?設(shè)向量組〔I：,,；向量組〔II：,,,,則〔〔A〔I相關(guān)〔II相關(guān)；〔B〔I無(wú)關(guān)〔II無(wú)關(guān)；〔C〔II無(wú)關(guān)〔I無(wú)關(guān)；〔D〔I無(wú)關(guān)〔II無(wú)關(guān)?！?若向量組線性無(wú)關(guān),線性相關(guān),則〔C〔A必可由線性表示；〔B必不可由線性表示；〔C必可由線性表示；〔B必不可由線性表示。注意：向量組線性無(wú)關(guān),線性無(wú)關(guān),又線性相關(guān)必可由線性表示；必可由線性表示；§3向量組的秩求下列向量組的秩和一個(gè)最大無(wú)關(guān)組,并把其余向量用最大無(wú)關(guān)組線性表示?！?；〔提示：首先將向量作為列向量構(gòu)成矩陣,然后對(duì)矩陣進(jìn)行初等行變換化為最簡(jiǎn)階梯形解：作矩陣故,是其一個(gè)極大無(wú)關(guān)組?！?。解：作矩陣故,是其一個(gè)極大無(wú)關(guān)組。設(shè)向量組的秩為2,求。解：法一,作矩陣故即時(shí)秩為2。法二：由向量組秩為2可得線性相關(guān),故由向量組秩為2可得線性相關(guān),故設(shè)向量組能由向量組線性表出,證明：〔〔〔注：該結(jié)論是線性代數(shù)重要結(jié)論之一。凡是與秩有關(guān)的命題,大多需用該結(jié)論證明,如第4題等證明：令〔=,不妨設(shè)=為的極大無(wú)關(guān)組；令〔=q,為的極大無(wú)關(guān)組?？紤]向量組=,為的極大無(wú)關(guān)組,則線性無(wú)關(guān)且能被線性表出。又能由向量組線性表出,故也能表示,從而線性無(wú)關(guān)且表示=,即是=的極大無(wú)關(guān)組,故。由線性無(wú)關(guān)及秩的定義有。故〔〔設(shè)是個(gè)維向量,若標(biāo)準(zhǔn)基向量能由它們線性表出,證明：線性無(wú)關(guān)?！蔡崾荆河弥确ㄅ卸ㄏ蛄拷M的線性相關(guān)性證明：已知,由能由線性表出有,又可得線性無(wú)關(guān)證明：任意個(gè)維向量必定線性相關(guān)?！蔡崾荆嚎紤]它們與單位向量組的表示關(guān)系,再利用第3題給出的秩的范圍,最后用秩法判定證明：作矩陣則由又必定線性相關(guān)。設(shè)向量組與向量組的秩相等,且向量組能由向量組線性表出,證明：與等價(jià)。證明：設(shè)它們的秩為,為的極大無(wú)關(guān)組；為的極大無(wú)關(guān)組?？紤]向量組=。容易證明也是向量組=的極大無(wú)關(guān)組,故。若不能線性表示則必存在一個(gè)向量不妨設(shè)滿足線性無(wú)關(guān),若不能線性表示則必存在一個(gè)向量不妨設(shè)滿足線性無(wú)關(guān),如此繼續(xù)下去必能找到向量組線性無(wú)關(guān)且能表示故是向量組=的極大無(wú)關(guān)組,故,矛盾。故能線性表示從而能線性表示。故與等價(jià)。設(shè),證明：與等價(jià)?！蔡崾荆嚎衫每藖?lái)姆法則反解出證明：由條件可得能線性表示,且,其中計(jì)算所以可逆,故,即能線性表示,故與等價(jià)。設(shè)有向量組,試證：向量組線性無(wú)關(guān),其中為個(gè)互不相等且不為0的常數(shù)?！蔡崾荆河枚x證明,其間涉及范德蒙行列式的計(jì)算證明：作矩陣,故。計(jì)算矩陣的秩,顯然。且矩陣有一個(gè)階子式,故。故向量組線性無(wú)關(guān)設(shè)向量組的秩為,向量組的秩為向量組的秩為,證明：。證明：設(shè)是的極大無(wú)關(guān)組,是的極大無(wú)關(guān)組。顯然能線性表示故又,所以。顯然能線性表示和。故,且。設(shè)同為矩陣,證明〔1,〔2。證明：記,,則,記向量組,,則,,,作向量組由向量組秩的關(guān)系得顯然向量組能表示向量組,故,即有,設(shè)為矩陣,為矩陣,證明?！蔡崾荆毫?證,證明方法也是考慮它們的列向量組之間的關(guān)系；再由,證向量線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是〔提示：令,則證明：線性無(wú)關(guān)選擇題〔1設(shè)是階矩陣,且,則中〔C必有一列元素全為零；必有兩列元素對(duì)應(yīng)成比例；必有一列向量是其余列向量的線性組合；任一列向量都是其余向量的線性組合。〔2已知線性方程組的系數(shù)矩陣是矩陣,且的行向量組線性無(wú)關(guān),則下列結(jié)論正確的是〔C。〔A的列向量組線性無(wú)關(guān)；注：的行向量組線性無(wú)關(guān)的列向量組線性相關(guān)〔B的增廣矩陣的任意四個(gè)列向量線性無(wú)關(guān)；〔C的增廣矩陣的行向量組線性無(wú)關(guān)；注：的行向量組線性無(wú)關(guān),又〔D的增廣矩陣的列向量組線性無(wú)關(guān)。〔3設(shè)向量,而則下列結(jié)論中正確的是〔A?！睞=；〔B>；〔C<；〔D不能確定。注：容易證明與等價(jià)〔4若存在矩陣,使,則〔〔A；〔B>；〔C<；〔D不能確定。注：,〔5矩陣在下列〔D變換時(shí)改變秩。轉(zhuǎn)置；〔B初等變換；〔C乘以非奇異陣〔D乘以奇異陣。§4維向量空間證明：是的子空間。證明：,不妨記,,則,。故。,故。故是的子空間。設(shè)問(wèn)是不是向量空間？為什么？解;是向量空間〔仿照上題證明對(duì)線性運(yùn)算封閉不是向量空間,因?yàn)?,則。證明：由構(gòu)成的一個(gè)基,并求在這個(gè)基下的坐標(biāo)。證明：,故,故線性無(wú)關(guān)且構(gòu)成的一個(gè)基。設(shè),,證明：?！蔡崾荆褐恍枳C明與等價(jià)證明：由題的條件可知：；即與等價(jià)設(shè),說(shuō)明平面上=的幾何意義。〔1；〔2；〔3。§5內(nèi)積與正交向量組試用施密特法把下列向量組正交化〔1；設(shè)是維向量,且,證：?！蔡崾荆焊鶕?jù)模與內(nèi)積的關(guān)系以及內(nèi)積的性質(zhì)證明證明：又所以證明：。證明：線性方程組§1線性方程組的一般理論判斷題〔1有解的充要條件有三種：=1\*GB3①；=2\*GB3②能由的列向量組線性表出；=3\*GB3③向量組與向量組等價(jià)?！病?有非零解的充要條件是的列向量組的秩小于〔是未知數(shù)的個(gè)數(shù)?！病?若有無(wú)窮多解,則有非零解?！病?若有非零解,則必有無(wú)窮多解?！策x擇題〔1為階矩陣,齊次線性方程組有無(wú)數(shù)個(gè)解,則必有D?！睞；〔B；〔C中有兩列對(duì)應(yīng)元素成比例；<D>的列向量組線性相關(guān)。注：有無(wú)數(shù)個(gè)解有非零解的列向量組線性相關(guān)〔2為階矩陣,非齊次線性方程組的解不唯一,則下列結(jié)論正確的是D。〔A；〔B；〔C為零矩陣；<D>的解不唯一。注：的解不唯一的解不唯一,反之不成立,因?yàn)榈慕獠晃ㄒ粫r(shí)無(wú)解。但的解不唯一是的解不唯一必要條件?！?已知是非齊次線性方程組的兩個(gè)不同的解,是非齊次線性方程組導(dǎo)出方程組的基礎(chǔ)解系,,則方程組的通解必是B?！睞；〔B；〔C；〔D。注：〔A中不是特解〔C中不是的解,也不是特解〔D中與可能相關(guān)?！?設(shè)是四元非齊次非線性方程組的3個(gè)解向量,且,,,表示任意常數(shù),則線性方程組的通解為C?！睞；〔B；〔C；〔D?！?設(shè)元個(gè)方程的非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為,則A?！睞時(shí),必有解；〔B時(shí),有唯一解；〔C時(shí),有唯一解；〔D時(shí),有無(wú)窮多解。注：〔A時(shí),,又,故時(shí)有必有解〔B時(shí),方程可能無(wú)解。若在有解的前提下時(shí)有唯一解；〔C時(shí),有唯一解；這時(shí)任何情況都可能發(fā)生?！睤時(shí),方程可能無(wú)解。若在有解的前提下,時(shí)有無(wú)窮多解。填空題〔1方程組有解的充要條件是。；有解的充要條件是〔2設(shè)階矩陣的各行元素之和均為0,且,則方程組的通解為。階矩陣的各行元素之和均為0是的解,,故方程組的通解為〔3設(shè)為階方陣,對(duì)任何維列向量,方程都有解的充要條件是。對(duì)任何維列向量,方程都有解的充要條件是的列向量組能線性表示任何維列向量。故,又,故充要條件是或〔4若元齊次線性方程組有個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量,則=。元齊次線性方程組有個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量判定齊次線性方程組是否有非零解。法一：用克拉姆法則。法二：求出系數(shù)矩陣的秩與未知數(shù)個(gè)數(shù)比較。問(wèn)：取何值時(shí),非齊次線性方程組有唯一解？無(wú)解？有無(wú)窮多解？解：系數(shù)矩陣行列式為由克拉姆法則可知即且是有唯一解。當(dāng)時(shí)增廣矩陣為即有且,故當(dāng)方程組有無(wú)窮多解。當(dāng)時(shí)增廣矩陣為即有,故當(dāng)方程組無(wú)解。線性方程組,證明：若互不相等,則方程組無(wú)解。證明：系數(shù)矩陣為階矩陣,故。又增廣矩陣為,故故,所以方程組無(wú)解。設(shè)有三維列向量,問(wèn)取何值時(shí),〔1可由唯一線性表示？〔2可由多種線性表示？〔3不能由線性表示？〔提示：將線性表示問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程組解的討論解：設(shè),問(wèn)題化為方程組有唯一解？無(wú)解？有無(wú)窮多解。仿照EX5已知三個(gè)平面：,,,試求使三平面：=1\*GB3①有唯一交點(diǎn)；=2\*GB3②有無(wú)窮多交點(diǎn)；=3\*GB3③無(wú)公共交點(diǎn)?！蔡崾荆合嘟粏?wèn)題即是三平面方程聯(lián)立成的方程組的解的判定問(wèn)題設(shè),則三直線：交于一點(diǎn)的充要條件是線性相關(guān),而線性無(wú)關(guān)?！?齊次線性方程組求解下列齊次線性方程組〔1〔2〔3設(shè),求一個(gè)矩陣,使,且?！卜治龅牧邢蛄渴堑慕猓挥值牧邢蛄渴堑膬蓚€(gè)線性無(wú)關(guān)解解：由題意,的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)解可作為的列向量。,故同解方程組為由此有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)解,故〔思考：是否唯一設(shè)是秩為2的矩陣,是齊次線性方程組的解向量,求的解空間S的一個(gè)正交規(guī)范基。解：是秩為2的矩陣可得,為求的解空間S的一個(gè)正交規(guī)范基只需選擇兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解正交規(guī)范化即可。顯然是無(wú)關(guān)的。令,令,即為所求?！菜伎紴槭裁待R次方程組一組解正交規(guī)范化后仍是齊次方程組一組解求一個(gè)齊次線性方程組,使它的基礎(chǔ)解系為：?！蔡崾荆河赏ń庀ト我獬?shù)得方程組法一：由題意知道,即,由消去得即為所求。法二：〔分析：齊次方程組系數(shù)矩陣的行與方程組的每一個(gè)解正交,這只需要與一個(gè)基礎(chǔ)解系中每個(gè)解正交即可解：設(shè)所求方程組為,設(shè)系數(shù)矩陣的行向量為,則有,故的行向量組為的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解。解方程組系數(shù)矩陣,故的同解方程組是得的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解為,故設(shè)都是階方陣,且,<1>證明：；〔2若,證明：〔提示：的列向量是的解向量證明：〔1知的列向量是的解,故的列向量組的秩小于等于解空間的維數(shù),這意味著,又,故有?！?由有,由得是階方陣,為的伴隨矩陣,證明：〔提示：根據(jù),再利用5題的結(jié)果證明：當(dāng)時(shí),有。又由可得可逆且,故。當(dāng)時(shí),有,又由可得,故故。當(dāng)時(shí),則有一個(gè)階子式不為零,故為非零矩陣,故,從而當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí),每一個(gè)階子式均為零,故,故已知三階方陣,且的每個(gè)列向量都是方程組的解,=1\*GB3①求的值；=2\*GB3②證明：。解：=1\*GB3①因?yàn)?所以方程組有非零解,故系數(shù)矩陣行列式即,故由題意有,故,又〔為什么故,所以設(shè)是齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系,證明也是基礎(chǔ)解系。解：顯然能線性表示,又故能線性表示,故與等價(jià)。故由是齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系可知解空間維數(shù)。且,故,顯然也是方程組的解,從而是方程組的無(wú)關(guān)解,且,故也是基礎(chǔ)解系。已知線性方程組〔=1\*ROMANI基礎(chǔ)解系為,,…,,寫(xiě)出線性方程組〔=2\*ROMANII的通解。解：記〔=1\*ROMANI的系數(shù)矩陣為,基礎(chǔ)解系之矩陣為,則出線性方程組〔=1\*ROMANI為,線性方程組〔=2\*ROMANII為；且,從而,故的列向量是線性方程組〔=2\*ROMANII的解。由,,…,是線性方程組〔=1\*ROMANI的基礎(chǔ)解系,故它們線性無(wú)關(guān),故,易知為線性方程組〔=1\*ROMANI解空間維數(shù)。故,可得,,故,即的列向量是線性方程組〔=2\*ROMANII的個(gè)線性無(wú)關(guān)的解。又可得線性方程組〔=2\*ROMANII為解空間維數(shù)為。故的列向量組是線性方程組〔=2\*ROMANII的基礎(chǔ)解系。從而可得線性方程組〔=2\*ROMANII的基礎(chǔ)解系。為階矩陣,若存在正整數(shù),使有解向量,且,證明：是線性無(wú)關(guān)的。證明：由有解向量可得,進(jìn)一步對(duì)有。設(shè),得即故即為,得即可得同理可得,故是線性無(wú)關(guān)的。設(shè)向量組是的基礎(chǔ)解系,向量使,證明：線性無(wú)關(guān)。證明：法一：向量組是的基礎(chǔ)解系,故線性無(wú)關(guān),則線性無(wú)關(guān),否則能由線性表示,故是的解,即,與矛盾。故。易知與等價(jià)。故,故線性無(wú)關(guān)。法二：設(shè),即得即故故也為由設(shè)向量組是的基礎(chǔ)解系知線性無(wú)關(guān),故又由得故線性無(wú)關(guān)。設(shè)向量組線性無(wú)關(guān),作以下線性組合,證明：線性無(wú)關(guān)。證明：設(shè),即有由線性無(wú)關(guān)可得故線性無(wú)關(guān)?！?非齊次線性方程組下列方程組是否有解？有解時(shí)求其解?！?〔2〔3討論為何值時(shí),方程組有唯一解？有無(wú)窮多解？無(wú)解？有解時(shí)求通解。解：系數(shù)矩陣行列式由克拉姆法則知,即時(shí)方程組有唯一解。當(dāng)時(shí)增廣矩陣,故當(dāng),故無(wú)解當(dāng)時(shí)增廣矩陣故當(dāng)時(shí)有,故無(wú)解。故當(dāng)時(shí)有,有無(wú)窮多解,此時(shí),即方程組同解于,故故當(dāng)時(shí),有通解。設(shè),,其中,求的解。解：由于,所以有唯一解。由克拉姆法則知,其中,為的列換為故,。故唯一解為設(shè)四元非齊次線性方程組系數(shù)矩陣的秩為3,已知是它的三個(gè)解向量,其中,求方程組的通解。解：四元非齊次線性方程組系數(shù)矩陣的秩為3,故其導(dǎo)出組解空間維數(shù)為。又是導(dǎo)出組的解,從而也是導(dǎo)出組的一個(gè)基礎(chǔ)解系。故四元非齊次線性方程組通解為設(shè)是非齊次線性方程組的一個(gè)解,是對(duì)應(yīng)齊次方程的基礎(chǔ)解系,證明：〔1線性無(wú)關(guān)；〔2線性無(wú)關(guān)。〔提示：〔1可由定義證明；〔2可用定義或證與〔1等價(jià)證明見(jiàn)前面§3,Ex11設(shè)矩陣,其中線性無(wú)關(guān),,向量,求方程的通解。解：由線性無(wú)關(guān)且,可知。故導(dǎo)出組解空間維數(shù)為,又即,即是導(dǎo)出組的解,也為導(dǎo)出組的一個(gè)基礎(chǔ)解系。由可知是的解,故方程的通解為設(shè)是非齊次線性方程組的個(gè)解,為實(shí)數(shù),滿足,證明：也是它的解。證明：,故也是的解。設(shè)非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為,是它的個(gè)線性無(wú)關(guān)解,證明：它的任一解可表示為〔其中。證明：顯然是的解。設(shè),即由線性無(wú)關(guān)可得,故線性無(wú)關(guān)。又的系數(shù)矩陣的秩為,故解空間維數(shù)為,故是一個(gè)基礎(chǔ)解系。故任一解可表示為即令故其中設(shè)向量組能由向量組線性表示為：=其中為矩陣,且組線性無(wú)關(guān),證明：組線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是矩陣的秩。證明：記若矩陣的秩。對(duì)于齊次方程組,由線性無(wú)關(guān)知只有零解。若線性相關(guān),則存在不全為零的數(shù)使得。由若矩陣的秩知線性無(wú)關(guān),故,由不全為零,故。由及=可得這意味著有非零解,矛盾。故若矩陣的秩時(shí)組線性無(wú)關(guān)。若組線性無(wú)關(guān)而,故線性相關(guān),存在不全為零的數(shù)使得,故=即存在不全為零的數(shù)使得,與組線性無(wú)關(guān)矛盾。故若組線性無(wú)關(guān)而第五章特征值與特征向量§1特征值與特征向量填空題：〔1已知方陣的一個(gè)特征值為,其對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為。則的一個(gè)特征值為；的一個(gè)特征值為；的一個(gè)特征值為。〔2已知可逆矩陣的一個(gè)特征值為,其對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為,則其逆矩陣的一個(gè)特征值為；其伴隨矩陣的一個(gè)特征值為。為可逆矩陣,故特征值。對(duì)特征值為的一個(gè)特征向量,有,故即有,故是逆矩陣的特征值。對(duì)特征值為的一個(gè)特征向量,有,故即有,故是的特征值?！?已知三階矩陣的特征值為,則=30,900。2．求下列方陣的特征值與特征向量。〔1〔2故3．,已知它的特征值為,求。解：由,得4。設(shè),已知為的特征值,求。即即即5．證明若,則的特征值只能是1或-1。證明：設(shè)的特征值的為,其對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為,則由定義知,即是的特征值。又對(duì)任意的非零向量有,故對(duì)特征值都為。故,即的特征值只能是1或-1。6．設(shè)是方陣的對(duì)應(yīng)于兩個(gè)不同特征值的特征向量,討論是否為的特征向量？解：若是的特征向量,設(shè)其對(duì)應(yīng)的特征值為,則有得得得由是方陣的對(duì)應(yīng)于兩個(gè)不同特征值的特征向量知的線性無(wú)關(guān)性得故,矛盾。7．證明與有相同的特征值?！蔡崾荆焊鶕?jù)特征多項(xiàng)式證明：,即與有相同的特征多項(xiàng)式,故有相同的特征值8．證明：若,則是的特征值。證明：即,故,則是的特征值。9．求的特征值與特征向量。解：注意到,其中,故是的特征值,且是它的一個(gè)特征值。,故,故,所以是的特征值解,有,,,,它們是的特征值0的個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量,故0至少是重特征值,又有特征值。故?！?相似矩陣1．與相似,則,?！蔡崾荆合嗨凭仃嚨奶卣髦迪嗤业扔趯?duì)角線上的元素之和,相似矩陣的行列式相等。2．為階方陣,,證明與相似。證明：,故可逆。,即與相似。3．3階方陣的特征值分別為,對(duì)應(yīng)的特征向量為求。解：令,則。于是4．階方陣的特征值為,方陣與A相似,則=。與A相似,故的特征值也為。故的特征值為故5．設(shè)三階方陣A的特征值,對(duì)應(yīng)的特征向量為。求,其中。解：方法一：易知道方法二令由,則,得6．設(shè)與相似,證明與相似。證明：由與相似可知存在可逆矩陣,滿足,故有,故與相似7．若二階矩陣的特征值為和,求。解：二階矩陣的特征值為和,故矩陣是可對(duì)角化的,故存在二階可逆矩陣滿足,故§3實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化判斷正誤。〔1是實(shí)對(duì)稱矩陣,它們的特征多項(xiàng)式相同,則相似。〔〔2實(shí)對(duì)稱矩陣的非零特征值的個(gè)數(shù)等于它的秩。<>〔3若都是的特征向量,則將它們先正交化,再單位化后仍為的特征向量。<>已知為正交矩陣,求的值。解：正交矩陣有性質(zhì)：任意一行〔列的平方和為1,任意兩行〔列向量正交。且是維列向量,,證明：為對(duì)稱的正交矩陣。證明：注意意味著。故為對(duì)稱的矩陣。故為對(duì)稱的正交矩陣。正交,證明都是正交矩陣。證明：是正交矩陣,故,。是正交矩陣是正交矩陣是正交矩陣求正交矩陣,將下列矩陣對(duì)角化?！?；〔2三階實(shí)對(duì)稱方陣的特征值為,若已知對(duì)應(yīng)6的特征向量為,求A。解：設(shè)特征值３對(duì)應(yīng)的特征向量為,故與正交,故,故為特征值３的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。故,即,其中第七章二次型§1二次型及矩陣用矩陣記號(hào)表示下列二次型?！?；〔2；〔3寫(xiě)出下列矩陣所對(duì)應(yīng)的二次型。〔1；〔2?！?用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型判斷正誤。二次型在正交變換下一定化為標(biāo)準(zhǔn)型。<>已知為階矩陣,為維列向量,如果不對(duì)稱,則不是二次型。〔二次型的秩為,則3?！灿谜蛔儞Q把下列二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型,寫(xiě)出正交變換的矩陣和該二次型的正負(fù)慣性指數(shù)及符號(hào)差。〔1解：=1\*GB3①先寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的對(duì)稱方陣。,=2\*GB3②求的特征值。由,得,,。=3\*GB3③求對(duì)應(yīng)的特征向量,得,,。=4\*GB3④把正交化單位化得,,。所求的正交變換的矩陣為,慣性指數(shù)為。符號(hào)差為?！?〔3解：§3用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型并寫(xiě)出所用的變換矩陣。1．解：,先把配出一個(gè)完全平方。于是繼續(xù)把配成一個(gè)完全平方。于是。于是令,,其中。。2．3．解：由于這里沒(méi)有平方項(xiàng),先作一次變換構(gòu)造一個(gè)平方項(xiàng)來(lái)。得,,。然后再用前法,得變換。最終為所求的變換?！?正定二次型判斷正誤。〔1若為階實(shí)對(duì)稱矩陣,且二次型正定,則的特征值全為正。<〔2若為階實(shí)對(duì)稱矩陣,且二次型正定,則的一切順序主子式全為正?！病?若為階實(shí)對(duì)稱矩陣,且二次型正定,則的主對(duì)角線上的元素全為正?！病?若為階實(shí)對(duì)稱矩陣,且二次型正定,則對(duì)一切維列向量,全為正?！才袆e二次型的正定性?！?解：寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的方陣,計(jì)算的順序主子式或特征值可知二次型的正定性。〔2解：求的取值范圍,使為〔1正定的；〔2負(fù)定的。解：為階實(shí)對(duì)稱矩陣,的特征值的全體為,則當(dāng)?shù)娜≈捣秶鸀闀r(shí),正定。原因是。證明：為階正定矩陣,則。證明：〔提示：方陣的行列式等于其所有的特征值的積為階實(shí)對(duì)稱矩陣,如對(duì)任意維向量,有,則。證：為階實(shí)對(duì)稱矩陣,故存在正交矩陣,使得其中,是矩陣的特征值。,對(duì),由可逆知道存在,滿足故設(shè)為可逆方陣,,證明為正定二次型。證明：,當(dāng)時(shí),〔為什么？。故為正定二次型。為階正定矩陣,證明存在可逆矩陣,使得。證明：為階正定矩陣,則存在正交矩陣,使得,其中。取即可。二次型通過(guò)正交變換化為。求；〔2當(dāng)時(shí),的最大值為5。解：〔1二次型所對(duì)應(yīng)的矩陣的特征值為。當(dāng)時(shí),,原因是。又。的最大值為5。自測(cè)題一一、判斷題<正確填T,錯(cuò)誤填F。每小題2分,共10分>1．若,則有或?！?．A、B是階方陣,則?！?．設(shè)是矩陣,若有無(wú)窮多解,則非零解?！?．若向量組線性相關(guān),則存在一向量可以由其它向量線性表出?！?．設(shè)A、B是階實(shí)對(duì)稱矩陣,且有相同的特征值,則與相似。〔二、填空題〔每小題5分,共30分1．計(jì)算階行列式=。2．為3階矩陣,為伴隨矩陣,,則=。3．設(shè),,則=。4．已知,為三階非零矩陣,且,則時(shí),。5．若,則當(dāng)=時(shí),線性相關(guān)。6．若均為正交矩陣,并且,則。三、計(jì)算下列各題〔每小題10分,共50分。設(shè)為三階矩陣,為三階單位矩陣,滿足：,其中,求矩陣。已知向量組?！?求；〔2求向量組的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組,并將其余向量用該極大線性無(wú)關(guān)組線性表出。討論為何值時(shí),方程組無(wú)解？有唯一解,無(wú)窮多解？4．設(shè)三階方陣的特征值為：,。求的特征值；求及的值。5．已知二次型通過(guò)正交變換化成標(biāo)準(zhǔn)型,求參數(shù)及所用的正交變換矩陣。四．證明題〔每小題5分,共10分。1．若,則的充要條件是。2．設(shè)為階實(shí)對(duì)稱矩陣,討論t為何值時(shí),為負(fù)定矩陣。自測(cè)題二一．填空題<每小題2分,共10分>1．已知的特征值全為1,則________,。2.已知,則_______。3.已知,則________。4已知四階方陣且線性無(wú)關(guān),。則方程組的通解為。5.已知,,則。二.單項(xiàng)選擇題<每小題2分,共10分>1.已知線性無(wú)關(guān),則下列向量組中一定線性無(wú)關(guān)的是〔。<A>,,；