公平席位的分配

公平席位的分配

數(shù)學(xué)(2)班學(xué)號(hào)0907022022高澤標(biāo)摘要：討論公平席位分配的模型已有很多。本文首先用比例加慣例法、Q值法、D'hondt法對(duì)問(wèn)題中名額進(jìn)行了分配，再對(duì)D'hondt法的合理性進(jìn)行了分析，并在Q值法對(duì)絕對(duì)尾數(shù)(絕對(duì)不公平度)的處理方式基礎(chǔ)上，提出了相對(duì)尾數(shù)模型，并討論了其滿足Young公理的1，3，4條關(guān)鍵詞：相對(duì)尾數(shù) Balinsky&Young不可能定理正文1問(wèn)題復(fù)述公平的席位分配問(wèn)題是一個(gè)非常有趣而重要的問(wèn)題，它在政治學(xué)、管理學(xué)和對(duì)策論等領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用價(jià)值。處理這個(gè)問(wèn)題的最早的方法是Hamilton法，即比例加慣例法；后來(lái)出現(xiàn)了Q值法；1974年M.L.Balinski和H.P.Young引入了席位分配問(wèn)題的公理體系研究方法，并于1982年證明了同時(shí)滿足五個(gè)公理的席位分配方法是不存在的；因此，我們只能根據(jù)實(shí)際建立在一定公平準(zhǔn)則下成立并盡量多的滿足Young公理的算法。這里，我們需要理解并運(yùn)用比例加慣例法、Q值法、D'hondt法對(duì)宿舍委員會(huì)名額進(jìn)行分配，繼而提出更優(yōu)的公平分配席位的方法。2模型假設(shè)合理假設(shè)2.1.1比例加慣例法、Q值法等分配模型均為已知；2.1.2各個(gè)宿舍相互獨(dú)立互不影響，人數(shù)保持不變；2.1.3委員分配以各宿舍人數(shù)為唯一權(quán)重。符號(hào)約定符號(hào)意義第個(gè)宿舍的Q值第個(gè)宿舍的人數(shù)第個(gè)宿舍分配的名額總?cè)藬?shù)總名額數(shù)第個(gè)宿舍的理想分配名額pi總席位增加一個(gè)時(shí)第個(gè)宿舍的理想分配名額n—第個(gè)宿舍的分配比例，即n第個(gè)宿舍的絕對(duì)尾數(shù)值第個(gè)宿舍的相對(duì)尾數(shù)值總席位增加一席時(shí)第個(gè)宿舍的相對(duì)尾數(shù)值按比例分配后剩余名額3模型的建立及求解3.1按比例加慣例模型分配根據(jù)比例加慣例分配模型的原理表第個(gè)宿舍的相對(duì)尾數(shù)值總席位增加一席時(shí)第個(gè)宿舍的相對(duì)尾數(shù)值按比例分配后剩余名額3模型的建立及求解3.1按比例加慣例模型分配根據(jù)比例加慣例分配模型的原理表表1（比例加慣例法分配結(jié)果）：宿舍學(xué)生人數(shù)10個(gè)席彳比例分配的席位A2352B3333C4324總數(shù)10009立的分配15個(gè)席位的分配慣例分配的結(jié)果比例分配的席位慣例分配的結(jié)果3343454661013153.2按Q值法模型分配首先用比例分配法對(duì)名額進(jìn)行初步分配,再根據(jù)表達(dá)式'二A'BC對(duì)剩下的名額進(jìn)行分配表2（Q值法分配結(jié)果）：宿舍學(xué)生人數(shù)10個(gè)席位的分配15個(gè)席位的分配比例分配名額Q值最終分配名額比例分配名額Q值最終分配名額A23529204.17234602.084B33339240.75345544.455C43249331.2564443.436總數(shù)10009101315D'hondt模型模型建立設(shè)，分別表示宿舍總?cè)藬?shù)和總分配席位數(shù)，（'=1,2,3）表示各宿舍人數(shù)，令/一123j-12 ｛a｝ ta（k）｝（I一123J一12…），則得到一個(gè)數(shù)列j,將該數(shù)列按遞減順序重新排列，得到j(luò)，a（k） ｛a（k）｝ ｛a（k）｝其中ij表示ij中第大的項(xiàng)。取ij中前項(xiàng)，則相應(yīng)得到（k）｝（k=l,2,...,m）中i一p的元素的個(gè)數(shù)｝p-123j （P一1厶3），,,即為按D'hondt模型分配的結(jié)果。按D'hondt模型分配根據(jù)建立的D'hondt模型，編寫MATLAB程序求出結(jié)果（附件^程序6，附錄-輸入及運(yùn)行結(jié)果3)：表3(D‘hondt模型分配結(jié)果)：宿舍人數(shù)10個(gè)名額的分配15個(gè)名額的分配A23523B33335C43257總數(shù)10001015相對(duì)尾數(shù)模型模型準(zhǔn)備討論一般情況:個(gè)宿舍人數(shù)分別為,i二人2'…'k，總?cè)藬?shù)為"二"i+…+"k,待分配的席位為個(gè)，理想化的分配結(jié)果是(i=^2'…,k)，滿足，記(i=^2'…'k)。顯然，若全為整數(shù)，應(yīng)有=(I=1,2,…,k),當(dāng)不全為整數(shù)時(shí),需要確定同時(shí)滿足下面公理的分配方案。[q]<p<[q]fi=1,2,...,k [q] [q]公理一：i-ii+( )，即取i-或i+之一，其中k」=[q」,k]=[q」+1,[qi表示的整數(shù)部分。公理二：Pi(m,"1'n2，??.'"k)<Pi(m+1,"1'n2，??.'"k),i二1,2,…,k，即總席位增加時(shí)，各宿舍的席位數(shù)不應(yīng)該減少。公理一顯然滿足Balinsky&Young不可能定理(見(jiàn)附錄)中的公理4(公平分?jǐn)傂?，公理"—m""—m"—q-[q]iis=—^m-i"二滿足其的公理1(人口單調(diào)性)和公理3(名額單調(diào)性)。令稱其為對(duì)第個(gè)宿舍的絕對(duì)尾數(shù)值。令，稱其為對(duì)第個(gè)宿舍的相對(duì)尾數(shù)值。模型建立及求解由于人數(shù)都是整數(shù)，為使分配趨于公平，需所有的越小越好，所以趨于公平的分配方案應(yīng)該是最大的達(dá)到最小，即所有的達(dá)到最小。為方便起見(jiàn)，首先考慮只有兩個(gè)宿舍的情形，即k=2,"二"1+"2，且"1豐"2,和不全是整數(shù)(實(shí)際上，他們同為整數(shù)或小數(shù))。記Pi,'為總席位增加一席時(shí)的分配結(jié)果和相對(duì)尾數(shù)。給出定理:定理:以下分配方案滿足公理一，二，r—rs、s若1 2，且1 2，則取，，即按比例加慣例法分配;r〉r若1 2，則取，;r<r若1 2，則取，。Balinsky&Young不可能定理公理1（份額單調(diào)性）一個(gè)州人口的增加不會(huì)導(dǎo)致它失去席位。公理2（無(wú)偏性）在整個(gè)時(shí)間上平均,每個(gè)州應(yīng)得到它自己應(yīng)分?jǐn)偟姆蓊~。公理3（席位單調(diào)性）總席位增加不會(huì)導(dǎo)致某個(gè)州名額減少。公理4（公平分?jǐn)傂裕┤魏沃莸南粩?shù)都不會(huì)偏離其比例的份額數(shù)。公理5（接近份額性）沒(méi)有從一個(gè)州到另一個(gè)州的名額轉(zhuǎn)讓會(huì)使得這兩個(gè)州都接近它們應(yīng)得的份額。按照定理，對(duì)三個(gè)宿舍的情形進(jìn)行討論。設(shè),,全部為零（實(shí)際上,如果有一個(gè)為零,即是按兩個(gè)宿舍分配）,可以做以下分配:r=r=r1） 當(dāng)123時(shí),按比例分配取整后,剩余的席位分配給絕對(duì)尾數(shù)較大的宿舍,即按比例加慣例法分配;r〉r=r2） 當(dāng)123時(shí),按比例分配后,若剩余一個(gè)席位,則分配給第一個(gè)宿舍,若剩余兩個(gè)席位,則分配一席給第一個(gè)宿舍,另外一席分配給第二三個(gè)宿舍中絕對(duì)尾數(shù)值較大者；r=r〉r3）當(dāng)〔：1時(shí)，按比例分配后，若剩余一個(gè)席位分配給第一二個(gè)宿舍中絕對(duì)尾數(shù)值較大者，若剩余兩個(gè)席位，則分配給第一二宿舍各一席；r〉r〉r4） 當(dāng)1 2 3時(shí)，按比例分配后,若剩余一個(gè)席位,則分配給第一個(gè)宿舍,若剩余兩個(gè)席位,則分配給第二個(gè)宿舍。r>r> >r rHr一般地，對(duì)個(gè)宿舍，設(shè)，，???，不全為零，且1>2 k，則當(dāng)tt+1時(shí)，將剩余的個(gè)席位分配給第一至第個(gè)宿舍各一席，當(dāng)1-1〉rt=rt+1〉rt+2時(shí)，個(gè)席位分配給第一至第t—1個(gè)宿舍及和較大的宿舍各一席，當(dāng)；1〉1=1+1=1（1VsJk-t）時(shí)，個(gè)席位分配給第一至第t-1個(gè)宿舍及，，…中較大的宿舍各一席，當(dāng)仁〉1+1=I'（1Vs,s'-k-t），個(gè)席位分配給第一至第t-s個(gè)宿舍及，，…中個(gè)較大的所對(duì)應(yīng)的宿舍各一席。表4（尾數(shù)法分配結(jié)果）：宿舍人數(shù)10個(gè)名額的分配15個(gè)名額的分配A23534B33335C43246總數(shù)100010154模型檢驗(yàn)及結(jié)果分析席位分配的尾數(shù)模型滿足Young公理的1、3、4條，是以嚴(yán)格證明了的定理形式給出。對(duì)按上述四種分配模型分配的結(jié)果列表比較。表5（各方法分配結(jié)果的比較1）：宿舍學(xué)生人數(shù)20個(gè)席位的分配21個(gè)席位的分配BQDRBQDRA1031011111011111110B6366667677C3443343434總數(shù)2002020202021212121表6（各方法分配結(jié)果的比較2）：宿舍學(xué)生人數(shù)10個(gè)席位的分配15個(gè)席位的分配BQDRBQDRA23532234434B33333335555C43245546676總數(shù)10001010101015151515表格中，B表示比例加慣例法，Q表示Q值法，D表示D'hondt法，R表示相對(duì)尾數(shù)法。“比例加慣例”法用各團(tuán)體人數(shù)占團(tuán)體總?cè)藬?shù)的比例乘以總席位數(shù),取其整數(shù)位為第一次分配,再次分配時(shí),則按小數(shù)位的大小分,大的先分配,直到席位分完。從表4看到，當(dāng)總席位數(shù)增加時(shí)，C宿舍分得的席位卻減少；Q值法利用相對(duì)不公平度建立了衡量不公平程度的數(shù)量指標(biāo)，進(jìn)而將席位分給最不公平的一方。D'hondt方法將各團(tuán)體的人數(shù)用正整數(shù)相除，其商數(shù)組成一個(gè)表，將數(shù)從大到小取，直到取得的商數(shù)的個(gè)數(shù)等于總席位數(shù),統(tǒng)計(jì)出每個(gè)團(tuán)體被取到的商數(shù)的個(gè)數(shù),即為該團(tuán)體分得的席位數(shù)。5優(yōu)缺點(diǎn)分析及改進(jìn)從對(duì)模型的檢驗(yàn)及分析可以看到，上面討論的三個(gè)模型都有自身的不足：比例加慣例法滿足公理一，卻不滿足公理二；Q值法滿足公理二但不滿足公理一；D'hondt法也不能解決對(duì)每個(gè)宿舍成員公平的大小問(wèn)題；尾數(shù)法雖然滿足公理一和二，但由于兩個(gè)公理本身只滿足Young公理體系的部分，也不盡完美。優(yōu)點(diǎn)：尾數(shù)模型打破Q值法的對(duì)絕對(duì)尾數(shù)的比較方法，以相對(duì)尾數(shù)來(lái)討論，使得模型滿足了Young公理體系中更多的公理，雖不盡完善，但相比之前的四種方法是很大的改進(jìn)。并且，這種對(duì)已有方法改進(jìn)的思想很有啟發(fā)意義。改進(jìn)：本文中只給出了尾數(shù)法對(duì)3個(gè)宿舍的名額分配程序，對(duì)不定數(shù)量宿舍的分配沒(méi)能程序?qū)崿F(xiàn)，是可以改進(jìn)的。6模型的具體意義人生活在這個(gè)經(jīng)濟(jì)的社會(huì)，每個(gè)人或多或少都是一個(gè)經(jīng)濟(jì)人，即以自己最小的經(jīng)濟(jì)代價(jià)去獲取自己最大的經(jīng)濟(jì)利益，但是經(jīng)濟(jì)人永無(wú)止盡的欲望及有限的資源發(fā)生了矛盾，因此人們都盡自己最大的努力使自己獲得最大資源和利益。如此，每個(gè)人都這樣做，或多或少會(huì)引起其他人的不滿，造成人及人之間和社會(huì)內(nèi)部的矛盾，經(jīng)過(guò)長(zhǎng)久的博弈之后，人們決定讓每個(gè)人都能得到一定的滿足，但每個(gè)人也不能占盡全部利益！這就涉